1．（5分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an+1＝2an+n，則a3＝（ ）
A．3B．7C．8D．9
2．（5分）設(shè)a∈R，直線l1：ax+2y﹣1＝0，直線l2：x+（a+1）y﹣a2＝0，若l1⊥l2，則a＝（ ）
A．1B．﹣2C．D．1或﹣2
3．（5分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，an+1an＝an﹣1，則a2023＝（ ）
A．B．C．D．3
4．（5分）如圖，在四面體PABC中，E是AC的中點(diǎn)，F(xiàn)是PB上靠近P點(diǎn)的四等分點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．D．
5．（5分）已知直線ln：3x﹣4y+5n﹣6＝0（n∈N*）與圓?n：（x﹣2）2+y2（an＞0），給出下面三個(gè)結(jié)論：
①直線ln與直線ln+1平行且兩直線距離為1；
②若直線l，與圓?n相切，則an＝n；
③若直線ln與圓?n相切，圓Cn+1與圓?n構(gòu)成的圓環(huán)面積最小值為3π．
其中正確的是 （ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
6．（5分）設(shè)橢圓0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過原點(diǎn)O的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，若|MN|＝2c，|MF2|：|NF2|，則C的離心率為 （ ）
A．B．C．D．
7．（5分）關(guān)于x的方程有唯一解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 （ ）
A．k≤﹣2或k≥2B．k≤﹣2或k≥2或k＝±
C．k＜﹣2或k＞2或k＝±D．k＜﹣2或k＞2
8．（5分）已知曲線C：x2+y2＝1﹣|x|y，則的最大值為 （ ）
A．B．C．1D．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。
（多選）9．（5分）設(shè){，，}是空間一個(gè)基底，則下列選項(xiàng)中正確的是 （ ）
A．若⊥，⊥，則⊥
B．，，一定能構(gòu)成空間的一個(gè)基底
C．對(duì)空間中的任一向量，總存在有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使xyz
D．存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使得xy
（多選）10．（5分）已知直線l：x﹣y+5＝0，過直線上任意一點(diǎn)M作圓C：（x﹣3）2+y2＝4的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則有（ ）
A．|MA|長(zhǎng)度的最小值為
B．不存在點(diǎn)M使得∠AMB為60°
C．當(dāng)|MC|?|AB|最小時(shí)，直線AB的方程為x﹣2y﹣1＝0
D．若圓C與x軸交點(diǎn)為P，Q，則的最小值為28
（多選）11．（5分）已知雙曲線C：1（a＞0），若圓x2+（y﹣2）2＝1 與雙曲線C的漸近線相切，則（ ）
A．雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為
B．雙曲線C的離心率e＝2
C．點(diǎn)P為雙曲線C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到C的兩條漸近線的距離分別為d1d2，則d1d2
D．直線y＝k1x+m與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D為弦AB的中點(diǎn)，若OD（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為k2，則k1k2＝3
（多選）12．（5分）大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過程．已知大衍數(shù)列{an}滿足a1＝0，an+1，則（ ）
A．a(chǎn)4＝6
B．a(chǎn)n+2＝an+2（n+1）
C．a(chǎn)n
D．?dāng)?shù)列{（﹣1）nan}的前2n項(xiàng)和為n（n+1）
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．（5分）拋物線y＝2x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ．
14．（5分）設(shè)點(diǎn)A（3，5），點(diǎn)B和C分別為直線l：x﹣2y+2＝0和y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△ABC的周長(zhǎng)的最小值為 ．
15．（5分）如圖，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝2AB＝4，E是BB1的中點(diǎn)，F(xiàn)是A1C1的中點(diǎn)，若過A，E，F(xiàn)三點(diǎn)的平面與B1C1交于點(diǎn)G，則|A1G|＝ ．
16．（5分）在數(shù)列{an}中，如果對(duì)任意n∈N*，都有λ（λ為常數(shù)），則稱數(shù)列{an}為比等差數(shù)列，λ稱為比公差，現(xiàn)給出以下命題：
①若數(shù)列{cn}滿足c1＝1，c2＝1，cn＝cn﹣1+cn﹣2（n≥3，n∈N*），則該數(shù)列不是比等差數(shù)列；
②若數(shù)列滿足an＝3?2n﹣1，則該數(shù)列是比等差數(shù)列，且比公差λ＝0；
③等比數(shù)列一定是比等差數(shù)列，等差數(shù)列一定不是比等差數(shù)列；
④若{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，則數(shù)列{anbn}是比等差數(shù)列．
其中所有正確的序號(hào)是 ．
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．（10分）已知圓C的圓心在直線l1：y＝﹣x﹣1 上，且經(jīng)過A（0，﹣1），B（2，﹣1）兩點(diǎn)．
（1）求圓C的方程；
（2）已知過點(diǎn)P（0，2）的直線l2與圓C相交，被圓C截得的弦長(zhǎng)為2，求直線l2的方程．
18．（12分）已知函數(shù)f（x）＝2cs2x．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間與值域；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，已知f（A）＝0，b＝1，△ABC的面積為，求tanB的值．
19．（12分）設(shè)首項(xiàng)為的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn，且滿足anan+1＝（n+1）an﹣nan+1．
（1）求數(shù)列{an} 的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，求證：．
參考公式：12+22+32+?s+n2n（n+1）（2n+1）．
20．（12分）已知雙曲線．
（1）過點(diǎn)N（1，4）的直線與雙曲線交于S，T兩點(diǎn)，若點(diǎn)N是線段ST的中點(diǎn)，求直線ST的方程；
（2）直線l：y＝kx+m（k≠±2）與雙曲線有唯一的公共點(diǎn)M，過點(diǎn)M且與l垂直的直線分別交x軸、y軸于A（x0，0），B（0，y0）兩點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P（x0，y0）的軌跡方程，
21．（12分）已知：在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，點(diǎn)M為PD中點(diǎn)，PA＝AD＝1．
（1）求證：平面MAC⊥平面PCD；
（2）求點(diǎn)P到平面MAC的距離．
22．（12分）已知橢圓C：1（a＞b＞0）的離心率為，且過點(diǎn) A（，）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l與橢圓C交于不同的M，N兩點(diǎn)，且直線OM，MN，ON的斜率依次成等比數(shù)列．橢圓C上是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形OMPN為平行四邊形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．
2022-2023學(xué)年廣東省深圳外國(guó)語學(xué)校高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．（5分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an+1＝2an+n，則a3＝（ ）
A．3B．7C．8D．9
【解答】解：∵數(shù)列{an}滿足a1＝1，an+1＝2an+n，
∴a2＝2a1+1＝3，
a3＝2a2+2＝8，
故選：C．
2．（5分）設(shè)a∈R，直線l1：ax+2y﹣1＝0，直線l2：x+（a+1）y﹣a2＝0，若l1⊥l2，則a＝（ ）
A．1B．﹣2C．D．1或﹣2
【解答】解：∵a∈R，直線l1：ax+2y﹣1＝0，直線 l2：x+（a+1）y﹣a2＝0，l1⊥l2，
∴a×1+2×（a+1）＝0，求得a，
故選：C．
3．（5分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，an+1an＝an﹣1，則a2023＝（ ）
A．B．C．D．3
【解答】解：∵數(shù)列{an}滿足a1＝3，an+1an＝an﹣1，
∴a2a1＝a1﹣1，可得a2，
a2a3＝a2﹣1，可得a3，
a3a4＝a3﹣1，可得a4＝3，
．
可得數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列，且前三項(xiàng)為：3，，，
∴a2023＝a1＝3．
故選：D．
4．（5分）如圖，在四面體PABC中，E是AC的中點(diǎn)，F(xiàn)是PB上靠近P點(diǎn)的四等分點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：E是AC的中點(diǎn)，F(xiàn)是PB上靠近P點(diǎn)的四等分點(diǎn)，
則．
故選：B．
5．（5分）已知直線ln：3x﹣4y+5n﹣6＝0（n∈N*）與圓?n：（x﹣2）2+y2（an＞0），給出下面三個(gè)結(jié)論：
①直線ln與直線ln+1平行且兩直線距離為1；
②若直線l，與圓?n相切，則an＝n；
③若直線ln與圓?n相切，圓Cn+1與圓?n構(gòu)成的圓環(huán)面積最小值為3π．
其中正確的是 （ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【解答】解：由直線ln：3x﹣4y+5n﹣6＝0（n∈N*），可得直線ln+1：3x﹣4y+5（n+1）﹣6＝0，即3x﹣4y+5n﹣1＝0，
∴直線ln與直線ln+1平行，直線ln與直線ln+1的距離為1，故①正確．
由圓?n（x﹣2）2+y2（an＞0），得圓心?n（2，0），半徑為an，
若直線ln與圓?n相切，∴an，∴an＝n，故②正確．
圓Cn+1與圓?n是同心圓，故圓Cn+1與圓?n構(gòu)成的圓環(huán)面積為π（an+1）2﹣π（an）2＝π（2n+1）≥3π，
當(dāng)且僅當(dāng)n＝1時(shí)取等號(hào)，故圓Cn+1與圓?n構(gòu)成的圓環(huán)面積最小值為3π，故③正確．
故選：D．
6．（5分）設(shè)橢圓0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過原點(diǎn)O的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，若|MN|＝2c，|MF2|：|NF2|，則C的離心率為 （ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵過原點(diǎn)O的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，∴MN被O平分，
又F1F2被O平分，∴四邊形MF1NF2是平行四邊形，
又|MN|＝2c＝|F1F2|，∴四邊形MF1NF2是矩形，
∵|MF2|：|NF2|，
由對(duì)稱性可得|MF1|＝|NF2|，∴設(shè)|MF2|＝m，|MF1|＝2m，
∴|F1F2|3m，∴m，
∴|MF2|+|MF1|2a，
∴．
故選：B．
7．（5分）關(guān)于x的方程有唯一解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 （ ）
A．k≤﹣2或k≥2B．k≤﹣2或k≥2或k＝±
C．k＜﹣2或k＞2或k＝±D．k＜﹣2或k＞2
【解答】解：分別畫出曲線y，y＝kx+4，
由y，化為x2+y2＝4（0≤y≤2），可得次曲線是以原點(diǎn)O為圓心，2為半徑的半圓，與x軸相交于點(diǎn)A（﹣2，0），B（2，0）．
直線y＝kx+4經(jīng)過定點(diǎn)P（0，4）．
分類討論：
①直線與半圓相切時(shí)，圓心O到直線的距離d2，解得k＝±，此時(shí)直線與半圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，即關(guān)于x的方程有唯一解．
②直線y＝kx+4經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，0）是滿足0＝﹣2k+4，解得k＝2，可得k＞2時(shí)，直線與半圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，即關(guān)于x的方程有唯一解．
③直線y＝kx+4經(jīng)過點(diǎn)B（2，0）是滿足0＝2k+4，解得k＝﹣2，可得k＜﹣2時(shí)，直線與半圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，即關(guān)于x的方程有唯一解．
綜上①②③可得：實(shí)數(shù)k的取值范圍是k＞2或k＜﹣2或k＝±，
故選：C．
8．（5分）已知曲線C：x2+y2＝1﹣|x|y，則的最大值為 （ ）
A．B．C．1D．
【解答】解：∵曲線C：x2+y2＝1﹣|x|y，∴|x|y＝1﹣（x2+y2），
又|x|y，
∴1﹣（x2+y2），
∴1，∴x2+y2≤2，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時(shí)取等號(hào)，
∴的最大值為．
故選：A．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。
（多選）9．（5分）設(shè){，，}是空間一個(gè)基底，則下列選項(xiàng)中正確的是 （ ）
A．若⊥，⊥，則⊥
B．，，一定能構(gòu)成空間的一個(gè)基底
C．對(duì)空間中的任一向量，總存在有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使xyz
D．存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使得xy
【解答】解：對(duì)于A，⊥，⊥，不能得出⊥，也可能是、相交不一定垂直，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，假設(shè)向量，，共面，則x（）+y（），x、y∈R，
化簡(jiǎn)得（x+y）（1﹣x）（1﹣y），所以、、共面，這與已知矛盾，所以選項(xiàng)B正確；
對(duì)于C，根據(jù)空間向量基本定理知，對(duì)空間任一向量，總存在有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使xyz，選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D，因?yàn)閧，，}是空間一個(gè)基底，所以與、不共面，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故選：BC．
（多選）10．（5分）已知直線l：x﹣y+5＝0，過直線上任意一點(diǎn)M作圓C：（x﹣3）2+y2＝4的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則有（ ）
A．|MA|長(zhǎng)度的最小值為
B．不存在點(diǎn)M使得∠AMB為60°
C．當(dāng)|MC|?|AB|最小時(shí)，直線AB的方程為x﹣2y﹣1＝0
D．若圓C與x軸交點(diǎn)為P，Q，則的最小值為28
【解答】解：由題知圓C的圓心為（3，0），半徑為r＝2，
對(duì)于A：因?yàn)閳A心（3，0）到直線l：x﹣y+5＝0的距離為d4，所以|MC|min＝4，
所以|MA|min2，
對(duì)于B：假設(shè)存在點(diǎn)M使得∠AMB為60°，如圖，則∠AMC＝30°，
故在Rt△AMC中，|MC|＝2r＝4，
由A知|MC|min＝44，故矛盾，即不存在點(diǎn)M使得∠AMB為60°，故B正確；
對(duì)于C：由于MC⊥AB，故四邊形MACB的面積為SMACB|MC|?|AB|＝2S△MAC＝|MA|?r＝2|MA|，
所以|MC|?|AB|＝4|MA|，故當(dāng)|MC|?|AB|最小時(shí)，|MA|最小，由A選項(xiàng)知|MA|min2，
此時(shí)MC⊥l，l∥AB，即直線AB的斜率為1，由于直線x﹣2y﹣1＝0的斜率為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：由題知P（1，0），Q（5，0），設(shè)M（x，x+5），
（1﹣x，﹣x﹣5）?（5﹣x，﹣x﹣5）＝（5﹣x）（1﹣x）+（x+5）2＝2x2+4x+30＝2（x+1）2+28≥28，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝﹣1時(shí)等號(hào)，故的最小值為28，故D正確．
故選：BD．
（多選）11．（5分）已知雙曲線C：1（a＞0），若圓x2+（y﹣2）2＝1 與雙曲線C的漸近線相切，則（ ）
A．雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為
B．雙曲線C的離心率e＝2
C．點(diǎn)P為雙曲線C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到C的兩條漸近線的距離分別為d1d2，則d1d2
D．直線y＝k1x+m與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D為弦AB的中點(diǎn)，若OD（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為k2，則k1k2＝3
【解答】解：根據(jù)題意可得：雙曲線的漸近線方程為y＝±x，即x±ay＝0，
又圓x2+（y﹣2）2＝1 與雙曲線C的漸近線相切，
∴圓心（0，2）到漸近線x±ay＝0的距離dr，
∴，又a＞0，
∴a，又b＝1，∴c，
對(duì)A選項(xiàng)，∵雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為2a，∴A正確；
對(duì)B選項(xiàng)，∵雙曲線C的離心率e2，∴B選項(xiàng)正確；
對(duì)C選項(xiàng)，設(shè)P為（m，n），又P在雙曲線上，
∴，∴b2m2﹣a2n2＝a2b2，
又P為（m，n）到雙曲線的漸近線bx±ay＝0的距離分別為：
，，
∴，∴C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)D選項(xiàng)，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），又A，B在雙曲線上，
∴，兩式相減可得：
，
∴，又，b2＝1，
∴3﹣k1k2＝0，∴k1k2＝3，∴D選項(xiàng)正確．
故選：ABD．
（多選）12．（5分）大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過程．已知大衍數(shù)列{an}滿足a1＝0，an+1，則（ ）
A．a(chǎn)4＝6
B．a(chǎn)n+2＝an+2（n+1）
C．a(chǎn)n
D．?dāng)?shù)列{（﹣1）nan}的前2n項(xiàng)和為n（n+1）
【解答】解：∵a1＝0，an+1，
∴a2＝a1+2＝2，a3＝a2+2＝4，a4＝a3+4＝8，故A錯(cuò)誤，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an+1＝an+n+1，an+2＝an+1+n+1，∴an+1+an+2＝an+1+an+2（n+1），∴an+2＝an+2（n+1），
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an+1＝an+n，an+2＝an+1+n+2，∴an+1+an+2＝an+1+an+2（n+1），∴an+2＝an+2（n+1），故B正確；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an+2＝an+2（n+1），可得an+2﹣an＝2（n+1），an＝（an﹣an﹣2）+（an﹣2﹣an﹣4）+??+（a3﹣a1）+a1
＝2（n﹣1）+2（n﹣3）??+2（1+1）+0，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an+2＝an+2（n+1），可得an+2﹣an＝2（n+1），an＝（an﹣an﹣2）+（an﹣2﹣an﹣4）+??+（a4﹣a2）+a2
＝2（n﹣1）+2（n﹣3）+??+2（2+1）+2，故C正確；
數(shù)列{（﹣1）nan}的前2n項(xiàng)和S2n＝（﹣a1+a2）+（﹣a3+a4）+??+（﹣a2n﹣1+a2n）＝2+4+6+??+2n＝n（n+1）．故D正確；
故選：BCD．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．（5分）拋物線y＝2x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 （0，） ．
【解答】解：拋物線的方程為y＝2x2，
則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y，
即拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），
故答案為：（0，）．
14．（5分）設(shè)點(diǎn)A（3，5），點(diǎn)B和C分別為直線l：x﹣2y+2＝0和y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△ABC的周長(zhǎng)的最小值為 ．
【解答】解：∵點(diǎn)A（3，5），
∴點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為M（﹣3，5），
設(shè)A（3，5）關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為D（a，b），
則，解得a＝5，b＝1，
故D（5，1），
∴|MC|＝|CA|，|AB|＝|BD|，
∴△ABC的周長(zhǎng)為|MC|+|CB|+|BD|，
當(dāng)M，C，B，D共線時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)的值最小，此時(shí)△ABC的周長(zhǎng)為|DM|．
故答案為：．
15．（5分）如圖，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝2AB＝4，E是BB1的中點(diǎn)，F(xiàn)是A1C1的中點(diǎn)，若過A，E，F(xiàn)三點(diǎn)的平面與B1C1交于點(diǎn)G，則|A1G|＝ ．
【解答】解：如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C﹣xyz，
則A（，1，0），A1（，1，4），E（0，2，2），F(xiàn)（，，4），
由題可設(shè)G（0，a，4），
則（，1，2），（，，4），（，a﹣1，4），
設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量（x，y，z），
則，令x，解得，
故（，，），
由30，解得a，
則（，，0），
∴||．
故答案為：．
16．（5分）在數(shù)列{an}中，如果對(duì)任意n∈N*，都有λ（λ為常數(shù)），則稱數(shù)列{an}為比等差數(shù)列，λ稱為比公差，現(xiàn)給出以下命題：
①若數(shù)列{cn}滿足c1＝1，c2＝1，cn＝cn﹣1+cn﹣2（n≥3，n∈N*），則該數(shù)列不是比等差數(shù)列；
②若數(shù)列滿足an＝3?2n﹣1，則該數(shù)列是比等差數(shù)列，且比公差λ＝0；
③等比數(shù)列一定是比等差數(shù)列，等差數(shù)列一定不是比等差數(shù)列；
④若{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，則數(shù)列{anbn}是比等差數(shù)列．
其中所有正確的序號(hào)是 ①② ．
【解答】解：①，∵cn＝cn﹣1+cn﹣2，∴常數(shù)，∴該數(shù)列不是比等差數(shù)列，故①正確；
②，若an＝3?2n﹣1，則2﹣2＝0，故②正確；
③，∵等比數(shù)列都有q﹣q＝0，∴等比數(shù)列一定是比等差數(shù)列，
若等差數(shù)列為常數(shù)列且不為0，則1﹣1＝0，∴此等差數(shù)列是比等差數(shù)列，故③錯(cuò)誤；
④，如果{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，設(shè)an＝n，bn＝3n，
則常數(shù)，不是比等差數(shù)列，故④錯(cuò)誤；
故答案為：①②．
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．（10分）已知圓C的圓心在直線l1：y＝﹣x﹣1 上，且經(jīng)過A（0，﹣1），B（2，﹣1）兩點(diǎn)．
（1）求圓C的方程；
（2）已知過點(diǎn)P（0，2）的直線l2與圓C相交，被圓C截得的弦長(zhǎng)為2，求直線l2的方程．
【解答】解：（1）線段AB的中點(diǎn)為（1，﹣1），直線AB的斜率為kAB0，
所以線段AB的垂直平分線為x＝1，
由，解得，
所以圓心為C（1，﹣2），半徑為|AC|，
所以圓C的方程為（x﹣1）2+（y+2）2＝2．
（2）當(dāng)直線l2的斜率不存在時(shí)，由，得y＝﹣1，或y＝﹣3，
即直線x＝0與圓C相交所得弦長(zhǎng)為﹣1﹣（﹣3）＝2，符合題意．
當(dāng)直線l2的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l2的方程為y＝kx+2，即kx﹣y+2＝0，
由于圓C到l2的距離1，所以1，解得k，
所以yx+2，即15x+8y﹣16＝0，
綜上所述，直線l2的方程為x＝0或15x+8y﹣16＝0．
18．（12分）已知函數(shù)f（x）＝2cs2x．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間與值域；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，已知f（A）＝0，b＝1，△ABC的面積為，求tanB的值．
【解答】解：（1）f（x）＝2cs2xcs2x，
令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，∴kπx≤kπ，k∈Z，
則f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ，kπ]，k∈Z，
當(dāng)2x＝2kπ，即x＝kπ，k∈Z時(shí)，f（x）max＝1，
當(dāng)2x＝2kπ+π，即x＝kπ，k∈Z時(shí)，f（x）min＝﹣1，
則f（x）的值域?yàn)閇，]；
（2）f（A）＝0，∴cs2A0，∴cs2A，
∵0＜A＜π，∴0＜2A＜2π，∴2A＝120°或240°，
∴A＝60°或120°，
又∵△ABC的面積為，∴bcsinA，∵b＝1，∴c＝2，
當(dāng)A＝60°時(shí)，a2＝b2+c2﹣2bccsA＝1+4﹣2，∴a，
則△ABC為直角三角形，則tanB，
當(dāng)A＝120°時(shí)，a2＝b2+c2﹣2bccsA＝1+4+2，∴a，
在△ABC中，，∴sinB，則tanB．
19．（12分）設(shè)首項(xiàng)為的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn，且滿足anan+1＝（n+1）an﹣nan+1．
（1）求數(shù)列{an} 的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，求證：．
參考公式：12+22+32+?s+n2n（n+1）（2n+1）．
【解答】解：（1）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn，且滿足anan+1＝（n+1）an﹣nan+1．
則，
又∴，
∴，
即數(shù)列{}是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
則，
則；
（2）由（1）可得，
則，
則，
則，
則．
20．（12分）已知雙曲線．
（1）過點(diǎn)N（1，4）的直線與雙曲線交于S，T兩點(diǎn)，若點(diǎn)N是線段ST的中點(diǎn)，求直線ST的方程；
（2）直線l：y＝kx+m（k≠±2）與雙曲線有唯一的公共點(diǎn)M，過點(diǎn)M且與l垂直的直線分別交x軸、y軸于A（x0，0），B（0，y0）兩點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P（x0，y0）的軌跡方程，
【解答】解：（1）設(shè)S（x1，y1），T（x2，y2），則，
兩式相減得，即，
因?yàn)辄c(diǎn)N（1，4）是線段ST的中點(diǎn)，所以4，
即直線ST的斜率為1，
所以直線ST的方程為y﹣4＝x﹣15，即y＝x+3．
聯(lián)立方程組得3x2﹣6x﹣25＝0，滿足Δ＞0，
故直線ST的方程為x﹣y+3＝0．
（2）聯(lián)立方程組得（4﹣k2）x2﹣2kmx﹣（m2+16）＝0，
因?yàn)橹本€l：y＝kx+m（k≠±2）與雙曲線有唯一的公共點(diǎn)M，
∴，得m2＝4（k2﹣4），
所以M的坐標(biāo)為（，），其中km≠0，
因?yàn)檫^點(diǎn)M且與l垂直的直線為y（x），
令y＝0，得x0，令x＝0，y0，
所以x02（4）＝100100+4y02，
故點(diǎn)P（x0，y0）的軌跡方程為：（y≠0），
P的軌跡時(shí)焦點(diǎn)在x軸上，實(shí)軸長(zhǎng)為20，虛軸長(zhǎng)為10且不包含兩個(gè)定點(diǎn)的雙曲線．
21．（12分）已知：在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，點(diǎn)M為PD中點(diǎn)，PA＝AD＝1．
（1）求證：平面MAC⊥平面PCD；
（2）求點(diǎn)P到平面MAC的距離．
【解答】（1）證明：∵PA⊥平面ABCD，ABCD為正方形，以AB所在的直線為x軸，以AD所在的直線為y軸，以AP所在的直線為z軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．
由已知可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），
∵M(jìn)為PD的中點(diǎn)，∴，
所以，
所以，所以AM⊥CD，
又點(diǎn)M為PD中點(diǎn)，PA＝AD＝1，所以AM⊥PD，
∵PD∩CD＝D，PD，CD?平面PCD，∴AM⊥平面PCD，
又因?yàn)锳M?平面MAC，故平面MAC⊥平面PCD；
（2）解：設(shè)平面MAC的法向量為，則，∴，
令x＝1，則y＝﹣1，z＝1，∴，
，設(shè)點(diǎn)P到平面MAC的距離為d，
∴，∴點(diǎn)P到平面MAC的距禽為．
22．（12分）已知橢圓C：1（a＞b＞0）的離心率為，且過點(diǎn) A（，）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l與橢圓C交于不同的M，N兩點(diǎn)，且直線OM，MN，ON的斜率依次成等比數(shù)列．橢圓C上是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形OMPN為平行四邊形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）由離心率e，可得a2＝2b2，所以橢圓的方程為：1，
將點(diǎn)A（，）代入橢圓的方程可得：1，
解得b2＝1，
所以橢圓的方程為y2＝1；
（2）由題意可得直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為：x＝my+t，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），
聯(lián)立，整理可得：（2+m2）y2+2mty+t2﹣2＝0，
Δ＝4m2t2﹣4（2+m2）（t2﹣2）＞0，即t2＜2+m2，且y1+y2，y1y2，x1+x2＝m（y1+y2）+2t，
因?yàn)樗倪呅蜲MPN為平行四邊，OP與MN互相平分，所以P（，），
因?yàn)镻在橢圓上，則（）2＝1，
整理可得：4t2＝2+m2，①
又因?yàn)橹本€OM，MN，ON的斜率依次成等比數(shù)列，即?，即m2，
而m2+mt?m2，
可得2t2＝m2t2，②
由①②可得：m2＝2，t2＝1，符合Δ＞0，
可得m＝±，t＝±1，
所以直線l的方程為：x±y﹣1＝0或x±1＝0．

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