易錯(cuò)點(diǎn)1 當(dāng)求二次根式有意義的條件時(shí)，易忽略分式有意義的條件
特別提醒：當(dāng)二次根式所在的式子中含有分式（具有分式形式）時(shí)，字母的取值既要使被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，又要保證分母不為零.
易錯(cuò)點(diǎn)2 當(dāng)利用化簡(jiǎn)二次根式時(shí)，易忽略的符號(hào)
特別提醒：利用化簡(jiǎn)二次根式，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.注意不要忽略的符號(hào)直接進(jìn)行化簡(jiǎn).
易錯(cuò)點(diǎn)3 忽視隱含條件，誤將負(fù)數(shù)移到括號(hào)內(nèi)
特別提醒：在做題時(shí)要注意根號(hào)內(nèi)因式的取值范圍，根據(jù)取值范圍判斷字母的正負(fù)，將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式時(shí)，要注意整體的符號(hào).

?二次根式有意義的條件有理數(shù) ?二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)
?最簡(jiǎn)二次根式 ?二次根式的乘除法
?分母有理化 ?同類二次根式
?二次根式的混合運(yùn)算 ?二次根式的化簡(jiǎn)求值
?二次根式的應(yīng)用
一．二次根式有意義的條件（共4小題）
1．（2023春?瀘縣校級(jí)期末）要使代數(shù)式有意義，則的取值范圍是
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列不等式求解．
【解答】解：由題意可得，
解得，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式有意義的條件，理解二次根式有意義的條件（被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)）是解題關(guān)鍵．
2．（2023春?宣化區(qū)期中）已知，則 8 ．
【分析】根據(jù)二次根式可得且，從而可得，進(jìn)而可得，然后代入式子中，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：由題意得：
且，
解得：且，
，
，
，
故答案為：8．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式是解題的關(guān)鍵．
3．（2023春?中江縣期中） 2 ．
【分析】根據(jù)被開(kāi)方數(shù)大于等于0，列式計(jì)算即可得解．
【解答】解：由題意得，，
解得．
所以，
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式有意義的條件，二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)．
4．（2023春?邗江區(qū)期末）已知關(guān)于的代數(shù)式有意義，滿足條件的所有整數(shù)的和是10，則的取值范圍為 ．
【分析】根據(jù)二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)求出的取值范圍，根據(jù)滿足條件的所有整數(shù)的和是10，得到，3，2，1或4，3，2，1，0，從而或，從而得出答案．
【解答】解：，，
，
滿足條件的所有整數(shù)的和是10，
，3，2，1或4，3，2，1，0，
．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式有意義的條件，體現(xiàn)了分類討論的思想，根據(jù)二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)求出的取值范圍是解題的關(guān)鍵．
二．二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)（共2小題）
5．（2023春?乾安縣期末）先閱讀理解，再回答問(wèn)題：
①，，的整數(shù)部分為1．
②，，的整數(shù)部分為2．
③，，的整數(shù)部分為3．
（1）填空：的整數(shù)部分是 ；
（2），分別是的整數(shù)部分和小數(shù)部分；
①分別寫(xiě)出、的值；
②求的值．
【分析】（1）依據(jù)所給規(guī)律可以證明，的整數(shù)部分是；
（2）①依據(jù)題意，由，從而，進(jìn)而可得，故可得解；
②由①代入，再進(jìn)行計(jì)算可以得解．
【解答】解：（1）由題意，，
．
的整數(shù)部分是．
故答案為：．
（2）①由題意，，
．
．
的整數(shù)部分為，的小數(shù)部分為．
②由題意，將，代入得，
原式
．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，解題時(shí)要熟練掌握并靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．
6．（2022秋?市中區(qū)期末）觀察下列各式：
請(qǐng)你根據(jù)上面三個(gè)等式提供的信息，猜想：
（1）
（2）請(qǐng)你按照上面每個(gè)等式反映的規(guī)律，寫(xiě)出用為正整數(shù)）表示的等式： ；
（3）利用上述規(guī)律計(jì)算：（仿照上式寫(xiě)出過(guò)程）
【分析】（1）根據(jù)提供的信息，即可解答；
（2）根據(jù)規(guī)律，寫(xiě)出等式；
（3）根據(jù)（2）的規(guī)律，即可解答．
【解答】解：（1）；故答案為：；
（2）；故答案為：；
（3）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，解決本題的關(guān)鍵是關(guān)鍵信息，找到規(guī)律．
三．最簡(jiǎn)二次根式（共3小題）
7．（2023春?江津區(qū)期末）下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義：被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，被開(kāi)方數(shù)中不含分母，逐一判斷即可解答．
【解答】解：、，故不符合題意；
、，故不符合題意；
、，故不符合題意；
、是最簡(jiǎn)二次根式，故符合題意；
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式，熟練掌握最簡(jiǎn)二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．
8．（2023春?同江市期中）若最簡(jiǎn)二次根式與最簡(jiǎn)二次根式相等，則 8 ．
【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義可得，，從而可得，，然后代入式子中，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：最簡(jiǎn)二次根式與最簡(jiǎn)二次根式相等，
，，
解得：，，
，
故答案為：8．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式，熟練掌握最簡(jiǎn)二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．
9．（2023春?乾安縣期末）已知，求的值．
【分析】依據(jù)題意，由二次根式的被開(kāi)方數(shù)要是非負(fù)數(shù)，進(jìn)而建立不等式求得的值，再代入計(jì)算即可得解．
【解答】解：由題意，，
．
又，
．
．
．
．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了最簡(jiǎn)二次根式的性質(zhì)，解題時(shí)要熟練掌握并理解．
四．二次根式的乘除法（共2小題）
10．（2023春?朝陽(yáng)區(qū)期末）計(jì)算： ．
【分析】根據(jù)二次根式的除法法則，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的乘除法，熟練掌握二次根式的除法法則是解題的關(guān)鍵．
11．（2023春?亭湖區(qū)期末）計(jì)算的結(jié)果為 6 ．
【分析】利用二次根式的乘除法法則進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【解答】解：
，
故答案為：6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的乘除法，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
五．分母有理化（共2小題）
12．（2023春?撫遠(yuǎn)市期中）計(jì)算： ．
【分析】根據(jù)分母有理化進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【解答】解：，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分母有理化，二次根式的乘除法，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
13．（2023春?雙柏縣期中）閱讀下面問(wèn)題：
；
；
．
（1）求的值；
（2）計(jì)算：．
【分析】（1）原式根據(jù)閱讀材料中的方法變形即可得到結(jié)果；
（2）原式各項(xiàng)變形后，抵消合并即可得到結(jié)果．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分母有理化，弄清分母有理化的方法是解本題的關(guān)鍵．
六．同類二次根式（共3小題）
14．（2023秋?福鼎市期中）下列各數(shù)不能與合并的是
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)同類二次根式的定義，逐一判斷即可解答．
【解答】解：、，能與合并，故不符合題意；
、，不能與合并，故符合題意；
、，能與合并，故不符合題意；
、，能與合并，故不符合題意；
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同類二次根式，熟練掌握同類二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．
15．（2023春?微山縣期中）已知為最簡(jiǎn)二次根式，且能夠與合并，則的值是 1 ．
【分析】根據(jù)同類二次根式的定義，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：，為最簡(jiǎn)二次根式，且能夠與合并，
，
解得：，
故答案為：1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同類二次根式，最簡(jiǎn)二次根式，熟練掌握同類二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．
16．（2023春?東平縣期末）最簡(jiǎn)二次根式和是同類二次根式，則的值為 2 ．
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)把化簡(jiǎn)，根據(jù)同類二次根式的概念列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：最簡(jiǎn)二次根式和是同類二次根式，，
，
解得：，
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是同類二次根式的概念、二次根式的性質(zhì)，掌握同類二次根式的概念是解題的關(guān)鍵．
七．二次根式的混合運(yùn)算（共11小題）
17．（2023秋?山亭區(qū)期中）下列計(jì)算正確的是
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)二次根式的加法，減法，乘法，除法法則進(jìn)行計(jì)算，逐一判斷即可解答．
【解答】解：、，故不符合題意；
、，故不符合題意；
、，故不符合題意；
、，故符合題意；
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
18．（2023春?西湖區(qū)期中）下列運(yùn)算正確的是
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)二次根式的加法、除法、乘方運(yùn)算法則，二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，進(jìn)行計(jì)算逐一判斷即可．
【解答】解：、，故不符合題意；
、，故不符合題意；
、，故符合題意；
、，故不符合題意；
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的加法、除法、乘方運(yùn)算法則，以及二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵．
19．（2023春?遂寧期末）計(jì)算 ．
【分析】根據(jù)積的乘方法則，平方差公式，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：
，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，平方差公式，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
20．（2023春?宿遷期末）計(jì)算式子：的值為 ．
【分析】利用完全平方公式，平方差公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【解答】解：
，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，完全平方公式，平方差公式，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
21．（2023秋?興慶區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）先把每一個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答；
（2）先計(jì)算二次根式的除法，再算加減，即可解答；
（3）先計(jì)算二次根式的乘法，再算加減，即可解答．
【解答】解：（1）
；
（2）
；
（3）
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，完全平方公式，分母有理化，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
22．（2023春?禹州市期中）計(jì)算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先計(jì)算二次根式的乘除法，再算加減，即可解答；
（2）利用平方差公式，完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，平方差公式，完全平方公式，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
23．（2023春?定南縣期中）計(jì)算：．
【分析】先化簡(jiǎn)各式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，零指數(shù)冪，分母有理化，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
24．（2023春?唐縣期末）小明在計(jì)算時(shí)，先對(duì)題目進(jìn)行了分析，請(qǐng)你根據(jù)他的思路填空：
（1）原式中的結(jié)構(gòu)特征滿足某個(gè)乘法公式，該公式為 ；根據(jù)公式計(jì)算結(jié)果為 ；
（2）原式中的計(jì)算結(jié)果為 ；
（3）原式的最終結(jié)果為 ．
【分析】（1）利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答；
（2）利用零指數(shù)冪進(jìn)行計(jì)算，即可解答；
（3）先計(jì)算二次根式的乘法，零指數(shù)冪，算術(shù)平方根，再算加減，即可解答．
【解答】解：（1）原式中的結(jié)構(gòu)特征滿足某個(gè)乘法公式，該公式為，根據(jù)公式計(jì)算結(jié)果為2，
故答案為：；2；
（2）原式中的計(jì)算結(jié)果為1，
故答案為：1；
（3）
，
原式的最終結(jié)果為1，
故答案為：1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，平方差公式，零指數(shù)冪，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
25．（2023春?江陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）閱讀下述材料：
我們?cè)趯W(xué)習(xí)二次根式時(shí)，熟悉的分母有理化以及應(yīng)用其實(shí)，有一個(gè)類似的方法叫做“分子有理化”與分母有理化類似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，從而消掉分子中的根式比如：
分子有理化可以用來(lái)比較某些二次根式的大小，也可以用來(lái)處理一些二次根式的最值問(wèn)題．例如：比較和的大小可以先將它們分子有理化如下：
因?yàn)椋?br>再例如：求的最大值．做法如下：
解：由，可知，而
當(dāng)時(shí)，分母有最小值2，所以的最大值是2
解決下述兩題：
（1）比較和的大?。?br>（2）求的最大值和最小值．
【分析】（1）利用分子有理化得到，，然后比較和的大小即可得到與的大??；
（2）利用二次根式有意義的條件得到，而，利用當(dāng)時(shí)，有最大值1，有最大值1得到所以的最大值；利用當(dāng)時(shí)，有最小值，有最下值0得到的最小值．
【解答】解：（1），
，
而，，
，
；
（2）由，，得，
，
當(dāng)時(shí)，有最小值，則有最大值1，此時(shí)有最大值1，所以的最大值為2；
當(dāng)時(shí)，有最大值，則有最小值，此時(shí)有最下值0，所以的最小值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后合并同類二次根式即可．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．
26．（2023春?禹州市期中）閱讀下列材料，然后解決問(wèn)題．
在進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)時(shí)，我們有時(shí)會(huì)遇到形如，，的式子，其實(shí)我們可以將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：，，如上這種化簡(jiǎn)的步驟叫做“分母有理化”．
（1）化簡(jiǎn) ， ， ．
（2）化簡(jiǎn)：．
【分析】（1）利用例題的解題思路進(jìn)行計(jì)算，即可解答；
（2）先進(jìn)行分母有理化，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：（1），
，
，
故答案為：；；；
（2）
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，分母有理化，平方差公式，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
27．（2023春?靖西市期中）在進(jìn)行二次根式運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰到形如，，的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：；①
；②
；③
對(duì)于以上這種化簡(jiǎn)的步驟叫做分母有理化，還可以用以下的方法化簡(jiǎn)；；④
（1）請(qǐng)參照方法④化簡(jiǎn)：；
（2）化簡(jiǎn)：．為正整數(shù)）
【分析】（1）先根據(jù)平方差公式進(jìn)行變形，再根據(jù)二次根式的除法法則進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）先分母有理化，再根據(jù)二次根式的加減法法則進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：（1）
；
（2）原式
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算和分母有理化，能正確分母有理化是解此題的關(guān)鍵．
八．二次根式的化簡(jiǎn)求值（共8小題）
28．（2023春?鞍山期中）已知，則的值為 ．
【分析】根據(jù)已知易得：，，然后利用異分母分式加減法法則進(jìn)行計(jì)算，再把，的值代入化簡(jiǎn)后的式子進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【解答】解：，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，分式的化簡(jiǎn)求值，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
29．（2023春?葫蘆島期中）若，則 的值為 4 ．
【分析】利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【解答】解：，
，
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
30．（2023春?清河區(qū)校級(jí)期末）已知，則 ．
【分析】先利用異分母分式的加減法法則進(jìn)行計(jì)算，然后把的值代入化簡(jiǎn)后的式子進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【解答】解：
，
當(dāng)時(shí)，原式，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，分式的化簡(jiǎn)求值，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
31．（2023春?海安市月考）已知：，求的值．
【分析】利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【解答】解：，
，
的值為4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
32．（2023春?惠陽(yáng)區(qū)期末）已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先計(jì)算，的值，進(jìn)而根據(jù)平方差公式即可求解；
（2）根據(jù)完全平方公式變形，結(jié)合平方差公式，即可求解．
【解答】解：（1）由題意得：
；
（2）
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則以及乘法公式是解題的關(guān)鍵．
33．（2023秋?信宜市期中）解決問(wèn)題：已知，求的值．
小明是這樣分析與解答的：因?yàn)?，所以?br>所以，即．
所以．
所以．
請(qǐng)根據(jù)小明的分析過(guò)程，解決如下問(wèn)題：
（1）計(jì)算： ；
（2）計(jì)算：；
（3）若，求的值．
【分析】（1）利用分母有理化、平方差公式計(jì)算；
（2）利用（1）的結(jié)論計(jì)算；
（3）利用分母有理化把化簡(jiǎn)，根據(jù)完全平方公式計(jì)算即可．
【解答】解：（1），
故答案為：；
（2），
，
則原式；
（3），
，
，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式的化簡(jiǎn)求值，掌握二次根式的加法法則、乘法法則是解題的關(guān)鍵．
34．（2023春?張店區(qū)期末）閱讀材料，解答下列問(wèn)題．
材料：已知，求的值．
小明同學(xué)是這樣解答的：
，
，
，
這種方法稱為“構(gòu)造對(duì)偶式”．
問(wèn)題：已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
【分析】（1）利用例題的解題思路進(jìn)行計(jì)算，即可解答；
（2）利用（1）的結(jié)論可得，從而可得，進(jìn)而可得，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：（1），
，
，
的值為2；
（2）由（1）得：，，
，
，
，
，
的值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，平方差公式，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
35．（2022秋?鹽湖區(qū)期末）閱讀材料：像，，這種兩個(gè)含二次根式的代數(shù)式相乘，積不含二次根式，我們稱這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式．在進(jìn)行二次根式運(yùn)算時(shí)，利用有理化因式可以化去分母中的根號(hào)．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師出了一道題“已知，求的值．”聰明的小明同學(xué)根據(jù)上述材料，做了這樣的解答：因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以，所以，?qǐng)你根據(jù)上述材料和小明的解答過(guò)程，解決如下問(wèn)題：
（1）的有理化因式是 ， ；的有理化因式是 ， ；
（2）若，求的值．
【分析】（1）根據(jù)有理化因式的定義，進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)題干給出的解題方法，進(jìn)行求解即可．
【解答】解：（1），
的有理化因式是；
，
，，
的有理化因式是；
；；
故答案為：；；或；；
（2），
，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查分母有理化．理解并掌握有理化因式的定義，是解題的關(guān)鍵．
九．二次根式的應(yīng)用（共5小題）
36．（2023春?百色期末）某精密儀器的一個(gè)零件上有一個(gè)矩形孔，其面積為、長(zhǎng)為，則這個(gè)孔的寬為 ．
【分析】依據(jù)題意，利用矩形的面積除以長(zhǎng)等于寬，進(jìn)而列式計(jì)算即可得解．
【解答】解：由題意，寬為：．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次根式的實(shí)際運(yùn)用，利用矩形的面積計(jì)算公式列出算式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
37．（2022秋?銅川期末）小明家裝修，電視背景墻長(zhǎng)為，寬為，中間要鑲一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的大理石圖案（圖中陰影部分）．除去大理石圖案部分，其他部分貼壁布，求壁布的面積．（結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式）
【分析】直接利用二次根式的乘法運(yùn)算法則以及二次根式的加減運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．
【解答】解：由題意可得：
，
答：壁布的面積為．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的應(yīng)用，正確掌握二次根式的混合運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
38．（2022秋?封丘縣期末）如圖，張大伯家有一塊長(zhǎng)方形空地，長(zhǎng)方形空地的長(zhǎng)為，寬為，現(xiàn)要在空地中劃出一塊長(zhǎng)方形地養(yǎng)雞（即圖中陰影部分），其余部分種植蔬菜，長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)的長(zhǎng)為，寬為．
（1）長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是多少？（結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式）
（2）若市場(chǎng)上蔬菜8元千克，張大伯種植該種蔬菜，每平方米可以產(chǎn)15千克的蔬菜，張大伯如果將所種蔬菜全部銷售完，銷售收入為多少元？
【分析】（1）利用長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)公式即可求解；
（2）先求得蔬菜地的面積，再計(jì)算收入即可求解．
【解答】解：（1）長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)．
答：長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是；
（2）蔬菜地的面積
．
（元．
答：張大伯如果將所種蔬菜全部銷售完，銷售收入為4680元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的應(yīng)用，掌握二次根式的混合運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵．
39．（2022秋?永興縣期末）如圖，正方形的面積為8，正方形的面積為32．
（1）求正方形和正方形的邊長(zhǎng)；
（2）求陰影部分的面積．
【分析】（1）根據(jù)正方形的面積公式求得邊長(zhǎng)；
（2）先求出直角三角形、的面積，然后用兩個(gè)正方形的面積減去兩個(gè)直角三角形的面積，這就是陰影部分的面積．
【解答】解：（1）正方形的邊長(zhǎng)為：，
正方形的邊長(zhǎng)為：；
（2），，，
；
；
又，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式的應(yīng)用，正方形的性質(zhì)，三角形的面積．第（2）題關(guān)鍵是把陰影部分面積轉(zhuǎn)化為正方形與三角形的面積進(jìn)行計(jì)算．
40．（2022秋?株洲期末）已知長(zhǎng)方形長(zhǎng)，寬．
①求長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)；
②求與長(zhǎng)方形等面積的正方形的周長(zhǎng)，并比較長(zhǎng)方形周長(zhǎng)與正方形周長(zhǎng)大小關(guān)系．
【分析】①根據(jù)周長(zhǎng)公式列出算式，再利用二次根式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則計(jì)算可得；
②先求出正方形的邊長(zhǎng)，再由周長(zhǎng)公式求解可得．
【解答】解：①長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為；
②長(zhǎng)方形的面積為，
則正方形的邊長(zhǎng)為，
此正方形的周長(zhǎng)為，
，，且，
，
則長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)大于正方形的周長(zhǎng)．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次根式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則及其性質(zhì)．

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