?二次根式的性質(zhì)與化簡 ?分母有理化
?二次根式的混合運算 ?二次根式的化簡求值
?二次根式的應(yīng)用
一．二次根式的性質(zhì)與化簡（共12小題）
1．（2023?舟山一模）觀察下列各式：①，②；③，
（1）請觀察規(guī)律，并寫出第④個等式： ；
（2）請用含的式子寫出你猜想的規(guī)律： ；
（3）請證明（2）中的結(jié)論．
【分析】（1）認(rèn)真觀察題中所給的式子，得出其規(guī)律并根據(jù)規(guī)律寫出第④個等式；
（2）根據(jù)規(guī)律寫出含的式子即可；
（3）結(jié)合二次根式的性質(zhì)進行化簡求解驗證即可．
【解答】解：（1）；
（2）；
（3）
．
故答案為：（1）；
（2）．
【點評】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，解答本題的關(guān)鍵在于認(rèn)真觀察題中所給的式子，得出其規(guī)律并根據(jù)規(guī)律進行求解即可．
2．（2022春?蓬江區(qū)校級月考）數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說：“對一個數(shù)學(xué)問題，改變它的形式，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價值的東西，這是數(shù)學(xué)解題的一個重要原則”．
材料一：平方運算和開方運算是互逆運算．，那么．
如何將雙重二次根式化簡？我們可以把轉(zhuǎn)化為完全平方的形式，因此雙重二次根式得以化簡．
材料二：在直角坐標(biāo)系中，對于點和給出如下定義：若，則稱點為點的“橫負(fù)縱變點”．例如：點的“橫負(fù)縱變點”為，點的“橫負(fù)縱變點”為．
請選擇合適的材料解決下面的問題：
（1）點的“橫負(fù)縱變點”為 ， ，點的“橫負(fù)縱變點”為 ；
（2）化簡：；
（8）已知為常數(shù)，點，且，點是點的“橫負(fù)縱變點”，則點的坐標(biāo)是 ．
【分析】（1）根據(jù)“橫負(fù)縱變點”的定義解答；
（2）根據(jù)材料一，模仿解答；
（3）先化簡得到點的坐標(biāo)，再根據(jù)點是點的“橫負(fù)縱變點”，求出點的坐標(biāo)．
【解答】解：（1），
點的“橫負(fù)縱變點”為，；
，
點的“橫負(fù)縱變點”為，；
故答案為：，；，．
（2）
；
（3），
，
，
．
，
，，
，
，．
故答案為：，．
【點評】本題考查了完全平方公式，二次根式的化簡，考核學(xué)生的計算能力，計算時注意負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)．
3．（2021春?安徽期末）閱讀材料：把根式進行化簡，若能找到兩個數(shù)、，是且，則把變成開方，從而使得化簡．
例如：化簡
解：
；
請你仿照上面的方法，化簡下列各式：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接利用完全平方公式將原式變形進而得出答案；
（2）直接利用完全平方公式將原式變形進而得出答案．
【解答】解：（1）
，
；
（2）
，
．
【點評】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確應(yīng)用完全平方公式是解題關(guān)鍵．
4．（2021春?朝陽區(qū)校級期中）數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說：“對一個數(shù)學(xué)問題，改變它的形式，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價值的東西，這是數(shù)學(xué)解題的一個重要原則”．
材料一：平方運算和開方運算是互逆運算．如，那么．如何將雙重二次根式化簡？我們可以把轉(zhuǎn)化為完全平方的形式，因此雙重二次根式得以化簡．
材料二：在直角坐標(biāo)系中，對于點和給出如下定義：若，則稱點為點的“橫負(fù)縱變點”．例如：點的“橫負(fù)縱變點”為，點的“橫負(fù)縱變點”為．
請選擇合適的材料解決下面的問題：
（1）點的“橫負(fù)縱變點”為 ， ，
點的“橫負(fù)縱變點”為 ；
（2）化簡：；
（3）已知為常數(shù)，點，且，點是點的“橫負(fù)縱變點”，則點的坐標(biāo)是 ．
【分析】（1）根據(jù)“橫負(fù)縱變點”的定義解答；
（2）根據(jù)材料一，模仿解答；
（3）先化簡得到點的坐標(biāo)，再根據(jù)點是點的“橫負(fù)縱變點”，求出點的坐標(biāo)．
【解答】解：（1），
點的“橫負(fù)縱變點”為，；
，
點的“橫負(fù)縱變點”為，；
故答案為：，；，．
（2）
；
（3），
，
，
．
，
，，
，
，．
故答案為：，．
【點評】本題考查了完全平方公式，二次根式的化簡，考核學(xué)生的計算能力，計算時注意負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)．
5．（2022秋?吉安縣期末）先閱讀下列的解答過程，然后作答：
形如的化簡，只要我們找到兩個數(shù)、使，，這樣，，那么便有例如：化簡
解：首先把化為，這里，；
由于，，即，，
由上述例題的方法化簡：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】先把各題中的無理式變成的形式，再根據(jù)范例分別求出各題中的、，即可求解．
【解答】解：（1）；
（2）；
（3）．
【點評】主要考查二次根式根號內(nèi)含有根號的式子化簡．根據(jù)二次根式的乘除法法則進行二次根式根號內(nèi)含有根號的式子化簡．二次根式根號內(nèi)含有根號的式子化簡主要利用了完全平方公式，所以一般二次根式根號內(nèi)含有根號的式子化簡是符合完全平方公式的特點的式子．
6．（2022秋?市中區(qū)期末）觀察下列各式：
請你根據(jù)上面三個等式提供的信息，猜想：
（1）
（2）請你按照上面每個等式反映的規(guī)律，寫出用為正整數(shù)）表示的等式： ；
（3）利用上述規(guī)律計算：（仿照上式寫出過程）
【分析】（1）根據(jù)提供的信息，即可解答；
（2）根據(jù)規(guī)律，寫出等式；
（3）根據(jù)（2）的規(guī)律，即可解答．
【解答】解：（1）；故答案為：；
（2）；故答案為：；
（3）．
【點評】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，解決本題的關(guān)鍵是關(guān)鍵信息，找到規(guī)律．
7．（2023春?蕪湖期末）觀察下列各式：
；；
，
請你根據(jù)以上三個等式提供的信息解答下列問題
①猜想： ；
②歸納：根據(jù)你的觀察，猜想，請寫出一個用為正整數(shù)）表示的等式： ；
③應(yīng)用：計算．
【分析】①直接利用利用已知條件才想得出答案；
②直接利用已知條件規(guī)律用為正整數(shù)）表示的等式即可；
③利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律將原式變形得出答案．
【解答】解：①猜想：；
故答案為：，；
②歸納：根據(jù)你的觀察，猜想，寫出一個用為正整數(shù)）表示的等式：
；
③應(yīng)用：
．
【點評】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確發(fā)現(xiàn)數(shù)字變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．
8．（2023春?太原期中）觀察下列各式并按規(guī)律填空：
；；
（1） ， ．
（2）按此規(guī)律第個式子可以表示為 ．
（3）并說明上面式子成立的理由．（請寫出推導(dǎo)過程）
【分析】（1）利用已知數(shù)據(jù)之間變化規(guī)律得出根號下與根號外數(shù)據(jù)的變化規(guī)律進而得出答案；
（2）利用已知數(shù)據(jù)之間變化規(guī)律得出根號下與根號外數(shù)據(jù)的變化規(guī)律進而得出答案；
（3）利用二次根式的性質(zhì)化簡求出即可．
【解答】解：（1）；；
，；
故答案為：，；
（2）由（1）得按此規(guī)律第個式子可以表示為：；
故答案為：；
（3）
．
【點評】此題主要考查了二次根式的化簡求值，正確得出數(shù)字之間變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．
9．（2022春?杭錦后旗期中）像，這樣的根式叫做復(fù)合二次根式．有一些復(fù)合二次根式可以借助構(gòu)造完全平方式進行化簡，如：．
再如：．
請用上述方法探索并解決下列問題：
（1）化簡：；
（2）化簡：；
（3）若，且，，為正整數(shù)，求的值．
【分析】（1）把變形為，然后利用二次根式的化簡即可；
（2）先把變形為，然后把被開方數(shù)變形為，然后利用二次根式的化簡即可；
（3）利用完全平方公式把展開，則，，再利用有理數(shù)的整除性確定、值，然后計算對應(yīng)的的值．
【解答】解：（1）；
（2）；
（3），
，，
，
又、、為正整數(shù)，
，，或者，，
當(dāng)，時，；
當(dāng)，時，，
即的值為46或14．
【點評】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡：熟練掌握二次根式的性質(zhì)和完全平方公式是解決問題的關(guān)鍵．
10．（2021秋?沿河縣期末）閱讀下面的解答過程，然后作答：
有這樣一類題目：將化簡，若你能找到兩個數(shù)和，使且，則可變?yōu)?，即變成，從而使得?br>化簡：．
．
．
請你仿照上例將下列各式化簡：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用完全平方公式把化為，然后利用二次根式的性質(zhì)化簡即可．
（2）利用完全平方公式把化為然后利用二次根式的性質(zhì)化簡即可．
【解答】解：（1），
；
（2）．
【點評】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，解題的關(guān)鍵是熟記掌握完全平方公式．
11．（2023秋?渠縣校級期中）觀察下列各式及驗證過程：，
驗證；，
驗證，
驗證
（1）按照上述三個等式及其驗證過程中的基本思想，猜想的變形結(jié)果并進行驗證．
（2）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用為任意的自然數(shù)，且表示的等式，并給出證明．
【分析】（1）通過觀察，不難發(fā)現(xiàn)：等式的變形過程利用了二次根式的性質(zhì)，把根號內(nèi)的移到根號外；
（2）根據(jù)上述變形過程的規(guī)律，即可推廣到一般．表示左邊的式子時，觀察根號外的和根號內(nèi)的分子、分母之間的關(guān)系可得：．
【解答】解：（1）
驗證：；
（2）．
驗證：．
【點評】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)．此題是一個找規(guī)律的題目，觀察時，既要注意觀察等式的左右兩邊的聯(lián)系，還要注意右邊必須是一種特殊形式．
12．（2023春?前郭縣期中）觀察下面的運算，完成下列各題的解答．
①判斷下列各式是否成立：




②根據(jù)①判斷的結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？請用含有自然數(shù)的式子將你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律表示出來，并注明的取值范圍．
③請說明你所發(fā)現(xiàn)式子的正確性．
【分析】（1）計算等式左右兩邊是否相等，然后做出判斷．
（2）由，，，故根據(jù)上述規(guī)律可知，
（3）把兩式平方，證明左邊和右邊相等．
【解答】解：①；；；
故答案為；；；．
②由，，，故根據(jù)上述規(guī)律可知，
③等式成立，
理由：，
故結(jié)論成立．
【點評】本題主要考查二次根式的化簡的知識點，找出等式規(guī)律很重要．
二．分母有理化（共7小題）
13．（2021秋?射洪市校級月考）小芳在解決問題：已知，求的值．他是這樣分析與解的：
，，
，，，
請你根據(jù)小芳的分析過程，解決如下問題：
（1）化簡．
（2）若．
①求的值；
②求的值．
【分析】（1）原式各項分母有理化，計算即可求出值；
（2）各式變形后，將的值代入計算即可求出值．
【解答】解：（1）原式；
（2）①，
原式；
②，
原式．
【點評】此題考查了分母有理化，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵．
14．（2021春?淮北期末）已知，，求：
（1）的值；
（2）的值．
【分析】（1）先求出與與的值，再代入計算即可；
（2）將變形為，得到原式，再把，代入計算即可求解．
【解答】解：（1），，
，
，
；
（2），，
．
【點評】考查了分母有理化，熟練掌握平方差公式是解答問題的關(guān)鍵．
15．（2021秋?高州市校級月考）閱讀下面問題：
；
；
．
試求：
（1）為正整數(shù)） ．
（2）利用上面所揭示的規(guī)律計算：
．
【分析】（1）分子分母同時乘，求解即可，
（2）先化簡，再找出規(guī)律求解即可．
【解答】解：（1）為正整數(shù)）．
故答案為：．
（2）
，
．
【點評】本題主要考查了分母有理化，解題的關(guān)鍵是找出式子的規(guī)律．
16．（2021春?饒平縣校級期末）先觀察下列的計算，再完成習(xí)題：
；
請你直接寫出下面的結(jié)果：
（1） ； ；
（2）根據(jù)你的猜想、歸納，運用規(guī)律計算：
．
【分析】（1）仿照已知等式將各式分母有理化即可；
（2）根據(jù)得出的規(guī)律將原式化簡即可得到結(jié)果．
【解答】解：（1）原式；
原式；
故答案為：；；
（2）原式
．
【點評】此題考查了分母有理化，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵．
17．（2023春?雙柏縣期中）閱讀下面問題：
；
；
．
（1）求的值；
（2）計算：．
【分析】（1）原式根據(jù)閱讀材料中的方法變形即可得到結(jié)果；
（2）原式各項變形后，抵消合并即可得到結(jié)果．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式．
【點評】此題考查了分母有理化，弄清分母有理化的方法是解本題的關(guān)鍵．
18．（2021春?裕華區(qū)校級期末）【知識鏈接】
（1）有理化因式：兩個含有根式的非零代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有根式，那么這兩個代數(shù)式相互叫做有理化因式．
例如：的有理化因式是；的有理化因式是．
（2）分母有理化：分母有理化又稱“有理化分母”，也就是把分母中的根號化去．指的是如果代數(shù)式中分母有根號，那么通常將分子、分母同乘分母的有理化因式，達到化去分母中根號的目的．如：
，．
【知識理解】
（1）填空：的有理化因式是 ；
（2）直接寫出下列各式分母有理化的結(jié)果：
① ；② ．
【啟發(fā)運用】
（3）計算：．
【分析】（1）由，即可找出的有理化因式；
（2）①分式中分子、分母同時，即可得出結(jié)論；②分式中分子、分母同時，即可得出結(jié)論；
（3）利用分母有理化將原式變形為，合并同類項即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1），
的有理化因式是．
故答案為：．
（2）①；
②．
故答案為：①；②．
（3）原式，
，
．
【點評】本題考查了分母有理化，解題的關(guān)鍵是：（1）由，找出的有理化因式；（2）根據(jù)平方差公式，將各式分母有理化；（3）利用分母有理化將原式變形為．
19．（2021秋?安仁縣校級期末）閱讀下列材料，然后回答問題：
在進行二次根式運算時，我們有時會碰上如、這樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：；
．以上這種化簡過程叫做分母有理化．
還可以用以下方法化簡：．
（1）請用其中一種方法化簡；
（2）化簡：．
【分析】（1）運用第二種方法求解，
（2）先把每一個加數(shù)進行分母有理化，再找出規(guī)律后面的第二項和前面的第一項抵消，得出答案，
【解答】解：（1）原式；
（2）原式
【點評】本題主要考查了分母有理化，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)有理化因式．
三．二次根式的混合運算（共7小題）
20．（2020春?興縣期末）閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如：，善于思考的小明進行了以下探索：
設(shè)（其中、、、均為整數(shù)），則有．
，．這樣小明就找到了一種把部分的式子化為平方式的方法．
請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：
（1）當(dāng)、、、均為正整數(shù)時，若，用含、的式子分別表示、，得 ， ；
（2）試著把化成一個完全平方式．
（3）若是216的立方根，是16的平方根，試計算：．
【分析】（1）根據(jù)完全平方公式展開，再得出即可；
（2）根據(jù)完全平方公式得出即可；
（3）先求出、的值，再代入求出即可．
【解答】解：（1），
，
，，
故答案為：；；
（2）；
（3）是216的立方根，是16的平方根，
，，
．
【點評】本題考查了平方根、立方根、完全平方公式、算術(shù)平方根等知識點，能靈活運用完全平方公式進行變形是解此題的關(guān)鍵．
21．（2023秋?惠來縣期中）一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如．設(shè)（其中、、、均為正整數(shù)），則有，，．這樣可以把部分．的式子化為平方式的方法．
請你仿照上述的方法探索并解決下列問題：
（1）當(dāng)、、、均為正整數(shù)時，若，用含、的式子分別表示、，得： ， ；
（2）找一組正整數(shù)、、、填空： ；
（3）化簡．
【分析】（1）將用完全平方公式展開，與原等式左邊比較，即可得答案；
（2）設(shè)，則，比較完全平方式右邊的值與，可將和用和表示出來，再給和取特殊值，即可得答案；
（3）利用題中描述的方法，將要化簡的雙重根號，先化為一重根號，再利用分母有理化化簡，再合并同類二次根式和同類項即可．
【解答】解：（1），，
，，
故答案為：，．
（2）設(shè)．
則．
，，
若令，，則，．
故答案為：21，4，1，2．
（3）
．
【點評】本題考查了利用分母有理化和利用完全平方公式對二次根式化簡，以及對這種方法的拓展應(yīng)用，本題具有一定的計算難度．
22．（2022春?大理市校級期中）閱讀下面的問題：
；
；
；
（1）求與的值；
（2）計算．
【分析】（1）根據(jù)分母有理化可以解答本題；
（2）根據(jù)分母有理化可以解答本題；
（3）根據(jù)（2）中的結(jié)果可以解答本題．
【解答】解：（1），
；
（2），
；
（3）
．
【點評】本題考查二次根式的化簡求值、分母有理化，解答本題的關(guān)鍵是明確二次根式化簡求值的方法．
23．（2022春?開州區(qū)期中）我們知道平方運算和開方運算是互逆運算，如：，那么，那么如何將雙重二次根式，，化簡呢？如能找到兩個數(shù)，，使得即，且使即，那么，雙重二次根式得以化簡；
例如化簡：；
且，
由此對于任意一個二次根式只要可以將其化成的形式，且能找到，使得，且，那么這個雙重二次根式一定可以化簡為一個二次根式．請同學(xué)們通過閱讀上述材料，完成下列問題：
（1）填空： ； ；
（2）化簡：① ②
（3）計算：．
【分析】（1）把被開方數(shù)利用完全平方公式變形為完全平方式，然后利用二次根式的性質(zhì)化簡；
（2）利用二次根式的性質(zhì)變形得到；，然后與（1）的方法一樣化簡即可；
（3）先變形得到，然后與（1）的方法一樣化簡即可．
【解答】解：（1）填空：；
；
（2）①；
②；
（3）
．
故答案為；．
【點評】本題考查了二次根式的混合運算：先把各二次根式化簡為最簡二次根式，然后進行二次根式的乘除運算，再合并即可．
24．（2022秋?晉安區(qū)期末）我們已經(jīng)學(xué)過完全平方公式，知道所有的非負(fù)數(shù)都可以看作是一個數(shù)的平方，如，，，，那么，我們可以利用這種思想方法和完全平方公式來計算下面的題：
例：求的算術(shù)平方根．
解：，．
你看明白了嗎？請根據(jù)上面的方法化簡：
（1）
（2）
（3）．
【分析】（1）將3分成，利用完全平方公式即可求出結(jié)論；
（2）結(jié)合（1）將原式變形為，將18分成，利用完全平方公式即可求出結(jié)論；
（3）將3分成、5分成、7分成、9分成、11分成，利用完全平方公式結(jié)合二次根式的加、減法，即可求出結(jié)論．
【解答】解：（1）；
（2）；
（3）原式，
，
，
，
．
【點評】本題考查了二次根式的混合運算以及完全平方公式，讀懂題意，將整數(shù)分成兩個合適的整數(shù)相加是解題的關(guān)鍵．
25．（2023?舟山二模）閱讀材料：
小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如．善于思考的小明進行了以下探索：
設(shè)（其中、、、均為整數(shù)），則有．
，．這樣小明就找到了一種把類似的式子化為平方式的方法．
請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：
（1）當(dāng)、、、均為正整數(shù)時，若，用含、的式子分別表示、，得： ， ；
（2）利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)、、、填空： ；
（3）若，且、、均為正整數(shù)，求的值．
【分析】（1）利用完全平方公式展開得到，從而可用、表示、；
（2）先取，，則計算對應(yīng)的、的值，然后填空即可；
（3）利用，和、、均為正整數(shù)可先確定、的值，然后計算對應(yīng)的的值．
【解答】解：（1），
，；
（2），，則，，
，
（3），，
、、均為正整數(shù)，
，或，，
當(dāng)，時，，
當(dāng)，時，，
的值為12或28．
故答案為，；7，4，2，1．
【點評】本題考查了二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后進行二次根式的乘除運算，再合并即可．在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．
26．（2023春?宜豐縣校級月考）已知，，且．試求正整數(shù)．
【分析】首先化簡與，可得：，，所以，；將所得結(jié)果看作整體代入方程，化簡即可求得．
【解答】解：化簡與得：，，
，，
將代入方程，化簡得：，
，
．
，
解得．
【點評】此題考查了二次根式的分母有理化．解題的關(guān)鍵是整體代入思想的應(yīng)用．
四．二次根式的化簡求值（共9小題）
27．（2023春?東莞市校級期中）已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先利用完全平方公式因式分解；
（2）利用平方差公式因式分解；
再進一步代入求得數(shù)值即可．
【解答】解：（1）
；
（2）．
．
【點評】此題考查二次根式的混合運算，注意先利用完全平方公式和平方差公式因式分解，再代入計算．
28．（2023春?麒麟?yún)^(qū)校級期中）閱讀下面的問題：
；
；
；
（1）求與的值．
（2）已知是正整數(shù)，求與的值；
（3）計算．
【分析】（1）根據(jù)分母有理化可以解答本題；
（2）根據(jù)分母有理化可以解答本題；
（3）根據(jù)（2）中的結(jié)果可以解答本題．
【解答】解：（1），
；
（2），
；
（3）
．
【點評】本題考查二次根式的化簡求值、分母有理化，解答本題的關(guān)鍵是明確二次根式化簡求值的方法．
29．（2021春?環(huán)翠區(qū)校級期中）已知：，，求的值．
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)把原式變形，代入計算即可．
【解答】解：，，
，，
，
當(dāng)，時，原式．
【點評】本題考查的是二次根式的化簡求值，掌握完全平方公式、二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
30．（2021春?黃岡期中）已知，，試求代數(shù)式的值．
【分析】根據(jù)已經(jīng)條件求出、，再利用整體代入的思想解決問題即可．
【解答】解：，，
，
，
．
解法二：由題意，，，
．
【點評】本題考查二次根式的化簡求值、完全平方公式、平方差公式等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用公式解決問題，學(xué)會用整體代入的思想解決問題，屬于中考常考題型．
31．（2023春?新會區(qū)校級期末）小明在解決問題：已知，求的值．他是這樣分析與解的：
，
，
，，
，
．
請你根據(jù)小明的分析過程，解決如下問題：
（1）化簡．
（2）若．求：
①求的值．
②直接寫出代數(shù)式的值 2 ； ．
【分析】（1）將原式分母有理化后，得到規(guī)律，利用規(guī)律求解；
（2）將分母有理化得，移項并平方得到，對①，②的式子進行變形后代入求值．
【解答】解：（1）原式
；
（2）①，
，
，
，
；
②
，
，
原式；
，
，
原式．
故答案為：0，2．
【點評】本題主要考查了分母有理化、完全平方公式以及代數(shù)式的變形，解題的關(guān)鍵是變形各式后利用來求解．
32．（2023春?東莞市校級期中）已知，，求下列各式的值．
（1）
（2）．
【分析】（1）所求式子利用平方差公式分解后，將與的值代入計算即可求出值；
（2）求出與的值，所求式子利用完全平方公式變形后，將各自的值代入計算即可求出值．
【解答】解：（1），，
；
（2），，
，，
則．
【點評】此題考查了二次根式的化簡求值，熟練掌握平方差公式及完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
33．（2022秋?城關(guān)區(qū)期末）先化簡，后求值：，其中．
【分析】求出的值，根據(jù)平方差公式得出，推出，把的值代入求出即可．
【解答】解：，
，
，
，
，
．
【點評】本題考查了平方差公式和二次根式的化簡求值的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)性質(zhì)進行化簡，題目比較好，但是一道比較容易出錯的題目．
34．（2020秋?惠濟區(qū)校級月考）閱讀下面的文字后，回答問題．
小明和小芳解答題目“先化簡下式，再求值：，其中”時，得到了不同的答案．
小明的解答是：原式；
小芳的解答是：原式；
（1） 小明 的解答是錯誤的．
（2）錯誤的解答錯在未能正確運用二次根式的性質(zhì)： ．
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，可得答案．
【解答】解：原式；
（1）小明的解答是錯誤的．
（2）錯誤的解答錯在未能正確運用二次根式的性質(zhì)：，
故答案為：小明，．
【點評】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，熟記二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
35．（2023秋?天府新區(qū)期中）已知，．求：
（1）的值；
（2）的值．
【分析】先將和進行化簡，然后代入各式中進行求解即可．
【解答】解：（1），
，
．
（2）
．
【點評】本題考查了二次根式的化簡求值，解答本題的關(guān)鍵在于將和進行化簡，然后代入各式中進行求解．
五．二次根式的應(yīng)用（共5小題）
36．（2023春?湯陰縣期中）已知線段，，，且線段，滿足．
（1）求，的值；
（2）若，，是某直角三角形的三條邊的長度，求的值．
【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)性質(zhì)可得、的值；
（2）根據(jù)勾股定理逆定理可解答．
【解答】解：（1）因為線段，滿足．
所以，；
（2）因為，，是某直角三角形的三條邊的長度，
所以或．
【點評】本題主要考查二次根式的應(yīng)用，根據(jù)非負(fù)數(shù)性質(zhì)和勾股定理逆定理得出相應(yīng)算式是關(guān)鍵，二次根式的化簡與運算是根本技能．
37．（2022春?東莞市校級期中）細(xì)心觀察圖形，認(rèn)真分析各式，然后解答問題．
，；，；
，；
（1）請用含有為正整數(shù)）的等式表示上述變化規(guī)律： ， ．
（2）若一個三角形的面積是，計算說明它是第幾個三角形？
（3）求出的值．
【分析】（1）由勾股定理及直角三角形的面積求解；
（2）利用（1）的規(guī)律代入求出即可；
（3）算出第一到第九個三角形的面積后求和即可．
【解答】解：（1）因為每一個三角形都是直角三角形，由勾股定理可求得：，，，所以．故：答案為 與
（2）當(dāng)時，有：，解之得：
即：說明它是第32個三角形．
（3）
即：的值為11.25．
【點評】本題考查了勾股定理以及二次根式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是看清楚相鄰兩個三角形的各個邊之間的關(guān)系．
38．（2022春?岳麓區(qū)校級期中）已知，均為正整數(shù)．我們把滿足的點稱為幸福點．
（1）下列四個點中為幸福點的是 ；
；；；
（2）若點是一個幸福點，求的值；
（3）已知點，是一個幸福點，則存在正整數(shù)，滿足，試問是否存在實數(shù)的值使得點和點，到軸的距離相等，且到軸的距離也相等？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）根據(jù)，均為正整數(shù)，對，分類討論，分別求出幸福點即可；
（2）將點坐標(biāo)分別代入求出的值即可；
（3）先表示出點，再根據(jù)點和點到軸的距離相等，到軸的距離也相等列出關(guān)系式求解即可．
【解答】解：（1），均為正整數(shù)，滿足的點稱為幸福點，
當(dāng)，時，，，故是幸福點，
當(dāng)，時，，，故是幸福點，
當(dāng)，時，，，故是幸福點，
．
，，，中只有是幸福點，
故答案為：；
（2）點是一個幸福點，
，，
，均為正整數(shù)，
，或或，，
當(dāng)，時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)，時，，
的值為15或20或25；
（3）點，是一個幸福點，則存在正整數(shù)，滿足，
消去得，，
，，，
，，，
點和點到軸的距離相等，
有4種情況，
①，
解得，（舍，；
②，
解得，，，
，符合題意；
③，
解得，（舍，；
④，
解得，（舍，；
當(dāng)，，時，點和點到軸的距離相等，且到軸的距離也相等．
【點評】本題主要考查二次根式的應(yīng)用，點的坐標(biāo)，讀懂題意列出方程，能熟練運用分類討論思想解決問題是解答此題的關(guān)鍵．
39．（2022秋?岳麓區(qū)校級期末）小明在解方程時采用了下面的方法：由
，
又有，可得，將這兩式相加可得，將兩邊平方可解得，經(jīng)檢驗是原方程的解．
請你學(xué)習(xí)小明的方法，解下面的方程：
（1）方程的解是 ；
（2）解方程．
【分析】（1）首先把根式有理化，然后分別求出根式和它的有理化因式的值是多少；再根據(jù)求出的根式和它的有理化因式的值，求出方程的解是多少即可；
（2）首先把根式有理化，然后分別求出根式和它的有理化因式的值是多少；再根據(jù)求出的根式和它的有理化因式的值，求出方程的解是多少即可．
【解答】解：（1）
，
，
，
，
經(jīng)檢驗都是原方程的解，
方程的解是：；
故答案為：．
（2）
，
，
，
，
，
，
解得，
經(jīng)檢驗是原方程的解，
方程的解是：．
【點評】此題主要考查了二次根式在解方程中的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是在解決實際問題的過程中能熟練應(yīng)用有關(guān)二次根式的概念、性質(zhì)和運算的方法．
40．（2021秋?湘潭縣期末）已知三角形三邊之長能求出三角形的面積嗎？
海倫公式告訴你計算的方法是：，其中表示三角形的面積，，，分別表示三邊之長，表示周長之半，即．
我國宋代數(shù)學(xué)家秦九韶提出的“三斜求積術(shù)”與這個公式基本一致，所有這個公式也叫“海倫秦九韶公式”．
請你利用公式解答下列問題．
（1）在中，已知，，，求的面積；
（2）計算（1）中的邊上的高．
【分析】（1）由三角形的邊角命名修改找出、、的值，代入海倫公式即可得出結(jié)論；
（2）由三角形的面積底高，代入數(shù)據(jù)，即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1），，，
，，，，
的面積．
（2）設(shè)邊上的高為，
則，
解得．
【點評】本題考查了二次根式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明白海倫公式的運用，代入數(shù)據(jù)即可．

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