?折疊模型 ?趙爽弦圖模型
?風(fēng)吹樹折模型 ?出水芙蓉模型
?等邊三角形中的378和578模型 ?螞蟻行程模型
?垂美四邊形模型
題型一：折疊模型
圖形折疊一定要注意折疊前后的邊角對(duì)應(yīng)關(guān)系，計(jì)算時(shí)聯(lián)想到利用勾股定理對(duì)新形成的直角三角形進(jìn)行求解.
翻折變換（折疊問題）
1、翻折變換（折疊問題）實(shí)質(zhì)上就是軸對(duì)稱變換．
2、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．
3、在解決實(shí)際問題時(shí)，對(duì)于折疊較為復(fù)雜的問題可以實(shí)際操作圖形的折疊，這樣便于找到圖形間的關(guān)系．
首先清楚折疊和軸對(duì)稱能夠提供給我們隱含的并且可利用的條件．解題時(shí)，我們常常設(shè)要求的線段長(zhǎng)為x，然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長(zhǎng)度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．我們運(yùn)用方程解決時(shí)，應(yīng)認(rèn)真審題，設(shè)出正確的未知數(shù)．
一．選擇題（共8小題）
1．（2023春?沙河口區(qū)期末）如圖，將矩形紙片折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕為，若，，則的值為
A．2.4B．3C．4D．5
2．（2023春?歷下區(qū)期中）如圖，將沿對(duì)角線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，交于點(diǎn)，若，，，則的面積是
A．3B．4C．5D．6
3．（2023春?西城區(qū)校級(jí)期中）如圖，在矩形中，是邊上的一點(diǎn)，將沿所在直線折疊，點(diǎn)落在邊上，落點(diǎn)記為，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接．若，，則四邊形的面積是
A．B．C．20D．10
4．（2023春?雁塔區(qū)校級(jí)期末）如圖，在矩形中，，，是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是上一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），連接，將沿翻折，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊上，連接，若，則△的面積為
A．1B．1.5C．2D．2.5
5．（2023春?思明區(qū)校級(jí)期中）如圖，將正方形分別沿，折疊，使邊，在處重合，折痕為，．若正方形的邊長(zhǎng)為6，是邊的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)是
A．3B．2.5C．2D．1
6．（2023春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）在矩形中，為中點(diǎn)，連結(jié)，將沿翻折至，連結(jié)，，延長(zhǎng)交于，若，，則的長(zhǎng)為
A．B．8C．D．7
7．（2023春?新城區(qū)校級(jí)期末）如圖，正方形中，，點(diǎn)在邊上，且．將沿折疊至，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)，連接、，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論是
A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④
8．（2023春?豐臺(tái)區(qū)期末）勾股定理又稱畢達(dá)哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一．如圖，在中，，以各邊為邊向外作正方形、正方形、正方形．連接、、，若，，則這個(gè)六邊形的面積為
A．28B．26C．32D．30
二．填空題（共5小題）
9．（2023春?大竹縣校級(jí)期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)在線段上，是線段上的一點(diǎn)，連接，將四邊形沿直線翻折，得到四邊形，當(dāng)點(diǎn)恰好落在線段上時(shí)，，則 ．
10．（2023春?南川區(qū)期中）如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊，，將折疊，使落在斜邊上，折痕為，則的長(zhǎng)為 ．
11．（2023春?渠縣校級(jí)期末）如圖，在矩形中，，，為上一點(diǎn)，連接，將沿折疊，點(diǎn)落在處，連接，若、分別為、的中點(diǎn)，則的最小值為 ．
12．（2023春?豐澤區(qū)校級(jí)期中）已知：如圖①，已知矩形的對(duì)角線的垂直平分線與邊、分別交于點(diǎn)、將矩形紙片沿著翻折，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，連結(jié)，
①如圖1，若，，則 ；
②如圖2，直線分別交平行四邊形的邊、于點(diǎn)、，將平行四邊形沿著翻折，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，連結(jié)，若，，，則四邊形的面積是 ．
13．（2023春?大連期中）正方形的邊長(zhǎng)是6，是的中點(diǎn)，連接，將沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是，連接，則的長(zhǎng)是 ．
三．解答題（共10小題）
14．（2023春?新市區(qū)期中）如圖，中，，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)．若沿將翻折，點(diǎn)剛好落在邊上點(diǎn)處，求的長(zhǎng)．
15．（2023秋?新吳區(qū)期中）已知王大爺有個(gè)矩形池塘，米，米．王大爺依據(jù)地勢(shì)修了塊草莓園（如圖陰影部分），并測(cè)得米，米．求王大爺?shù)牟葺畧@的占地面積有多大？
16．（2023春?米東區(qū)期末）如圖，將矩形沿對(duì)角線所在直線折疊，點(diǎn)落在同一平面內(nèi)，落點(diǎn)記為，與交于點(diǎn)，若，求的長(zhǎng)．
17．（2023春?東莞市校級(jí)月考）如圖，矩形紙片中，已知，折疊紙片使邊與對(duì)角線重合，點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕為，且．
（1）求的長(zhǎng)；
（2）求的長(zhǎng)．
18．（2023春?東莞市月考）如圖，在長(zhǎng)方形中，將長(zhǎng)方形沿折疊，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）若，，求的面積．
19．（2023春?乾安縣期末）如圖，在矩形中，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接．現(xiàn)將沿對(duì)折，使點(diǎn)剛好落在邊上的點(diǎn)處，求的值．
20．（2023春?姜堰區(qū)期末）如圖，矩形紙片，，，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，將矩形紙片沿折疊，折疊后與相交于點(diǎn)．
（1）為何值時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合；
（2）當(dāng)長(zhǎng)為何值時(shí)，的面積最大？并求出面積的最大值．
21．（2023春?建華區(qū)期末）綜合與實(shí)踐
折紙是同學(xué)們喜歡的手工活動(dòng)之一，通過折紙我們既可以得到許多美麗的圖形，同時(shí)折紙的過程還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)．
（1）折一折、猜想計(jì)算：
如圖①：把邊長(zhǎng)為8的正方形紙片對(duì)折，使邊與重合，展開后得到折痕．
如圖②：將正方形紙片沿經(jīng)過點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，展開后連接，，
圖②中，為 三角形，線段 ；
（2）折一折、類比探究：如圖③將正方形紙片折疊，使點(diǎn)落點(diǎn)處，折痕與邊交于點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)，展開后連接．
①猜想線段與線段之間的關(guān)系 ；
② ；
（3）折一折、探究證明：如圖④：將正方形紙片沿經(jīng)過點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)落在正方形紙片內(nèi)部的點(diǎn)處，折痕與邊交于點(diǎn)，展開后延長(zhǎng)交于點(diǎn)．
猜想與的數(shù)量關(guān)系并證明；若，則
．
22．（2023春?靈寶市期末）綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們以“折紙做，，的角”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．
（1）操作判斷
①如圖1，對(duì)折矩形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平．在上選一點(diǎn)，沿折疊，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，把紙片展平，連接，．請(qǐng)寫出圖1中一個(gè)的角 ；
②如圖2，在前面操作的基礎(chǔ)上，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，則的形狀是 ．
（2）遷移探究
小明將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：
將正方形紙片按照（1）中的方式操作，并延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，連接．如圖3，若改變點(diǎn)在上的位置（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3）拓展應(yīng)用
在（2）的探究中，已知正方形的邊長(zhǎng)為，當(dāng)點(diǎn)是邊的三等分點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．
23．（2023春?大連期中）數(shù)學(xué)課上，師生們以“利用正方形和矩形紙片折疊特殊角”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．
（1）操作判斷
小明利用正方形紙片進(jìn)行折疊，過程如下：
步驟①：如圖1，對(duì)折正方形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平；步驟②：連接，．可以判定的形狀是： ．（直接寫出結(jié)論）
小華利用矩形紙片進(jìn)行折疊，過程如下：
如圖2，先類似小明的步驟①，得到折痕后把紙片展平；在上選一點(diǎn)，沿折疊，使點(diǎn)恰好落在折痕上的一點(diǎn)處，連接．
小華得出的結(jié)論是：．請(qǐng)你幫助小華說明理由．
（2）遷移探究
小明受小華的啟發(fā)，繼續(xù)利用正方形紙片進(jìn)行探究，過程如下：
如圖3，第一步與步驟①一樣；然后連接，將沿折疊，使點(diǎn)落在正方形內(nèi)的一點(diǎn)處，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，可以得到： （直接寫出結(jié)論）；同時(shí)，若正方形的邊長(zhǎng)是4，可以求出的長(zhǎng)，請(qǐng)你完成求解過程．
（3）拓展應(yīng)用
如圖4，在矩形中，，．點(diǎn)為上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合，可以與點(diǎn)重合），將沿著折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為落在矩形的內(nèi)部，連結(jié)，，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，可求得的長(zhǎng)為 ．（直接寫出結(jié)論）
題型二：趙爽弦圖模型
“趙爽弦圖”的面積關(guān)系是中考常考的一種題型，一般出現(xiàn)在選擇題、填空題中，如果能夠記住面積之間的關(guān)系，那么做此類題時(shí)一定非常高效.
一．選擇題（共4小題）
1．（2023春?武漢期末）大約公元222年我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”，如圖，四個(gè)全等的直角三角形拼成大正方形，中空的部分是小正方形，連接，相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，若，則直角三角形的邊與之比是
A．B．C．D．
2．（2023春?竹溪縣期中）如圖是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，此圖是由四個(gè)全等的直角三角形拼接而成，其中，，則的長(zhǎng)是
A．7B．8C．D．
3．（2023秋?章丘區(qū)校級(jí)月考）我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，根據(jù)《周髀算經(jīng)》的記載，勾股定理的公式與證明是在商代由商高發(fā)現(xiàn)的，故又稱之為“商高定理”．三國(guó)時(shí)代的蔣銘祖對(duì)《蔣銘祖算經(jīng)》勾股定理作出了詳細(xì)注釋，并給出了另外一種證明．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是
A．B．
C．D．
4．（2023春?鄂倫春自治旗期末）如圖，正方形和正方形中，點(diǎn)在上，，，是的中點(diǎn)，那么的長(zhǎng)是
A．B．C．D．2
二．填空題（共2小題）
5．（2023春?道里區(qū)期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“趙爽弦圖”，極富創(chuàng)新意識(shí)地給出了勾股定理的證
明．如圖所示，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．若大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，則的長(zhǎng)度是 ．
6．（2023春?仙游縣校級(jí)期末）如圖是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的．若，，將四個(gè)直角三角形中邊長(zhǎng)為6的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到如圖所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)是 ．
三．解答題（共3小題）
7．（2023春?開江縣校級(jí)期末）如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個(gè)全等的直角三角形拼成，用它可以證明勾股定理，思路是：大正方形的面積有兩種求法，一種是等于，另一種是等于四個(gè)直角三角形與一個(gè)小正方形的面積之和，即，從而得到等式，化簡(jiǎn)便得結(jié)論．這里用兩種求法來表示同一個(gè)量從而得到等式或方程的方法，我們稱之為“雙求法”．現(xiàn)在，請(qǐng)你用“雙求法”解決下面兩個(gè)問題
（1）如圖2，在中，，是邊上的高，，，求的長(zhǎng)度．
（2）如圖3，在中，是邊上的高，，，，設(shè)，求的值．
8．（2023春?臨清市期末）已知直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為 和．
（1）求這個(gè)三角形的面積和斜邊長(zhǎng)；
（2）求斜邊上的高和中線的長(zhǎng)．
9．（2023春?雙流區(qū)期末）綜合與實(shí)踐：
問題情境：數(shù)學(xué)課上，小廣和小都兩位同學(xué)利用三角板操作探究圖形的旋轉(zhuǎn)問題．
操作探究1：小廣將兩塊全等的含角的直角三角板按如圖①方式在平面內(nèi)放置，其中兩銳角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)，．已知長(zhǎng)，則點(diǎn)、之間的距離為 ．
操作探究2：小都將兩塊全等的含角的直角三角板按如圖②方式在平面內(nèi)放置．
其中兩個(gè)角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)，與重合，已知長(zhǎng)，請(qǐng)你幫小都同學(xué)求出此對(duì)點(diǎn)、之間的距離；
操作探究3：隨后，小將圖②中的換成了含角的三角板，同相是頂點(diǎn)重合于點(diǎn)，與重合，已知直角邊與長(zhǎng)均為，他還想求點(diǎn)，之間距離，小廣提出，如果把三角板也換成了含角的三角板，并利用旋轉(zhuǎn)的知識(shí)，結(jié)論將更容易得到，你能求出此時(shí)點(diǎn)，之間的距離嗎？
題型三：風(fēng)吹樹折模型
風(fēng)吹樹折類題就數(shù)學(xué)知識(shí)本身其實(shí)很簡(jiǎn)單，考查的就是句股定理，最多設(shè)個(gè)未知數(shù)列方程就能求解，但是對(duì)很多同學(xué)來說，它的難點(diǎn)在于語言文字如何轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型.
一．選擇題（共3小題）
1．（2023春?羅定市期中）海洋熱浪對(duì)全球生態(tài)帶來了嚴(yán)重影響，全球變暖導(dǎo)致華南地區(qū)汛期更長(zhǎng)、降水強(qiáng)度更大，使得登錄廣東的臺(tái)風(fēng)減少，但是北上的臺(tái)風(fēng)增多．如圖，一棵大樹在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中距地面處折斷，倒下后樹頂端著地點(diǎn)距樹底端的距離為，這棵大樹在折斷前的高度為
A．B．C．D．
2．（2023春?固鎮(zhèn)縣期末）下面是小明和小亮比較與大小的過程，關(guān)于兩人的思路
A．小明對(duì)，小亮錯(cuò)B．小明錯(cuò)，小亮對(duì)
C．兩人都錯(cuò)D．兩人都對(duì)
3．（2023春?黃州區(qū)期末）如圖，一棵大樹在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中距地面處折斷，倒下后樹頂端著地點(diǎn)距樹底端的距離為，這棵大樹在折斷前的高度為
A．B．C．D．
二．填空題（共1小題）
4．（2023春?云陽縣期中）如圖，一根樹在離地面9米處斷裂，樹的頂部落在離底部12米處．樹折斷之前有 米．
三．解答題（共2小題）
5．（2023春?定南縣期末）如圖，一棵樹在離地面處斷裂，樹的頂端落在離樹桿底部處．求這棵樹折斷之前的高度．
6．（2023春?瀘縣校級(jí)期中）如圖，一棵豎直生長(zhǎng)的竹子高為8米，一陣強(qiáng)風(fēng)將竹子從處吹折，竹子的頂端剛好觸地，且與竹子底端的距離是4米．求竹子折斷處與根部的距離．
題型四：出水芙蓉模型
出水芙蓉類題和風(fēng)吹樹折類題一樣，數(shù)學(xué)知識(shí)本身其實(shí)很簡(jiǎn)單，考查的就是句股定理，正確設(shè)出未知數(shù)列方程就能求解，但是對(duì)很多同學(xué)來說，它的難點(diǎn)也是語言文字如何轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型。
一．填空題（共1小題）
1．（2023春?南山區(qū)校級(jí)月考）如圖，一架梯子長(zhǎng)10米，底端離墻的距離為6米，當(dāng)梯子下滑到時(shí)，米，則 米．
二．解答題（共4小題）
2．（2023春?青縣期末）如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度，將它往前推送（水平距離時(shí)，秋千的踏板離地的垂直高度，秋千的繩索始終拉得很直，求繩索的長(zhǎng)度．
3．（2023春?西崗區(qū)期末）我國(guó)古代著作《九章算術(shù)》中記載了這樣一個(gè)問題：“今有戶不知高、廣，竿不知長(zhǎng)短．橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出．問戶高、廣、邪各幾何？”其大意是：“今有門，不知其高、寬，有竿，不知其長(zhǎng)短．橫放，竿比門寬長(zhǎng)出4尺；豎放，竿比門高長(zhǎng)出2尺；斜放，竿與門對(duì)角線恰好相等．問門高、寬和對(duì)角線的長(zhǎng)各是多少？”
問題：小明根據(jù)題意畫出矩形，連接，請(qǐng)你結(jié)合小明所畫的圖求門高，門寬各是多少尺？
4．（2023春?息縣月考）“引葭赴岸”是《九章算術(shù)》中的一道題：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問水深，葭長(zhǎng)各幾何？”題意是：有一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形池塘，一棵蘆葦生長(zhǎng)在它的中央，高出水面為1尺．如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳壳『门龅桨哆叺模ㄈ鐖D）．問水深和蘆葦長(zhǎng)各多少？（畫出幾何圖形并解答）
5．（2023春?北京期中）在12世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅的著作中，有一首詩(shī)，也稱“荷花問題”：
平平湖水清可鑒，面上半尺生荷花；
出泥不染亭亭立，忽被強(qiáng)風(fēng)吹一邊，
漁人觀看忙向前，花離原位二尺遠(yuǎn)；
能算諸君請(qǐng)解題，湖水如何知深淺”
這首詩(shī)的大意是：在平靜的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一陣強(qiáng)風(fēng)吹來把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．此時(shí)，捕魚的人發(fā)現(xiàn)，花在水平方向上離開原來的位置2尺遠(yuǎn)，求湖水的深度．
題型五：等邊三角形中的378和578模型
當(dāng)我們遇到兩個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為3,7,8和5,7,8的時(shí)候,通常不會(huì)對(duì)它們進(jìn)行處理,實(shí)際是因?yàn)槲覀儗?duì)于這兩組數(shù)字不敏感,但如果將這兩個(gè)三角形拼在一起,你將驚喜地發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)邊長(zhǎng)為8的等邊三角形.
【模型】如圖所示，當(dāng)兩個(gè)三角形的邊長(zhǎng)分別為3，7，8和5，7，8時(shí)，求這兩個(gè)三角形的面積.
一．選擇題（共1小題）
1．（2022春?叢臺(tái)區(qū)月考）已知直角三角形的兩直角邊分別為6和8，則該直角三角形斜邊上的高為
A．B．10C．5D．
二．填空題（共1小題）
2．（2018春?道里區(qū)校級(jí)月考）已知：在中，，，，則為 ．
三．解答題（共2小題）
3．（2021春?北鎮(zhèn)市期中）如圖，為等邊三角形，，是的中點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且，過點(diǎn)作，垂足為．
（1）求的長(zhǎng)；
（2）求證：．
4．（2020春?沙依巴克區(qū)校級(jí)期末）如圖，的邊，，．求邊上的高．
題型六：螞蟻行程模型
螞蟻爬行的最值問題是非常經(jīng)典的一類最值問題，我們?nèi)绻軌蛴涀∽钪档奶攸c(diǎn)，那么解題將會(huì)更高效.
一．選擇題（共4小題）
1．（2023春?潮陽區(qū)校級(jí)月考）正方體盒子的棱長(zhǎng)為2，的中點(diǎn)為，一只螞蟻從點(diǎn)爬行到點(diǎn)的最短距離為
A．B．C．5D．
2．（2023秋?城關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15，寬為10，高為20，點(diǎn)離點(diǎn)的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)爬到點(diǎn)，需要爬行的最短距離是
A．B．25C．D．35
3．（2023春?張灣區(qū)期中）長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15，寬為10，高為20，點(diǎn)在棱上與點(diǎn)的距離為5，如圖，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)爬到點(diǎn)，則需要爬行的最短距離是
A．B．C．25D．
4．（2023春?渝北區(qū)校級(jí)月考）如圖是一塊長(zhǎng)，寬，高分別是，和的長(zhǎng)方體木塊，一只螞蟻要從長(zhǎng)方體木塊的一個(gè)頂點(diǎn)處，沿著長(zhǎng)方體的表面到長(zhǎng)方體上和相對(duì)的頂點(diǎn)處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長(zhǎng)是
A．B．C．D．
二．填空題（共4小題）
5．（2023春?明水縣期中）一只螞蟻從長(zhǎng)為、寬為，高是的長(zhǎng)方體紙箱的點(diǎn)沿紙箱爬到點(diǎn)，那么它所行的最短路線的長(zhǎng)是 ．
6．（2023春?鶴山市校級(jí)期中）一只螞蟻從長(zhǎng)、寬都是3，高是8的長(zhǎng)方體紙箱的點(diǎn)沿紙箱爬到點(diǎn)，那么它所行的最短路線的長(zhǎng)是 ．
7．（2023春?涼山州期末）有一個(gè)圓柱，它的高等于12厘米，底面半徑等于3厘米，在圓柱下底面的點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃到上底面上與點(diǎn)相對(duì)的點(diǎn)處的食物，沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是 厘米?。?br>8．（2023春?乾安縣期末）如圖，有一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別是、、，點(diǎn)和點(diǎn)是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的頂點(diǎn)，有一只壁虎從點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬向點(diǎn)去吃可口的食物；請(qǐng)你想一想，這只壁虎至少需要爬 ．
題型七：垂美四邊形模型
勾股定理是計(jì)算的工具，識(shí)別環(huán)境對(duì)同學(xué)們來說至關(guān)重要如果能夠了解模型背后的結(jié)論，做題可以節(jié)省大量的時(shí)間。等腰直角三角形的手拉手全等模型容易出現(xiàn)垂美四邊形。
一．選擇題（共2小題）
1．（2023春?天門期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，，點(diǎn)在軸上，滿足，則點(diǎn)的坐標(biāo)為
A．B．C．D．或
2．（2023春?槐蔭區(qū)期末）如圖，菱形中對(duì)角線與相交于點(diǎn)，且，，若點(diǎn)是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使得，連接、，則在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，線段的最小值為
A．4B．6C．D．12
二．解答題（共9小題）
3．（2023春?海滄區(qū)校級(jí)期末）綜合與實(shí)踐：構(gòu)圖法求三角形的面積．
4．（2023春?白云區(qū)期中）如圖1，對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．
（1）概念理解：給出下列圖形：①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形．其中一定是“垂美四邊形”的是 （填序號(hào)）；
（2）性質(zhì)探究：如圖1，四邊形的對(duì)角線、交于點(diǎn)，．求證：；
（3）解決問題：如圖2，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接，，．已知，．
①請(qǐng)問四邊形是垂美四邊形嗎？并說明理由；
②求的長(zhǎng)．
5．（2023春?懷寧縣期末）小明學(xué)習(xí)了平行四邊形這一章后，對(duì)特殊四邊形的探究產(chǎn)生了興趣，發(fā)現(xiàn)另外一類特殊四邊形，如圖1，我們把兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．
（1）概念理解：在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四邊形的是
（2）性質(zhì)探究：通過探究，直接寫出垂直四邊形的面積與兩對(duì)角線，之間的數(shù)量關(guān)系： ．
（3）問題解決：如圖2，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接，，，已知，．
①求證：四邊形為垂美四邊形；
②求出四邊形的面積．
6．（2023春?德城區(qū)校級(jí)月考）如圖，我把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”．
（1）性質(zhì)探究：如圖1，已知四邊形中，，垂足為，求證：．
（2）解決問題：已知，，分別以的邊和向外作等腰和等腰．如圖2，當(dāng)，連接，求．
7．（2023春?渝北區(qū)校級(jí)期中）【知識(shí)感知】（1）如圖1，四邊形的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)，我們把這種對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．在我們學(xué)過的：①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形中，屬于垂美四邊形的是 ；（只填序號(hào)）
【性質(zhì)探究】（2）如圖1，試探究垂美四邊形的四條邊，，，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并給出證明；
【性質(zhì)應(yīng)用】（3）如圖2，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接，，，已知，，求的長(zhǎng)．
8．（2023春?孝南區(qū)期中）新定義：對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”．
（1）如圖1，已知四邊形是垂美四邊形．
①若，則它的面積為 ；
②若，，，，探究、、、的數(shù)量關(guān)系．
（2）如圖2，已知、分別是中邊、的中點(diǎn)，，，，請(qǐng)運(yùn)用②中的結(jié)論，直接寫出的長(zhǎng)為 ．
9．（2023春?漣水縣月考）定義：我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形；性質(zhì)：垂美四邊形的對(duì)角線互相垂直．
（1）如圖1，在四邊形中，連接、，對(duì)角線相交于，垂直于，問四邊形是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說明理由；
（2）如圖2，已知四邊形是垂美四邊形，求證：；
（3）如圖3，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接，，，已知，，求的長(zhǎng)．
10．（2023春?青川縣期末）概念理解：對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形
（1）性質(zhì)探究：如圖1，四邊形是垂美四邊形，直接寫出、、、的數(shù)量關(guān)系： ．
（2）解決問題：如圖2，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接、、．若，，求的長(zhǎng)（可直接利用（1）中性質(zhì)）
11．（2023秋?章丘區(qū)校級(jí)月考）如圖1，我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．
（1）概念理解：如圖2，在四邊形中，，，問四邊形是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說明理由．
（2）性質(zhì)探究：試探索垂美四邊形兩組對(duì)邊，與，之間的數(shù)量關(guān)系．
猜想結(jié)論：（要求用文字語言敘述）
寫出證明過程（先畫出圖形，寫出已知、求證）．
（3）問題解決：如圖3，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接，，，已知，，求長(zhǎng)．
問題提出
在中，，，三邊的長(zhǎng)分別為，，，求的面積．
素材1
某數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)，如果運(yùn)用三角形面積公式為底邊，為對(duì)應(yīng)的高）求解，那么高的計(jì)算較為復(fù)雜．進(jìn)一步觀察發(fā)現(xiàn)，，，若把放到圖1的正方形網(wǎng)格中（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為，且的三個(gè)頂點(diǎn)恰好都在小正方形的頂點(diǎn)處，這樣無需求三角形的高，直接借助網(wǎng)格就能計(jì)算出的面積．這種借助網(wǎng)格計(jì)算面積的方法稱為“構(gòu)圖法”．
素材2
某園藝公司對(duì)一塊三角形花圃進(jìn)行改造，如圖3所示，分別以原花圃的，為邊向外擴(kuò)建正方形花圃，正方形花圃，并增加三角形花圃，將原花圃改造為六邊形．
任務(wù)1
（1）請(qǐng)直接寫出圖1中的三角形面積
任務(wù)2
（2）已知三邊，，的長(zhǎng)分別為，，，請(qǐng)利用圖2的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為畫出相應(yīng)的，并求出它的面積．
任務(wù)3
（3）若三角形花圃的邊，，，求改造后的六邊形花圃的面積．

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