1．（22-23高一下·山東濱州·期中）若是純虛數(shù)，則（ ）
A．B．1C．D．9
2．（22-23高一下·安徽合肥·期中）在中，角的對(duì)邊分別是，，則（ ）
A．B．C．D．
3．（22-23高一下·陜西西安·月考）已知向量不共線，且，，若與反向共線，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．1B．－C．1或－D．－1或－
4．（22-23高一下·湖北·期中）已知，則的值為（ ）
A．B．C．D．
5．（22-23高一下·安徽·期中）一貨輪航行到處，測(cè)得燈塔在貨輪的北偏東，與燈塔相距海里，隨后貨輪按北偏西的方向，以每小時(shí)海里的速度航行30分鐘后到達(dá)處．又測(cè)得燈塔在貨輪的東北方向，則（ ）
A．20B．40C．D．
6．（22-23高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）已知向量的夾角為，且，則在上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高一下·山東·階段練習(xí)）在中，角所對(duì)的邊分別為，且，設(shè)的面積為，若，則此三角形的形狀為（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等邊三角形D．等腰直角三角形
8．（22-23高一下·湖北武漢·期中）已知平行四邊形ABCD中，，點(diǎn)P在線段CD上（不包含端點(diǎn)），則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．（23-24高一下·廣東潮州·階段練習(xí)）已知是虛數(shù)單位，則下列說法正確的有（ ）
A．是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則
B．“”是“復(fù)數(shù)是純虛數(shù)”的必要不充分條件
C．若復(fù)數(shù)，且，則
D．若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為
10．（22-23高一下·江蘇連云港·期中）計(jì)算下列各式，結(jié)果為的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（23-24高一下·福建莆田·期中）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心?內(nèi)心?外心?垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知是內(nèi)一點(diǎn)，的面積分別為，且．以下命題正確的有（ ）
A．若，則為的重心
B．若為的內(nèi)心，則
C．若為的外心，則
D．若為的垂心，，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．（23-24高二上·廣東惠州·期中）已知、為單位向量且夾角為，設(shè)，，則在上的投影向量為 .
13．（22-23高一下·遼寧鐵嶺·期中） .
14．（22-23高一下·遼寧錦州·階段練習(xí)）在銳角中，角所對(duì)的邊為，若，且，則的取值范圍是 .
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）（22-23高一下·湖南株洲·期中）已知角
（1）求的值；
（2）若求的值．
16．（15分）（22-23高一下·江蘇南京·期中）已知復(fù)數(shù)，是實(shí)數(shù)，其中是虛數(shù)單位，．
（1）求的值；
（2）若復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的根，求實(shí)數(shù)和的值．
17．（15分）（22-23高一下·河北石家莊·期中）已知在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c且滿足．
（1）求角；
（2）若D點(diǎn)在線段BC上，且AD平分，若，且，求的面積．
18．（17分）（22-23高一下·四川眉山·期中）如圖，在邊長為4的正三角形中，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，令，.
（1）試用表示向量；
（2）求的值.
（3）延長線段交于，設(shè)，求實(shí)數(shù)的值.
19．（17分）（22-23高一下·北京豐臺(tái)·期末）設(shè)非零向量，，并定義
（1）若，求；
（2）寫出之間的等量關(guān)系，并證明；
（3）若，求證：集合是有限集.

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