1．若復數(shù)，則（ ）
A．B．2C．1D．3
【答案】C
【分析】計算得到，再計算模長得到答案.
【解析】，.
故選：C
2．運動員甲10次射擊成績（單位：環(huán)）如下：7，8，9，7，4，8，9，9，7，2，則下列關于這組數(shù)據(jù)說法不正確的是（ ）.
A．眾數(shù)為7和9B．平均數(shù)為7
C．中位數(shù)為7D．方差為
【答案】C
【分析】根據(jù)眾數(shù)的含義可判斷A;計算出平均數(shù)判斷B,算出中位數(shù)判斷C;計算出方差判斷D.
【解析】由題意，這組數(shù)據(jù)中7和9都出現(xiàn)3次，其余數(shù)出現(xiàn)次數(shù)沒超過3次，
故眾數(shù)為7和9，A正確；
計算平均數(shù)為 ，故B正確；
將10次射擊成績從小到大排列為：2，4，7， 7， 7，8，8，9，9，9，
則中位數(shù)為 ，故C錯誤；
方差為，
故D正確，
故選：C
3．已知向量，是單位向量，若，則與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出的模，將兩邊平方，求出向量，的數(shù)量積，再根據(jù)向量的夾角公式求得答案.
【解析】∵，是單位向量，若，
∴，，,
∴.
∴，∴，∴,
由
∴與的夾角為,
故選:B.
4．如圖，用斜二測畫法所畫的一個平面圖形的直觀圖是一個邊長為a的正方形，則原平面圖形的周長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由直觀圖還原可得原圖形，結合斜二測畫法求邊長，再求其周長即可.
【解析】由直觀圖還原得到原圖形如下，
由斜二測畫法可得，，，
所以，，
所以四邊形的周長為，即原平面圖形的周長為.
故選：B.
5．甲、乙兩人獨立地解決某個數(shù)學難題，甲解決出該難題的概率為0.4，乙解決出該難題的概率為0.5，則該難題被解決出的概率為（ ）.
A．0.9B．0.8C．0.7D．0.2
【答案】C
【分析】求出甲乙兩人分別解決不了難題的概率，即可求得該難題不能被解決即甲乙兩人同時都解決不了該難題的概率，根據(jù)對立事件的概率計算，可得答案.
【解析】由題意可知甲不能解決該難題的概率為1-0.4=0.6,
乙不能解決出該難題的概率為1-0.5=0.5，
故該難題被解決出的概率為，
故選：C
6．已知m，n是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，則下列結論正確的是（ ）.
A．若，，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，，則
【答案】D
【分析】根據(jù)平面的基本性質判斷A、B、C，由線面垂直、面面平行的性質判斷D即可.
【解析】A：，，則或，錯誤；
B：，，則或，錯誤；
C：，，則相交或平行，錯誤；
D：，，則，又，故，正確.
故選：D
7．已知，，，則a，b，c的大小順序為（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用和差角正弦公式及商數(shù)關系可得、、，根據(jù)正弦函數(shù)的性質判斷大小.
【解析】，
，
，
所以.
故選：B
8．在平面中，已知單位向量、的夾角為，向量，且，，設向量與的夾角為，則的最大值為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用平面向量數(shù)量積的運算可得出，求出的取值范圍，再利用平面向量數(shù)量的運算可得出的表達式，結合二次函數(shù)的基本性質可求得的最大值.
【解析】因為單位向量、的夾角為，由平面向量數(shù)量積的定義可得，
，
，
所以，，
當取最大值時，必有，則
，
因為，，則，所以，或，
當時，，此時；
當時，則，
所以，，
此時，
綜上所述，的最大值為.
故選：C.
【點睛】方法點睛：求平面向量夾角的方法：
（1）定義法：利用向量數(shù)量積的定義得，其中兩向量的取值范圍是；
（2）坐標法：若非零向量、，則.
二、多選題
9．已知向量，，，則下列說法正確的是（ ）
A．的相反向量是B．若，則
C．在上的投影向量為D．若，則
【答案】AC
【分析】對于A：由相反向量的定義，直接判斷；對于B：利用向量平行的條件列方程求出k，即可判斷；對于C：利用投影向量的定義，直接求解；對于D：利用向量垂直的條件列方程求出k，即可判斷.
【解析】對于A：由相反向量的定義，即可得到的相反向量是；
對于B：因為，，所以.
又，且，所以，解得：.
故B錯誤；
對于C：因為，，所以，所以在上的投影為，
所以在上的投影向量為.
故C正確；
對于D：因為，，所以.
又，且，所以，解得：.
故D錯誤.
故選：AC
10．某市商品房調查機構隨機抽取n名市民，針對其居住的戶型結構和滿意度進行了調查，如圖1調查的所有市民中四居室共300戶，所占比例為，二居室住戶占．如圖2是用分層抽樣的方法從所有調查的市民的滿意度問卷中，抽取10%的調查結果繪制成的統(tǒng)計圖，則下列說法錯誤的是（ ）
A．樣本容量為90B．樣本中三居室住戶共抽取了35戶
C．據(jù)樣本可估計對四居室滿意的住戶有110戶D．樣本中對二居室滿意的有3戶
【答案】BC
【分析】推導出二居室有150戶，三居室有450戶，由此利用圖1和圖2能求出結果．
【解析】解：如圖1調查的所有市民中四居室共300戶，所占比例為，二居室住戶占，
，二居室有戶，三居室有450戶，
由圖1和圖2得：
在A中，樣本容量為：，故A正確；
在B中，樣本中三居室住戶共抽取了戶，故B錯誤；
在C中，根據(jù)樣本可估計對四居室滿意的住戶有戶，故C錯誤；
在D中，樣本中對二居室滿意的有戶，故D正確．
故選：BC．
11．在△ABC中，角所對的邊分別是，下列說法正確的是（ ）
A．若acsA=bcsB，則是等腰三角形
B．若，則滿足條件的三角形有且只有一個
C．若不是直角三角形，則
D．若，則為鈍角三角形
【答案】BC
【分析】對于A利用正弦邊角關系及三角形內角性質可得或判斷；對于B應用余弦定理求即可判斷；對于C由三角形內角性質及和角正切公式判斷．對于D由向量數(shù)量積定義判斷；
【解析】對于A：由正弦定理得，則，
則中或，故A錯誤；
對于B：由，則，
可得，故，滿足條件的三角形有一個，故B正確；
對于C：由不是直角三角形且，
則，
所以，故C正確；
對于D，即，
為銳角，故不一定為鈍角三角形，故D錯誤；
故選：BC
12．在棱長為2的正方體中，M為棱的中點，下列說法正確的是（ ）
A．直線與直線所成的角為
B．直線與直線所成的角為
C．若平面過點M，且，則平面截正方體所得的截面圖形的周長為
D．動點P在側面及其邊界上運動，且，則與平面所成角的正切值的取值范圍是
【答案】BCD
【分析】根據(jù)異面直線所成角判斷A、B，通過證明線面垂直，即可判斷C、D；
【解析】解：對于A：連接，顯然，所以即為直線與直線所成的角，
根據(jù)正方體的性質可得為等邊三角形，所以，故A錯誤；
因為，，，平面，
所以平面，平面，所以，
所以直線與直線所成的角為，故B正確；
同理可證，，平面，所以平面，
取的中點、的中點，連接、、，
所以且，且，且，
顯然平面平面，
所以平面，所以平面即為平面，所以，
即平面截正方體所得的截面圖形的周長為，故C正確；
對于D：因為平面，所以線段即為點的軌跡，
所以當點與（）重合時最大，當為的中點時最小，
所以，
又平面，所以為與平面所成角，
所以，
所以與平面所成角的正切值的取值范圍是，故D正確；
故選：BCD
三、填空題
13．已知隨機事件A，B，事件A和事件B是互斥事件，且，，則__________．
【答案】/
【分析】利用互斥事件概率公式即可求得的值.
【解析】事件A和事件B是互斥事件，且，，
則
故答案為：
14．某數(shù)學課外興趣小組對一圓錐筒進行研究，發(fā)現(xiàn)將該圓錐放倒在一平面上，使圓錐在此平面內繞圓錐頂點滾動，當這個圓錐在平面內首次轉回到原位置時，圓錐本身恰好滾動了3周.如圖，若該興趣小組已測得圓錐的底面半徑為5，則該圓錐的體積為___________.
【答案】/
【分析】利用周長的比值可求得圓錐的母線長，進而得到圓錐的高，利用圓錐的體積公式即可求解.
【解析】解：設圓錐的母線長為，則圓錐繞頂點滾動所形成的圓的半徑為，周長為，
又圓錐底面半徑為5，則底面周長為，
故，解得，
所以圓錐的高為，
所以圓錐的體積為.
故答案為：
15．在中，，，，點在邊上，且，則的值為___________.
【答案】
【分析】首先由余弦定理求出，再求出，由正弦定理求出，再由余弦定理求出，最后在中由正弦定理求出，最后由同角三角函數(shù)的基本關系計算可得；
【解析】解：因為，，，
由余弦定理，即，所以，
因為，所以，
所以
由正弦定理，所以，
再由余弦定理，
即，解得或，
又，，所以，則，
在中由正弦定理，即，
所以，又，所以，
所以；
故答案為：
16．已知點，，均位于單位圓（圓心為，半徑為1）上，且，則___________；的最大值為___________.
【答案】 /
【分析】根據(jù)弦長公式可求得，利用平面向量的線性運算及數(shù)量積的定義可求解的值；建立直角坐標系，設，，三點的坐標，利用平面向量數(shù)量積的坐標表示即可求解的最大值.
【解析】解：因為，圓的半徑為1，所以，
又，所以；
以圓心為原點，建立直角坐標系，設，
則，
則，因為，所以的最大值為.
故答案為：；.
四、解答題
17．已知，．
(1)求cs2α的值；
(2)若，且，求角β．
【答案】(1);
(2).
【分析】（1）根據(jù)條件由同角三角函數(shù)的基本關系求出，再由二倍角的余弦公式轉化為正切化簡求值；
（2）利用角的變換及兩角差的正弦公式求解即可.
【解析】（1）由可得，即，
.
（2）,,
，又，，
由（1）知，，，
，
又，.
18．已知在中，角，，的對邊分別是，，，在①；②；③中任選一個作為條件解答下面兩個問題．
(1)求角；
(2)已知，，求的值．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1) 若選①根據(jù)正弦定理及兩角差的余弦定理可得求解；若選②根據(jù)正弦定理及三角恒等變換可得求解；若選③由正弦定理及余弦定理求解即可.
（2）由三角形的面積公式及余弦定理即可得解.
【解析】（1）若選①：因為，
所以由正弦定理可得
因為，所以.
所以可得，即
所以
因為，所以.
若選②：因為,
所以由正弦定理可得
所以
因為 ,所以.
所以
因為，所以.
若選③：因為，
所以由正弦定理可得
所以由余弦定理可得
因為，所以.
（2）由（1）知，
因為，，
所以，解得，
由余弦定理，得
所以.
19．北京時間2022年6月5日，搭載神舟十四號載人飛船的長征二號F遙十四運載火箭，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火發(fā)射，約577秒后，神舟十四號載人飛船與火箭成功分離，進入預定軌道，順利將陳冬、劉洋、蔡旭哲3名航天員送入太空，順利進入天和核心艙．為激發(fā)廣大學生努力學習科學文化知識的熱情，某校團委舉行了一場名為”學習航天精神，致航空英雄”的航天航空科普知識競賽，滿分100分，共有100名同學參賽，經(jīng)過評判，這100名參賽者的得分都在[40，90]之間，其得分的頻率分布直方圖如圖所示．
(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求這100名同學得分的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；
(2)用分層抽樣的方法從得分在[60，70），[70，80），[80，90]這三組中選6名學生，再從這6名學生中隨機選取2名作為代表參加團委座談會，求這2名學生的得分不在同一組的概率．
【答案】(1)64.5
(2)
【分析】（1）首先根據(jù)頻率和為1，求，再根據(jù)平均數(shù)公式，即可求解；
（2）首先確定各組抽取的人數(shù)，再通過列舉的方法求古典概型的概率.
【解析】（1）根據(jù)題意知，解得，
所以這100名同學得分的平均數(shù)是
答：平均數(shù)是64.5．
（2）由條件知從抽取3名，從中抽取2名，從抽取1名，分別記為，
因此樣本空間可記為
用A表示“這2名同學的得分不在同一組”，則
A包含樣本點的個數(shù)為11，
所以
答：這2名同學的成績分別在各一名的概率是
20．如圖，AB是圓O的直徑，C是圓上異于A，B一點，直線PC⊥平面ABC，AB＝PC＝4，AC＝2．
(1)求點C到平面PAB的距離；
(2)求二面角B－PA－C的正切值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用垂直關系，以及等體積轉化求點到平面的距離；
（2）因為平面PAC，再根據(jù)垂直關系，構造二面角的平面角，即可求得二面角的正切值.
(1)
因為平面ABC，AC，平面PAC，
所以．
因為點C在以AB為直徑的圓上，所以．
因為，所以，
所以．
因為平面ABC，
所以三棱錐的體積．
在中，因為，
由余弦定理得
因為，所以，
所以的面積．
記點C到平面PAB的距離為h，
則，解得．
(2)
由（1）知，，
又因為PC，平面PAC，，所以平面PAC，
因為平面PAC，所以．
在平面PAC中，過C作，垂足為D，
連接BD，因為平面PAC，
所以平面BCD，
所以即為二面角的平面角．
因為，
所以，
．
在中，，
所以二面角的正切值為．
21．已知m>0，n>0，如圖，在中，點M，N滿足，，D是線段BC上一點，，點E為AD的中點，且M，N，E三點共線．
(1)若點O滿足，證明：．
(2)求的最小值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】(1)根據(jù)向量的線性運算法則，利用依次表示，再結合向量共線定理證明即可；
(2)由(1) ，結合結論可得，再利用基本不等式求的最小值．
【解析】（1）由題可知，
因為點E為AD的中點，所以．
由，則，即，
，
又
所以，又三點不共線，
所以．
（2）因為M，N，E三點共線，
所以可設，又，，
所以
又，
所以，
所以，
所以，
當且僅當，時，等號成立．所以的最小值是．
22．已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期；
(2)若不等式對任意恒成立，求整數(shù)m的最大值；
(3)若函數(shù)，將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），再向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，若關于x的方程在上有解，求實數(shù)k的取值范圍.
【答案】(1)
(2)4
(3)
【分析】（1）由二倍角公式及輔助角公式求得，從而可求周期；
（2）先求函數(shù)的最值，再根據(jù)恒成立建立不等式組即可求解；
（3）將問題轉化為二次方程有解問題解決.
【解析】（1）由題意得，
.可得函數(shù)的最小正周期為.
（2）因為，所以，
所以，所以當時，的最小值為1；當時，的最大值為2，所以.
由題意得，，所以對一切恒成立，
所以，解得，所以整數(shù)m的最大值為4.
（3）由題意知，，
將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得，
再向右平移個單位得，
因為關于x的方程在區(qū)間上有解，整理得：
，即（*）在區(qū)間上有解，
，
因為，所以
令，
（*）式可轉化為：在內有解，
所以，，又因為和在為增函數(shù)，
所以在為增函數(shù)，
所以當時，取得最小值；當時，取得最大值，所以，
綜上所述：k的取值范圍為.

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