2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試仿真模擬卷（蘇教版2019必修第二冊(cè)）（二）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若復(fù)數(shù)z滿足z（2﹣i）＝1+4i（i是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為（    ）A．       B．       C．          D．【答案】B【解析】由z（2﹣i）＝1+4i，得z＝＝＝，所以復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為．故選：B．2.在某次測(cè)量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下：42，43，46，52，42，50，若B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)每個(gè)都減5后所得數(shù)據(jù)，則A、B兩樣本的下列數(shù)字特征對(duì)應(yīng)相同的是（  ）A. 平均數(shù) B. 標(biāo)準(zhǔn)差 C. 眾數(shù) D. 中位數(shù)【答案】B【解析】A樣本數(shù)據(jù)為：42,43,46,52,42,50，其平均數(shù)為：，眾數(shù)為：42，中位數(shù)為：，由題可得，B樣本數(shù)據(jù)為：34,35,38,44，34,42，其平均數(shù)為：，眾數(shù),34，中位數(shù)：，所以A、B兩樣本的下列數(shù)字特征：平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)都不同.   故選:B.3.若從甲，乙，丙，丁4位同學(xué)中選出3名代表參加學(xué)校會(huì)議，則甲被選中的概率是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】從甲，乙，丙，丁4位同學(xué)中選出3名代表參加學(xué)校會(huì)議，共有甲不參加、乙不參加、丙不參加、丁不參加4種基本情況，甲被選中的基本情況有3種，所以甲被選中的概率.   故選：D. 4.若，則（    ）．A． B． C． D．【答案】A【解析】．故選:A．5.在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F分別滿足，．若，則實(shí)數(shù)＋的值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，設(shè)，則在平行四邊形ABCD中，因?yàn)?/span>，，所以點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段DC上，且，所以，又因?yàn)?/span>，且，所以，所以，解得，所以。故選：B.6.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)“圓柱容球”的幾何圖形，即圓柱容器里放了一個(gè)球，該球頂天立地，四周碰邊，在該圖形中球的體積與圓柱體積的比為2：3，則球的表面積與圓柱表面積的比為（    ）A. 1：2 B. 2：3 C. 3：4 D. 4：9【答案】B【解析】設(shè)球半徑為，則圓柱的底面半徑為，高為，．  故選：B．7.在中，點(diǎn)在邊上，且滿足，則的大小為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】設(shè)，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，，，，，化簡(jiǎn)得，又因?yàn)?/span>，所以有，解得，又因?yàn)?/span>，所以，  故選：C.8.已知中，，，若是其內(nèi)一點(diǎn)，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：
 則，因?yàn)?/span>，所以，可得 ，，所以 ，,設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)是其內(nèi)一點(diǎn)，所以，，當(dāng)，時(shí)最大為，當(dāng)時(shí)最小為，所以的取值范圍是，故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知i為虛數(shù)單位，以下四個(gè)說(shuō)法中正確的是（    ）A．B．復(fù)數(shù)的虛部為C．若，則復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限D．已知復(fù)數(shù)z滿足，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為直線【答案】AD【解析】A選項(xiàng)，，故A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，的虛部為，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，，對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為在第三象限，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，表示到和兩點(diǎn)的距離相等，故的軌跡是線段的垂直平分線，故D選項(xiàng)正確.10.下列說(shuō)法正確的是（    ）A. 在中，B. 中，若，則C. 在中，若，則；若，則D. 在中，【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由正弦定理，可得：，故A正確；對(duì)于B，由，可得，或，即，或，，或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在中，由正弦定理可得，因此是的充要條件，故C正確；對(duì)于D，由正弦定理，可得右邊左邊，故D正確．  故選：ACD．11.如圖，正方體棱長(zhǎng)為，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則下列結(jié)論正確的是（    ）A. 平面B. 始終在同一個(gè)平面內(nèi)C. 平面D. 三棱錐的體積為定值【答案】ACD【解析】由題可知，正方體棱長(zhǎng)為，則平面，而平面，，連接交于點(diǎn)，則，而，平面，平面，由于是線段上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則，平面，，又，所以平面，故選項(xiàng)A正確；，，同在平面上，而不在平面上，，不在同一個(gè)平面內(nèi)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，面，面，平面，故選項(xiàng)C正確；由于，，且，，由于平面，則平面，，由于底面積和高都不變，則體積為定值，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.12.已知中，，，，在上，為的角平分線，為中點(diǎn)下列結(jié)論正確的是（    ）A.                        B. 的面積為C.                      D. 在的外接圓上，則的最大值為【答案】ACD【解析】在中，由余弦定理得，因?yàn)?/span>，所以.所以，故B錯(cuò)誤；在中，，所以，故A正確；因?yàn)?/span>為的角平分線，由等面積法得，整理得，解得，故C正確；在的外接圓上，如圖則，所以在中，記，，由正弦定理得，，又，所以，其中，又因?yàn)?/span>，所以的最大值為，故D正確.    故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，從含有5個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為2的樣本，某個(gè)個(gè)體被抽到的概率為_(kāi)_________【答案】【解析】簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣每個(gè)個(gè)體被抽到的概率，含有5個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為2的樣本，某個(gè)個(gè)體被抽到的概率為，故答案為：14.已知平面向量，，若，則實(shí)數(shù)___________.【答案】3【解析由題意知，，∵，∴，∴，即，得.故答案為：3.15.已知正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，，，則該三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_____；該三棱錐的頂點(diǎn)到面的距離為_(kāi)_____.【答案】    (1).     (2). 【解析】設(shè)底面三角形的外心為，連接，則該三棱錐的外接球的球心在（或其延長(zhǎng)線）上，連接連接BG并延長(zhǎng)，交于，連接，由等邊三角形的邊長(zhǎng)，得則,所以設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，則,解得.所以三棱錐的外接球的表面積為又設(shè)點(diǎn)到面的距離為，則則得到故答案為：；16.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則的最小值為_(kāi)_______．【答案】【解析】因?yàn)?/span>所以，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，所以，所以的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的最小值為。故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.在平行四邊形中，，（1）若為上一點(diǎn)，且，用基底表示；（2）若，，且與平行，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）（2）因?yàn)?/span>，所以由于則,所以.18.如圖，在西部某邊防警戒線上有一筆直的公路上，武警邊防支隊(duì)在點(diǎn)、、處設(shè)置了治安卡口，、兩點(diǎn)到的距離分別為11千米和32米，某一天，收到來(lái)自防控目標(biāo)的一個(gè)特殊無(wú)線信號(hào)，7秒后、同時(shí)接收到該無(wú)線信號(hào)，已知該特殊無(wú)線信號(hào)在空氣中的傳播速度是1千米/秒．（假設(shè)該無(wú)線信號(hào)沿直線傳播）（1）求的長(zhǎng)度；（2）現(xiàn)要更改卡口的位置，使得卡口能在最短時(shí)間內(nèi)截獲到來(lái)自處的信號(hào)，求此時(shí)、兩點(diǎn)間的距離．【答案】（1）20千米；（2）12千米．【解析】（1）依題意，設(shè)（千米），（千米）．因?yàn)?/span>，所以   在中，由余弦定理得在中，由余弦定理得 所以又，解得，所以千米  答：的長(zhǎng)度為20千米  （2）作于， 為中點(diǎn),在中，由，得，∴千米． 答：目標(biāo)到卡口的距離最小為12千米．19.某醫(yī)院為促進(jìn)行風(fēng)建設(shè)，擬對(duì)醫(yī)院的服務(wù)質(zhì)量進(jìn)行量化考核，每個(gè)患者就醫(yī)后可以對(duì)醫(yī)院進(jìn)行打分，最高分為100分.上個(gè)月該醫(yī)院對(duì)100名患者進(jìn)行了回訪調(diào)查，將他們按所打分?jǐn)?shù)分成以下幾組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，得到頻率分布直方圖，如圖所示.（1）求所打分?jǐn)?shù)不低于60分的患者人數(shù)；（2）該醫(yī)院在第二?三組患者中按分層抽樣的方法抽取6名患者進(jìn)行深入調(diào)查，之后將從這6人中隨機(jī)抽取2人聘為醫(yī)院行風(fēng)監(jiān)督員，求行風(fēng)監(jiān)督員來(lái)自不同組的概率.【答案】（1）人；（2）.【解析】（1）由直方圖知，所打分值的頻率為， 人數(shù)為(人)答：所打分?jǐn)?shù)不低于60分的患者的人數(shù)為人. （2）由直方圖知，第二?三組的頻率分別為0.1和0.2，則第二?三組人數(shù)分別為10人和20人，所以根據(jù)分層抽樣的方法，抽出的6人中，第二組和第三組的人數(shù)之比為1：2，則第二組有2人，記為；第三組有4人，記為. 從中隨機(jī)抽取2人的所有情況如下：共15種 其中，兩人來(lái)自不同組的情況有：共8種  兩人來(lái)自不同組的概率為                                        答：行風(fēng)監(jiān)督員來(lái)自不同組的概率為.20.如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，，.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】連接，如圖所示，在直三棱柱中，側(cè)面，是平行四邊形，因?yàn)?/span>，分別是，中點(diǎn)，所以且，又且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以.又平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)?/span>，為中點(diǎn)，所以.因?yàn)槿庵?/span>為直三棱柱，所以面，又面，所以，因?yàn)?/span>，，，所以面，又因?yàn)?/span>面，所以，所以二面角的平面角為，因?yàn)?/span>，，所以，，因?yàn)?/span>面，面，，所以，所以，即二面角的余弦值為.21.你在①，②外接圓半徑為，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中.若問(wèn)題中的三角形存在，求的值；若問(wèn)題中的三角形不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.問(wèn)題：是否存在，它的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，，________？注：若選擇多個(gè)條件分別解答，則只按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】答案見(jiàn)解析【解析】方案一：選條件①：，由正弦定理和，得：，則，又由正弦定理和，得：，，由余弦定理得：因?yàn)?/span>，則，解得：，即，，又，，所以存在這樣的三角形，且；方案一：選條件②：外接圓半徑為，由正弦定理和，得：，又由正弦定理和，得：，由余弦定理得：，由，得：，由正弦定理，得：，所以存在這樣的三角形，且；方案三：選條件③：，由正弦定理和，得：，又由正弦定理和，得：，，由余弦定理得：，由和余弦定理，得：，又由正弦定理和，得：，又，解得：，在中，，，則與矛盾，故不存在這樣的三角形.22.如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn).（1）線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，請(qǐng)寫出值，并證明此時(shí)，平面；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）已知平面平面，求證：.【答案】（1）存在，，證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）在線段上存在點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，平面.證明如下：連接，交于點(diǎn)，連接，則點(diǎn)是的中點(diǎn)，又當(dāng)，即點(diǎn)是的中點(diǎn)，由中位線定理得，∵平面，平面，∴平面.（2）證明：過(guò)作并交于點(diǎn)，又∵平面平面，平面，平面平面，∴平面，又∵平面，∴.在直三棱柱中，平面，平面，∴，又∵平面，平面，，∴平面.又∵平面，∴  

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