?期末精選50題（壓軸版）

一、單選題
1．（2021·貴州黔東南·高一期末）已知定義在上的函數(shù)對(duì)于任意的都滿足，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)至少有6個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)與的圖象，根據(jù)圖象列不等式求解即可．
【詳解】函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
因?yàn)椋?br /> 所以函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，
因?yàn)?，所以可作出函?shù)的圖象．
在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)（）的圖象，如圖所示．

由圖象得，要使與的圖象至少有6個(gè)交點(diǎn)，
則，因?yàn)椋?br /> 所以，即的取值范圍是．
故選：D．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的幾種等價(jià)形式：函數(shù)的零點(diǎn)函數(shù)在軸的交點(diǎn)方程的根函數(shù)與的交點(diǎn).
2．（2021·河南·高一期末（文））已知，，，則（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】先由已知條件得到，再利用兩角差的正切公式求解即可.
【詳解】由，得，即，由，可得，則，故．
故選：D．
【點(diǎn)睛】利用三角函數(shù)值求值（角）的關(guān)鍵：
（1）角的范圍的判斷；
（2）根據(jù)條件進(jìn)行合理的拆角，如等；
（3）盡量用余弦和正切，如果用正弦需要把角的范圍縮小.
3．（2021·黑龍江·哈爾濱三中高一期末）在銳角中，角的對(duì)邊分別為，的面積為，若，則的最小值為（ ）
A． B．2 C．1 D．
【答案】A
【分析】結(jié)合面積公式，可得出，由余弦定理得出，再用正弦定理化邊為角，得出，把所求式子用角表示，并求出角范圍，最后用基本不等式求最值.
【詳解】因?yàn)?，即?br /> 所以，因?yàn)椋?br /> 所以，由余弦定理，
可得，
再由正弦定理得，
因?yàn)椋?br /> 所以，所以或，
得或（舍去）.因?yàn)槭卿J角三角形，
所以，得，即，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，取等號(hào).
故選:A
【點(diǎn)睛】本題考查考查用正弦定理、余弦定理、面積公式解三角形，考查基本不等式求最值，屬于較難題.
4．（2021·浙江浙江·高一期末）對(duì)于非空數(shù)集M，定義表示該集合中所有元素的和.給定集合，定義集合，則集合的元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【分析】分別考慮集合為單元素集、雙元素集、三元素集、四元素集，然后分別計(jì)算出的取值，由此確定出集合中的元素的個(gè)數(shù).
【詳解】當(dāng)集合為單元素集時(shí)，可取，此時(shí)可??；
當(dāng)集合為雙元素集時(shí)，可取，此時(shí)可??；
當(dāng)集合為三元素集時(shí)，可取，此時(shí)可取，
當(dāng)集合為四元素集時(shí)，可取，此時(shí)可取，
綜上可知可取，共個(gè)值，所以的元素個(gè)數(shù)為，
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查集合中的新定義問(wèn)題，對(duì)學(xué)生的理解與分析問(wèn)題的能力要求較高，難度較難.解答新定義的集合問(wèn)題，首先要明確集合中表示元素的含義，其次才是解答問(wèn)題.
5．（2021·安徽·合肥一六八中學(xué)高一期末）函數(shù)若，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】畫出函數(shù)的圖象，由圖象判斷，根據(jù)將原式轉(zhuǎn)化為，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】畫出函數(shù)的圖象如圖，
因?yàn)?，且?br /> 由圖可知點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，
其中，
因?yàn)榈膱D象關(guān)于對(duì)稱，
所以，又
所以
，
因?yàn)椋裕?br /> 即的取值范圍是，
故選：B.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達(dá)形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究函數(shù)的數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性．歸納起來(lái)，圖象的應(yīng)用常見(jiàn)的命題探究角度有：1、確定方程根的個(gè)數(shù)；2、求參數(shù)的取值范圍；3、求不等式的解集；4、研究函數(shù)性質(zhì)．
6．（2021·福建三明·高一期末）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑵M足，且當(dāng)時(shí)，．若對(duì)任意，都有，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得當(dāng)時(shí)，，其中，結(jié)合函數(shù)在上的解析式和函數(shù)在的圖象可求的取值范圍.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，故，
因?yàn)椋?br /> 故當(dāng)時(shí)，，，
同理，當(dāng)時(shí)，，
依次類推，可得當(dāng)時(shí)，，其中.
所以當(dāng)時(shí)，必有.
如圖所示，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，的取值范圍為，
故若對(duì)任意，都有，則，
令，或，
結(jié)合函數(shù)的圖象可得，
故選：D.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：此類問(wèn)題考慮函數(shù)的“類周期性”，注意根據(jù)已知區(qū)間上函數(shù)的性質(zhì)推證函數(shù)在其他區(qū)間上的性質(zhì)，必要時(shí)應(yīng)根據(jù)性質(zhì)繪制函數(shù)的圖象，借助形來(lái)尋找臨界點(diǎn).
7．（2021·江西·贛州市贛縣第三中學(xué)高一期末（理））已知函數(shù)，若存在兩相異實(shí)數(shù)使，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由題設(shè)可得，又即為方程兩個(gè)不等的實(shí)根，即有，結(jié)合、得，即可求其最小值.
【詳解】由題意知：當(dāng)有，
∵知：是兩個(gè)不等的實(shí)根.
∴，而，
∵，即，
∴，令，
則，
∴當(dāng)時(shí)，的最小值為.
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由已知條件將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次方程的兩個(gè)不同實(shí)根為，結(jié)合韋達(dá)定理以及，應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.
8．（2021·上海市金山中學(xué)高一期末）設(shè)銳角的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則的取值范圍為（ ）
A．(1，9] B．(3，9]
C．(5，9] D．(7，9]
【答案】D
【分析】由正弦定理求出，再由余弦定理可得，化為，結(jié)合角的范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論.
【詳解】因?yàn)椋?br /> 由正弦定理可得，
則有，
由的內(nèi)角為銳角，
可得，
，
由余弦定理可得
因此有




故選：D.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：正弦定理是解三角形的有力工具，其常見(jiàn)用法有以下幾種：（1）知道兩邊和一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個(gè)角的對(duì)邊，求另一個(gè)角的對(duì)邊；（3）證明化簡(jiǎn)過(guò)程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑.
9．（2021·河南駐馬店·高一期末（理））已知函數(shù)是偶函數(shù).若將曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，再向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到曲線，若關(guān)于的方程在有兩個(gè)不相等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題首先可根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)得出，通過(guò)計(jì)算得出，然后通過(guò)轉(zhuǎn)化得出，通過(guò)圖像變換得出，最后根據(jù)正弦函數(shù)對(duì)稱性得出且，通過(guò)求出此時(shí)的值域即可得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，
所以，即，
，解得，，
則
，
則，
向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到，
向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，
當(dāng)時(shí)，，
結(jié)合正弦函數(shù)對(duì)稱性易知，
在有兩個(gè)不相等實(shí)根，則且，
此時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是，
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)圖像變換、正弦函數(shù)性質(zhì)、偶函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用以及兩角差的正弦公式，能夠根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)求出是解決本題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，體現(xiàn)了綜合性，是難題.
10．（2021·陜西閻良·高一期末）已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)、，使得，且，則的最大值為（ ）
A．9 B．8 C．7 D．5
【答案】A
【分析】本題首先可根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)得出、，然后根據(jù)得出，根據(jù)得出，最后根據(jù)得出，即可得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，?br /> 所以，，
，即，，
，即，，
則，
因?yàn)?，所以，?br /> 因?yàn)?，所以的最大值為?br /> 故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)，能否根據(jù)求出、是解決本題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，是難題.
11．（2019·廣東汕頭·高一期末）設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，對(duì)任意的，都有，且當(dāng)時(shí)，．若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程恰有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分析出函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，作出函數(shù)在上的圖象，由題意可知，函數(shù)和函數(shù)在上的圖象有個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】由可得，
所以，函數(shù)和函數(shù)在上的圖象有個(gè)交點(diǎn)，
因?yàn)閷?duì)任意的，都有，即，
所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，
因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則.
作出函數(shù)和函數(shù)在上的圖象如下圖所示：

要使得函數(shù)和函數(shù)在上的圖象有個(gè)交點(diǎn)，
則，解得.
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：A.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
二、多選題
12．（2021·湖北·沙市中學(xué)高一期末）已知函數(shù)，其中為常數(shù)，且，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位所得的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則以下結(jié)論正確的是（ ）
A． B．點(diǎn)是的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心
C．在上的值域?yàn)?D．的圖象在上有四條對(duì)稱軸
【答案】BD
【分析】根據(jù)題意，求得平移后的解析式，根據(jù)其為偶函數(shù)，可求得的表達(dá)式，根據(jù)的范圍，即可求得的值，即可判斷A的正誤；根據(jù)的解析式，代入，即可判斷B的正誤；根據(jù)x的范圍，即可求得的范圍，結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象，即可判斷C的正誤；令，即可求得對(duì)稱軸的表達(dá)式，對(duì)k賦值，即可求得的對(duì)稱軸，即可判斷D的正誤，即可得答案.
【詳解】
對(duì)于A：將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位所得的解析式為：，
由題意得：其圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，
則，，解得，
因?yàn)?，令，得，故A錯(cuò)誤．
所以；
對(duì)于B：因?yàn)?，所以?br /> 所以點(diǎn)是的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故B正確；
對(duì)于C：因?yàn)?，所以?br /> 所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有最大值2，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有最小值，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：令，解得，
因?yàn)闀r(shí)，令，解得
令，解得，
令，解得，
令，解得，
所以的圖象在上有四條對(duì)稱軸，故D正確.
故選：BD
【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，并靈活應(yīng)用，在求解值域時(shí)，通過(guò)換元法令，將其轉(zhuǎn)化為研究的性質(zhì)，考查分析理解，計(jì)算化簡(jiǎn)的能力，屬中檔題.
13．（2021·浙江義烏·高一期末）已知函數(shù)，有下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的結(jié)論為（ ）
A．在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．是的一個(gè)周期
C．的值域?yàn)?D．的圖象關(guān)于軸對(duì)稱
【答案】CD
【分析】代入特殊值檢驗(yàn)，可得A錯(cuò)誤；求得的表達(dá)式，即可判斷B的正誤；分段討論，根據(jù)x的范圍，求得的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得的值域，即可判斷C的正誤；根據(jù)奇偶性的定義，即可判斷的奇偶性，即可判斷D的正誤，即可得答案.
【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，所以?br /> ，
所以，所以在區(qū)間上不是單調(diào)遞增函數(shù)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：，
所以不是的一個(gè)周期，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：，所以的周期為，
當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，；
綜上：的值域?yàn)?，故C正確；
對(duì)于D：，所以為偶函數(shù)，即的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故D正確，
故選：CD
【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是根據(jù)的解析式，結(jié)合函數(shù)的奇偶性、周期性求解，考查分類討論，化簡(jiǎn)計(jì)算的能力，綜合性較強(qiáng)，屬中檔題.
14．（2021·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末）已知函數(shù)，其中，且的，若對(duì)一切恒成立，則（ ）
A． B．
C．是奇函數(shù) D．是奇函數(shù)
【答案】BC
【分析】由，可知為的一條對(duì)稱軸，
結(jié)合輔助角公式，可得，進(jìn)而可得，再分別判斷選項(xiàng)即可.
【詳解】由題意得，，
因?qū)σ磺泻愠闪ⅲ?br /> 故，即，計(jì)算得，
故.
對(duì)于選項(xiàng)A，，，
雖然，但時(shí)正負(fù)不知，故與無(wú)法比較大小，故A錯(cuò)；
對(duì)于選項(xiàng)B，因，
所以，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，因，所以為奇函數(shù)，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，，所以為偶函數(shù)，故D錯(cuò).
故選：BC.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了輔助角公式的應(yīng)用以及三角函數(shù)的圖像性質(zhì).對(duì)于圖像性質(zhì)問(wèn)題，一般情況下需先把解析式化成的形式，再結(jié)合的圖像性質(zhì)即可解決.
15．（2021·浙江浙江·高一期末）若定義在R上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，()，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則或
B．若方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則
C．若方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則
D．若方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則
【答案】AC
【分析】由題知是R上的奇函數(shù)，則由時(shí)的解析式可求出在R上的解析式.先討論特殊情況為方程的根，則可求出，此時(shí)方程化為，而函數(shù)為R上的減函數(shù)，則方程僅有一個(gè)根.當(dāng)時(shí)，由分段函數(shù)分類討論得出時(shí)，，時(shí)，.利用數(shù)形結(jié)合思想，畫出圖象，則可得知方程不同的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)分別為2個(gè)和4時(shí)，參數(shù)的取值范圍.
【詳解】因?yàn)樗裕?br /> 所以是R上的奇函數(shù)，，
當(dāng)時(shí)，，，
所以，
綜上，
若是方程的一個(gè)根，
則，此時(shí)，即，
而，在R上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，原方程有一個(gè)實(shí)根.
當(dāng)時(shí)，，
所以，當(dāng)時(shí)不滿足，
所以，
當(dāng)時(shí)，，
所以，當(dāng)時(shí)不滿足，
所以，如圖：

若方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
則或；
若方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則.
故選：AC
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是將方程進(jìn)行參數(shù)分離，再借助數(shù)形結(jié)合法，求出對(duì)應(yīng)的參數(shù)的取值范圍.
16．（2021·重慶南開(kāi)中學(xué)高一期末）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個(gè)不等實(shí)根，，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．的最小值為10
【答案】ACD
【分析】畫出的圖象，結(jié)合圖象求得的取值范圍，利用特殊值確定B選項(xiàng)錯(cuò)誤，利用基本不等式確定CD選項(xiàng)正確.
【詳解】畫出的圖象如下圖所示，
由于關(guān)于的方程有四個(gè)不等實(shí)根，，，，
由圖可知，故A選項(xiàng)正確.
由圖可知關(guān)于直線對(duì)稱，故，
由解得或，
所以，
，當(dāng)時(shí)，，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
令，，，
，是此方程的解，
所以，或，
故
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D選項(xiàng)正確.
由圖象可知，
，，，
由，解得或，
由，解得或，
所以，

①.
令或，
所以①的等號(hào)不成立，即，故C選項(xiàng)正確.
故選：ACD

【點(diǎn)睛】求解有關(guān)方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，可考慮結(jié)合圖象來(lái)求解.求解不等式、最值有關(guān)的問(wèn)題，可考慮利用基本不等式來(lái)求解.
17．（2021·廣東·汕頭市第一中學(xué)高一期末）已知函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)時(shí)，，下列命題正確的是（ ）
A．若f(x)是偶函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，
B．若，則在上有3個(gè)零點(diǎn)
C．若f(x)是奇函數(shù)，則
D．若，方程在上有6個(gè)不同的根，則k的范圍為
【答案】BC
【分析】解出當(dāng)時(shí)的解析式可判斷A；由在上的零點(diǎn)結(jié)合對(duì)稱性可判斷B；求得在上的值域，進(jìn)而可判斷C；作出函數(shù)在上的簡(jiǎn)圖，由數(shù)形結(jié)合可判斷D.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：令得，即，解得或. 由知函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，故在上有3個(gè)零點(diǎn). 故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，. 若是奇函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，又，所以當(dāng)時(shí)，. 故對(duì)，.故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：即，所以或. 由知函數(shù)的周期為3，作出函數(shù)在上的簡(jiǎn)圖，由圖可知，有2個(gè)根，依題意得必有4個(gè)根，由圖可知. 故D錯(cuò)誤.
故選：BC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷選項(xiàng)D的關(guān)鍵點(diǎn)是：作出函數(shù)在上的簡(jiǎn)圖，數(shù)形結(jié)合求得的取值范圍.
18．（2021·浙江·高一期末）定義：若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，則稱區(qū)間是函數(shù)的“完美區(qū)間”，另外，定義區(qū)間 的“復(fù)區(qū)間長(zhǎng)度”為，已知函數(shù)，則（ ）
A．是的一個(gè)“完美區(qū)間”
B．是 的一個(gè)“完美區(qū)間”
C．的所有“完美區(qū)間”的“復(fù)區(qū)間長(zhǎng)度”的和為
D．的所有“完美區(qū)間”的“復(fù)區(qū)間長(zhǎng)度”的和為
【答案】AC
【分析】根據(jù)定義，當(dāng)時(shí)求得的值域，即可判斷A；對(duì)于B，結(jié)合函數(shù)值域特點(diǎn)即可判斷；對(duì)于C、D，討論與兩種情況，分別結(jié)合定義求得“復(fù)區(qū)間長(zhǎng)度”，即可判斷選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，則其值域?yàn)椋瑵M足定義域與值域的范圍相同，因而滿足“完美區(qū)間”定義，所以A正確；
對(duì)于B，因?yàn)楹瘮?shù)，所以其值域?yàn)?，而，所以不存在定義域與值域范圍相同情況，所以B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由定義域?yàn)?，可知?br /> 當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，
則滿足，化簡(jiǎn)可得，
即，所以或，
解得（舍）或，
由解得或（舍），
所以，經(jīng)檢驗(yàn)滿足原方程組，所以此時(shí)完美區(qū)間為，則“復(fù)區(qū)間長(zhǎng)度”為；
當(dāng)時(shí)，①若，則，此時(shí).當(dāng)在的值域?yàn)?，則，因?yàn)?，所以，即滿足，解得，（舍）.所以此時(shí)完美區(qū)間為，則“復(fù)區(qū)間長(zhǎng)度”為；
②若，則，，此時(shí)在內(nèi)單調(diào)遞增，若的值域?yàn)椋瑒t，則為方程的兩個(gè)不等式實(shí)數(shù)根，
解得，， 所以，與矛盾，所以此時(shí)不存在完美區(qū)間.
綜上可知，函數(shù)的“復(fù)區(qū)間長(zhǎng)度”的和為，所以C正確，D錯(cuò)誤；
故選：AC.
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)新定義的綜合應(yīng)用，由函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)的值域，函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，分類討論思想的綜合應(yīng)用，屬于難題.
19．（2021·湖南華容·高一期末）設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，也叫取整函數(shù).令，以下結(jié)論正確的有（ ）
A． B．函數(shù)為奇函數(shù)
C． D．函數(shù)的值域?yàn)?br /> 【答案】AD
【分析】根據(jù)高斯函數(shù)的定義逐項(xiàng)檢驗(yàn)可得正確的選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A，，故A正確.
對(duì)于B，取，則，而，
故，所以函數(shù)不為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤.
對(duì)于C，則，故C錯(cuò)誤.
對(duì)于D，由C的判斷可知，為周期函數(shù)，且周期為，
當(dāng)時(shí)，則
當(dāng)時(shí)，則，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
故當(dāng)時(shí)，則有，故函數(shù)的值域?yàn)?，故D正確.
故選：AD．
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于函數(shù)的新定義問(wèn)題，注意根據(jù)定義展開(kāi)討論性質(zhì)的討論，并且注意性質(zhì)討論的次序，比如討論函數(shù)值域，可以先討論函數(shù)的奇偶性、周期性．
三、填空題
20．（2021·北京西城·高一期末）設(shè)函數(shù)，，有以下四個(gè)結(jié)論.
①函數(shù)是周期函數(shù)：
②函數(shù)的圖像是軸對(duì)稱圖形：
③函數(shù)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱：
④函數(shù)存在最大值
其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________.
【答案】②④
【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)和二次函數(shù)的周期性、對(duì)稱性、值域進(jìn)行逐一判斷即可.
【詳解】①：函數(shù)的最小正周期為：，函數(shù)沒(méi)有周期性，所以函數(shù)不是周期函數(shù)，故本結(jié)論不正確；
②：因?yàn)楹瘮?shù)，所以該函數(shù)的對(duì)稱性為：，
因?yàn)?，所以函?shù)也關(guān)于對(duì)稱，
因此函數(shù)的圖像是軸對(duì)稱圖形，故本結(jié)論說(shuō)法正確；
③：令，
，對(duì)于不恒成立，
所以對(duì)于不恒成立，
因此函數(shù)不是奇函數(shù)，故圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以本結(jié)論說(shuō)法不正確；
④：因?yàn)?，所以?br /> 因?yàn)椋?br /> 所以，
因此本結(jié)論正確，
故答案為：②④
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：正確理解函數(shù)的周期性和對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵.
21．（2021·西藏·拉薩中學(xué)高一期末）如圖所示，一豎立在地面上的圓錐形物體的母線長(zhǎng)為，一只小蟲(chóng)從圓錐的底面圓上的點(diǎn)出發(fā)，繞圓錐爬行一周后回到點(diǎn)處，若該小蟲(chóng)爬行的最短路程為，則這個(gè)圓錐的體積為_(kāi)__________.

【答案】
【分析】作出該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，該小蟲(chóng)爬行的最短路程為PP′，由余弦定理求出，求出底面圓的半徑r，從而求出這個(gè)圓錐的高，由此能求出這個(gè)圓錐的體積.
【詳解】作出該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，如圖所示：

該小蟲(chóng)爬行的最短路程為PP′，由余弦定理可得：
∴.
設(shè)底面圓的半徑為r,則有,解得,
所以這個(gè)圓錐的高為，
則這個(gè)圓錐的體積為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】立體幾何中的翻折疊（展開(kāi)）問(wèn)題要注意翻折（展開(kāi)）過(guò)程中的不變量.
22．（2021·廣東·深圳市高級(jí)中學(xué)高一期末）已知函數(shù)．若存在正實(shí)數(shù)，使得方程有三個(gè)互不相等的實(shí)根，，，則的取值范圍是__________．
【答案】
【分析】分離參數(shù)可得，做出的函數(shù)圖象，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求出的值，并求出的范圍即可得出答案．
【詳解】由可看到，
令，
作出的函數(shù)圖象如圖所示：

有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，，
直線與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，
設(shè)三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大分別為，，，
由二次函數(shù)的對(duì)稱性可知，
令可得或（舍，
，．
即的取值范圍是，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的幾種等價(jià)形式：函數(shù)的零點(diǎn)函數(shù)在軸的交點(diǎn)方程的根函數(shù)與的交點(diǎn).
23．（2021·安徽蕪湖·高一期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)任意角，設(shè)的終邊上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，它與原點(diǎn)的距離是.我們規(guī)定：比值分別叫做角的正割?余割?余切，分別記作，，，把分別叫做正割函數(shù)?余割函數(shù)?余切函數(shù)，則下列敘述正確的有___________(填上所有正確的序號(hào))
①；②；③的定義域?yàn)椋?br /> ④；⑤.
【答案】②④⑤
【分析】由題設(shè)新定義知：，，，由、、、以及正切二倍角公式，即可判斷各項(xiàng)的正誤.
【詳解】

①，故錯(cuò)誤；
②，故正確；
③，即，有，故錯(cuò)誤；
④，故正確；
⑤，所以，故正確.
故答案為：②④⑤
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：新定義有，，，結(jié)合三角恒等變換判斷各項(xiàng)的正誤.
24．（2021·江蘇鹽城·高一期末）已知函數(shù)，方程有六個(gè)不同的實(shí)數(shù)根、、、、、，則的取值范圍為_(kāi)_______．
【答案】
【分析】作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，利用對(duì)稱性得出，，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算可得出，且有，可得出，利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性可求得結(jié)果.
【詳解】作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：

設(shè)，
由圖象可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有六個(gè)交點(diǎn)，
點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，可得，
點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，可得，且，
由得，所以，，
，
下面證明函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，
任取、且，即，
，
，則，，可得，
所以，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù).
，所以，.
因此，的取值范圍為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
25．（2021·廣東潮陽(yáng)·高一期末）函數(shù)，若最大值為，最小值為，，則的取值范圍是______.
【答案】
【分析】先化簡(jiǎn)，然后分析的奇偶性，將的最大值和小值之和轉(zhuǎn)化為和有關(guān)的式子，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求解出的取值范圍.
【詳解】，
令，定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴，
∴為奇函數(shù)，∴，
∴，
，由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴，，，
∴，
∴，
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于函數(shù)奇偶性的判斷，同時(shí)需要注意到奇函數(shù)在定義域上如果有最值，那么最大值和最小值一定是互為相反數(shù).
26．（2021·江蘇·南京師大附中高一期末）已知函數(shù)．若存在使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．
【答案】
【分析】令，判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，從而將不等式轉(zhuǎn)化為，分離參數(shù)可得，令，，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可得，結(jié)合題意即可求解的取值范圍．
【詳解】函數(shù)，若存在使得不等式成立，
令，
，
所以，為奇函數(shù)．
不等式，即，
即，
所以，
因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，在上為增函數(shù)，
所以在上為增函數(shù)，
由奇函數(shù)的性質(zhì)可得在上為增函數(shù)，所以不等式等價(jià)于，分離參數(shù)可得，
令，，
由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
（1），（4），所以，，
所以由題意可得，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)的三個(gè)性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性和周期性，在高考中一般不會(huì)單獨(dú)命題，而是常將它們綜合在一起考查，其中單調(diào)性與奇偶性結(jié)合、周期性與抽象函數(shù)相結(jié)合，并結(jié)合奇偶性求函數(shù)值，多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性相結(jié)合，注意函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性
27．（2021·浙江·高一期末）在中，記角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，面積為S，則的最大值為_(kāi)_____
【答案】
【分析】利用面積公式和余弦定理，結(jié)合均值不等式以及線性規(guī)劃即可求得最大值.
【詳解】
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.
令，
故，
因?yàn)椋遥?br /> 故可得點(diǎn)表示的平面區(qū)域是半圓弧上的點(diǎn)，如下圖所示：

目標(biāo)函數(shù)上，表示圓弧上一點(diǎn)到點(diǎn)點(diǎn)的斜率，
由數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)，即時(shí)，取得最小值，
故可得，
又，故可得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即三角形為等邊三角形時(shí)，取得最大值.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題主要考查利用正余弦定理求范圍問(wèn)題，涉及線性規(guī)劃以及均值不等式，屬綜合困難題.
四、解答題
28．（2021·浙江省三門第二高級(jí)中學(xué)高一期末）已知函數(shù)的最大值為1
（1）求常數(shù)的值；
（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）若，且是第一象限角，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）利用兩角和、差的余弦公式，輔助角公式，化簡(jiǎn)整理，可得的解析式，根據(jù)題意，即可得a值.
（2）由（1）可得解析式，令，即可得答案.
（3）根據(jù)題意，可得，根據(jù)的范圍，分析計(jì)算，可得值，利用兩角差的余弦公式，化簡(jiǎn)計(jì)算，即可得答案.
【詳解】（1）由題意得：


因?yàn)榈淖畲笾禐?，
所以，解得.
（2）由（1）可得，
令，解得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
（3）因?yàn)?，所以，解得?br /> 因?yàn)槭堑谝幌笙藿?，即，所以?br /> 因?yàn)椋?br /> 所以，即，
所以
.
【點(diǎn)睛解題的關(guān)鍵是熟練掌握恒等變換公式、三角函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，并靈活應(yīng)用，易錯(cuò)點(diǎn)為，根據(jù)的范圍，得到的范圍，此時(shí)無(wú)法判斷的正負(fù)，還需比較與值的大小，進(jìn)一步確定的范圍，方可得答案，屬中檔題.
29．（2021·安徽阜陽(yáng)·高一期末）已知函數(shù)(，，)的部分圖象如圖所示.

（1）求的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)，若在內(nèi)存在唯一的，使得對(duì)恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象，結(jié)合最小正周期公式、特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)輔助角公式，結(jié)合正弦型函數(shù)的最值進(jìn)行求解即可.
【詳解】解：（1）根據(jù)圖象可得，
所以.
因?yàn)?，，所?
又因?yàn)閳D象過(guò)點(diǎn)，所以.
因?yàn)椋?br /> 所以，，即，，
又因?yàn)椋?
故.
（2）因?yàn)椋?br /> 所以.
依題意可得，
又，所以，
解得.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：正確理解最小值的定義，結(jié)合題意得到不等式是解題的關(guān)鍵.
30．（2021·甘肅省會(huì)寧縣第一中學(xué)高一期末）已知函數(shù)．
（1）求的最小正周期；
（2）若對(duì)任意的和恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）化簡(jiǎn) 最小正周期；
（2）當(dāng)時(shí)，．
①當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， ．．②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，同理得： 即可求出m的取值范圍．
【詳解】（1）




．
的最小正周期．
（2）由（1）知．
當(dāng)時(shí)，，，
即．
①當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， ．
由題意，只需．
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以．
②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)， ．
由題意，只需．
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以．
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．
【點(diǎn)睛】(1)三角函數(shù)問(wèn)題通常需要把它化為“一角一名一次”的結(jié)構(gòu)，借助于或的性質(zhì)解題；
(2)求參數(shù)的取值范圍，通常采用分離參數(shù)法．
31．（2021·黑龍江·哈九中高一期末）已知函數(shù)是定義域上的奇函數(shù)，且.
（1）求函數(shù)的解析式，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并證明；
（2）令，設(shè)，若對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1），函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析；（2）.
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，由，得，兩者聯(lián)立解得a，b，進(jìn)而可得函數(shù)的解析式，再利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性.
（2）由（1）得，易知在上為減函數(shù)，將時(shí)，都有，轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為，對(duì)任意成立求解.
【詳解】（1）因?yàn)椋沂瞧婧瘮?shù)，
所以，
所以，
解得，
所以，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
證明：任取，且，
則，
因?yàn)?，且?br /> 所以，，
所以，
所以，即，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
任取，且，
則，
因?yàn)?，且?br /> 所以，，
所以，
所以，即，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.
（2）由（1）得，
不妨令，則，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知：函數(shù)在上為減函數(shù)，
所以，，
因?yàn)楫?dāng)，滿足，
故只需，
即，對(duì)任意成立，
因?yàn)?，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，y有最小值，，
由，解得，
所以a的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛；本題第二問(wèn)題關(guān)鍵點(diǎn)是將時(shí)，都有，轉(zhuǎn)化為恒成立 求解.
32．（2021·浙江浙江·高一期末）已知函數(shù)，，.
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若，唯一的，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）和；（2）.
【分析】（1）分類和去絕對(duì)值符號(hào)得分段函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可得增區(qū)間；
（2）設(shè)在上值域，對(duì)任意，直線與函數(shù)的圖象在上只有一個(gè)交點(diǎn)．令，把轉(zhuǎn)化為，，，的值域是，?時(shí)，無(wú)解，在時(shí)，在上單調(diào)遞增，，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)確定出后可得結(jié)論．
【詳解】解：（1）由題意，
即，
因此增區(qū)間為和；
（2），
設(shè)在上的值域?yàn)?，則對(duì)，直線與函數(shù)的圖象在上有1個(gè)交點(diǎn)，
令，，，
，，時(shí)，，
①當(dāng)時(shí)，，
，需，即，無(wú)解；
②當(dāng)時(shí)，，，由勾形函數(shù)性質(zhì)知時(shí)，在上遞增，
（i）當(dāng)時(shí)，，，
，需，即，得，
∴；
（ii）當(dāng)時(shí)，，，
，需，即，得，
∴；
③當(dāng)時(shí)，，
，同（ii）得，∴；
④當(dāng)時(shí)，，
，在上單調(diào)遞增，
需，即，得，∴；
綜上得∴.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查絕對(duì)值函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)恒(能)成立問(wèn)題．對(duì)函數(shù)恒(能)成立問(wèn)題，要注意任意與存在的不同，象本題，任意，存在，使得，記值域是，值域是，則有．本題解題關(guān)鍵是利用二次函數(shù)性質(zhì)分類討論確定分段函數(shù)的值域．
33．（2021·內(nèi)蒙古赤峰·高一期末（文））已知函數(shù).
（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最值；
（2）若關(guān)于x的方程（x+2）f（x）-ax=0在區(qū)間（0，3）內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）最大值為3，最小值為2；（2）
【分析】（1）整理可得，根據(jù)基本不等式及對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，即可求得答案.
（2）由題意整理可得在區(qū)間（0，3）內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)，根據(jù)根據(jù)基本不等式及對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，即可得答案.
【詳解】（1），
因?yàn)?，所?br /> 所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，即時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值為2，
根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最大值為3，最小值為2.
（2）因?yàn)殛P(guān)于x的方程（x+2）f（x）-ax=0在區(qū)間（0，3）內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，
所以在區(qū)間（0，3）內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，
整理得在區(qū)間（0，3）內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，
設(shè)
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即x=2時(shí)等號(hào)成立，
根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且時(shí)，，
所以a的取值范圍為

【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本不等式、對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，并靈活應(yīng)用，難點(diǎn)在于，需合理的變形，再根據(jù)“一正”、“二定”，“三相等”進(jìn)行計(jì)算求值，屬中檔題.
34．（2021·浙江浙江·高一期末）在海岸處，發(fā)現(xiàn)北偏東方向，距離為海里的處有一艘走私船，在處北偏西方向，距離為海里的處有一艘緝私艇奉命以海里/時(shí)的速度追截走私船，此時(shí)，走私船正以海里/時(shí)的速度從處向北偏東方向逃竄.

（1）問(wèn)船與船相距多少海里？船在船的什么方向？
（2）問(wèn)緝私艇沿什么方向行駛才能最快追上走私船？并求出所需時(shí)間.
【答案】（1），船在船的正西方向；（2）緝私艇沿東偏北方向行駛小時(shí)才能最快追上走私船．
【分析】（1）在中根據(jù)余弦定理計(jì)算，再利用正弦定理計(jì)算即可得出方位；
（2）在中，利用正弦定理計(jì)算，再計(jì)算得出追擊時(shí)間．
【詳解】解：（1）由題意可知，，，
在中，由余弦定理得：，
，
由正弦定理得：，
即，
解得：，
，
船在船的正西方向．
（2）由（1）知，，
設(shè)小時(shí)后緝私艇在處追上走私船，
則，，
在中，由正弦定理得：，
解得：，
，
是等腰三角形，
，即．
緝私艇沿東偏北方向行駛小時(shí)才能最快追上走私船．
【點(diǎn)睛】本題考查了正余弦定理解三角形，以及解三角形的實(shí)際應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
35．（2021·安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期末）已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）是否同時(shí)存在實(shí)數(shù)和正整數(shù)，使得函數(shù)在上恰有個(gè)零點(diǎn)?若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的和的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1）；（2）存在，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
【分析】（1）利用三角恒等變換思想得出，令，，由題意可知對(duì)任意的，可得出，進(jìn)而可解得實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）由題意可知，函數(shù)與直線在上恰有個(gè)交點(diǎn)，然后對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，考查實(shí)數(shù)在不同取值下兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由此可得出結(jié)論.
【詳解】（1），
當(dāng)時(shí)，，，則，
要使對(duì)任意恒成立，
令，則，對(duì)任意恒成立，
只需，解得，
實(shí)數(shù)的取值范圍為；
（2）假設(shè)同時(shí)存在實(shí)數(shù)和正整數(shù)滿足條件，
函數(shù)在上恰有個(gè)零點(diǎn)，
即函數(shù)與直線在上恰有個(gè)交點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象如下圖所示：

①當(dāng)或時(shí)，函數(shù)與直線在上無(wú)交點(diǎn)；
②當(dāng)或時(shí)，函數(shù)與直線在上僅有一個(gè)交點(diǎn)，
此時(shí)要使函數(shù)與直線在上有個(gè)交點(diǎn)，則；
③當(dāng)或時(shí)，函數(shù)直線在上有兩個(gè)交點(diǎn)，
此時(shí)函數(shù)與直線在上有偶數(shù)個(gè)交點(diǎn)，不可能有個(gè)交點(diǎn)，不符合；
④當(dāng)時(shí)，函數(shù)與直線在上有個(gè)交點(diǎn)，
此時(shí)要使函數(shù)與直線在上恰有個(gè)交點(diǎn)，則.
綜上所述，存在實(shí)數(shù)和正整數(shù)滿足條件：
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)，利用函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)，解本題第（2）問(wèn)的關(guān)鍵就是要注意到函數(shù)與直線的圖象在區(qū)間上的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合周期性求解.
36．（2021·江蘇宿遷·高一期末）已知函數(shù)． 請(qǐng)?jiān)谙旅娴娜齻€(gè)條件中任選兩個(gè)解答問(wèn)題．①函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)；②函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；③函數(shù)相鄰兩個(gè)對(duì)稱軸之間距離為．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若是函數(shù)的零點(diǎn)，求的值組成的集合；
（3）當(dāng) 時(shí)，是否存在滿不等式？若存在，求出
的范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1）選擇①②、①③、②③都有；（2）；（3）存在，的范圍，利用見(jiàn)解析.
【分析】（1）選擇①②，將點(diǎn)代入，結(jié)合可求，由點(diǎn)是的對(duì)稱中心可得，結(jié)合，可得，即可得解析式；選擇①③：將點(diǎn)代入，結(jié)合可求，由，所即，可得，即可得解析式；選擇②③由，所即，可得，若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，結(jié)合，可得，即可得解析式；
（2）若是函數(shù)的零點(diǎn)，則，解得
或，可得或，進(jìn)而可得可能的取值，即可求解；
（3）由得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)可轉(zhuǎn)化為，，，利用偶函數(shù)的性質(zhì)原不等式可化為，即可求解.
【詳解】
選擇①②：
因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，
所以，解得，因?yàn)?，所以?br /> 因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，
可得，因?yàn)?，所以，?br /> 所以，
選擇①③：
若函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，
所以，解得，因?yàn)椋裕?br /> 因?yàn)楹瘮?shù)相鄰兩個(gè)對(duì)稱軸之間距離為，
所以，所以，，解得：，
所以，
選擇②③：
因?yàn)楹瘮?shù)相鄰兩個(gè)對(duì)稱軸之間距離為，
所以，所以，，解得：，
若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，
可得，因?yàn)?，所以，?br /> 所以
（2）若是函數(shù)的零點(diǎn)，則，
可得，
所以或
解得：或，
若是函數(shù)的零點(diǎn)，則，，

當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
所以的值組成的集合為；
（3）當(dāng)時(shí)，，
令，則，令，
則，，
因?yàn)椋?br /> 所以，即，
所以，即，，
解得：.
所以實(shí)數(shù)的范圍是：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是由余弦函數(shù)的性質(zhì)求出的解析式，再利用余弦函數(shù)的零點(diǎn)可求可能的取值，求的范圍的關(guān)鍵是構(gòu)造偶函數(shù)，利用單調(diào)性脫掉，解關(guān)于的不等式.
37．（2021·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末）已知函數(shù)為的零點(diǎn)，為圖象的對(duì)稱軸．
（1）若在內(nèi)有且僅有6個(gè)零點(diǎn)，求；
（2）若在上單調(diào)，求的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根據(jù)的零點(diǎn)和對(duì)稱中心確定出的取值情況，再根據(jù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定出，由此確定出的取值，結(jié)合求解出的取值，再根據(jù)以及的范圍確定出的取值，由此求解出的解析式；
（2）先根據(jù)在上單調(diào)確定出的范圍，由此確定出的可取值，再對(duì)從大到小進(jìn)行分析，由此確定出的最大值.
【詳解】（1）因?yàn)槭堑牧泓c(diǎn)，為圖象的對(duì)稱軸，
所以，所以，
因?yàn)樵趦?nèi)有且僅有個(gè)零點(diǎn)，
分析正弦函數(shù)函數(shù)圖象可知：個(gè)零點(diǎn)對(duì)應(yīng)的最短區(qū)間長(zhǎng)度為，最長(zhǎng)的區(qū)間長(zhǎng)度小于，
所以，所以，
所以，所以，所以，所以，
所以，代入，所以，
所以，所以，
又因?yàn)?，所以?br /> 所以；
（2）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，所以，即，所以，
又由（1）可知，所以，
所以，
當(dāng)時(shí)，，所以，
所以，所以此時(shí)，
因?yàn)?，所以?br /> 又因?yàn)樵跁r(shí)顯然不單調(diào)
所以在上不單調(diào)，不符合；
當(dāng)時(shí)，，所以，
所以，所以此時(shí)，
因?yàn)?，所以?br /> 又因?yàn)樵跁r(shí)顯然單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞減，符合；
綜上可知，的最大值為.
【點(diǎn)睛】
思路點(diǎn)睛：求解動(dòng)態(tài)的三角函數(shù)涉及的取值范圍問(wèn)題的常見(jiàn)突破點(diǎn)：
（1）結(jié)論突破：任意對(duì)稱軸（對(duì)稱中心）之間的距離為，任意對(duì)稱軸與對(duì)稱中心之間的距離為；
（2）運(yùn)算突破：已知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，則有且；
已知在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，則有且.
38．（2021·福建省福州第一中學(xué)高一期末）已知函數(shù)，圖象上相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)相差，______；
（1）①的一條對(duì)稱軸且；
②的一個(gè)對(duì)稱中心，且在上單調(diào)遞減；
③向左平移個(gè)單位得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱且
從以上三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面空白橫線中，然后確定函數(shù)的解析式；
（2）在（1）的情況下，令，，若存在使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）選①②③，；（2）.
【分析】（1）根據(jù)題意可得出函數(shù)的最小正周期，可求得的值，根據(jù)所選的條件得出關(guān)于的表達(dá)式，然后結(jié)合所選條件進(jìn)行檢驗(yàn)，求出的值，綜合可得出函數(shù)的解析式；
（2）求得，由可計(jì)算得出，進(jìn)而可得出，由參變量分離法得出，利用基本不等式求得的最小值，由此可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）由題意可知，函數(shù)的最小正周期為，.
選①，因?yàn)楹瘮?shù)的一條對(duì)稱軸，則，
解得，
，所以，的可能取值為、.
若，則，則，不合乎題意；
若，則，則，合乎題意.
所以，；
選②，因?yàn)楹瘮?shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，則，
解得，
，所以，的可能取值為、.
若，則，當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，不合乎題意；
若，則，當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，合乎題意；
所以，；
選③，將函數(shù)向左平移個(gè)單位得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，
所得函數(shù)為，
由于函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，可得，
解得，
，所以，的可能取值為、.
若，則，，不合乎題意；
若，則，，合乎題意.
所以，；
（2）由（1）可知，
所以，，
當(dāng)時(shí)，，，所以，，
所以，，
，
，，則，
由可得，
所以，，
由基本不等式可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
39．（2021·上海交大附中高一期末）若定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足：對(duì)于任意，都有，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．
（1）設(shè)函數(shù)，的表達(dá)式分別為，，判斷函數(shù)與是否具有性質(zhì)，說(shuō)明理由；
（2）設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為，是否存在以及，使得函數(shù)具有性質(zhì)？若存在，求出，的值；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）設(shè)函數(shù)具有性質(zhì)，且在上的值域恰為；以為周期的函數(shù)的表達(dá)式為，且在開(kāi)區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求證：．
【答案】（1）函數(shù)具有性質(zhì)，不具有性質(zhì)，理由見(jiàn)解析；（2）不具備，理由見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）根據(jù)具有性質(zhì)的定義依次討論即可得答案；
（2）假設(shè)函數(shù)具有性質(zhì)，則有，即，進(jìn)而得，再根據(jù)并結(jié)合函數(shù)的值域?yàn)榈?，故，此時(shí)，在驗(yàn)證不具有性質(zhì)，進(jìn)而得到答案；
（3）結(jié)合（2），并根據(jù)題意得，進(jìn)而得在的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，與零點(diǎn)唯一性矛盾得或，再討論當(dāng)時(shí)不成立得，即．
【詳解】（1）函數(shù)具有性質(zhì)，不具有性質(zhì)，說(shuō)明如下：
，
，
對(duì)任意，都有，
所以具有性質(zhì)，
，，
所以，
所以不具有性質(zhì)；
（2）若函數(shù)具有性質(zhì)，
則有，即，
于是，結(jié)合知，
因此；
若，不妨設(shè)
由可知：
（記作*），其中
只要充分大時(shí)，將大于1
考慮到的值域?yàn)闉?，等式?）將無(wú)法成立，
綜上所述必有，即；
再由，，從而，而
當(dāng)時(shí)，，
而，顯然兩者不恒相等（比如時(shí))
綜上所述，不存在以及使得具有性質(zhì)；
(3）由函數(shù)具有性質(zhì)以及（2）可知，
由函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，有，
即，也即
由，及題設(shè)可知
在的值域?yàn)?br /> 當(dāng)時(shí)，當(dāng)及時(shí)，均有，
這與零點(diǎn)唯一性矛盾，因此或，
當(dāng)時(shí)，，在的值域?yàn)?br /> 此時(shí)
于是在上的值域?yàn)椋?br /> 由正弦函數(shù)的性質(zhì)，此時(shí)當(dāng)時(shí)和的取值范圍不同，
因而，即．
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的新定義問(wèn)題，考查邏輯推理能力，運(yùn)算求解能力，是難題.本題解題的關(guān)鍵在于正確理解具有性質(zhì)P的函數(shù)的定義，利用定義，結(jié)合反證法，分類討論思想等討論求解.
40．（2021·浙江衢州·高一期末）如圖，AB是的直徑，C，D是上的兩點(diǎn)，AB//CD. AD= BC=1，設(shè)AB=x，四邊形ABCD的周長(zhǎng)為f（x）.

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）關(guān)于x的方程在[2，6]上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（3）△ABC的面積的平方為g（x），若對(duì)于，，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）在中，過(guò)點(diǎn)作于，求出, ，即可得到函數(shù)f（x）的解析式；
（2）將方程變形去掉絕對(duì)值，得到或，將方程的根轉(zhuǎn)化為圖象的交點(diǎn)的問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合解不等式即可；
（3）先求出，令，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為x∈[2，6]時(shí)，，利用函數(shù)的單調(diào)性求出的最小值，然后將轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，然后分類討論，求解的最值，建立不等式，求解即可.
【詳解】

（1）如圖在中，過(guò)點(diǎn)作于，則，則, ,.
（2）
即或，

結(jié)合圖像可得，實(shí)數(shù)t的取值范圍為;
（3），令
即需滿足x∈[2，6]時(shí)，，

，
①當(dāng)，即時(shí)，，得，
②當(dāng)，即時(shí)，， 得，

③當(dāng)，即時(shí)，， 得

④當(dāng)，即時(shí)，，得，無(wú)解，
綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：
（1）直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．
（2）零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．
（3）利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．
41．（2021·廣東揭東·高一期末）如圖，是邊長(zhǎng)為的正三角形，記位于直線左側(cè)的圖形的面積為．

（1）求函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根據(jù)分段函數(shù)的定義，分段討論即可求出函數(shù)的解析式．
（2）求出的表達(dá)式，根據(jù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即，分類討論即可求出的值．
【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
所以.
（2）由（1）知，
當(dāng)時(shí)，若有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即有且只有一個(gè)根，則有，
因?yàn)椋裕矗?br /> 當(dāng)時(shí)，若有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即有且只有一個(gè)根，化簡(jiǎn)得有且只有一個(gè)根，
所以，解得或，
當(dāng)時(shí)，，所以內(nèi)，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，若有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即有且只有一個(gè)根，
則有，
因?yàn)?，所以，所以?br /> 綜上，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意；
當(dāng)時(shí)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意；
所以．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵是根據(jù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即，分類討論求出的取值范圍．
42．（2021·浙江浙江·高一期末）設(shè)函數(shù)，.
（1）判斷的奇偶性，并說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，均有成立，求的最大值.
【答案】（1）當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為非奇非偶函數(shù)；（2）4.
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，利用定義可得為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，利用反例可得 為非奇非偶函數(shù).
（2）原不等式等價(jià)于在 恒成立，令，求出 的最小值后可得滿足的不等式，從而得到的不等式，由此可求的最大值.
【詳解】（1）若，則，此時(shí) ，
又的定義域?yàn)椋蕿榕己瘮?shù).
若，則，但 ，故不是偶函數(shù)，
又，故不是奇函數(shù).
故當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)， 為非奇非偶函數(shù).
（2）因?yàn)閷?duì)任意的，均有，
故在 上恒成立.
令， ，
若，則，
因?yàn)?，故?br /> 當(dāng)時(shí)，，故 ，
故，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立.
若，，故 ，
故，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立.
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)在 上為減函數(shù)，
當(dāng)，，該函數(shù)在 上為減函數(shù)，
故，
故，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
故的最大值為4.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：（1）函數(shù)奇偶性的證明，一般依據(jù)定義來(lái)處理，說(shuō)明一個(gè)函數(shù)不是奇函數(shù)或偶函數(shù)，可通過(guò)反例來(lái)說(shuō)明.
（2）含絕對(duì)值的不等式的恒成立問(wèn)題，優(yōu)先利用參變分離的方法，多變量代數(shù)式的最值問(wèn)題，應(yīng)用通過(guò)相等關(guān)系或不等式消元轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值問(wèn)題.
43．（2021·河南駐馬店·高一期末（理））已知函數(shù)可以表示為一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和．
（1）請(qǐng)分別求出與的解析式；
（2）記．
（i）證明：為奇函數(shù)；
（ii）若存在，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1），；（2）（i）證明見(jiàn)解析；（ii）.
【分析】（1）根據(jù)題意，分析可得，結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得，聯(lián)立兩個(gè)式子分析可得答案；
（2）（i）求出的解析式，結(jié)合函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性定義分析可得結(jié)論；
（ii）根據(jù)題意，原問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為，令，記，即可．
【詳解】（1）根據(jù)題意
①，則
∵為奇函數(shù)，為偶函數(shù)
∴②
聯(lián)立①②可得，
（2）（i）由（1）得

定義域?yàn)?，?duì)任意，
都有∴為奇函數(shù)
（ii）∵為增函數(shù)，∴為減函數(shù)，
∴為增函數(shù)，
即為上單調(diào)遞增的奇函數(shù)
∴存在，使成立
即存在使得成立
即，使成立
令，使成立
∵在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
而，，∴，∴.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題中函數(shù)解析式的求法-方程組法，及函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，其中根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義構(gòu)造出關(guān)于關(guān)于與的另一個(gè)方程：是解答本題的關(guān)鍵.
44．（2021·廣東廣州·高一期末）給定函數(shù)．且用表示，的較大者，記為．
（1）若，試寫出的解析式，并求的最小值；
（2）若函數(shù)的最小值為，試求實(shí)數(shù)的值．
【答案】（1），；（2）或．
【分析】由的定義可得，（1）將代入，寫出解析式，結(jié)合分段區(qū)間，求，的最小值并比較大小，即可得的最小值；（2）結(jié)合的解析式及對(duì)稱軸，討論、、分別求得對(duì)應(yīng)最小值關(guān)于的表達(dá)式，結(jié)合已知求值.
【詳解】由題意，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
∴
（1）當(dāng)時(shí)，，

∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
.
（2），且對(duì)稱軸分別為，
①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；

，即，（舍去），
②當(dāng)，即時(shí)，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；

，有，故此時(shí)無(wú)解.
③當(dāng)，即時(shí)，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；

，即，（舍去）
綜上，得：或.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：寫出的解析式，第二問(wèn)需結(jié)合各分段上的函數(shù)性質(zhì)-對(duì)稱軸，討論參數(shù)范圍求最小值關(guān)于參數(shù)的表達(dá)式，進(jìn)而求參數(shù)值.
45．（2021·浙江浙江·高一期末）已知函數(shù)，函數(shù)，其中
（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（2）若，
①求使得成立的x的取值范圍；
②求在區(qū)間上的最大值．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“恒成立”，然后根據(jù)與的大小關(guān)系求解出的取值范圍；
（2）①分別考慮時(shí)不等式的解集，由此確定出成立的的取值范圍；
②先將寫成分段函數(shù)的形式，然后分段考慮的最大值，其中時(shí)注意借助二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分析.
【詳解】（1）因?yàn)楹愠闪?，所以恒成立?br /> 所以恒成立，所以，解得，
所以；
（2）①當(dāng)時(shí)，，所以，解得；
當(dāng)時(shí)，，所以，
因?yàn)椋裕?br /> 所以無(wú)解，
綜上所述：的取值范圍是；
②由①可知：，
當(dāng)時(shí)，，所以，所以；
當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸為，所以，
且，所以，
令，所以，所以，
綜上可知：.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題第二問(wèn)的關(guān)鍵在于對(duì)取最小值函數(shù)（）的理解以及分類討論思想的運(yùn)用，通過(guò)分類討論的思想確定出的解析式，再分析對(duì)應(yīng)的每段函數(shù)的最大值，從而確定出的最大值.
46．（2021·北京市八一中學(xué)高一期末）設(shè)集合，集合，如果對(duì)于任意元素，都有或，則稱集合為的自鄰集.記為集合的所有自鄰集中最大元素為的集合的個(gè)數(shù).
（1）直接判斷集合和是否為的自鄰集；
（2）比較和的大小，并說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)時(shí)，求證：.
【答案】（1）不是的自鄰集，是的自鄰集；（2），理由見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）利用自鄰集的定義直接判斷即可；
（2）利用自鄰集的定義求出的自鄰集中最大元集分別為6，5，3的所有自鄰集，從而可得答案；
（3）記集合所有子集中自鄰集的個(gè)數(shù)為，可得，然后分：①自鄰集中含這三個(gè)元素，②自鄰集中含有這兩個(gè)元素，不含，且不只有這兩個(gè)元素，③自鄰集只含有這兩個(gè)元素，三種情況求解即可
【詳解】解：（1）因?yàn)椋?br /> 所以和，
因?yàn)?，所以不是的自鄰集?br /> 因?yàn)?br /> 所以是的自鄰集，
（2），
則其自鄰集中最大元素為6的集合中必含5和6，則有{5，6}，{4，5，6}，{3，4，5，6}，{2，3，5，6}，{1，2，5，6}，{2，3，4，5，6}，{1，2，3，5，6}，{1，2，4，5，6}，{1，2，3，4，5，6}共9個(gè)，即
其自鄰集中最大元素為5的集合中必含4和5，則有{4，5}，{3，4，5}，{2，3，4，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}共5個(gè)，
其自鄰集中最大元素為3的集合中必含2和3，則有{2，3}，{1，2，3}共2個(gè)，
所以
（3）證明：記集合所有子集中自鄰集的個(gè)數(shù)為，由題意可得當(dāng)時(shí)， ，，顯然
①自鄰集中含這三個(gè)元素，記去掉這個(gè)自鄰集中的元素后的集合為，因?yàn)?，所以仍是自鄰集，且集合中的最大元素為，所以含有這三個(gè)元素的自鄰集的個(gè)數(shù)為，
②自鄰集中含有這兩個(gè)元素，不含，且不只有這兩個(gè)元素，記自鄰集除之外最大元素為，則，每個(gè)自鄰集中去掉這兩個(gè)元素后，仍為自鄰集，此時(shí)的自鄰集的最大元素為，可將此時(shí)的自鄰集分為種情況：
含有最大數(shù)為2的集合個(gè)數(shù)為
含有最大數(shù)為3的集合個(gè)數(shù)為
……，含有最大數(shù)為的集合個(gè)數(shù)為
則這樣的集合共有，
③自鄰集只含有這兩個(gè)元素，這樣的自鄰集只有1個(gè)，
綜上可得
因?yàn)椋?
所以，
所以，所以
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查集合的新定義，考查集合子集的有關(guān)知識(shí)，考查分析問(wèn)題的能力，解題的關(guān)鍵是對(duì)集合新定義的理解，考查理解能力，屬于較難題
47．（2021·江蘇·南京市第十三中學(xué)高一期末）已知集合，對(duì)于A的子集S若存在不大于的正整數(shù)，使得對(duì)于S中的任意一對(duì)元素、，都有，則稱具有性質(zhì).
（1）當(dāng)時(shí)，判斷集合和是否具有性質(zhì)P？并說(shuō)明理由；
（2）若時(shí)，
①如果集合S具有性質(zhì)P，那么集合是否一定具有性質(zhì)P？并說(shuō)明理由；
②如果集合S具有性質(zhì)P，求集合S中元素個(gè)數(shù)的最大值.
【答案】（1）集合不具有性質(zhì)，集合不具有性質(zhì)，理由見(jiàn)解析；（2）①集合具有性質(zhì)，理由見(jiàn)解析；②，證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，由題中所給新定義直接判斷即可；
（2）若時(shí)，則，①根據(jù)，任取，其中，可得，利用性質(zhì)的定義加以驗(yàn)證即可證明；②設(shè)集合有個(gè)元素，
由①知： 任給，，則和中必有一個(gè)不超過(guò)，
所以集合和集合中必有一個(gè)集合中至少存在一半的元素不超過(guò)，然后利用性質(zhì)的定義進(jìn)行分析可得，即解不等式即可求解.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
不具有性質(zhì)，
因?yàn)閷?duì)于集合中任意不大于的正整數(shù)，都可以找到該集合中兩個(gè)元素，使得成立，
具有性質(zhì).
因?yàn)?，?duì)于該集合中任意一對(duì)元素，，
都有，
（2）若時(shí)，則，
①如果集合S具有性質(zhì)P，那么集合一定具有性質(zhì)，
因?yàn)?，任取，其中?br /> 因?yàn)?，所以?br /> 從而，即，所以，
由集合S具有性質(zhì)，可知存在不大于的正整數(shù)，使得對(duì)于中的一切元素都有，從集合中任取一對(duì)元素，，其中，則由，
所以集合一定具有性質(zhì)，
②設(shè)集合有個(gè)元素，
由①知：若集合S具有性質(zhì)P，那么集合一定具有性質(zhì)，
任給，，則和中必有一個(gè)不超過(guò)，
所以集合和集合中必有一個(gè)集合中至少存在一半的元素不超過(guò)，
不妨設(shè)中有個(gè)元素不超過(guò)，由集合S具有性質(zhì)P，可知存在正整數(shù)，使得對(duì)于中的一切元素都有，
所以一定有，又因?yàn)椋?br /> 故，即集合中至少有個(gè)元素不在集合中，
因此，所以，解得：，
當(dāng)時(shí)，取，
易知對(duì)于集合中任意兩個(gè)元素都有，即集合S具有性質(zhì)P，
而此時(shí)集合中有個(gè)元素，
因此集合S中元素個(gè)數(shù)的最大值是.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是理解一個(gè)具有性質(zhì)的含義，以及集合之間包含關(guān)系的判斷，要求有較強(qiáng)的抽象思維能力，以及對(duì)數(shù)的分析.
48．（2021·江蘇·南京市第十三中學(xué)高一期末）已知函數(shù)（且）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且．
（1）求的值，并判斷和證明的單調(diào)性；
（2）是否存在實(shí)數(shù)（且），使函數(shù)在上的最大值為0，如果存在，求出實(shí)數(shù)所有的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）是否存在正數(shù)，使函數(shù)在上的最大值為，若存在，求出值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）；單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析；（2）存在，；（3），理由見(jiàn)解析.
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出的值，根據(jù)，求出的值，從而求出函數(shù)的解析式，任取實(shí)數(shù)，判斷的符號(hào)即可出函數(shù)的單調(diào)性；
（2）求出，設(shè)，則，得到，，記，通過(guò)討論的取值范圍，求出函數(shù)的最大值，確定的值即可；
（3）令，根據(jù)是單調(diào)遞增函數(shù)，得到的范圍，然后得到，再求出的值即可．
【詳解】（1）函數(shù)且是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，，
，即，解得：，
代入原函數(shù)，則有，
所以，
（1），，，或，
，，，
任取實(shí)數(shù)，則，
，，又，
，是單調(diào)增函數(shù)；
（2）

，
設(shè)，則，
，，，，記，
當(dāng)，即時(shí)，要使的最大值為0，則要，
，，，，
在，上單調(diào)遞增，
，由，得，
因，所以滿足題意；
當(dāng)，即時(shí)，要使的最大值為0，
則要，且，，
①若，則，解得：，
又，
，由于，不合題意，
②若，即，
則，，
綜上所述，只存在滿足題意；
（3）令，由（1）知是單調(diào)遞增函數(shù)，
當(dāng)，時(shí)，，，
，，其最大值為，
也即有最值1，二次函數(shù)最值只可能在端點(diǎn)或者對(duì)稱軸處取，
只可能是以下三種情況：
①，解得，此時(shí)對(duì)稱軸為，左端點(diǎn)處取的是二次函數(shù)最小值，
而，也即最小值，不合題意舍去．
②，解得，此時(shí)對(duì)稱軸為，右端點(diǎn)離對(duì)稱軸更遠(yuǎn)，取的最大值，
而，也即最大值，符合．
③，解得，此時(shí)對(duì)稱軸為，不在區(qū)間上，
最值不可能在對(duì)稱軸處取到，不合題意舍去．
綜上所述，．
【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)的值，利用定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)最值得求法，考查了轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想，屬難題．
49．（2021·江蘇揚(yáng)州·高一期末）若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則對(duì)函數(shù)定義域中的任意，恒有.如：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則對(duì)函數(shù)定義域中的任意，恒有.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，，其中實(shí)數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底.
（1）計(jì)算的值，并求函數(shù)在上的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)，對(duì)任意，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）根據(jù)題意有，令得；當(dāng)時(shí)，，代入及化簡(jiǎn)即可；
（2）題意等價(jià)于的值域是值域的子集，討論，情況下的值域是值域的子集成立時(shí)的范圍.
【詳解】（1）因?yàn)閳D象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以
則，即.
當(dāng)時(shí)，，
則.
綜上，.
（2）設(shè)在區(qū)間上值域?yàn)椋?br /> 在的值域?yàn)?，則.
因?yàn)閷?duì)任意，總存在，
使得成立，所以.
①當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以值域?yàn)?
又因?yàn)?，所以，?br /> 所以，符合題意.
②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，
所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，，，
因?yàn)?，?br /> 所以要使得，只需，解得.
又，所以.
綜上，的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立與有解問(wèn)題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：
一般地，已知函數(shù)，
（1）若，，總有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若若，，有，則的值域是值域的子集.
50．（2021·浙江·高一期末）設(shè)a為正數(shù)，函數(shù)滿足且
（1）若f(1)=1，求f(x)；
（2）設(shè)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)t，總存在x1、x2∈[t-1，t+1]，使得f(x1)-f(x2)≥g(x3)-g(x4)對(duì)所有x3,x4∈都成立，求a的取值范圍.
【答案】（1），（2）
【分析】（1）由題意得，且，，解方程可得，進(jìn)而得到函數(shù)的解析式；
（2）求得在上的最值，可得的最大值為1，則對(duì)任意的實(shí)數(shù)，總存在，使得，討論的對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，可得的最值，解不等式可得所求范圍
【詳解】解：（1）函數(shù)滿足且，
所以，且，得，
因?yàn)?，所以，得?br /> 所以，
（2），
當(dāng)可得的最小值為，最大值為，
所以的最大值為，
所以對(duì)任意的實(shí)數(shù)，總存在，使得，
設(shè)在上的最大值為，最小值為，
的對(duì)稱軸為直線，
令，則對(duì)任意的實(shí)數(shù)，，
①當(dāng)時(shí)，在上遞增，可得，
則，此時(shí)，得，
②當(dāng)時(shí)，，，
，
所以，
③當(dāng)時(shí)，，，
，
所以，
④當(dāng)時(shí)，在上遞減，可得，，
則，
此時(shí)，得，綜上，的取值范圍為
【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)的解析式的求法，考查函數(shù)恒成立問(wèn)題的解法，考查轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想，考查計(jì)算能力，屬于難題

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期末精選50題（基礎(chǔ)版）新高考高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末考試滿分全攻略（人教A 版2019）解析版
高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末精選50題（基礎(chǔ)版）-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)考試滿分全攻略（人教A版2019必修第二冊(cè)）（解析版）

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高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末精選50題（壓軸版）-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)考試滿分全攻略（人教A版2019必修第二冊(cè)）（原卷版）

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高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末精選50題（壓軸版）-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)考試滿分全攻略（人教A版2019必修第二冊(cè)）

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