【期中復(fù)習(xí)】2023-2024學(xué)年（滬教版2020選修）高二數(shù)學(xué)下冊專題1-1直線的傾斜角與斜率-考點歸納講練.zip-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

知識點1.直線的傾斜角
1．定義：當(dāng)直線l與x軸相交時，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．
2．范圍：[0，π）（特別地：當(dāng)直線l和x軸平行或重合時，規(guī)定直線l的傾斜角為0°）
3．意義：體現(xiàn)了直線對x軸正方向的傾斜程度．
【解題方法點撥】
直線的傾斜角常結(jié)合直線的斜率進(jìn)行考查．直線傾斜角和斜率是解析幾何的重要概念之一，是刻畫直線傾斜程度的幾何要素與代數(shù)表示，也是用坐標(biāo)法研究直線性質(zhì)的基礎(chǔ)．在高考中多以選擇填空形式出現(xiàn)，是高考考查的熱點問題．
知識點2.直線的斜率
1．定義：當(dāng)直線傾斜角α≠時，其傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率．用小寫字母k表示，即k＝tanα．
2．斜率的求法
（1）定義：k＝tanα（α≠）
（2）斜率公式：k＝．
3．斜率與傾斜角的區(qū)別和聯(lián)系
（1）區(qū)別：①每條直線都有傾斜角，范圍是[0，π），但并不是每條直線都有斜率．
②傾斜角是從幾何的角度刻畫直線的方向，而斜率是從代數(shù)的角度刻畫直線的方向．
（2）聯(lián)系：
①當(dāng)α≠時，k＝tanα；當(dāng)α＝時，斜率不存在；
②根據(jù)正切函數(shù)k＝tanα的單調(diào)性：當(dāng)α∈[0，）時，k＞0且隨α的增大而增大，當(dāng)α∈（，π）時，k＜0且隨α的增大而增大．
【解題方法點撥】
直線的斜率常結(jié)合直線的傾斜角進(jìn)行考查．直線傾斜角和斜率是解析幾何的重要概念之一，是刻畫直線傾斜程度的幾何要素與代數(shù)表示，也是用坐標(biāo)法研究直線性質(zhì)的基礎(chǔ)．在高考中多以選擇填空形式出現(xiàn)，是高考考查的熱點問題．
【命題方向】
（1）已知傾斜角范圍求斜率的范圍；
（2）已知斜率求傾斜角的問題．
（3）斜率在數(shù)形結(jié)合中的應(yīng)用．
題型一：直線的傾斜角
1．（2023秋?寶山區(qū)月考）已知直線的方程為，則直線的傾斜角為
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)題意，求得直線的斜率，然后根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系，算出直線的傾斜角．
【解答】解：根據(jù)題意得直線的斜率，
設(shè)直線的傾斜角為，則，且，，解得．
故選：．
【點評】本題主要考查了直線的斜率與傾斜角及其應(yīng)用，考查概念的理解能力，屬于基礎(chǔ)題．
2．（2023秋?青浦區(qū)校級期末）若直線，則直線的傾斜角是
【分析】根據(jù)題意算出的值，可得直線的方程為，再根據(jù)傾斜角的概念算出答案．
【解答】解：因為，所以直線即，
根據(jù)直線的方程，可知直線與軸垂直，故直線的傾斜角是．
故答案為：．
【點評】本題主要考查直線的方程、直線的斜率與傾斜角等知識，屬于基礎(chǔ)題．
3．（2023秋?青浦區(qū)校級期末）直線的傾斜角為．．
【分析】直接利用直線的方程求出直線的傾斜角．
【解答】解：直線垂直于軸，故直線的傾斜角為．
故答案為：．
【點評】本題主要考查了直線的傾斜角的求解，屬于基礎(chǔ)題．
4．（2023?閔行區(qū)校級開學(xué)）若直線與直線平行，直線的斜率為，則直線的傾斜角為．
【分析】根據(jù)兩直線平行，傾斜角相等即可．
【解答】解：因為直線的斜率為，
所以直線的傾斜角為，
直線與直線平行，
所以直線的傾斜角為．
故答案為：．
【點評】本題考查直線平行的性質(zhì)的應(yīng)用及直線傾斜角的求法，屬于基礎(chǔ)題．
5．（2023秋?浦東新區(qū)校級期中）已知直線經(jīng)過，兩點，則該直線的傾斜角為．
【分析】由，兩點的坐標(biāo)可得直線的斜率，進(jìn)而求出直線的傾斜角的大?。?br>【解答】解：由，，可得，
設(shè)直線的傾斜角為，且，，
所以，可得．
故答案為：．
【點評】本題考查直線的斜率的求法及傾斜角的求法，屬于基礎(chǔ)題．
6．（2023秋?浦東新區(qū)校級期中）直線的傾斜角為 120 ．
【分析】由直線的方程求得直線的斜率，再根據(jù)傾斜角和斜率的關(guān)系求得它的傾斜角．
【解答】解：由于直線的斜率為，設(shè)傾斜角為，則，，
故答案為：．
【點評】本題主要考查直線的傾斜角和斜率，屬于基礎(chǔ)題．
7．（2023秋?長寧區(qū)校級期末）直線的斜率的取值范圍為，，則其傾斜角的取值范圍是，，．
【分析】由斜率的定義及正切函數(shù)的性質(zhì)，即可求得結(jié)果．
【解答】解：設(shè)直線的傾斜角為，，，
設(shè)直線的斜率為，因為，，
當(dāng)時，則，，
當(dāng)時，則，．
故傾斜角的范圍為，，．
故答案為：，，．
【點評】本題考查由直線的斜率的范圍求傾斜角的范圍的方法，分類討論的思想，屬于基礎(chǔ)題．
8．（2023秋?徐匯區(qū)期末）已知直線經(jīng)過點，則直線傾斜角的大小為．
【分析】先求得直線的斜率，進(jìn)而求得直線傾斜角的大小．
【解答】解：由直線經(jīng)過點，可得，解之得，
設(shè)直線傾斜角為，則，
又，，則．
則直線傾斜角的大小為．
故答案為：．
【點評】本題主要考查直線的傾斜角，屬于基礎(chǔ)題．
9．（2023秋?普陀區(qū)校級期中）直線的傾斜角的取值范圍是，．
【分析】分別討論直線的斜率垂直和不存在兩種情況，再由的范圍，可得直線的斜率的范圍，進(jìn)而求出直線的傾斜角的范圍．
【解答】解：當(dāng)時，則直線的斜率不存在，此時直線的傾斜角為，
當(dāng)時，則直線的斜率為，則它的傾斜角的范圍為，；
當(dāng)時，則直線的斜率為，則它的傾斜角的范圍為，；
綜上所述：直線的傾斜角的范圍為，．
故答案為：，．
【點評】本題考查分類討論的思想及直線的傾斜角的范圍的求法，屬于基礎(chǔ)題．
10．（2023春?黃浦區(qū)校級期中）過、兩點的直線的傾斜角為，那么 1 ．
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線的斜率公式，即可求解．
【解答】解：過、兩點的直線的傾斜角為，
則，
又．
故答案為：1．
【點評】本題主要考查直線的斜率公式屬于基礎(chǔ)題．
11．（2023?黃浦區(qū)校級三模）若直線的傾斜角為，則的值為．
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，以及三角函數(shù)的恒等變換，即可求解．
【解答】解：直線的傾斜角為，
則，
故．
故答案為：．
【點評】本題主要考查直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，以及三角函數(shù)的恒等變換，屬于基礎(chǔ)題．
12．（2023秋?松江區(qū)校級月考）若直線的一個方向向量，則直線的傾斜角是．．
【分析】由直線的方向向量可得直線的斜率，進(jìn)而求出它的傾斜角的大?。?br>【解答】解：由直線的方向向量，可得直線的斜率，
所以直線的傾斜角為．
故答案為：．
【點評】本題考查直線的斜率與其方向向量的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
13．（2023秋?寶山區(qū)校級期末）已知直線經(jīng)過點，則直線傾斜角的大小為．
【分析】求出直線的斜率，從而得到傾斜角．
【解答】解：將代入解析式得，解得，
故直線傾斜角為．
故答案為：．
【點評】本題主要考查直線的斜率和傾斜角，屬于基礎(chǔ)題．
14．（2023春?寶山區(qū)期末）直線的傾斜角為．
【分析】利用直線的性質(zhì)求解．
【解答】解：直線垂直于軸，
直線的傾斜角為．
故答案為：．
【點評】本題考查直線的傾斜角的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意直線性質(zhì)的合理運用．
15．（2023秋?虹口區(qū)校級月考）若，，且過點的直線與線段有公共點，則直線的斜率的取值范圍及傾斜角的取值范圍是，，，，．
【分析】利用斜率的計算公式及其意義即可得出．
【解答】解：如圖示：
，，
過點的直線與線段有公共點，
或．
直線的斜率的取值范圍是，，，
傾斜角的取值范圍是是，．
故答案為：，，，，．
【點評】本題考查了斜率的計算公式及其意義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
16．（2023秋?浦東新區(qū)校級月考）若直線與直線的傾斜角相等，則實數(shù) 1 ．
【分析】首先將直線化為斜截式，依題意可得，即可得解．
【解答】解：直線即，
直線即，
因為直線與直線的傾斜角相等，
所以，即．
故答案為：1．
【點評】本題考查了直線的傾斜角，考查了直線平行的性質(zhì)，是中檔題．
題型二：直線的斜率
17．（2023秋?浦東新區(qū)校級月考）已知，，則直線的斜率為．
【分析】利用經(jīng)過兩點的直線的斜率公式加以計算，即可得到本題的答案．
【解答】解：根據(jù)題意，可得．
故答案為：．
【點評】本題主要考查直線的斜率公式及其應(yīng)用，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
18．（2023秋?浦東新區(qū)校級期末）直線的斜率為，則實數(shù)的值為．
【分析】根據(jù)題意可得，將直線化簡為斜截式，繼而根據(jù)斜率為列式算出的值．
【解答】解：直線化成斜截式，可得，
因為直線的斜率為，所以，解得．
故答案為：．
【點評】本題主要考查直線的方程與直線的斜率等知識，考查了概念的理解能力，屬于基礎(chǔ)題．
19．（2023春?金山區(qū)校級期末）已知直線，則直線的斜率．
【分析】先把直線方程化為斜截式即可求解．
【解答】解：因為，即，
則直線的斜率．
故答案為：．
【點評】本題主要考查了直線的斜率公式，屬于基礎(chǔ)題．
20．（2023秋?奉賢區(qū)校級月考）若直線和直線斜率互為相反數(shù)，則或0 ．
【分析】由兩條直線的方程可得它們的斜率，由題意可得的值．
【解答】解：由題意可得直線的斜率，
直線的斜率，
由題意可得，整理可得：，
解得或，都符合條件．
故答案為：或0．
【點評】本題考查直線的斜率的求法，屬于基礎(chǔ)題．
21．（2023秋?虹口區(qū)校級月考）直線的傾斜角滿足，則直線斜率為．
【分析】根據(jù)斜率的定義結(jié)合同角三角關(guān)系運算求解．
【解答】解：因為，，且，則，
所以直線斜率為．
故答案為：．
【點評】本題主要考查直線的斜率，屬于基礎(chǔ)題．
22．（2023春?松江區(qū)校級期中）已知點，，，若線段，，不能構(gòu)成三角形，則的值是 4 ．
【分析】由線段，，不能構(gòu)成三角形知，，三點共線，由求得的值．
【解答】解：因為線段，，不能構(gòu)成三角形，所以，，三點共線，
顯然直線的斜率存在，故，即，解得．
故答案為：4．
【點評】本題主要考查直線的斜率公式，屬于基礎(chǔ)題．
23．（2023秋?奉賢區(qū)校級月考）已知經(jīng)過兩點，的直線的斜率為1，則的值為 6 ．
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合斜率公式，即可求解．
【解答】解：經(jīng)過兩點，的直線的斜率為1，
，解得．
故答案為：6．
【點評】本題主要考查斜率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
24．（2023春?浦東新區(qū)校級期中）已知兩點，，直線過點，若直線與線段相交，則直線的斜率取值范圍是
A．B．
C．D．
【分析】由題意，根據(jù)直線的斜率公式，求出直線、的斜率，可得直線的斜率取值范圍．
【解答】解：如圖所示：
由于直線與線段相交，
故有或，
求得，，
可得直線的斜率取值范圍是，
故選：．
【點評】本題主要考查直線的斜率公式，屬于基礎(chǔ)題．
25．（2022秋?奉賢區(qū)校級月考）已知線段兩端點的坐標(biāo)分別為和，若直線恒過，且與線段有交點，則的斜率的取值范圍是．
【分析】根據(jù)已知條件及直線的斜率公式即可求解．
【解答】解：因為直線恒過，和，
所以，，
由題意可知，直線的斜率存在且的斜率，若直線與線段有交點，如圖所示：
由圖象可知，或，即或，
所以的斜率的取值范圍是為．
故答案為：．
【點評】本題主要考查直線的斜率公式，屬于基礎(chǔ)題．
26．（2023秋?寶山區(qū)校級月考）在線段上運動，已知，，則的取值范圍是，．
【分析】畫出圖形，求出的斜率，即可得到的取值范圍．
【解答】解：如圖：表示線段上的點與連線的斜率，
，，
則的取值范圍是，．
故答案為：，．
【點評】本題考查直線的斜率的求法，考查計算能力．
27．（2023秋?徐匯區(qū)校級月考）已知線段的端點，，直線與線段相交，則的取值范圍是．
【分析】首先求出直線恒過的定點，再利用直線的斜率關(guān)系式求出結(jié)果．
【解答】解：由于線段的端點，，直線與線段相交，
直線整理得，故直線恒過點，
由于直線與線段相交，
故直線的斜率滿足．
即的取值范圍滿足：．
故答案為：．
【點評】本題考查的知識要點：直線的傾斜角和斜率的關(guān)系式，主要考查學(xué)生的理解能力和計算能力，屬于中檔題．
題型三：直線傾斜角和斜率的綜合應(yīng)用
1．（2023上·高二課時練習(xí)）如圖，已知點、、，點是線段上任意一點，求直線的斜率的取值范圍．

【答案】
【分析】利用點的坐標(biāo)并結(jié)合圖形可知，分別計算出和之間的斜率即可.
【詳解】根據(jù)題意可知，兩點之間的斜率為，
兩點之間的斜率為，
又點是線段上任意一點，由傾斜角與斜率之間的關(guān)系可知，
即直線的斜率的取值范圍為.
2．（2024上·上?！じ叨倨谧鳂I(yè)）已知兩點，過點的直線與線段有公共點．
(1)求直線的斜率的取值范圍；
(2)求直線的傾斜角的取值范圍．
【答案】(1)．
(2)．
【分析】（1）由圖可知要使直線與線段有公共點，只需直線的斜率滿足或，從而可求得答案；
（2）由斜率與傾斜角的關(guān)系可求出直線的傾斜角的取值范圍．
【詳解】（1）因為，，
所以
因為直線與線段有公共點，
所以由圖可知直線的斜率滿足或，
所以直線的斜率的取值范圍是．

（2）由題意可知直線l的傾斜角介于直線與的傾斜角之間，
因為直線的傾斜角是，直線的傾斜角是，
所以的取值范圍是．
3．（2023上·高二課時練習(xí)）根據(jù)下列直線的傾斜角的取值范圍，計算斜率的取值范圍．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由斜率與傾斜角之間的關(guān)系，并結(jié)合正切函數(shù)單調(diào)性及值域，可得斜率；
（2）當(dāng)傾斜角為鈍角時，斜率為負(fù)值，由正切函數(shù)值域可得.
【詳解】（1）根據(jù)斜率與傾斜角之間的關(guān)系，
利用正切函數(shù)單調(diào)性可知，正切函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又，
所以時，斜率，
即斜率的取值范圍是.
（2）由正切函數(shù)性質(zhì)可知，時，單調(diào)遞增，
且趨近于時，趨近于，易知；
所以當(dāng)時，斜率，
即斜率的取值范圍是
4．（2023上·高二課時練習(xí)）已知、、三點構(gòu)成一個三角形，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】
【分析】首先求出的斜率，再分、兩種情況討論，由得到不等式，解得即可.
【詳解】因為、、，
所以，
當(dāng)，即，此時，，，則的斜率不存在，
此時、、三點能構(gòu)成一個三角形，
當(dāng)，即時，，
要使、、三點能構(gòu)成一個三角形，則，即，解得，
綜上可得實數(shù)的取值范圍.
5．（2022上·上海普陀·高二曹楊二中?？茧A段練習(xí)）若直線經(jīng)過兩點，斜率為，傾斜角為.
(1)用分別表示直線的斜率和傾斜角；
(2)求的取值范圍.
【答案】(1)，或
(2)
【分析】（1）計算，根據(jù)和兩種情況得到傾斜角.
（2），得到傾斜角范圍.
【詳解】（1），
當(dāng)或時，，；
當(dāng)時，，；
（2），所以.
一．填空題（共12小題）
1．（2023春?崇明區(qū)期末）已知直線經(jīng)過點、，則它的斜率．
【分析】根據(jù)題意，由直線的斜率計算公式計算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，直線經(jīng)過，兩點，
則的斜率．
故答案為：．
【點評】本題考查直線的斜率計算，注意直線的斜率計算公式即可，屬于基礎(chǔ)題．
2．（2023春?浦東新區(qū)期中）直線的傾斜角為．
【分析】求出直線的斜率，即可得到直線的傾斜角．
【解答】解：直線的斜率為1；所以直線的傾斜角為．
故答案為．
【點評】本題考查直線的有關(guān)概念，直線的斜率與直線的傾斜角的關(guān)系，考查計算能力．
3．（2023春?上海月考）直線的傾斜角的大小為．
【分析】化直線的一般式方程為斜截式，求出直線的斜率，由傾斜角的正切值等于斜率求傾斜角．
【解答】解：由，得
，
直線的斜率為，
設(shè)其傾斜角為，
則，
．
故答案為：．
【點評】本題考查直線的傾斜角，考查直線傾斜角與斜率的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．
4．（2023秋?虹口區(qū)校級月考）直線的傾斜角范圍是，．
【分析】根據(jù)直線傾斜角的定義判斷即可．
【解答】解：直線的傾斜角的范圍是，，
故答案為：，．
【點評】本題考查了直線的傾斜角的范圍，考查基礎(chǔ)知識的掌握．
5．（2023秋?浦東新區(qū)校級月考）直線的傾斜角是（用反正切表示）．
【分析】由已知直線方程求出直線的斜率，再由反正切得答案．
【解答】解：由直線，得，
直線的斜率為，
設(shè)其傾斜角為，，，
則．
．
故答案為：．
【點評】本題考查直線的傾斜角，考查了反正切函數(shù)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
6．（2023春?嘉定區(qū)期末）直線x+y+2＝0的傾斜角是．
【分析】設(shè)直線x+y+2＝0的傾斜角是θ，可得：tanθ＝﹣1，θ∈[0，π），即可得出．
【解答】解：設(shè)直線x+y+2＝0的傾斜角是θ，可得：tanθ＝﹣1，θ∈[0，π），
解得θ＝．
故答案為：．
【點評】本題考查了直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
7．（2023春?黃浦區(qū)校級期中）過，的直線的斜率為 1 ．
【分析】由題意，利用直線的斜率公式，計算求得結(jié)果．
【解答】解：過，的直線的斜率為．
故答案為：1．
【點評】本題主要考查直線的斜率公式，屬于基礎(chǔ)題．
8．（2023秋?楊浦區(qū)校級期中）直線的傾斜角的大小為．
【分析】由直線方程得直線的斜率，再由斜率等于傾斜角的正切值，結(jié)合反正切得答案．
【解答】解：由，得，
得直線的斜率為，
設(shè)其傾斜角為，則，得．
故答案為：．
【點評】本題考查直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，考查反正切的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
9．（2023春?普陀區(qū)校級期末）已知直線經(jīng)過點．直線的傾斜角是．
【分析】由題意，利用直線的斜率的定義和公式，求出直線的傾斜角．
【解答】解：直線經(jīng)過點，設(shè)直線的傾斜角是，，，
，
．
故答案為：．
【點評】本題主要考查直線的斜率的定義和公式，屬于基礎(chǔ)題．
10．（2023春?靜安區(qū)校級期中）將直線繞原點旋轉(zhuǎn)得到直線，若直線的斜率1，則直線的傾斜角是或（結(jié)果用角度制表示）．
【分析】直接利用直線的傾斜角和斜率的關(guān)系及直線的旋轉(zhuǎn)求出結(jié)果．
【解答】解：直線繞原點旋轉(zhuǎn)得到直線，若直線的斜率1，即直線的傾斜角為，
當(dāng)直線按逆時針旋轉(zhuǎn)時，得到直線的傾斜角為，
當(dāng)直線按順時針旋轉(zhuǎn)時，得到直線的傾斜角為．
故答案為：或．
【點評】本題考查的知識要點：直線的傾斜角和斜率的關(guān)系，直線的旋轉(zhuǎn)，主要考查學(xué)生的理解能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
11．（2023秋?浦東新區(qū)校級月考）直線的傾斜角為．
【分析】直接利用直線的方程求出直線的傾斜角．
【解答】解：由于直線，
故該直線垂直于軸，
故直線的傾斜角為．
故答案為：
【點評】本題考查的知識要點：直線的傾斜角，主要考查學(xué)生的理解能力，屬于基礎(chǔ)題．
12．（2023春?奉賢區(qū)期末）過點、的直線的傾斜角為．（用反三角表示）
【分析】直接利用兩點求出直線的斜率，進(jìn)一步求出直線的傾斜角．
【解答】解：過點、的直線的斜率，
故．
故答案為：．
【點評】本題考查的知識要點：直線的斜率和直線的傾斜角的關(guān)系，主要考查學(xué)生的理解能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
二．選擇題（共4小題）
13．（2023春?寶山區(qū)期末）若，，則直線不經(jīng)過第象限
A．一B．二C．三D．四
【分析】由題意，把直線的方程化為斜截式，根據(jù)直線的斜率以及它在軸上的截距，確定它的位置．
【解答】解：若，，則直線即，
故直線的斜率，直線在軸上的截距，
故直線經(jīng)過第一、二、三象限，不經(jīng)過第四象限．
故選：．
【點評】本題主要考查確定直線位置關(guān)系的幾何要素，屬于基礎(chǔ)題．
14．（2022秋?嘉定區(qū)校級期末）下列說法正確的是
A．直線的傾斜角越大，它的斜率越大
B．兩直線的傾斜角相等，則它們的斜率也相等
C．任何一條直線都有唯一的斜率
D．任何一條直線都有唯一的傾斜角
【分析】根據(jù)直線的傾斜角和斜率概念分別判斷即可．
【解答】解：對于：直線的傾斜角，，，，所以錯誤；
對于：兩直線的傾斜角相等為，斜率不存在，所以錯誤；
對于：當(dāng)直線的傾斜角為時直線斜率不存在，所以錯誤；
對于：任何一條直線都有唯一的傾斜角，所以正確．
故選：．
【點評】本題考查直線的斜率與直線的傾斜角的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．
15．（2023秋?寶山區(qū)校級期末）直線傾斜角的范圍是
A．，B．，C．，D．，
【分析】根據(jù)直線傾斜角的定義判斷即可．
【解答】解：直線傾斜角的范圍是：，，
故選：．
【點評】本題考查了直線傾斜角的范圍，考查傾斜角的定義，是一道基礎(chǔ)題．
16．（2023春?閔行區(qū)校級月考）在平面直角坐標(biāo)系中，把橫、縱坐標(biāo)均為有理數(shù)的點稱為有理點．若為無理數(shù)，則在過點的所有直線中
A．有無窮多條直線，每條直線上至少存在兩個有理點
B．恰有條直線，每條直線上至少存在兩個有理點
C．有且僅有一條直線至少過兩個有理點
D．每條直線至多過一個有理點
【分析】根據(jù)題意，假設(shè)一條直線上存在兩個有理點，由此推斷滿足條件的直線有多少即可．
【解答】解：設(shè)一條直線上存在兩個有理點，，，，
由于也在此直線上，
所以，當(dāng)時，有為無理數(shù)，與假設(shè)矛盾，此時該直線不存在有理點；
當(dāng)時，直線的斜率存在，且有，
又為無理數(shù)，而為有理數(shù)，
所以只能是，且，
即；
所以滿足條件的直線只有一條，且直線方程是；
所以，正確的選項為．
故選：．
【點評】本題考查了新定義的關(guān)于直線方程與直線斜率的應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是理解新定義的內(nèi)容，尋找解題的途徑，是難理解的題目．
三．解答題（共5小題）
17．（2021秋?奉賢區(qū)校級月考）若求直線經(jīng)過、兩點．求：
（1）求直線的傾斜角關(guān)于的函數(shù)解析式；
（2）直線的傾斜角的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)題意，求出直線的斜率，結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系可得答案；
（2）根據(jù)題意，分析的取值范圍，結(jié)合正切函數(shù)的圖象分析可得答案．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，直線經(jīng)過、兩點，
則其斜率，
則有，
（2）根據(jù)題意，由（1）的結(jié)論，，即，
而，由正切函數(shù)的圖象，可得的范圍為，，．
【點評】本題考查直線的斜率與傾斜角的計算，涉及正切函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
18．（2022秋?浦東新區(qū)校級月考）（1）設(shè)坐標(biāo)平面內(nèi)三點、、，若直線的斜率是直線的斜率的3倍，求實數(shù)的值；
（2）已知直線的斜率為，直線的傾斜角是直線傾斜角的2倍，求直線的斜率．
【分析】（1）由已知結(jié)合直線的斜率公式即可求解；
（2）結(jié)合直線的傾斜角與斜率關(guān)系即可求解．
【解答】解：（1）由，
即，解得或，
經(jīng)檢驗均符合題意，故的值是1或2，
（2）設(shè)直線的傾斜角為，則直線的傾斜角為，
由已知，，則直線的斜率為．
【點評】本題主要考查了直線的斜率公式及直線的傾斜角與斜率關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
19．（2023?浦東新區(qū)校級開學(xué)）設(shè)直線的方程是，其傾斜角為．
（1）若，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若將傾斜角用表示，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系．
【分析】（1）根據(jù)直線的傾斜角與斜率關(guān)系，函數(shù)思想即可求解；
（2）根據(jù)直線的傾斜角與斜率關(guān)系，反三角函數(shù)的定義即可求解．
【解答】解：（1），其傾斜角為，且，
，
，
，，
，，
，
，；
（2），
．
【點評】本題考查了直線的傾斜角與斜率關(guān)系，反三角函數(shù)的定義，函數(shù)思想，屬基礎(chǔ)題．
20．（2022秋?浦東新區(qū)校級月考）已知點和非零實數(shù)，若兩條不同的直線，均過點，且斜率之積為，則稱直線，是一組“共軛線對”，如直線，是一組“共軛線對”，其中是坐標(biāo)原點．
（1）已知，是一組“共軛線對”，求的最小值；
（2）已知點、點和點分別是三條直線，，上的點，，與，，均不重合），且直線，是“共軛線對”，直線，是“共軛線對”，直線，是“共軛線對”，求點的坐標(biāo)．
【分析】（1）結(jié)合已知定義，利用基本不等式即可求解；
（2）結(jié)合直線定義可分別求出，，，進(jìn)而可求三條直線，聯(lián)立方程可求．
【解答】解：（1）設(shè)的斜率為，則的斜率為，
則
等號成立的條件是，所以最小值為；
（2）設(shè)直線，，的斜率分別為，，，
則
得或，，，
當(dāng)時，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立得，；
當(dāng)，，時，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立得，；
故所求為或．
【點評】本題以新定義為載體，主要考查了直線的斜率關(guān)系的應(yīng)用，還考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．
21．（2022秋?浦東新區(qū)校級月考）設(shè)直線的方程為，其傾斜角為．
（1）將傾斜角表示成的函數(shù)；
（2）①若，求的取值范圍；
②若，求的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)已知條件，分，，三種情況討論，即可求解．
（2）①結(jié)合（1）的結(jié)論，分分，，三種情況討論，并取并集，即可求解．
②直線的斜率，根據(jù)的取值范圍，可求得的取值范圍，再結(jié)合直線斜率與傾斜角的關(guān)系，即可求解．
【解答】解：（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，直線的斜率
若，則，
當(dāng)，則，
即．
（2）①當(dāng)時，，故，解得，，顯然成立，
當(dāng)時，，故，解得，
綜上所述，的取值范圍是．
②已知，
則，
又，
故的范圍是．
【點評】本題主要考查直線的傾斜角，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多