知識(shí)點(diǎn)一 數(shù)列及其有關(guān)概念
1．一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．?dāng)?shù)列的第一個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)，常用符號(hào)a1表示，第二個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)，用a2表示……，第n個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)，用an表示．其中第1項(xiàng)也叫做首項(xiàng)．
2. 數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，…，簡(jiǎn)記為{an}．
思考 數(shù)列1,2,3與數(shù)列3,2,1是同一個(gè)數(shù)列嗎？
答案 不是．順序不一樣．
知識(shí)點(diǎn)二 數(shù)列的分類
知識(shí)點(diǎn)三 函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系
數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到實(shí)數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號(hào)n，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第n項(xiàng)an，記為an＝f(n)．
知識(shí)點(diǎn)四 數(shù)列的單調(diào)性
知識(shí)點(diǎn)五 通項(xiàng)公式
1．如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．
2．通項(xiàng)公式就是數(shù)列的函數(shù)解析式，以前我們學(xué)過(guò)的函數(shù)的自變量通常是連續(xù)變化的，而數(shù)列是自變量為離散的數(shù)的函數(shù)．
知識(shí)點(diǎn)六 數(shù)列的遞推公式
如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．
知識(shí)點(diǎn)七 數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系
1．把數(shù)列{an}從第1項(xiàng)起到第n項(xiàng)止的各項(xiàng)之和，稱為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，記作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.
2．a(chǎn)n＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
知識(shí)點(diǎn)八 等差數(shù)列的概念
一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示，公差可正可負(fù)可為零．
知識(shí)點(diǎn)九 等差中項(xiàng)的概念
由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列．這時(shí)，A叫做a與b的等差中項(xiàng)且2A＝a＋b.
知識(shí)點(diǎn)十 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d.
知識(shí)點(diǎn)十一 從函數(shù)角度認(rèn)識(shí)等差數(shù)列{an}
若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為a1，公差為d，
則an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．
(1)點(diǎn)(n，an)落在直線y＝dx＋(a1－d)上，這條直線的斜率為d，在y軸上的截距為a1－d ；
(2)這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)每增加1，函數(shù)值增加d.
知識(shí)點(diǎn)十二 等差數(shù)列通項(xiàng)公式的變形及推廣
設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，則
①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，
②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，
③d＝eq \f(an－am,n－m)(m，n∈N*，且m≠n)．
其中，①的幾何意義是點(diǎn)(n，an)均在直線y＝dx＋(a1－d)上．
②可以用來(lái)利用任一項(xiàng)及公差直接得到通項(xiàng)公式，不必求a1.
③可用來(lái)由等差數(shù)列任兩項(xiàng)求公差．
知識(shí)點(diǎn)十三 等差數(shù)列的性質(zhì)
1．若{an}，{bn}分別是公差為d，d′的等差數(shù)列，則有
2.下標(biāo)性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.
特別地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，則有am＋an＝2ap.
3．在等差數(shù)列中每隔相同的項(xiàng)選出一項(xiàng)，按原來(lái)的順序排成一列，仍然是一個(gè)等差數(shù)列．
4．等差數(shù)列{an}的公差為d，則d>0?{an}為遞增數(shù)列；
d0，d0時(shí)，Sn有最小值；當(dāng)d1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或\f(an＋1,an)＝q，n∈N*)).
知識(shí)點(diǎn)十八 等比中項(xiàng)
如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)，此時(shí)，G2＝ab.
知識(shí)點(diǎn)十九 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式
若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，則an＝a1qn－1(n∈N*)．
知識(shí)點(diǎn)二十 等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣和變形
等比數(shù)列{an}的公比為q，則
an＝a1qn－1①
＝amqn－m②
＝eq \f(a1,q)·qn.③
其中當(dāng)②中m＝1時(shí)，即化為①.
當(dāng)③中q>0且q≠1時(shí)，y＝eq \f(a1,q)·qx為指數(shù)型函數(shù)．
知識(shí)點(diǎn)二十一 實(shí)際應(yīng)用題常見(jiàn)的數(shù)列模型
1．儲(chǔ)蓄的復(fù)利公式：本金為a元，每期利率為r，存期為n期，則本利和y ＝a(1＋r)n.
2．總產(chǎn)值模型：基數(shù)為N，平均增長(zhǎng)率為p，期數(shù)為n， 則總產(chǎn)值y ＝ N (1 ＋ p)n.
知識(shí)點(diǎn)二十二 等比數(shù)列的常用性質(zhì)
設(shè)數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則：
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak·al＝am·an.
(2)若m，p，n成等差數(shù)列，則am，ap，an成等比數(shù)列．
(3)在等比數(shù)列{an}中，連續(xù)取相鄰k項(xiàng)的和(或積)構(gòu)成公比為qk(或)的等比數(shù)列．
(4)若{an}是等比數(shù)列，公比為q，則數(shù)列{λan}(λ≠0)，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))，{aeq \\al(2,n)}都是等比數(shù)列，且公比分別是q，eq \f(1,q)，q2.
(5)若{an}，{bn}是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，公比分別是p和q，那么{anbn}與eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,bn)))也都是等比數(shù)列，公比分別為pq和eq \f(p,q).
知識(shí)點(diǎn)二十三 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
知識(shí)點(diǎn)二十四 等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)
1．?dāng)?shù)列{an}為公比不為－1的等比數(shù)列(或公比為－1，且n不是偶數(shù))，Sn為其前n項(xiàng)和，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍構(gòu)成等比數(shù)列．
2．若{an}是公比為q的等比數(shù)列，則Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)．
3．若{an}是公比為q的等比數(shù)列，S偶，S奇分別是數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和，則：①在其前2n項(xiàng)中，eq \f(S偶,S奇)＝q；
②在其前2n＋1項(xiàng)中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝eq \f(a1＋a2n＋1q,1－?－q?)＝eq \f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠－1)．
知識(shí)點(diǎn)二十五 等比數(shù)列前n項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用
1．解應(yīng)用問(wèn)題的核心是建立數(shù)學(xué)模型．
2．一般步驟：審題、抓住數(shù)量關(guān)系、建立數(shù)學(xué)模型．
3．注意問(wèn)題是求什么(n，an，Sn)．
注意：
(1)解答數(shù)列應(yīng)用題要注意步驟的規(guī)范性：設(shè)數(shù)列，判斷數(shù)列，解題完畢要作答．
(2)在歸納或求通項(xiàng)公式時(shí)，一定要將項(xiàng)數(shù)n計(jì)算準(zhǔn)確．
(3)在數(shù)列類型不易分辨時(shí)，要注意歸納遞推關(guān)系．
(4)在近似計(jì)算時(shí)，要注意應(yīng)用對(duì)數(shù)方法，且要看清題中對(duì)近似程度的要求．
知識(shí)點(diǎn)二十六 數(shù)學(xué)歸納法
1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法
一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：
(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n＝n0(n0∈N*)時(shí)命題成立；
(2)(歸納遞推)以當(dāng)“n＝k(k∈N*，k≥n0)時(shí)命題成立”為條件，推出“當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立”．
只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立．這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法．
2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的證明形式
記P(n)是一個(gè)關(guān)于正整數(shù)n的命題．我們可以把用數(shù)學(xué)歸納法證明的形式改寫如下：
條件：(1) P(n0)為真；(2)若P(k)為真，則P(k＋1)也為真．
結(jié)論：P(n)為真．
3. 數(shù)學(xué)歸納法中的兩個(gè)步驟
在數(shù)學(xué)歸納法的兩步中，第一步驗(yàn)證(或證明)了當(dāng)n＝n0時(shí)結(jié)論成立，即命題P(n0)為真；第二步是證明一種遞推關(guān)系，實(shí)際上是要證明一個(gè)新命題：若P(k)為真，則P(k＋1)也為真．只要將這兩步交替使用，就有P(n0)真，P(n0＋1)真……P(k)真，P(k＋1)真……，從而完成證明．
一．?dāng)?shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法（共3小題）
1．（2022春?沙依巴克區(qū)校級(jí)期中）數(shù)列2，5，11，20，，47，中的值為
A．28B．32C．33D．27
2．（2023春?普陀區(qū)校級(jí)期中）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，則是該數(shù)列中的第 項(xiàng)．
3．（2023春?閔行區(qū)月考）已知，，為整數(shù)，集合，中的數(shù)從小到大排列，組成數(shù)列，如，，
A．515B．896C．1027D．1792
二．?dāng)?shù)列的函數(shù)特性（共2小題）
4．（2023春?上海期中）已知數(shù)列，下列說(shuō)法正確的是
A．有最大項(xiàng)，但沒(méi)有最小項(xiàng)
B．沒(méi)有最大項(xiàng)，但有最小項(xiàng)
C．既有最大項(xiàng)，又有最小項(xiàng)
D．既沒(méi)有最大項(xiàng)，也沒(méi)有最小項(xiàng)
5．（2023春?寶山區(qū)校級(jí)期中）給定下列四個(gè)命題：
①圖像不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的冪函數(shù)一定不是偶函數(shù)；
②若一條直線垂直于平面內(nèi)的無(wú)窮多條直線，則這條直線垂直于這個(gè)平面；
③有兩個(gè)相鄰的側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱；
④設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若是遞增數(shù)列，則數(shù)列也是遞增數(shù)列；
以上命題是真命題的序號(hào)是
A．①②B．②③C．③④D．①③
三．等差數(shù)列的性質(zhì)（共7小題）
6．（2024春?寶山區(qū)校級(jí)月考）與的等差中項(xiàng)為 ．
7．（2023春?黃浦區(qū)期末）若是等差數(shù)列，則由下列關(guān)系確定的數(shù)列也一定是等差數(shù)列的是
A．B．C．D．
8．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期末）若，，成等差數(shù)列，則，，一定
A．成等差數(shù)列
B．成等比數(shù)列
C．既成等差數(shù)列也成等比數(shù)列
D．既不成等差數(shù)列也不成等比數(shù)列
9．（2024春?寶山區(qū)校級(jí)月考）已知數(shù)列是等差數(shù)列，下面的數(shù)列中必為等差數(shù)列的個(gè)數(shù)是
① ② ③ ④
A．1B．2C．3D．4
10．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)月考）等差數(shù)列前項(xiàng)和，若，則 ．
11．（2023春?嘉定區(qū)期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列．
12．（2023春?黃浦區(qū)期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為．
（Ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求的最大值及取得最大值時(shí)的值．
四．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式（共6小題）
13．（2024春?寶山區(qū)校級(jí)月考）在等差數(shù)列中，若，，則的通項(xiàng)公式為 ．
14．（2024春?楊浦區(qū)校級(jí)月考）設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，若，，則公差 ．
15．（2023春?南崗區(qū)校級(jí)期中）已知是等差數(shù)列，，，則 ．
16．（2023?松江區(qū)校級(jí)模擬）已知等差數(shù)列，，，則 ．
17．（2023春?黃浦區(qū)期末）《周髀算經(jīng)》是中國(guó)最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，該書中提到：從冬至之日起，小寒、寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影子長(zhǎng)次成等差數(shù)列，若立春的日影子長(zhǎng)是12.5尺，芒種的日影子長(zhǎng)為4.5尺，則立夏的日影子為 尺．
18．（2024春?寶山區(qū)校級(jí)月考）在等差數(shù)列中，，．
（1）求的值；
（2）2022是否為數(shù)列中的項(xiàng)？若是，則為第幾項(xiàng)？
五．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（共5小題）
19．（2024春?閔行區(qū)校級(jí)月考）已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則 ．
20．（2024春?寶山區(qū)校級(jí)月考）等差數(shù)列滿足，，則 ．
21．（2024春?寶山區(qū)校級(jí)月考）已知等差數(shù)列中，，，則的最大值為 ．
22．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則 ．
23．（2023秋?寶山區(qū)期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則 ．
六．等比數(shù)列的性質(zhì)（共6小題）
24．（2023?閔行區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）等比數(shù)列中，，，則 ．
25．（2023春?閔行區(qū)校級(jí)期中）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和，為正整數(shù)，若，，則 ．
26．（2023春?奉賢區(qū)校級(jí)期中）已知為等比數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是
A．B．
C．若，則D．若，則
27．（2023春?徐匯區(qū)校級(jí)月考）下列命題正確的有 個(gè)．
（1）若數(shù)列為等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，則，，，也成等比數(shù)列；
（2）數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則對(duì)任意的，，存在，使得；
（3）設(shè)為不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，例如：，，．設(shè)為正整數(shù)，數(shù)列滿足，，記，則為有限集．
A．0B．1C．2D．3
28．（2023春?上海期中）若，，，成等比數(shù)列，則下列三個(gè)數(shù)列：
（1），，，；
（2），，；
（3），，，
必成等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為
A．0B．1C．2D．3
29．（2023春?浦東新區(qū)期末）“一個(gè)數(shù)列是常數(shù)列”是“這個(gè)數(shù)列是公比為1的等比數(shù)列”的
A．充分非必要條件B．必要非充分條件
C．充要條件D．既不充分又非必要條件
七．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（共3小題）
30．（2023春?楊浦區(qū)校級(jí)月考）等比數(shù)列滿足：，，則 ．
31．（2023春?普陀區(qū)校級(jí)期末）已知為等比數(shù)列，且，則的公比為 ．
32．（2023春?寶山區(qū)期末）某產(chǎn)品經(jīng)過(guò)4次革新后，成本由原來(lái)的200元下降到125元．如果這種產(chǎn)品每次革新后成本下降的百分比相同，那么每次革新后成本下降的百分比是 （結(jié)果精確到．
八．?dāng)?shù)列的極限（共4小題）
33．（2023春?閔行區(qū)校級(jí)期中）無(wú)窮等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，前項(xiàng)和為，且，則首項(xiàng)的取值范圍是
A．B．，，C．D．，，
34．（2023春?楊浦區(qū)校級(jí)期末）已知數(shù)列是公比為的無(wú)窮等比數(shù)列，且，則 ．
35．（2023?嘉定區(qū)二模）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為前項(xiàng)和為，則 ．
36．（2023春?嘉定區(qū)校級(jí)期中）無(wú)窮等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)的和為，若，則滿足條件的的取值的集合為 ．
九．?dāng)?shù)學(xué)歸納法（共2小題）
37．（2023春?上海期中）用數(shù)學(xué)歸納法證明：為正整數(shù)）從到時(shí)，等式左邊需增加的代數(shù)式是
A．B．C．D．
38．（2024春?閔行區(qū)校級(jí)月考）如果命題對(duì)于時(shí)成立，那么它對(duì)也成立．若對(duì)于時(shí)成立，則下列結(jié)論正確的是
A．對(duì)所有正整數(shù)成立
B．對(duì)所有正偶數(shù)成立
C．對(duì)所有正奇數(shù)成立
D．對(duì)所有大于1的正整數(shù)成立
一．填空題（共12小題）
1．（2023秋?徐匯區(qū)校級(jí)期末）已知是離最近的整數(shù)，如，，則無(wú)窮數(shù)列中共有 項(xiàng)的值等于100．
2．（2023秋?海滄區(qū)校級(jí)期中）在等差數(shù)列中，如果前5項(xiàng)的和為，那么等于 ．
3．（2023秋?青浦區(qū)校級(jí)期中）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，則 ．
4．（2023秋?嘉定區(qū)校級(jí)期中）已知項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列滿足，．若，則的最大值是 ．
5．（2023秋?徐匯區(qū)校級(jí)月考）已知等差數(shù)列共有項(xiàng)，各項(xiàng)與公差均不為零，若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)后，得到的數(shù)列（按原來(lái)順序）是等比數(shù)列，則所有數(shù)列組成的集合為 ．
6．（2023秋?虹口區(qū)校級(jí)月考）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，那么以下4個(gè)結(jié)論中正確的有 ．（填所有正確結(jié)論的序號(hào)
（1）公差
（2）不等式的最小正整數(shù)解為13
（3）
（4）滿足的的個(gè)數(shù)為11個(gè)
7．（2024春?楊浦區(qū)校級(jí)月考）等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，并且滿足，，，現(xiàn)給出下列結(jié)論：①；②；③是中的最大值；④使成立的最大正整數(shù)是2019，其中正確的結(jié)論序號(hào)是 ．
8．（2023秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）在等比數(shù)列中，， ．
9．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）定義域?yàn)榧希?，3，，上的函數(shù)滿足：（1）（1）；（2），，2，3，，11；（3）（1）、（6）、成等比數(shù)列．這樣的不同函數(shù)的個(gè)數(shù)為 ．
10．（2023秋?嘉定區(qū)期末）數(shù)列滿足，且，求 ．
11．（2023秋?嘉定區(qū)期末）已知平面上有個(gè)點(diǎn)，，，，，，，，且，記的坐標(biāo)為，，將，，依次順時(shí)針排列，求， ．
12．（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)月考）已知數(shù)列、、的通項(xiàng)公式分別為、、，其中，，，，，，令，，，，表示、、三者中的最大值），則對(duì)于任意，的最小值為 ．
二．選擇題（共4小題）
13．（2023秋?嘉定區(qū)期末）已知等差數(shù)列，公差為，，則下列命題正確的是
A．函數(shù)可能是奇函數(shù)
B．若函數(shù)是偶函數(shù)，則
C．若，則函數(shù)是偶函數(shù)
D．若，則函數(shù)的圖象是軸對(duì)稱圖形
14．（2023秋?楊浦區(qū)校級(jí)期中）定義在區(qū)間，， 的函數(shù)，如果對(duì)于任意給定的非常數(shù)等比數(shù)列， 仍是等比數(shù)列，則稱為“保等比數(shù)列函數(shù)”，下列函數(shù)是“保等比數(shù)列函數(shù)”的是
A．B．C．D．
15．（2023秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）已知是公比不為1的等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，滿足，則下列等式恒成立的是
A．B．
C．D．
16．（2023秋?閔行區(qū)校級(jí)期末）在無(wú)窮等比數(shù)列中，，則的取值范圍是
A．B．
C．D．，，
三．解答題（共5小題）
17．（2023秋?楊浦區(qū)校級(jí)期中）已知數(shù)列，若對(duì)于任意正整數(shù)，仍為數(shù)列中的項(xiàng)，則稱數(shù)列為“回歸數(shù)列”．
（1）已知，判斷數(shù)列是否為“回歸數(shù)列”，并說(shuō)明理由；
（2）若數(shù)列為“回歸數(shù)列”，且對(duì)于任意正整數(shù)，均有成立，證明：數(shù)列為等差數(shù)列．
18．（2023秋?普陀區(qū)校級(jí)期中）設(shè)是等差數(shù)列，且，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求．
19．（2023?上海開(kāi)學(xué)）已知點(diǎn)， 滿足，，且點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（1）求過(guò)點(diǎn)、的直線的方程；
（2）試用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于任意，，點(diǎn)都在（1）中的直線上；
（3）試求數(shù)列、的通項(xiàng)公式．
20．（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）某企業(yè)的產(chǎn)品以往專銷歐美市場(chǎng)，在全球金融風(fēng)暴的影響下，歐美市場(chǎng)的銷量受到嚴(yán)重影響，該企業(yè)在政府的大力扶助下積極開(kāi)拓國(guó)內(nèi)市場(chǎng)，并基本形成了市場(chǎng)規(guī)模；自2022年9月以來(lái)的第個(gè)月年9月為第一個(gè)月）產(chǎn)品的內(nèi)銷量、出口量和銷售總量（銷售總量?jī)?nèi)銷量與出口量的和）分別為、和（單位：萬(wàn)件），依據(jù)銷售統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)形成如下?tīng)I(yíng)銷趨勢(shì)：，（其中、為常數(shù)），已知萬(wàn)件， 萬(wàn)件， 萬(wàn)件．
（1）求，的值，并寫出與滿足的關(guān)系式；
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明銷售總量一直小于2萬(wàn)件，并判斷總銷量是否逐月遞增，說(shuō)明理由．
21．（2023秋?黃浦區(qū)校級(jí)月考）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列滿足，．
（1）試確定實(shí)數(shù)的值，使得數(shù)列為等差數(shù)列；
（2）當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時(shí)，對(duì)每個(gè)正整數(shù)，在和之間插入個(gè)2，得到一個(gè)新數(shù)列．設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，試求滿足的所有正整數(shù)．
分類標(biāo)準(zhǔn)
名稱
含義
按項(xiàng)的個(gè)數(shù)
有窮數(shù)列
項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列
無(wú)窮數(shù)列
項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列
遞增數(shù)列
從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列
遞減數(shù)列
從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列
常數(shù)列
各項(xiàng)都相等的數(shù)列
數(shù)列
結(jié)論
{c＋an}
公差為d的等差數(shù)列(c為任一常數(shù))
{c·an}
公差為cd的等差數(shù)列(c為任一常數(shù))
{an＋an＋k}
公差為kd的等差數(shù)列(k為常數(shù)，k∈N*)
{pan＋qbn}
公差為pd＋qd′的等差數(shù)列(p，q為常數(shù))
已知量
首項(xiàng)，末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)
首項(xiàng)，公差與項(xiàng)數(shù)
求和公式
Sn＝eq \f(n?a1＋an?,2)
Sn＝na1＋eq \f(n?n－1?,2)d
已知量
首項(xiàng)、公比與項(xiàng)數(shù)
首項(xiàng)、公比與末項(xiàng)
求和公式
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a1?1－qn?,1－q)?q≠1?，,na1?q＝1?))
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a1－anq,1－q)?q≠1?，,na1?q＝1?))

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