知識點(diǎn)一．兩直線平行
1．特殊情況下的兩條直線平行的判定
兩條直線中有一條直線沒有斜率，當(dāng)另一條直線的斜率也不存在時，兩直線的傾斜角都為90°，故它們互相平行．
2．兩條直線的斜率都存在時，兩條直線平行的判定
兩條直線都有斜率而且不重合時，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，那么它們平行，即．
證明如下：
設(shè)兩條直線的斜率分別為．
如果（如圖），那么它們的傾斜角相等，即．
∴，∴．
反過來，如果兩條直線的斜率相等，即，那么．
由于，∴．又兩條直線不重合，∴．
知識點(diǎn)二．兩直線垂直
1．特殊情況下的兩條直線垂直的判定
當(dāng)兩條直線中有一條直線沒有斜率，另一條直線的斜率為0時，即一條直線的傾斜角為90°，另一條直線的傾斜角為0°時，兩條直線互相垂直．
2．兩條直線的斜率都存在時，兩條直線垂直的判定
如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于-1；反之，如果兩條直線的斜率之積等于?1，那么它們互相垂直，即．
證明如下：
設(shè)兩條直線與的傾斜角分別為與．
如果，這時．否則，則，與相矛盾．
設(shè)（如下圖），
圖（1）的特征是與的交點(diǎn)在x軸上方；
圖（2）的特征是與的交點(diǎn)在x軸下方；
圖（3）的特征是與的交點(diǎn)在x軸上，無論哪種情況下都有．
∵，的斜率分別是，且，∴．
∴． ∴，即．
反過來，若，即．
不失一般性，設(shè)，則，即，
∴．
知識點(diǎn)三、兩直線位置關(guān)系的判定方法
1.已知兩直線的斜率存在
兩直線平行、兩直線的斜率相等且坐標(biāo)軸上的截距不相等;
兩直線垂直、兩直線的斜率之積為-1.
2.已知兩直線的斜率不存在
若兩直線的斜率不存在，當(dāng)兩直線在x軸上的截距不相等時，兩直線平行;否則兩直線重合
知識點(diǎn)四、兩直線的夾角與垂直關(guān)系
兩條相交直線的夾角：我們規(guī)定兩條相交直線所成的銳角或直角為兩條相交直線的夾角.
如果兩條直線平行或重合，我們規(guī)定它們的夾角為0.
平面上兩條直線夾角的范圍：.
兩條直線：（其中不同時為零；不同時為零）的夾角為：.
兩條直線：的夾角為：，
.
注：公式應(yīng)用前提是兩直線的斜率均存在.
兩條直線垂直的充要條件：
題型一：兩條直線相交、平行與重合的判定
一、單選題
1．（2023上·上海虹口·高二上外附中校考階段練習(xí)）若中，a，b，c分別為三內(nèi)角A，B，C的對邊，且，則直線與直線（ ）
A．平行B．重合C．相交且垂直D．相交且不垂直
【答案】B
【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，將兩直線化為斜截式，求出對應(yīng)的斜率，結(jié)合正弦定理即可得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋跃鶠檎龜?shù)，
由，即，
可得，即，
對于直線，即，
對于直線，即，
由正弦定理可得，所以直線與直線重合.
故選：B.
2．（2023上·上?！じ叨A師大二附中?？计谀┤糁本€與直線平行，則（ ）
A．B．0C．1D．1或
【答案】C
【分析】根據(jù)直線一般式中平行滿足的系數(shù)關(guān)系，即可求解.
【詳解】直線與直線平行，
故，解得，
故選：C
3．（2024上·上?！じ叨虾Ｊ杏胖袑W(xué)?？计谀啊笔恰爸本€與直線平行”的（ ）條件
A．充分非必要B．必要非充分
C．充要D．既非充分也非必要
【答案】C
【分析】根據(jù)兩直線平行滿足的系數(shù)關(guān)系可得，即可結(jié)合充要條件的判定求解.
【詳解】若直線與直線平行，
則，解得，
故 “”是“直線與直線平行”的充要條件，
故選：C
二、填空題
4．（2023上·上海浦東新·高一上海市進(jìn)才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合、，若，則 ．
【答案】1
【分析】即兩圖像沒有交點(diǎn)，即兩直線平行.
【詳解】依題知兩直線平行，則，解得，
經(jīng)驗(yàn)證時，兩直線不重合，所以.
故答案為：1
5．（2023上·上海寶山·高二上海交大附中?？茧A段練習(xí)）已知直線與直線平行，則實(shí)數(shù) .
【答案】1
【分析】根據(jù)直線平行的條件求解即可.
【詳解】由兩直線平行，得，解得.
當(dāng)時，直線與直線平行，所以.
故答案為：1.
6．（2023上·上?！じ叨軛疃行？茧A段練習(xí)）過點(diǎn)且與直線平行的直線的方程為 .
【答案】
【分析】由直線平行設(shè)直線為，將點(diǎn)代入求參數(shù)，即可得方程.
【詳解】設(shè)所求直線方程為，
將點(diǎn)代入，解得，
則所求直線方程為.
故答案為：
7．（2024上·上?！じ叨虾＝淮蟾街行？计谀┮阎本€：與：，若，則實(shí)數(shù)的值為 ．
【答案】或
【分析】根據(jù)兩直線平行的條件列式求解即可.
【詳解】若，則，即，解得或，
當(dāng)時，直線：與：，符合題意；
當(dāng)時，直線：與：，符合題意，
綜上，或.
故答案為：或.
三、解答題
8．（2023上·高二課時練習(xí)）求證：在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，如果兩條直線平行，那么它們的傾斜角相等．
【答案】證明見解析
【分析】設(shè)直線傾斜角分別為，由直線斜率與傾斜角關(guān)系及平行關(guān)系，結(jié)合傾斜角的范圍證結(jié)論.
【詳解】令兩條平行直線的傾斜角分別為，
若兩直線都垂直于軸，此時；
若兩直線不垂直于軸，則，又，則必有；
綜上，兩條直線平行，則它們的傾斜角相等.
9．（2023上·高二課時練習(xí)）已知直線，，分別求的取值范圍，使得：
(1)與相交；
(2)；
(3)與重合.
【答案】(1)且
(2)
(3)
【分析】（1）由題意可得，運(yùn)算求解即可；
（2）（3）由題意可得，運(yùn)算求解并檢驗(yàn)即可.
【詳解】（1）若與相交，等價于，即，解得且，
所以當(dāng)且時，與相交.
（2）若，則，即，解得或，
當(dāng)時，，，即，符合題意；
當(dāng)時，，，即與重合，不合題意；
綜上所述：.
（3）由（2）可得：.
10．（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知經(jīng)過，經(jīng)過，，求證：．
【答案】證明見解析
【分析】求出直線的斜率，說明兩直線不重合，根據(jù)斜率相等，即可證明結(jié)論.
【詳解】證明：由題意得直線的斜率為，
直線的斜率為，
又，,
即不共線，即不重合，
因?yàn)?，?
題型二：兩條直線位置關(guān)系的應(yīng)用
11．（2023上·福建莆田·高二莆田一中校考期末）已知直線，若直線不能圍成三角形，寫出一個符合要求的實(shí)數(shù)的值 ．
【答案】
【分析】聯(lián)立方程組解得交點(diǎn)坐標(biāo)，列出直線不能圍成三角形的條件，分別解出即可.
【詳解】由解得，所以的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
過定點(diǎn)，
若直線不能圍成三角形，只需經(jīng)過點(diǎn)，或與平行，或與平行，
當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時，，解得；
當(dāng)與平行時，，解得；
當(dāng)與平行時，，解得.
故的值為.
故答案為：（只需寫出其中一個即可）.
12．（2024上·上?！じ叨倨谧鳂I(yè)）若三條直線不能圍成三角形，求實(shí)數(shù)的值．
【答案】或或
【分析】根據(jù)三條直線“至少有兩條直線平行”或“三線共點(diǎn)”來求得的值.
【詳解】依題意，任意兩條直線不重合，若三條直線不能圍成三角形，則至少有兩條直線平行或三線共點(diǎn)．
當(dāng)有兩條直線平行時，，則三條直線的斜率為，
若，則.
若，則..
若三線共點(diǎn)，由解得，設(shè)，
將代入，
得，
綜上所述，或或.
13．（2023下·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）已知直線，.
(1)若，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若直線在兩個坐標(biāo)軸上的截距相等，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合直線平行的性質(zhì)，即可求解；
（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合截距的定義，并分類討論，即可求解．
【詳解】（1）直線，．
則，解得或，
當(dāng)時，，，則直線，重合，不符合題意；
當(dāng)時，，，則直線，不重合，符合題意，
故.
（2）當(dāng)，即時，，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為，
滿足直線在兩個坐標(biāo)軸上的截距相等；
當(dāng)且時，
則直線在軸上的截距為，在軸上的截距為，
由題意可知，，解得，
當(dāng)時直線，顯然不符合題意，
綜上所述，或．
14．（2023上·高二課時練習(xí)）是否存在實(shí)數(shù)，使直線與直線平行？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.
【答案】存在，或.
【分析】利用兩條直線不相交的等價條件求出，再驗(yàn)證作答.
【詳解】依題意，直線與直線不相交，
則，解得或，
當(dāng)時，直線與直線平行，
當(dāng)時，直線與直線平行，
所以存在實(shí)數(shù)滿足條件，或.
題型三：兩條直線垂直的判定
15．（2023上·高二課時練習(xí)）已知直線與垂直，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】
【分析】根據(jù)兩直線垂直的公式求解即可.
【詳解】因?yàn)橹本€與垂直，
故，
即，
解得.
16．（2023上·高二課時練習(xí)）設(shè)直線、的傾斜角分別為、，求證：的充要條件是．
【答案】證明見解析
【分析】對直線的傾斜角分類討論，運(yùn)用三角形外角定理證明.
【詳解】如圖，直線相交于A點(diǎn)，分別與x軸交于B，C兩點(diǎn)，
當(dāng)時，如果，則；
如果是的外角，，，
即是的充要條件；
當(dāng)時，則 軸，如果，則軸，；
如果，則，，即；
即是的充要條件.
題型四：兩條直線垂直的應(yīng)用
17．（2023上·上海奉賢·高二?？茧A段練習(xí)）已知的頂點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，且.
(1)求的值；
(2)求邊上的中線所在直線的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及垂直滿足的斜率關(guān)系即可求解，
（2）根據(jù)中點(diǎn)公式以及斜率公式即可根據(jù)點(diǎn)斜式求解方程.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以的坐?biāo)為，
因?yàn)?，所以?br>解得.
（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為，由（1）知，則，
所以，
所以直線的方程為，化簡得，
即邊上的中線所在直線的方程為.
18．（2022上·上海寶山·高二校考期中）直線過點(diǎn)且與軸、軸正半軸分別交于、兩點(diǎn).
(1)若直線與法向量平行，寫出直線的方程；
(2)求面積的最小值；
(3)如圖，若點(diǎn)分向量所成的比的值為2，過點(diǎn)作平行于軸的直線交軸于點(diǎn)，動點(diǎn)、分別在線段和上，若直線平分直角梯形的面積，求證：直線必過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).
【答案】(1)；
(2)12；
(3)證明見解析，定點(diǎn)為.
【分析】（1）利用兩直線垂直設(shè)出一般式，代入點(diǎn)即可求出直線方程；
（2）設(shè)直線截距式為，代入點(diǎn)得到，利用基本不定式即可求出面積最小值；
（3）設(shè)，利用定比分點(diǎn)公式得到，再設(shè)，根據(jù)四邊形面積得到，代回直線方程，求出定點(diǎn).
【詳解】（1）由題設(shè)直線，將點(diǎn)代入得，,故直線
（2）設(shè)直線的方程為，
將點(diǎn)代入得，則，
則，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時等號成立.
故的面積最小值為12.
（3）證明：點(diǎn)分向量所成的比的值為2,即為,
設(shè),由,
即有,
可得,,
梯形的面積為,由題意可得梯形的面積為6,
設(shè),可得,即,
由直線的方程為,
將代入上式可得
,
由解得,
則直線經(jīng)過定點(diǎn).
題型五：求兩條直線的夾角
19．（2023上·高二課時練習(xí)）求下列每組兩條直線的夾角：
(1)與；
(2)與.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先得到和的斜率，再結(jié)合兩條直線的夾角公式即可求解；
（2）先求得與的斜率，再結(jié)合兩條直線的夾角公式即可求解
【詳解】（1）由得，則該直線的斜率，
又由得，則該直線的斜率，
設(shè)與的夾角為（），
則，則，.
故與的夾角為.
（2）直線的斜率，
直線的斜率，
設(shè)與的夾角為，（），
則，則，，
故與的夾角為.
題型六：兩條直線夾角公式的應(yīng)用
20．（2023下·上海靜安·高二上海市回民中學(xué)?？计谥校┮阎本€經(jīng)過兩條直線與的交點(diǎn)且與直線的夾角為，求直線的方程.
【答案】或
【分析】利用聯(lián)立兩條直線方程得出交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩條直線的夾角公式及直線的點(diǎn)斜式方程即可求解.
【詳解】由，得，
所以，
設(shè)直線的斜率為，則
解得，
所以直線的方程為，即，
當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，也滿足題意，
所以直線的方程為或.
21．（2023上·上海·高二上海市洋涇中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，將直線繞點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)角，所得直線方程是，若將它繼續(xù)旋轉(zhuǎn)角，所得直線方程是，
(1)求直線的方程；
(2)若直線過點(diǎn)，且直線與直線的夾角為，求直線的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先求得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)斜式求得直線的方程.
（2）根據(jù)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，通過夾角公式求得直線的方程.
【詳解】（1）由解得，故.
直線斜率為，所以直線的斜率為，
所以直線的方程為.
（2）設(shè)直線與直線的夾角為，且，則為銳角，且，
所以，
直線的斜率為，
當(dāng)直線的斜率不存在，即直線軸時，，符合題意，.
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其斜率為，
則，解得，
所以直線的方程為.
所以直線的方程為或.
一、填空題
1．（2024上·上?！じ叨虾Ｊ衅邔氈袑W(xué)校考期末）直線：與直線：的夾角的大小為 ．
【答案】
【分析】求出直線、的傾斜角，即可求出兩條直線的夾角大小.
【詳解】直線：的傾斜角，有，因此，
直線：的傾斜角，
所以直線：與直線：的夾角的大小為.
故答案為：
2．（2023上·上海·高二?？茧A段練習(xí)）過定點(diǎn)且與直線平行的直線的一般式方程為 ．
【答案】
【分析】利用兩直線平行時方程的特點(diǎn)直接可寫出所求直線.
【詳解】過點(diǎn)且與直線平行的直線方程為：，即.
故答案為：
3．（2024上·上?！じ叨？计谀┮阎本€：與：平行，則 .
【答案】1
【分析】由題意兩直線平行得斜率相等且截距不等，求解即可.
【詳解】由已知：方程可化為，則直線斜率為，
由兩直線平行，則的斜率也存在，且為，
則：方程可化為：，
所以有，且，解得.
故答案為：.
4．（2023上·上?！じ叨？计谀┮阎本€與垂直，則的值是 .
【答案】3
【分析】兩個含參數(shù)的直線互相垂直，在利用直線斜率判斷時，需先考慮兩直線斜率不存在時是否符合，再用斜率之積等于進(jìn)行求解即得.
【詳解】當(dāng)時，，即時，；
當(dāng)時，，顯然與不垂直；
當(dāng)且時，直線與的斜率分別為：與，由，解得：，此時顯然不成立.
綜上，的值為3.
故答案為：3.
5．（2023上·上海·高二期末）若直線l經(jīng)過點(diǎn)和，且與經(jīng)過點(diǎn)，斜率為的直線垂直，則實(shí)數(shù)a的值為 ．
【答案】
【分析】求出直線l的斜率，利用直線垂直關(guān)系列式求出a的值即得.
【詳解】依題意，直線的斜率存在且為，由直線l經(jīng)過點(diǎn)和，
得直線的斜率，解得，
所以實(shí)數(shù)a的值為.
故答案為：
6．（2023上·上海浦東新·高二上海師大附中?？茧A段練習(xí)）已知直線與直線的夾角為，則實(shí)數(shù) ．
【答案】或
【分析】設(shè)直線與直線的夾角為，直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則，從而得到或，求出（或）即可得解.
【詳解】設(shè)直線與直線的夾角為，則，
所以，
所以，，
設(shè)直線的傾斜角為，則，
設(shè)直線的傾斜角為，則，
所以或，
當(dāng)時，
所以，則，
當(dāng)，則，所以無意義，即，
所以直線的斜率不存在，所以，
綜上可得或.
故答案為：或
7．（2023上·上海浦東新·高二上海市建平中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若直線與直線的傾斜角相等，則實(shí)數(shù) .
【答案】
【分析】首先將直線化為斜截式，依題意可得，即可得解.
【詳解】直線即，
直線即，
因?yàn)橹本€與直線的傾斜角相等，
所以，即.
故答案為：
8．（2023上·上海奉賢·高二上海市奉賢中學(xué)?？计谥校┲本€與直線的夾角，則a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】利用兩條直線的夾角公式求解即可.
【詳解】由題知直線的斜率為，直線的斜率為，
因?yàn)橹本€與直線的夾角，
所以，即，
解得.
故答案為：.
9．（2024上·上?！じ叨倨谧鳂I(yè)）已知定點(diǎn)與定直線：，過點(diǎn)的直線與交于第一象限點(diǎn)，與軸正半軸交于點(diǎn)，求使面積最小的直線方程為 .
【答案】
【分析】分斜率存在與不存在兩種情況，分別求出坐標(biāo)，從而表示出的面積，進(jìn)而可求出的面積的最小值，得出結(jié)果.
【詳解】當(dāng)直線斜率不存在時，直線的方程為，由，得到，
即，又易知，所以的面積為，
（2）當(dāng)直線斜率存在時，不妨設(shè)直線為，
令，得到，
又由，消得到，
由題知，得到，
此時，的面積為，
令，得到，
則，
又因?yàn)?，又由，得到，故?br>所以，故，此時，
因?yàn)?，所以使面積最小的直線方程為，即,
故答案為：.

10．（2023上·上?！じ叨軛疃行？茧A段練習(xí)）過點(diǎn)且與直線的夾角大小為的直線的一般方程為 .
【答案】或
【分析】首先分斜率是否存在分類討論，然后設(shè)出相應(yīng)的直線方程，求出相應(yīng)的方向向量，將直線的夾角轉(zhuǎn)換為向量的方向向量的余弦來求直線方程中的參數(shù)即可得解.
【詳解】由題意直線的方向向量為，
若斜率不存在，則直線方程為，其方向向量為，
夾角的余弦值為，符合題意，
若斜率存在， 設(shè)為，則直線方程為，其方向向量為，
則夾角的余弦值為，
則一般式方程為或.
故答案為：或.
二、單選題
11．（2024上·上?！じ叨倨谧鳂I(yè)）已知常數(shù)，直線：，：，則是的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】先利用兩直線平行的公式求出，再確定充分性和必要性即可.
【詳解】因?yàn)橹本€：，：，
當(dāng)時，解得，
所以是的充分不必要條件.
故選：A
12．（2023上·上海寶山·高二上海交大附中?？茧A段練習(xí)）設(shè)分別是中所對邊的邊長，則直線與的位置關(guān)系是（ ）
A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直
【答案】C
【分析】根據(jù)直線方程確定斜率，利用三角形邊角關(guān)系及直線垂直的判定判斷兩直線的位置關(guān)系即可.
【詳解】由題設(shè)，的斜率為，的斜率為，
又，則，即兩直線垂直.
故選：C
13．（2023上·上海·高二曹楊二中?？茧A段練習(xí)）若點(diǎn)既是的中點(diǎn)，又是直線與的交點(diǎn)，則線段的垂直平分線的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】將兩直線方程相減可得過兩直線交點(diǎn)的直線方程，再將代入化簡可求出直線的斜率，從而可求出線段的垂直平分線的方程.
【詳解】直線與直線的方程相減可得，，
把點(diǎn)代入可得，
所以，
所以線段的垂直平分線的方程是，即，
故選：C
三、解答題
14．（2023上·高二課時練習(xí)）判斷下列兩條直線的位置關(guān)系.若相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo).
(1)，；
(2)，.
【答案】(1)平行
(2)相交，
【分析】（1）求出兩直線的斜率，即可判斷；
（2）首先判斷兩直線不平行，再聯(lián)立直線方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】（1）對于，，
則，，所以，
又因?yàn)椋?
（2）因?yàn)榕c的斜率分別為，，則，所以兩條直線相交，
由，解得，所以兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為.
15．（2023上·高二課時練習(xí)）已知直線，直線，根據(jù)下列條件分別求實(shí)數(shù)的值：
(1)與相交；
(2)與平行；
(3)與重合.
【答案】(1)且
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)兩直線相交可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）根據(jù)兩直線平行可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式與不等式，即可解得實(shí)數(shù)的值；
（3）根據(jù)兩直線重合可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的方程，即可解得實(shí)數(shù)的值.
【詳解】（1）解：已知，直線，
若與相交，則，即，解得且.
（2）解：已知，直線，
若與平行，則，即，解得.
（3）解：已知，直線，
若與重合，則，即，解得.
16．（2023上·高二課時練習(xí)）已知兩條直線和，且，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】或.
【分析】直接根據(jù)平行得，解出再檢驗(yàn)即可.
【詳解】若兩直線平行，則，解得：或.
檢驗(yàn)：當(dāng)時，直線，直線，兩直線平行；
當(dāng)時，直線，即，直線，兩直線平行，
所以或.
17．（2023上·高二課時練習(xí)）若直線與直線的夾角為，求的值.
【答案】
【分析】根據(jù)直線的斜率與傾斜角的關(guān)系可得直線的傾斜角，進(jìn)而可得直線的傾斜角，從而可得的值.
【詳解】由題意，直線的斜率為，故的傾斜角為，
又直線與直線的夾角為，故直線的傾斜角為或.
當(dāng)直線的傾斜角為時不成立；
當(dāng)直線的傾斜角為時有.
綜上有.
18．（2023上·高二課時練習(xí)）分別求過直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直或平行的直線方程.
【答案】答案見解析
【分析】求出直線、的交點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線的斜率，結(jié)合所求直線與直線平行、垂直，結(jié)合點(diǎn)斜式可得出所求直線的方程.
【詳解】解：聯(lián)立，解得，即直線、的交點(diǎn)為，
因?yàn)橹本€的斜率為，
所以，過點(diǎn)且與直線垂直的直線的方程為，即，
過點(diǎn)且與直線平行的直線的方程為，即.
19．（2023上·高二課時練習(xí)）已知四邊形的四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、、.求證：四邊形是梯形.
【答案】證明見解析
【分析】利用向量共線定理證明，再證明其長度不等即可.
【詳解】，
，且不在一條直線上，
則直線與直線平行，且，
則四邊形是梯形.
20．（2023上·高二課時練習(xí)）已知集合，，且，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】
【分析】根據(jù)條件得到直線與直線平行且不重合，結(jié)合兩條直線的平行的關(guān)系即可求解.
【詳解】由題意知：，
所以直線與直線平行且不重合，
則，即，解得：或，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時，，
，
即，所以，
故實(shí)數(shù)的值為.
21．（2024上·上?！じ叨軛疃行？计谀┮阎O(shè)直線：，直線：.
(1)若，求m的值；
(2)當(dāng)與相交時，求交點(diǎn)I的坐標(biāo)（用m表示），并證明點(diǎn)I恒在一條定直線上.
【答案】(1)
(2)，點(diǎn)I恒在定直線上
【分析】（1）根據(jù)直線平行的條件列方程可得，然后驗(yàn)證是否重合可得；
（2）聯(lián)立直線方程求解可得點(diǎn)I的坐標(biāo)，然后消參可知點(diǎn)I在定直線上.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以，解得?br>當(dāng)時，直線：，直線：即，顯然此時兩直線重合，
當(dāng)時，直線：，直線：即，符合題意，
故.
（2）由（1）知，當(dāng)，相交時，
聯(lián)立，解得，∴，
因?yàn)?，即?br>所以點(diǎn)I恒在定直線上.

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