一．雙曲線的定義
雙曲線（Hyperbla）是指與平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為定值的點(diǎn)的軌跡，也可以定義為到定點(diǎn)與定直線的距離之比是一個(gè)大于1的常數(shù)的點(diǎn)之軌跡．雙曲線是圓錐曲線的一種，即圓錐面與平面的交截線．雙曲線在一定的仿射變換下，也可以看成反比例函數(shù)．兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做雙曲線的焦點(diǎn)（fcus），定直線是雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率．
標(biāo)準(zhǔn)方程
①（a，b＞0），表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；
②（a，b＞0），表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線．
性質(zhì)
這里的性質(zhì)以（a，b＞0）為例講解：
①焦點(diǎn)為（±c，0），其中c2＝a2+b2；②準(zhǔn)線方程為：x＝±；③離心率e＝＞1；④漸近線：y＝±x；⑤焦半徑公式：左焦半徑：r＝|ex+a|，右焦半徑：r＝|ex﹣a|．
【命題方向】
這里面的兩個(gè)例題是最基本的，必須要掌握，由于雙曲線一般是在倒數(shù)第二個(gè)解答題出現(xiàn)，難度一般也是相當(dāng)大的，在這里可以有所取舍，對(duì)于基礎(chǔ)一般的同學(xué)來(lái)說(shuō)，盡量的把這些基礎(chǔ)的分拿到才是最重要的，對(duì)于還剩下的部分，盡量多寫．
二．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式：
（1）（a＞0，b＞0），焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）（a＞0，b＞0），焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
兩種形式相同點(diǎn)：形狀、大小相同；都有a＞0，b＞0；c2＝b2+a2
兩種形式不同點(diǎn)：位置不同；焦點(diǎn)坐標(biāo)不同．
三．雙曲線的性質(zhì)
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)
一．雙曲線的定義（共3小題）
1．（2022春?臺(tái)江區(qū)校級(jí)期末）焦點(diǎn)在軸上，且漸近線方程為的雙曲線的方程可以是
A．B．C．D．
【分析】利用焦點(diǎn)在軸上，且漸近線方程為的雙曲線的方程，結(jié)合選項(xiàng)，即可得出結(jié)論．
【解答】解：由題意，焦點(diǎn)在軸上，且漸近線方程為的雙曲線的方程可以是，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，比較基礎(chǔ)．
2．（2023春?井岡山市校級(jí)期末）已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足條件．則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)題意得到，結(jié)合雙曲線的定義，即可求解．
【解答】解：由點(diǎn)，，可得，
又由，可得，
根據(jù)雙曲線的定義，可得點(diǎn)的軌跡表示以，為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，
且，可得，則，
所以點(diǎn)的軌跡方程為．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查軌跡方程的求法，雙曲線的定義，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
3．（2022春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期末）若將方程化簡(jiǎn)為的形式，則 2 ．
【分析】方程，表示點(diǎn)到，兩點(diǎn)距離差的絕對(duì)值為6，由此可得雙曲線的方程，從而可得結(jié)論．
【解答】解：方程，表示點(diǎn)到，兩點(diǎn)距離差的絕對(duì)值為6，
軌跡為以，為焦點(diǎn)的雙曲線，方程為
故答案為：2
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的定義與方程，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．
二．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（共5小題）
4．（2023春?黃浦區(qū)校級(jí)期中）從某個(gè)角度觀察籃球（如圖，可以得到一個(gè)對(duì)稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形狀為圓，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線的一部分，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓的交點(diǎn)將圓的周長(zhǎng)八等分，且，視所在直線為軸，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程方程為 ．
【分析】由已知結(jié)合雙曲線的性質(zhì)先求出，然后把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線方程可求．
【解答】解：設(shè)所求雙曲線方程為：，，，
則根據(jù)題意可得，點(diǎn)在雙曲線上，
，
，
所求曲線方程為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)在雙曲線方程求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
5．（2023春?普陀區(qū)校級(jí)月考）若雙曲線的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且焦點(diǎn)到該漸近線的距離為2，則該雙曲線的方程為 或 ．
【分析】直接利用雙曲線的性質(zhì)求出雙曲線的方程．
【解答】解：①當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，
雙曲線的漸近線方程為，
由于雙曲線的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，
由焦點(diǎn)到該漸近線的距離為2，整理得，解得，故，
故雙曲線的方程為．
②當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，
雙曲線的漸近線方程為，
由于雙曲線的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，
由焦點(diǎn)到該漸近線的距離為2，整理得，解得，故，
故雙曲線的方程為．
故答案為：或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：雙曲線的方程的求法，雙曲線的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．
6．（2023春?黃浦區(qū)校級(jí)期中）雙曲線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ．
【分析】可設(shè)雙曲線方程為，把、兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入組成方程組求解即可．
【解答】解：設(shè)雙曲線方程為：，
由雙曲線過(guò)、兩點(diǎn)，得，解得，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求法問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．
7．（2022春?寶山區(qū)校級(jí)期中）若雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，實(shí)軸長(zhǎng)為6，則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ．
【分析】根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)和實(shí)軸長(zhǎng)，建立關(guān)于，，的方程組，可得答案．
【解答】解：由焦點(diǎn)，可得，由實(shí)軸長(zhǎng)為6，即，可得，，
故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題．
8．（2022春?黃浦區(qū)校級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則該雙曲線的漸近線方程是 ．
【分析】把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線方程，求得，則雙曲線的漸近線方程可求．
【解答】解：雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
，解得，即．
又，該雙曲線的漸近線方程是．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．
三．雙曲線的性質(zhì)（共15小題）
9．（2023春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期中）雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，左、右頂點(diǎn)分別為，，為雙曲線上任意一點(diǎn)，則分別以線段，為直徑的兩個(gè)圓的位置關(guān)系為
A．相切B．相交
C．相離D．以上情況都有可能
【分析】畫出圖象，考查兩圓的位置關(guān)系，就是看圓心距與半徑和或與半徑差的關(guān)系，分情況在左支、右支，推導(dǎo)結(jié)論．
【解答】解：如圖所示，設(shè)分別以線段，為直徑的兩個(gè)圓的圓心為：，，半徑為，，
若在雙曲線坐支，則，
即圓心距為半徑之和，兩圓外切；
若在雙曲線右支，則，兩圓內(nèi)切，
所以兩圓相切；
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓與圓的位置關(guān)系及其判定，雙曲線的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想方法，是基礎(chǔ)題．
10．（2023春?浦東新區(qū)期中）在下列雙曲線中，與共漸近線的為
A．B．C．D．
【分析】由雙曲線的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線漸近線方程的求法求解即可．
【解答】解：雙曲線的漸近線方程為，
對(duì)于選項(xiàng)，雙曲線的漸近線方程為，即選項(xiàng)不符合題意；
對(duì)于選項(xiàng)，雙曲線的漸近線方程為，即選項(xiàng)符合題意；
對(duì)于選項(xiàng)，雙曲線的漸近線方程為，即選項(xiàng)不符合題意；
對(duì)于選項(xiàng)，雙曲線的漸近線方程為，即選項(xiàng)不符合題意．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了雙曲線漸近線方程的求法，屬基礎(chǔ)題．
11．（2023春?上海月考）已知、是關(guān)于的方程的兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，、，的直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為
A．0B．1
C．2D．根據(jù)的值來(lái)確定
【分析】由題意可得，，求得的斜率，得直線方程，可得直線平行雙曲線的一條漸近線，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合得答案．
【解答】解：、是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
可得，，且△，
即有，
經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，、，的直線的斜率為，
可得的方程為，即為，
即有，
雙曲線的漸近線方程為，
，，
則直線與雙曲線的一條漸近線平行，
經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，、，的直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩點(diǎn)的直線方程的求法和平行直線系問(wèn)題，考查直線與雙曲線位置關(guān)系的判定，是中檔題．．
12．（2024春?楊浦區(qū)校級(jí)月考）已知雙曲線方程為，則該雙曲線的漸近線方程為 ．
【分析】利用雙曲線方程，直接求解即可．
【解答】解：雙曲線方程為，則該雙曲線的漸近線方程為：．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，是基礎(chǔ)題．
13．（2023春?楊浦區(qū)校級(jí)月考）雙曲線的兩條漸近線的夾角大小為 ．
【分析】求得雙曲線的兩漸近線方程，可求兩條漸近線的夾角大?。?br>【解答】解：雙曲線的兩條漸近線方程為，
兩漸近線互相垂直，兩條漸近線的夾角大小為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．
14．（2024春?嘉定區(qū)校級(jí)月考）已知點(diǎn)為雙曲線右支上的一點(diǎn)，，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為△的內(nèi)心，若成立，則的值為 ．
【分析】設(shè)△的內(nèi)切圓半徑為，由，，用△的邊長(zhǎng)和表示出等式中的三角形的面積，解此等式求出．
【解答】解：雙曲線的，，，
設(shè)△的內(nèi)切圓半徑為，
由雙曲線的定義得，，
，，
，
由得，
，
故，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的定義和簡(jiǎn)單性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求出參數(shù)的值是關(guān)鍵，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
15．（2023春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）若雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的離心率 ．
【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程為，求出，之間的關(guān)系，再代入離心率結(jié)合，，之間的關(guān)系即可求出結(jié)論．
【解答】解：因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，
可得：，
．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的性質(zhì)及其方程．雙曲線離心率的求法，是基礎(chǔ)題．
16．（2023春?上海期中）已知雙曲線的漸近線與圓相切，則 ．
【分析】求出雙曲線的漸近線方程，利用圓心到漸近線的距離等于圓的半徑可求得的值．
【解答】解：由得，所以圓心為，半徑為1，
雙曲線的漸近線方程為，即，
因?yàn)殡p曲線的漸近線與圓相切，
所以，化簡(jiǎn)得，解得或（舍去）．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題．
17．（2023春?黃浦區(qū)校級(jí)期中）已知，為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，，為上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，則四邊形的面積為 18 ．
【分析】判斷四邊形為矩形，利用雙曲線的定義及勾股定理求解即可．
【解答】解：因?yàn)?，為上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，
所以四邊形為矩形，
設(shè)，，
由雙曲線的定義可得，
所以，
因?yàn)椋?br>即，
所以，
所以四邊形的面積為．
故答案為：18．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，雙曲線的定義，考查方程思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
18．（2024春?金山區(qū)校級(jí)月考）已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且垂直軸的直線與交于，兩點(diǎn)，且，若圓與的一條漸近線交于，兩點(diǎn)，則 ．
【分析】令，求得，解直角三角形可得雙曲線的漸近線方程，再由直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式，計(jì)算可得所求弦長(zhǎng)．
【解答】解：設(shè)，
令，可得，即有，
可得，
解得，即有，
所以漸近線方程為，
由對(duì)稱性，不妨取進(jìn)行計(jì)算，
由圓心到直線的距離，
可得弦長(zhǎng)．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，以及直線和圓的位置關(guān)系，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
19．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)左焦點(diǎn)作直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)在第一象限），若線段的中垂線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且點(diǎn)到直線的距離為，則雙曲線的離心率為 ．
【分析】根據(jù)題意，由雙曲線的定義可得，再由勾股定理列出方程即可得到，的關(guān)系，進(jìn)而求解結(jié)論．
【解答】解：設(shè)雙曲線的半焦距為，，
，根據(jù)題意得到，
又，
故，設(shè)的中點(diǎn)為，
在中，，，
故，
則，，
根據(jù)，
可知，
故，可得．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．
20．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯用不同的平面截同一圓錐，得到了三種圓錐曲線，其中的一種如圖所示．用過(guò)點(diǎn)且垂直于圓錐底面的平面截兩個(gè)全等的對(duì)頂圓錐得到雙曲線的一部分，已知高，底面圓的半徑為4，為母線的中點(diǎn)，平面與底面的交線，則雙曲線兩漸近線所夾銳角的余弦值為 ．
【分析】以過(guò)點(diǎn)且垂直于圓錐底面的平面的中心為原點(diǎn)，平行于圓錐的軸為軸建立坐標(biāo)系，求出，坐標(biāo)代入雙曲線方程，進(jìn)而求得漸近線方程，先求出兩漸近線所夾銳角的正切值，再求余弦值即可．
【解答】解：設(shè)交于，
以過(guò)點(diǎn)且垂直于圓錐底面的平面的中心為原點(diǎn)，平行于圓錐的軸為軸建立如圖所示坐標(biāo)系，
因?yàn)閳A錐的高，是中點(diǎn)，且截面垂直于底面，
所以，所以，
又因?yàn)榈酌鎴A半徑，
所以，，所以，
設(shè)雙曲線方程為，將，，代入解得，
則雙曲線的兩條漸近線方程為，
由對(duì)稱性可知兩條漸近線所夾銳角的正切值為，
所以雙曲線兩漸近線所夾銳角的余弦值為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
21．（2023春?寶山區(qū)期末）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，直線與雙曲線在第一、三象限分別交于點(diǎn)、，為坐標(biāo)原點(diǎn)．有下列結(jié)論：
①四邊形是平行四邊形；②若軸，垂足為，則直線的斜率為；
③若，則四邊形的面積為；
④若為正三角形，則雙曲線的離心率為．
其中正確命題的序號(hào)是 ①②④ ．
【分析】根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，得到為的中點(diǎn)，也是的中點(diǎn)，可判定①正確；設(shè)，，則，，不妨設(shè)，聯(lián)立方程組，求得，的坐標(biāo)，結(jié)合斜率公式，可判定②正確；由，得到，結(jié)合勾股定理和雙曲線的定義，得到，求得，可判定③錯(cuò)誤；求得，可求雙曲線的離心率，判斷④．
【解答】解：對(duì)于①中，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，可得為的中點(diǎn)，且也是的中點(diǎn)，
所以與互相平分，四邊形為平行四邊形，所以①正確；
對(duì)于②中，設(shè)，，則，，不妨設(shè)，
聯(lián)立方程組，可得，
則，，
可得，即，，，，
所以直線的斜率為，所以②正確；
對(duì)于③中，不妨設(shè)點(diǎn)位于第一象限，
因?yàn)?，所以，，三點(diǎn)共圓，所以，
可得，
又由橢圓的定義得，所以，
可得，
所以△的面積為，
所以的面積為，所以③錯(cuò)誤；
對(duì)于④中，因?yàn)?，所以，，三點(diǎn)共圓，所以，
所以，
所以，解得，所以④正確．
故答案為：①②④．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的性質(zhì)以及直線與雙曲線的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
22．（2023春?松江區(qū)校級(jí)期中）外形是雙曲面的冷卻塔具有眾多優(yōu)點(diǎn)，如自然通風(fēng)和散熱效果好，結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和抗變形能力強(qiáng)等，其設(shè)計(jì)原理涉及到物理學(xué)、建筑學(xué)等學(xué)科知識(shí)．如圖1是中國(guó)華電集團(tuán)的某個(gè)火力發(fā)電廠的一座冷卻塔，它的外形可以看成是由一條雙曲線的一部分繞著它的虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)而成，其軸截面如圖2所示．已知下口圓面的直徑為80米，上口圓面的直徑為40米，高為90米，下口到最小直徑圓面的距離為80米．
（1）求最小直徑圓面的面積；
（2）雙曲面也是直紋曲面，即可以看成是由一條直線繞另一條直線旋轉(zhuǎn)而成，該直線叫做雙曲面的直母線．過(guò)雙曲面上的任意一點(diǎn)有且只有兩條相交的直母線（如圖，對(duì)于任意一條直母線，均存在一個(gè)軸截面和它平行，此軸截面截雙曲面所得的雙曲線有兩條漸近線，且直母線與其中一條平行．廣州電視塔（昵稱“小蠻腰”，如圖就是根據(jù)這一理論設(shè)計(jì)的，極大地方便了建造、節(jié)約了成本（主鋼梁在直母線上，鋼筋不需要彎曲）．若圖1中的冷卻塔也采用直母線主鋼梁，求主鋼梁的長(zhǎng)度（精確到0.01米，參考數(shù)據(jù)：．
【分析】（1）由題中圖2的建系可設(shè)截面雙曲線的方程為，得到雙曲線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入雙曲線方程求得，即可得到最小直徑圓面的面積；
（2）由（1）可得雙曲線的漸近線的斜率，結(jié)合已知求得沿軸方向的長(zhǎng)，再由勾股定理求主鋼梁的長(zhǎng)度．
【解答】解：（1）由圖2建系可設(shè)截面雙曲線的方程為，
它過(guò)點(diǎn)及，
，解得，
最小直徑圓面的面積為；
（2）由（1）可知，漸近線的斜率，
由題意知，母線平行于漸近線且高為90，
則沿軸方向的長(zhǎng)為，
主鋼梁的長(zhǎng)度為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，正確理解題意是關(guān)鍵，是中檔題．
23．（2023春?黃浦區(qū)校級(jí)期中）如圖：雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作直線交軸于點(diǎn)．
（1）當(dāng)直線平行于的一條漸近線時(shí)，求點(diǎn)到直線的距離；
（2）當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，在的右支上是否存在點(diǎn)，滿足？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
【分析】（1）利用雙曲線漸近線相關(guān)知識(shí)可解；
（2）設(shè)右支上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，分別表示，，從而可解．
【解答】解：（1）雙曲線，焦點(diǎn)在軸上，，則雙曲線左、右焦點(diǎn)分別為，，
過(guò)作直線，設(shè)直線的斜率為，交軸于點(diǎn)．
當(dāng)直線平行于的一條漸近線時(shí)，
不妨令，則直線的方程為：，即，
則點(diǎn)到直線的距離為；
（2）當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，的方程為，故，
又，，
設(shè)右支上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則，
由，得，即，
，消去得：，
由根與系數(shù)的關(guān)系知，此方程無(wú)正根，
所以，在雙曲線的右支上不存在點(diǎn)，滿足．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查直線與雙曲線的交點(diǎn)與△的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于難題
一．填空題（共12小題）
1．（2023春?奉賢區(qū)校級(jí)期中）已知雙曲線，其右焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，則該雙曲線的離心率為 ．
【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出，并根據(jù)離心率公式求解即可．
【解答】解：由于對(duì)稱性，右焦點(diǎn)到兩條漸近線的距離都為2，
由題可知，過(guò)一三象限的漸近線為，即，
所以右焦點(diǎn)到漸近線的距離為，
又，
，
．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
2．（2023春?松江區(qū)校級(jí)期末）已知，雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，則該雙曲線的漸近線方程為 ．
【分析】由橢圓，雙曲線的方程可得它們焦點(diǎn)的坐標(biāo)，再由題意可得，的關(guān)系，進(jìn)而求出雙曲線的漸近線的方程．
【解答】解：由題意可得的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，
而雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，
由題意可得，整理可得，
所以雙曲線的漸近線的方程為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓，雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
3．（2023春?奉賢區(qū)期末）設(shè)雙曲線，以的實(shí)軸為虛軸，以的虛軸為實(shí)軸的雙曲線叫做的共軛雙曲線，通過(guò)研究可以得到雙曲線和它的共軛雙曲線有很多相同的性質(zhì)，請(qǐng)寫出其中的一個(gè)性質(zhì)： 有相同漸近線 ．
【分析】根據(jù)共軛雙曲線定義得到兩雙曲線方程，進(jìn)而可表示出對(duì)應(yīng)漸近線方程．
【解答】解：根據(jù)定義可得，，
故他們的漸近線方程均為．
故答案為：有相同漸近線．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．
4．（2023?嘉定區(qū)二模）雙曲線的離心率為 ．
【分析】由雙曲線方程求得與，再由隱含條件求解，則離心率可求．
【解答】解：由雙曲線，得，，
，
雙曲線的離心率為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．
5．（2023春?寶山區(qū)校級(jí)期中）雙曲線的離心率為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為 1 ．
【分析】根據(jù)題意及雙曲線的幾何性質(zhì)，建立的方程，從而求出，從而可得焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式，計(jì)算即可求解．
【解答】解：雙曲線的離心率為，
解得，，，，漸近線方程為，
焦點(diǎn)，到漸近線的距離為．
故答案為：1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，方程思想，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題．
6．（2023春?徐匯區(qū)校級(jí)期末）已知雙曲線的離心率，實(shí)半軸長(zhǎng)為4，則雙曲線的方程為 ．
【分析】由離心率求出，再由求出可得雙曲線方程．
【解答】解：由已知可得，即得，所以雙曲線方程為：．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
7．（2023春?普陀區(qū)校級(jí)月考）雙曲線與直線無(wú)公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍為 ， ．
【分析】由題意畫出圖形，再由雙曲線與直線無(wú)交點(diǎn)，可得，結(jié)合離心率公式求解雙曲線的離心率的取值范圍．
【解答】解：雙曲線的漸近線方程為，
雙曲線與直線無(wú)交點(diǎn)，
，
即，
，．
故答案為：，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．
8．（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)月考）圓錐曲線都具有光學(xué)性質(zhì)，如雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)雙曲線反射后，反射光線是發(fā)散的，其反向延長(zhǎng)線會(huì)經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)．如圖，一鏡面的軸截面圖是一條雙曲線的部分，是它的一條對(duì)稱軸，是它的一個(gè)焦點(diǎn)，一光線從焦點(diǎn)發(fā)出，射到鏡面上點(diǎn)，反射光線是，若，，則該雙曲線的離心率等于 ．
【分析】反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)，由題中條件可得，，在直角三角形中，，，由雙曲線的定義可得，從而得，即可求得答案．
【解答】解：在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，
反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)，
由，，可得，，
在直角三角形中，，，
由雙曲線的定義可得，
所以，即，
所以，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，化歸轉(zhuǎn)化思想，方程思想，屬中檔題．
9．（2023春?上海期中）過(guò)雙曲線焦點(diǎn)的直線與的兩條漸近線的交點(diǎn)分分別為、，當(dāng)時(shí)，．則的離心率為 ．
【分析】根據(jù)可得垂直于漸近線，從而根據(jù)題意可得，，，設(shè)，，，則，，，，從而可得，從而建立方程，再化簡(jiǎn)可得，再轉(zhuǎn)化即可求解．
【解答】解：如圖，根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)為雙曲線的左焦點(diǎn)，
根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)得：雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為，
又，垂直于漸近線，又，
，又，，
設(shè)，，，
則，，，，
，
，
，
雙曲線的離心率，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，兩角和的正切公式的應(yīng)用，方程思想，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．
10．（2023春?上海月考）已知是雙曲線與拋物線的一個(gè)共同焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率的大小為 ．
【分析】先求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，即為雙曲線的焦點(diǎn)，然后求解即可．
【解答】解：拋物線的焦點(diǎn)為，
也是雙曲線的焦點(diǎn)，
所以，所以，即，
所以雙曲線的離心率為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題．
11．（2023春?楊浦區(qū)校級(jí)月考）已知雙曲線方程為，點(diǎn)是該雙曲線上的點(diǎn)，、分別是它的左、右焦點(diǎn)，若，則的大小為 ．
【分析】先根據(jù)雙曲線的定義得到，再由余弦定理得到的值，進(jìn)而可得到的大小．
【解答】解：雙曲線方程為，，，．焦點(diǎn)坐標(biāo)，，
，
．
．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的基本性質(zhì)和余弦定理的應(yīng)用，考查基礎(chǔ)知識(shí)的簡(jiǎn)單應(yīng)用．
12．（2023春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）如圖，、是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，、分別是、在第二、四象限的交點(diǎn)，若，則與的離心率之積的最小值為 ．
【分析】利用橢圓與雙曲線的對(duì)稱性，結(jié)合橢圓與雙曲線的定義求得，的長(zhǎng)，構(gòu)造平行四邊形，利用平行四邊形法則求得的長(zhǎng)度，然后利用余弦定理及基本不等式求得離心率乘積的最小值．
【解答】解：設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，
由橢圓與雙曲線的定義，可得，，
解得：，，
四邊形為平行四邊形，，
．
，，
即，
，
則與的離心率之積．
與的離心率之積的最小值為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓與雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查圓錐曲線定義的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
二．選擇題（共4小題）
13．（2023春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）已知，則雙曲線與的
A．實(shí)軸長(zhǎng)相等B．虛軸長(zhǎng)相等C．焦距相等D．離心率相等
【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出雙曲線的幾何性質(zhì)同，即可得出正確答案．
【解答】解：雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)，焦距2，離心率，
雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)，焦距，離心率，
故它們的離心率相同．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)等，屬于基礎(chǔ)題．
14．（2023春?虹口區(qū)期末）雙曲線的兩條漸近線的夾角的大小等于
A．B．C．D．
【分析】求得雙曲線的兩條漸近線方程，得到斜率和傾斜角，再求出漸近線夾角的大?。?br>【解答】解：雙曲線的兩條漸近線的方程為，
由直線的斜率為，可得傾斜角為，
的斜率為，可得傾斜角為，
所以兩條漸近線的夾角的大小為．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的漸近線方程和夾角的大小，考查運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題．
15．（2023春?虹口區(qū)期末）點(diǎn)、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，則△的內(nèi)切圓半徑的取值范圍是
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)題意，利用切線長(zhǎng)定理，再利用雙曲線的定義，把，轉(zhuǎn)化為，從而求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，確定，即可求出△的內(nèi)切圓半徑的取值范圍．
【解答】解：如圖所示：、，
設(shè)內(nèi)切圓與軸的切點(diǎn)是點(diǎn)，
、與內(nèi)切圓的切點(diǎn)分別為、，
由雙曲線的定義可得，
由圓的切線長(zhǎng)定理知，，故，
即，
設(shè)內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為，內(nèi)切圓半徑，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
故，，
雙曲線的漸近線的方程為，
，
，
，
．
△的內(nèi)切圓半徑的取值范圍，
故選．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的定義、切線長(zhǎng)定理，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，正確運(yùn)用雙曲線的定義是關(guān)鍵，屬于中檔題．
16．（2023春?普陀區(qū)校級(jí)期末）已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，雙曲線的半焦距為，且滿足，點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，為△的內(nèi)心，若成立表示面積），則實(shí)數(shù)
A．B．C．D．
【分析】由可求出雙曲線的離心率，設(shè)△內(nèi)切圓半徑為，則由可得，而，則，從而可求出的值．
【解答】解：因?yàn)椋裕?br>所以，解得，
因?yàn)?，所以?br>設(shè)△內(nèi)切圓半徑為，
因?yàn)闉椤鞯膬?nèi)心，成立表示面積），
所以，
所以，
因?yàn)辄c(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，所以，
所以，
所以，
所以，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
三．解答題（共5小題）
17．（2022春?青浦區(qū)校級(jí)期末）已知雙曲線的一條漸近線方程，原點(diǎn)到過(guò)、點(diǎn)直線的距離為．
（1）求雙曲線方程；
（2）過(guò)點(diǎn)能否作直線，使與已知雙曲線交于兩點(diǎn)，，且是線段的中點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出其方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）利用原點(diǎn)到直線的距離為，可得，①雙曲線的一條漸近線方程，可得，②由①②可得，，即可求雙曲線方程；
（2）假設(shè)直線存在．由已知條件利用點(diǎn)差法求出直線的方程為，聯(lián)立方程組，得，由△，推導(dǎo)出直線不存在．
【解答】解：（1）直線過(guò)、兩點(diǎn)，
方程為．
原點(diǎn)到直線的距離為，
，①
雙曲線的一條漸近線方程，
，②
由①②可得，，
雙曲線方程為；
（2）假設(shè)直線存在．
設(shè)是線段的中點(diǎn)，
且，，，，則，．
，在雙曲線上，
代入作差，整理可得，
，
，
直線的方程為，即，
聯(lián)立方程組，得
△，
直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn)，
直線不存在
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了計(jì)算能力，注意點(diǎn)差法和根的判別式的合理運(yùn)用，屬于中檔題．
18．（2024春?安徽月考）已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交于，兩點(diǎn)（均不與重合），當(dāng)與軸垂直時(shí)，．
（1）求的方程；
（2）若直線和分別與直線交于點(diǎn)和，證明：為定值．
【分析】（1）由題意得，并代入求出，根據(jù)求出，得到答案；
（2）直線的方程，聯(lián)立雙曲線方程，得到兩根之和，兩根之積，得到直線，求出，同理得到，結(jié)合平面向量數(shù)量積公式，代入兩根之和，兩根之積得到．
【解答】解：（1）由題意得，
故，
令得，
解得，
由于，
故，
解得，
所以的方程為；
（2）證明：直線交于，兩點(diǎn)（均不與重合），
故直線的斜率不為0，
設(shè)直線方程為，
聯(lián)立得，
設(shè)，，，，
則且△，
解得，
則，
直線，
令得，
同理可得，
故，
則
．
即為定值．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬中檔題．
19．（2024春?河南月考）已知雙曲線的焦點(diǎn)F（c，0）（c＞0）到一條漸近線的距離為．
（1）求C的方程；
（2）若直線l交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若M（4，2）是弦AB的中點(diǎn)，求△OAB的面積．
【分析】（1）利用焦點(diǎn)到漸近線的距離求出，結(jié)合漸近線方程即可求出雙曲線方程；
（2）利用點(diǎn)差法求出直線l的斜率，然后聯(lián)立直線l與雙曲線C的方程，求出弦長(zhǎng)|AB|和點(diǎn)O到直線l的距離，即可求出△OAB的面積．
【解答】解：（1）由雙曲線C的一條漸近線方程為，所以，
故F到漸近線的距離，
所以，又，所以，
故C的方程為；
（2）設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），
因?yàn)镸（4，2）是弦AB的中點(diǎn)，則，
由于，所以兩式相減得，
所以，即直線l的斜率為，
所以直線l的方程為，即，
聯(lián)立，消去y并整理，得3x2﹣24x+38＝0，
所以Δ＝242﹣4×3×38＝120＞0，且，
所以，
點(diǎn)O到直線的距離為，
所以△OAB的面積為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題．
20．（2023春?普陀區(qū)校級(jí)期中）已知雙曲線．
（1）求與雙曲線有相同焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線分別交雙曲線的兩條漸近線于、兩點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的值．
【分析】（1）先確定雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)雙曲線與雙曲線有相同焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)，建立方程組，從而可求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線方程與雙曲線的兩條漸近線聯(lián)立，求出、兩點(diǎn)的坐標(biāo)用坐標(biāo)，利用數(shù)量積，即可求得實(shí)數(shù)的值．
【解答】解：（1）雙曲線，
焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，，
設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
雙曲線與雙曲線有相同焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)
，解得
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）雙曲線的兩條漸近線為，
由，可得，，
由，可得，，，
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積，聯(lián)立方程組是關(guān)鍵．
21．（2023?徐匯區(qū)校級(jí)開學(xué)）設(shè)雙曲線的方程為，過(guò)其右焦點(diǎn)且斜率不為零的直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，直線的方程為，、在直線上的射影分別為、．
（1）當(dāng)垂直于軸，時(shí)，求四邊形的面積；
（2）當(dāng)，的斜率為正實(shí)數(shù)，在第一象限，在第四象限時(shí)，試比較和1的大小，并說(shuō)明理由；
（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)滿足題意的任意直線，直線和直線的交點(diǎn)總在軸上，若存在，求出所有的的值和此時(shí)直線與交點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由．
【分析】（1）由雙曲線的方程為，可得，可得右焦點(diǎn)．當(dāng)垂直于軸，時(shí)，由雙曲線的對(duì)稱性可得：四邊形為矩形．即可得出面積．
（2）作出右準(zhǔn)線．．分別作，垂足為；，垂足為．利用雙曲線的第二定義可得：，．
（3）存在實(shí)數(shù)，時(shí)，定點(diǎn)．下面給出證明分析：設(shè)直線的方程為：，，，，．則，，，．直線方程與雙曲線方程聯(lián)立化為：，分別得出：直線與的方程，進(jìn)而得出．
【解答】解：（1）由雙曲線的方程為，可得，可得右焦點(diǎn)．
當(dāng)垂直于軸，時(shí)，由雙曲線的對(duì)稱性可得：四邊形為矩形．
代入雙曲線可得：，焦點(diǎn)．
四邊形的面積．
（2）作出右準(zhǔn)線．．
分別作，垂足為；，垂足為．
則．
．
，．
．
（3）存在實(shí)數(shù)，時(shí)，定點(diǎn)．下面給出證明：
設(shè)直線的方程為：，，，，．
則，，，．
聯(lián)立，化為：，
可得，．
直線的方程為：，令，解得．
直線的方程為：，令，解得．
由，可得：．
．
化為：，不妨取，則，
解得．不妨取，．
定點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
定點(diǎn)坐標(biāo)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的第二定義、直線與雙曲線相交問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．
標(biāo)準(zhǔn)方程
（a＞0，b＞0）
中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上
（a＞0，b＞0）
中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上
圖形


頂點(diǎn)
（a，0）和（﹣a，0）
（0，a）和（0，﹣a）
對(duì)稱軸
x軸、y軸，實(shí)軸長(zhǎng)2a，虛軸長(zhǎng)2b
焦點(diǎn)在實(shí)軸上
x軸、y軸，實(shí)軸長(zhǎng)2a，虛軸長(zhǎng)2b
焦點(diǎn)在實(shí)軸上
焦點(diǎn)
F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）
F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c（c＞0）
c2＝a2+b2
|F1F2|＝2c（c＞0）
c2＝a2+b2
離心率
e＝（e＞1）
e＝（e＞1）
漸近線
即y＝±x
即y＝±x
準(zhǔn)線
x＝±
y＝±
標(biāo)準(zhǔn)方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
圖形





性
質(zhì)
焦點(diǎn)
F1（﹣c，0），F(xiàn)2（ c，0）
F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
|F1F2|＝2c
范圍
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
對(duì)稱
關(guān)于x軸，y軸和原點(diǎn)對(duì)稱
頂點(diǎn)
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
軸
實(shí)軸長(zhǎng)2a，虛軸長(zhǎng)2b
離心率
e＝（e＞1）
準(zhǔn)線
x＝±
y＝±
漸近線
±＝0
±＝0

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