【期中復(fù)習(xí)】2023-2024學(xué)年（滬教版2020選修）高二數(shù)學(xué)下冊專題01平面直角坐標(biāo)系中的直線全章復(fù)習(xí)攻略-考點(diǎn)歸納講練.zip-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．傾斜角的相關(guān)概念
(1)傾斜角的定義：當(dāng)直線l與x軸相交時，以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角．如圖所示，直線l的傾斜角是∠_APx，直線l′的傾斜角是∠BPx.
(2)傾斜角的范圍：直線的傾斜角α的取值范圍是0°≤α＜180°，并規(guī)定與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0°.
2．斜率的概念及斜率公式
(1)定義：傾斜角α(α≠90°)的正切值．
(2)記法：k＝tan α.
(3)斜率與傾斜角的對應(yīng)關(guān)系．
(4)經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式：k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).
3．直線的方向向量坐標(biāo)
若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則直線P1P2的方向向量eq \(P1P2,\s\up8(→))的坐標(biāo)為(x2－x1，y2－y1)．
若直線l的斜率為k，它的一個方向向量的坐標(biāo)為(x，y)，則k＝eq \f(y,x).
4．兩條直線平行與斜率之間的關(guān)系
5．兩條直線垂直與斜率之間的關(guān)系
6．直線的點(diǎn)斜式方程和斜截式方程
7．直線在y軸上的截距
定義：直線l與y軸的交點(diǎn)(0，b)的縱坐標(biāo)b.
符號：可正，可負(fù)，也可為零．
1．直線的兩點(diǎn)式和截距式方程
8．線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式
若點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，設(shè)P(x，y)是線段P1P2的中點(diǎn)，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2).))
9.直線的一般式方程
(1)定義：關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時為0)叫做直線的一般式方程，簡稱一般式．
(2)適用范圍：平面直角坐標(biāo)系中，任何一條直線都可用一般式表示．
(3)系數(shù)的幾何意義：
①當(dāng)B≠0時，則－eq \f(A,B)＝k(斜率)，－eq \f(C,B)＝b(y軸上的截距)；
②當(dāng)B＝0，A≠0時，則－eq \f(C,A)＝a(x軸上的截距)，此時不存在斜率．
10．兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)
11.直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同時為0)；l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同時為0)的位置關(guān)系如表所示：
12.兩點(diǎn)間的距離公式
(1)平面上的兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式
|P1P2|＝eq \r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2).
(2)兩點(diǎn)間距離的特殊情況
①原點(diǎn)O(0,0)與任一點(diǎn)P(x，y)的距離|OP|＝eq \r(x2＋y2).
②當(dāng)P1P2∥x軸(y1＝y(tǒng)2)時，|P1P2|＝|x2－x1|.
③當(dāng)P1P2∥y軸(x1＝x2)時，|P1P2|＝|y2－y1|.
13.點(diǎn)到直線和兩條平行線間的距離

【考查題型一】確定直線位置的幾何要素
【例1】．（2023秋?浦東新區(qū)校級期中）直線經(jīng)過第一、二、四象限，則、、應(yīng)滿足
A．，B．，C．，D．，
【分析】由條件得到直線的斜率和直線的截距，即可得到直線的位置．
【解答】解：直線的斜截式方程為，
直線通過第一，二，四象限．
即直線的斜率，截距，
，，
故選：．
【點(diǎn)評】本題主要考查直線的方程的應(yīng)用，將方程轉(zhuǎn)化為斜截式是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．
【變式1-1】．（2023秋?浦東新區(qū)校級月考）如果，，那么直線不通過第象限．
A．一B．二C．三D．四
【分析】由題意，求得該直線的斜率和在軸上的截距，從而得出結(jié)論．
【解答】解：如果，，則、異號，，，
直線，即，它的斜率為大于零，在軸上的截距小于零，
故該直線不通過第二象限．
故選：．
【點(diǎn)評】本題主要考查確定直線的幾何要素，屬于基礎(chǔ)題．
【考查題型二】直線的傾斜角
【例2】．（2023秋?寶山區(qū)月考）已知直線的方程為，則直線的傾斜角為
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)題意，求得直線的斜率，然后根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系，算出直線的傾斜角．
【解答】解：根據(jù)題意得直線的斜率，
設(shè)直線的傾斜角為，則，且，，解得．
故選：．
【點(diǎn)評】本題主要考查了直線的斜率與傾斜角及其應(yīng)用，考查概念的理解能力，屬于基礎(chǔ)題．
【變式2-1】．（2023秋?浦東新區(qū)校級期中）已知直線經(jīng)過，兩點(diǎn)，則該直線的傾斜角為．
【分析】由，兩點(diǎn)的坐標(biāo)可得直線的斜率，進(jìn)而求出直線的傾斜角的大?。?br>【解答】解：由，，可得，
設(shè)直線的傾斜角為，且，，
所以，可得．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查直線的斜率的求法及傾斜角的求法，屬于基礎(chǔ)題．
【變式2-2】．（2023秋?浦東新區(qū)校級期中）直線的傾斜角為．
【分析】由直線的方程求得直線的斜率，再根據(jù)傾斜角和斜率的關(guān)系求得它的傾斜角．
【解答】解：由于直線的斜率為，設(shè)傾斜角為，則，，
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題主要考查直線的傾斜角和斜率，屬于基礎(chǔ)題．
【變式2-3】．（2023秋?普陀區(qū)校級期中）直線的傾斜角的取值范圍是．
【分析】分別討論直線的斜率垂直和不存在兩種情況，再由的范圍，可得直線的斜率的范圍，進(jìn)而求出直線的傾斜角的范圍．
【解答】解：當(dāng)時，則直線的斜率不存在，此時直線的傾斜角為，
當(dāng)時，則直線的斜率為，則它的傾斜角的范圍為，；
當(dāng)時，則直線的斜率為，則它的傾斜角的范圍為，；
綜上所述：直線的傾斜角的范圍為，．
故答案為：，．
【點(diǎn)評】本題考查分類討論的思想及直線的傾斜角的范圍的求法，屬于基礎(chǔ)題．
【變式2-4】．（2023秋?奉賢區(qū)校級月考）已知點(diǎn)，，則直線的傾斜角．
【分析】由，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可得直線的斜率，進(jìn)而求出直線的傾斜角的大小．
【解答】解：由，，可得直線的斜率，
所以直線的傾斜角為．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查直線的斜率的求法及直線的傾斜角的求法，屬于基礎(chǔ)題．
【變式2-5】．（2023秋?虹口區(qū)校級月考）若，，且過點(diǎn)的直線與線段有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍及傾斜角的取值范圍是．
【分析】利用斜率的計算公式及其意義即可得出．
【解答】解：如圖示：
，，
過點(diǎn)的直線與線段有公共點(diǎn)，
或．
直線的斜率的取值范圍是，，，
傾斜角的取值范圍是是，．
故答案為：，，，，．
【點(diǎn)評】本題考查了斜率的計算公式及其意義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
【變式2-6】．（2023秋?浦東新區(qū)校級月考）若直線與直線的傾斜角相等，則實數(shù) ．
【分析】首先將直線化為斜截式，依題意可得，即可得解．
【解答】解：直線即，
直線即，
因為直線與直線的傾斜角相等，
所以，即．
故答案為：1．
【點(diǎn)評】本題考查了直線的傾斜角，考查了直線平行的性質(zhì)，是中檔題．
【變式2-7】．（2022秋?上海期末）已知直線，，則直線的傾斜角的取值范圍是．
【分析】設(shè)直線的傾斜角為，，．可得，，即可得出．
【解答】解：設(shè)直線的傾斜角為，，．
則，，
，，．
故答案為：，，．
【點(diǎn)評】本題考查了直線的傾斜角與斜率的關(guān)系、特殊角的三角函數(shù)值，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
【考查題型三】直線的斜率
【例3】．（2023秋?浦東新區(qū)校級月考）已知，，則直線的斜率為．
【分析】利用經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式加以計算，即可得到本題的答案．
【解答】解：根據(jù)題意，可得．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題主要考查直線的斜率公式及其應(yīng)用，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
【變式3-1】．（2023秋?奉賢區(qū)校級月考）若直線和直線斜率互為相反數(shù)，則．
【分析】由兩條直線的方程可得它們的斜率，由題意可得的值．
【解答】解：由題意可得直線的斜率，
直線的斜率，
由題意可得，整理可得：，
解得或，都符合條件．
故答案為：或0．
【點(diǎn)評】本題考查直線的斜率的求法，屬于基礎(chǔ)題．
【變式3-2】．（2023秋?奉賢區(qū)校級月考）已知經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線的斜率為1，則的值為．
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合斜率公式，即可求解．
【解答】解：經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線的斜率為1，
，解得．
故答案為：6．
【點(diǎn)評】本題主要考查斜率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
【變式3-3】．（2023秋?寶山區(qū)校級月考）在線段上運(yùn)動，已知，，則的取值范圍是．
【分析】畫出圖形，求出的斜率，即可得到的取值范圍．
【解答】解：如圖：表示線段上的點(diǎn)與連線的斜率，
，，
則的取值范圍是，．
故答案為：，．
【點(diǎn)評】本題考查直線的斜率的求法，考查計算能力．
【變式3-4】．（2023秋?徐匯區(qū)校級月考）已知線段的端點(diǎn)，，直線與線段相交，則的取值范圍是．
【分析】首先求出直線恒過的定點(diǎn)，再利用直線的斜率關(guān)系式求出結(jié)果．
【解答】解：由于線段的端點(diǎn)，，直線與線段相交，
直線整理得，故直線恒過點(diǎn)，
由于直線與線段相交，
故直線的斜率滿足．
即的取值范圍滿足：．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：直線的傾斜角和斜率的關(guān)系式，主要考查學(xué)生的理解能力和計算能力，屬于中檔題．
【考查題型四】直線的圖象特征與傾斜角、斜率的關(guān)系
【例5】．（2023秋?普陀區(qū)校級期中）如果，，那么直線不通過第象限．
【分析】由題意直線可化為．由于，，分類討論：若，則，，可得，；若，則，，可得，，即可得出直線經(jīng)過的象限，進(jìn)而判斷出．
【解答】解：由題意直線可化為．
，，若，則，，，，直線經(jīng)過第一、四、三象限．
若，則，，，，直線經(jīng)過第一、四、三象限．
綜上可得：直線經(jīng)過第一、四、三象限，不通過第二象限．
故答案為：二．
【點(diǎn)評】本題考查了直線的斜率與截距的意義、分類討論等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于基礎(chǔ)題．
【考查題型五】三點(diǎn)共線
【例5】．（2023秋?寶山區(qū)校級月考）若、、三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，則．
【分析】由題意可知點(diǎn)在直線上時，三點(diǎn)構(gòu)不成三角形，求出直線的方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)，可得的值．
【解答】解：、、三點(diǎn)構(gòu)不成三角形，則點(diǎn)在直線上，
直線的斜率為：，
設(shè)直線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程可得．
故答案為：0．
【點(diǎn)評】本題考查直線的求法，屬于基礎(chǔ)題．
【變式5-1】．（2023秋?徐匯區(qū)校級月考）已知，，三點(diǎn)在同一條直線上，則的值為．
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線的斜率公式，即可求解．
【解答】解：已知，，三點(diǎn)在同一條直線上，
則，整理得：，解得或．
故答案為：2或．
【點(diǎn)評】本題主要考查三點(diǎn)共線，屬于基礎(chǔ)題．
【考查題型六】直線的點(diǎn)斜式方程
【例6】．（2023秋?奉賢區(qū)校級期中）已知經(jīng)過點(diǎn)的直線的一個法向量為，則的點(diǎn)法式方程為．
【分析】由已知直線的法向量及直線所過定點(diǎn)，直接寫出直線的點(diǎn)法式方程．
【解答】解：直線的一個法向量為，且經(jīng)過點(diǎn)，
則的點(diǎn)法式方程為：．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查直線的點(diǎn)法式方程，是基礎(chǔ)題．
【變式6-1】．（2023秋?徐匯區(qū)校級月考）直線過，且的一個法向量，則直線的點(diǎn)法向式方程為．
【分析】由題意直接求出直線的點(diǎn)法式方程．
【解答】解：直線過，且的一個法向量，
則直線的點(diǎn)法向式方程為，
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題主要考查直線的點(diǎn)法式方程，屬于基礎(chǔ)題．
【考查題型七】直線的斜截式方程
21．（2023秋?浦東新區(qū)校級期中）直線過點(diǎn)且傾斜角為，則直線的方程為．
【分析】直線過點(diǎn)且傾斜角為，則斜率不存在，直接寫出方程即可
【解答】解：直線過點(diǎn)且傾斜角為，則斜率不存在，
故直線的方程為，
故答案為：
【點(diǎn)評】本題考查了直線的傾斜角與斜率關(guān)系，是基礎(chǔ)題目．
【考查題型八】直線的截距式方程
【例8】．（2023秋?虹口區(qū)校級月考）直線在軸上的截距為．
【分析】根據(jù)截距的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．
【解答】解：在直線方程中，令，
則有，即，
所以直線在軸上的截距為．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題主要考查了直線基本概念，屬于基礎(chǔ)題．
【變式8-1】．（2023秋?松江區(qū)月考）已知直線過點(diǎn)．
（1）若直線過點(diǎn)，求直線的方程；
（2）若直線在軸和軸上的截距相等，求直線的方程．
【分析】（1）根據(jù)直線過兩點(diǎn)求出斜率，由點(diǎn)斜式方程求出直線方程；
（2）設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程，列式運(yùn)算即可得出直線方程．
【解答】解：（1）由直線過點(diǎn)，，所以直線的斜率為，
所以直線的方程為，即．
（2）直線過點(diǎn)，在軸和軸上的截距相等，
設(shè)直線的方程為，，
令得，令得，則，
解得或，
所以直線的方程為或．
【點(diǎn)評】本題考查直線的截距式方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
【考查題型九】直線的一般式方程與直線的性質(zhì)
【例9】.（2023秋?楊浦區(qū)校級期中）已知直線，點(diǎn)，、，，設(shè)，，以下選項中命題都正確的為
（1）若，則線段的中點(diǎn)在直線上
（2）若，則直線與直線平行
（3）若，則點(diǎn)、分布在直線的兩側(cè)
（4）若，則直線與線段的延長線相交
A．（1）（2）（3）B．（2）（3）（4）C．（1）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）
【分析】根據(jù)已知條件，對（1）（2）（3）（4）中的結(jié)論逐一分析判斷，即可得到本題的答案．
【解答】解：對于（1），因為，所以，
整理得，所以線段的中點(diǎn)在直線上，（1）正確；
對于（2），當(dāng)時，滿足，此時有，，
即，、，均在直線上，所以得不出與直線平行，（2）錯誤；
對于（3），由，得到，
由直線分平面區(qū)域的點(diǎn)滿足“同側(cè)同號，異側(cè)異號”，可知選項正確；
對于（4），由，得到，則有，
由直線分平面區(qū)域的點(diǎn)滿足“同側(cè)同號，異側(cè)異號”，可知點(diǎn)、分布在直線的同側(cè)，
且由，得到，
所以，從而有，所以（4）正確，
故選：．
【點(diǎn)評】本題主要考查直線的方程及其應(yīng)用、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、平行直線的斜率關(guān)系等知識，考查了計算能力、邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．
【變式9-1】．（2023秋?普陀區(qū)校級期中）直線經(jīng)過點(diǎn)且一個法向量為，則直線的一般式方程為．
【分析】先根據(jù)法向量求出直線的斜率，再應(yīng)用點(diǎn)斜式求出直線方程，最后化簡為一般式即可．
【解答】解：由直線方程一個法向量為，所以直線的斜率為，
點(diǎn)斜式得的方程，即．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題主要考查了直線方程的求解，屬于基礎(chǔ)題．
【變式9-2】．（2023秋?虹口區(qū)校級月考）已知，直線的方程為，直線的方程為，記，與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形的面積為，則的最小值為．
【分析】直線，，兩條直線都經(jīng)過定點(diǎn)．對于直線，令，可得與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)．對于，令可得與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，，再利用面積計算公式即可得出．
【解答】解：直線，，兩條直線都經(jīng)過定點(diǎn)．
，對于直線，令，可得與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)．
對于，令可得與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，．
，與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形可以看成由一個直角梯形和一個直角三角形組成，如圖：
故它的面積．
當(dāng)時，取得最小值．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查了直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、四邊形的面積計算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
【變式9-3】．（2023秋?徐匯區(qū)校級月考）已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且與軸、軸的正半軸分別交于點(diǎn)、點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求直線的一般式方程；
（2）當(dāng)取最小值時，求直線的一般式方程，并求此最小值．
【分析】（1）設(shè)出直線的截距式方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，得到，結(jié)合基本不等式求出面積最值，得到的方程；
（2）表達(dá)出，得到，，由基本不等式得到的最小值，得到，得到直線方程，
【解答】解：（1）設(shè)的方程為，
由直線過得，
由基本不等式得：，即，解得：，
當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號，此時的方程為，即；
（2）因為直線與軸、軸的正半軸分別交于點(diǎn)、點(diǎn)，
所以直線的斜率存在，
可設(shè)直線的方程為，
所以，，所以，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時，
此時直線的方程為，的最小值為4．
【點(diǎn)評】本題主要考查直線的一般式方程與直線的性質(zhì)，屬于中檔題．
【變式9-4】．（2023秋?虹口區(qū)校級月考）已知點(diǎn)，，，，過點(diǎn)作斜率為的直線分別交線段和線段于，兩點(diǎn)，求的面積關(guān)于的函數(shù)．
【分析】先利用直線與線段的交點(diǎn)與斜率之間的關(guān)系求出的范圍，再直接利用直線間的位置關(guān)系和三角形的面積公式的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：若直線與線段有交點(diǎn)，且、與和不重合，
則滿足：，
由于：，，
故．
設(shè)直線的方程為：，即：，由（2）知：
由于直線；直線．
由，得到，故，．
同理：得：，，
所以：，
原點(diǎn)到直線的距離，
所以．
由于，，
所以面積關(guān)于的函數(shù)，，．
【點(diǎn)評】本題主要考查直線方程的應(yīng)用，直線與線段的交點(diǎn)與斜率之間的關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，三角形的面積公式，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．
【考查題型十】直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系
【例10】．（2023秋?虹口區(qū)校級月考）“”是“與直線平行”的
A．充分非必要條件B．必要非充分條件
C．充要條件D．既非充分也非必要條件
【分析】根據(jù)直線平行得到方程，經(jīng)檢驗后得到，從而得到答案．
【解答】解：由題意得，解得，
當(dāng)時，兩直線為與，此時兩直線重合，舍去；
當(dāng)時，兩直線為和，此時兩直線不重合，滿足要求，
故“”是“與直線平行”的充要條件．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查充要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題．
【變式10-1】．（2023秋?奉賢區(qū)校級月考）若直線與直線平行，則的值為
A．2B．C．D．
【分析】利用直線平行的性質(zhì)得到關(guān)于的方程組，從而得解．
【解答】解：因為直線與直線平行，顯然，
所以，即，解得，
所以．
故選：．
【點(diǎn)評】本題主要考查兩直線平行的性質(zhì)，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
【變式10-2】．（2023秋?徐匯區(qū)校級月考）經(jīng)過兩直線與的交點(diǎn)，且平行于直線的直線方程為：．
【分析】聯(lián)立，即可解得交點(diǎn)．設(shè)過點(diǎn)且與直線平行的直線方程為．把點(diǎn)代入可得即可．
【解答】解：聯(lián)立，
解得，
得到交點(diǎn)．
設(shè)過點(diǎn)且與直線平行的直線方程為．
把點(diǎn)代入可得：，
解得．
因此所求的直線方程為：，即．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查了相交直線的交點(diǎn)、相互平行的直線之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
【變式10-3】．（2023秋?徐匯區(qū)校級月考）若直線和直線平行，則．
【分析】根據(jù)兩條直線平行的充要條件即可求解．
【解答】解：因為直線和直線平行，
所以，解得．
故答案為：3．
【點(diǎn)評】本題主要考查兩條直線平行的充要條件，屬于基礎(chǔ)題．
【變式10-4】．（2023秋?寶山區(qū)校級月考）已知直線經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)．
（1）若直線與直線平行，求直線的方程；
（2）若直線與夾角為，求直線的方程．
【分析】（1）聯(lián)立兩條直線方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用直線與直線平行的性質(zhì)能求出結(jié)果．
（2）聯(lián)立兩條直線方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩條直線夾角公式及直線的點(diǎn)斜式方程能求出結(jié)果．
【解答】解：（1）直線經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，
由，得，
兩條直線和的交點(diǎn)為，
直線與直線平行，
設(shè)直線的方程為，，
把代入直線的方程，得，解得，
直線的方程為；
（2）直線過直線和的交點(diǎn)，且與夾角為，
當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，不成立；
當(dāng)直線的斜率存在時，，
解得或，
直線的方程為或，
即或．
【點(diǎn)評】本題考查直線交點(diǎn)坐標(biāo)、直線與直線平行、兩直線夾角公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
【考查題型十一】直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系
【例11】．（2023秋?寶山區(qū)校級月考）設(shè)，，分別是中，，，所對邊的邊長，則直線與的位置關(guān)系是
A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直
【分析】要尋求直線與的位置關(guān)系，只要先求兩直線的斜率，然后由斜率的關(guān)系判斷直線的位置即可．
【解答】解：由題意可得直線的斜率，的斜率
則直線與垂直
故選：．
【點(diǎn)評】本題主要考查了兩直線的位置關(guān)系中的垂直關(guān)系的判斷，主要是通過直線的斜率關(guān)系進(jìn)行判斷，解題中要注意正弦定理的應(yīng)用．
【變式11-1】．（2023秋?虹口區(qū)校級月考）若中，，，分別為三內(nèi)角，，的對邊，且，則直線與直線
A．平行B．重合C．相交且垂直D．相交且不垂直
【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，將兩直線化為斜截式，求出對應(yīng)的斜率，結(jié)合正弦定理即可得出結(jié)果．
【解答】解：因為，，，所以，，均為正數(shù)，
由，即，
可得，即，
對于直線，即，
對于直線，即，
由正弦定理可得，所以直線與直線重合．
故選：．
【點(diǎn)評】本題主要考查直線垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
【變式11-2】．（2023秋?奉賢區(qū)校級月考）已知直線的傾斜角為．則下列直線中，與直線垂直的是
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線垂直的性質(zhì)，即可求解．
【解答】解：直線的傾斜角為，
則直線的斜率為，
對于，直線的斜率為，，即該直線與直線垂直，故正確，
對于，直線的斜率為，該直線不與直線垂直，故錯誤，
對于，直線的斜率為，該直線不與直線垂直，故錯誤，
對于，直線的斜率為，該直線不與直線垂直，故錯誤．
故選：．
【點(diǎn)評】本題主要考查直線垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
【變式11-3】．（2022秋?閔行區(qū)校級期末）直線的一個法向量為．
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合法向量的定義，即可求解．
【解答】解：直線的一個法向量為．
故答案為：（答案不唯一）．
【點(diǎn)評】本題主要考查法向量的定義，屬于基礎(chǔ)題．
【變式11-4】．（2022秋?楊浦區(qū)校級期末）已知直線，，若，則實數(shù)的值為．
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線垂直的性質(zhì)，即可求解．
【解答】解：直線，，，
則，解得．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題主要考查直線垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
【變式11-5】．（2023秋?浦東新區(qū)校級月考）已知直線的方程為，若直線過點(diǎn)，，且．
（1）求直線和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）已知直線經(jīng)過直線與直線的交點(diǎn)，且在軸上截距是在軸上的截距的2倍，求直線的方程．
【分析】（1）由已知結(jié)合直線垂直時的斜率關(guān)系可求的斜率，進(jìn)而可求直線方程；
（2）由已知對所求直線的截距是否為0進(jìn)行分類討論，進(jìn)而可求．
【解答】解：（1）因為直線過點(diǎn)，，且，
所以直線的方程為，即，
聯(lián)立，解得，，
所以直線和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0時，此時直線方程為，
當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都不為0時，此時可設(shè)直線方程為，
因為直線過，
所以，
所以，此時直線方程為，即，
綜上直線的方程為或．
【點(diǎn)評】本題主要考查了直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，直線垂直的斜率關(guān)系，直線的截距式方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
【變式11-6】．（2023秋?浦東新區(qū)校級月考）已知直線與直線，．
（1）若，求的值；
（2）若點(diǎn)在直線上，直線過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為0，求直線的方程．
【分析】（1）由兩條直線垂直的充要條件可得的值；
（2）由題意可得的值，即求出點(diǎn)的坐標(biāo)，分類討論直線，當(dāng)在直線過原點(diǎn)和不過原點(diǎn)兩種情況，分別求出直線的方程．
【解答】解：（1）因為直線與直線，，
而，可得，
解得或，
所以的值為0或；
（2）因為點(diǎn)在直線上，所以，可得，
即，
因為直線過，且兩坐標(biāo)軸上的截距之和為0，
當(dāng)直線過原點(diǎn)時，顯然符合條件，這時直線的方程為；
當(dāng)直線不過原點(diǎn)時，顯然直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，
令，可得，即直線在上的截距為，
令，可得，即直線在上的截距為，
由題意可得：，整理可得：，解得或，
這時直線的方程為：或，
即直線的方程為（舍或，
綜上所述：直線的方程為或．
【點(diǎn)評】本題考查兩條直線垂直的性質(zhì)的應(yīng)用及分類討論求截距和為0的方程的求法，屬于基礎(chǔ)題．
【變式11-7】．（2023秋?奉賢區(qū)校級月考）已知直角坐標(biāo)系中三點(diǎn)，，．
（1）求邊上的高所在直線的方程．
（2）求以三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積．
【分析】（1）根據(jù)，，可知邊上的高所在直線與軸垂直，從而得出所求直線的方程；
（2）求出，點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)三角形面積公式即可求得結(jié)果．
【解答】解：（1），，
邊上的高所在直線的方程為：；
（2），
線與軸平行，所以到直線的距離為5，
所以三角形的面積為．
【點(diǎn)評】本題考查直線的方程，兩點(diǎn)間距離公式，屬中檔題．
【考查題型十二】待定系數(shù)法求直線方程
【例12】．（2023秋?徐匯區(qū)校級月考）已知的頂點(diǎn)，，且重心的坐標(biāo)為．
（1）求的面積；
（2）數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線．求的歐拉線的一般式方程．
【分析】（1）利用重心公式求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出點(diǎn)到直線的距離，由，得解；
（2）寫出直線和的中垂線方程，聯(lián)立求得的外心，再由外心和重心兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式寫出歐拉線方程，得解．
【解答】解：（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
因為，，重心，
所以，解得，即，
而，直線的方程為，即，
所以點(diǎn)到直線的距離，
所以的面積為．
（2）因為，，，
所以直線的中垂線方程為，直線的斜率為，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以直線的中垂線方程為，即，
聯(lián)立，解得，
所以的外心為，
由點(diǎn)和點(diǎn)，知的歐拉線方程為，即，
故的歐拉線的一般式方程為．
【點(diǎn)評】本題考查直線與圓的綜合問題，熟練掌握重心公式，點(diǎn)到直線的距離公式，三角形外接圓圓心的求法等是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
【變式12-1】．（2023秋?浦東新區(qū)校級期中）直線過點(diǎn)，
（1）若直線過點(diǎn)，求直線的方程；
（2）若直線在兩坐標(biāo)軸上截距相等，求直線的方程．
【分析】（1）利用點(diǎn)斜式即可得出．
（2）當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時，可得直線的方程為：．當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時，可得直線的方程為：，把點(diǎn)代入解得即可得出．
【解答】解：（1）由點(diǎn)斜式可得直線的方程：，化為：．
（2）當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時，可得直線的方程為：，即．
當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時，可得直線的方程為：，把點(diǎn)代入可得：，即．
直線的方程為：．
綜上可得直線的方程為：，或．
【點(diǎn)評】本題考查了直線方程、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
【考查題型十三】兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)
【例13】．（2023秋?徐匯區(qū)校級月考）設(shè)，，三條直線，，，則與的交點(diǎn)到的距離的最大值為．
【分析】根據(jù)直線，的方程易知，而直線，分別過定點(diǎn)，，所以與的交點(diǎn)在以為直徑的圓上，直線過定點(diǎn)，即可利用圓心到的距離加半徑解出．
【解答】解：因為，所以．
而直線即過定點(diǎn)，
即過定點(diǎn)，
所以與的交點(diǎn)在以為直徑的圓上，圓方程為，即，
所以到的距離的最大值為．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查了圓的軌跡方程，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
【考查題型十四】過兩條直線交點(diǎn)的直線系方程
【例14】．（2023秋?虹口區(qū)校級月考）不論為何值，直線都過定點(diǎn) ．
【分析】將直線的方程是過某兩直線交點(diǎn)的直線系，故其一定通過某個定點(diǎn)，將其整理成直線系的標(biāo)準(zhǔn)形式，求兩定直線的交點(diǎn)此點(diǎn)即為直線恒過的定點(diǎn)．
【解答】解：直線可為變?yōu)?br>令解得：，
故不論為何值，直線恒過定點(diǎn)
故答案為：；
【點(diǎn)評】正確理解直線系的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．是基礎(chǔ)題．
【考查題型十五】與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對稱的直線方程
【例15】．（2023秋?楊浦區(qū)校級期中）一質(zhì)點(diǎn)在矩形內(nèi)運(yùn)動，從的中點(diǎn)沿一確定方向發(fā)射該質(zhì)點(diǎn)，依次由線段、、反射．反射點(diǎn)分別為、、（入射角等于反射角），最后落在線段上的（不包括端點(diǎn)）．若、、和，則的斜率的取值范圍是．
【分析】根據(jù)題意，線段，，分別找出點(diǎn)落在線段上的臨界位置，再加以觀察即可得出答案．
【解答】解：由題意，可得，，設(shè)，則線段的斜率，
為使點(diǎn)落在線段上（不包括端點(diǎn)），所以當(dāng)落到點(diǎn)，點(diǎn)時為相應(yīng)的兩種臨界位置，
當(dāng)落到點(diǎn)時，由題意知點(diǎn)為的中點(diǎn)，且從點(diǎn)出發(fā)又回到點(diǎn)，所以此時位于線段的中點(diǎn)位置，
所以得此時的斜率：，
當(dāng)落到點(diǎn)時，點(diǎn)與點(diǎn)重合，如下圖所示，
設(shè)，可得：，且，所以，，，
所以，解之得，此時斜率為．
綜上所述，的斜率滿足，即．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題主要考查直線的方程及其性質(zhì)、平面直角坐標(biāo)系中兩條直線的位置關(guān)系等知識，考查了計算能力、邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．
【變式15-1】．（2023秋?奉賢區(qū)校級月考）點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為．
【分析】由題意，利用點(diǎn)關(guān)于直線對稱的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求出對稱點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，
則由垂直、中點(diǎn)在軸上可得，求得，
可得對稱點(diǎn)為的坐標(biāo)為．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題主要考查點(diǎn)關(guān)于直線對稱的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
【變式15-2】．（2023秋?浦東新區(qū)校級月考）已知點(diǎn)，，．
（1）求過點(diǎn)且和直線平行的直線的方程；
（2）若過的直線和直線關(guān)于直線對稱，求的方程．
【分析】（1）求出的斜率，根據(jù)直線平行的斜率關(guān)系，利用點(diǎn)斜式方程即可求出直線的方程；
（2）求出關(guān)于直線的對稱點(diǎn)．利用兩點(diǎn)是非常即可求的方程．
【解答】解：（1）直線的斜率為，
則過點(diǎn)且和直線平行的直線的方程的斜率；
則直線方程為，即；
（2）直線的方程為，
設(shè)關(guān)于對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則，即，
即，
則經(jīng)過點(diǎn)，
則的方程為．
即．
【點(diǎn)評】本題主要考查直線方程的求解，根據(jù)直線平行以及點(diǎn)的對稱性，利用點(diǎn)斜式方程和兩點(diǎn)式方程是求直線方程的常用方法．
【變式15-3】．（2023秋?徐匯區(qū)校級月考）在等腰直角三角形中，，點(diǎn)是邊上異于，的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)，發(fā)射后又回到點(diǎn)（如圖）．若光線經(jīng)過的重心（三角形三條中線的交點(diǎn)），則．
【分析】建立坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可得關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，和關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，由，，，四點(diǎn)共線可得直線的方程，由于過的重心，代入可得關(guān)于的方程，解之可得的坐標(biāo)，進(jìn)而可得的值．
【解答】解：建立如圖所示的坐標(biāo)系：
可得，，故直線的方程為，
的重心為，，
設(shè)，其中，
則點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，滿足，
解得，
即，易得關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，
由光的反射原理可知，，，四點(diǎn)共線，
直線的斜率為，故直線的方程為．
由于直線過的重心，，代入化簡可得，
解得，或（舍去），故，，故，
故答案為．
【點(diǎn)評】本題考查直線與點(diǎn)的對稱問題，涉及直線方程的求解以及光的反射原理的應(yīng)用，屬中檔題．
【考查題型十六】點(diǎn)到直線的距離公式
【例16】．（2023秋?奉賢區(qū)校級期中）已知直線，則原點(diǎn)到直線的距離的最大值是．
【分析】由直線的方程可得直線恒過的定點(diǎn)的坐標(biāo)，可得當(dāng)時，則到直線的距離最大，求出的最大值．
【解答】解：將整理可得，
可得，解得，，
即直線恒過定點(diǎn)，
當(dāng)時，則到直線的距離最大，
且最大距離為5．
故答案為：5．
【點(diǎn)評】本題考查直線恒過定點(diǎn)的求法，屬于基礎(chǔ)題．
【變式16-1】．（2023秋?奉賢區(qū)校級月考）已知點(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離相等，則．
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解．
【解答】解：點(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離相等，
，解得或．
故答案為：3或．
【點(diǎn)評】本題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．
【變式16-2】．（2023秋?浦東新區(qū)校級月考）點(diǎn)到直線的距離是．
【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．
【解答】解：點(diǎn)到直線的距離．
故答案為：2．
【點(diǎn)評】本題考查了點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
【變式16-3】．（2023秋?青浦區(qū)校級月考）已知點(diǎn)在直線上，則的最小值為．
【分析】考慮的幾何意義，利用轉(zhuǎn)化思想，求出原點(diǎn)到直線的距離即可．
【解答】解：的幾何意義是到原點(diǎn)的距離，
它的最小值轉(zhuǎn)化為原點(diǎn)到直線的距離：．
故答案為3．
【點(diǎn)評】本題考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查計算能力，是基礎(chǔ)題．
【變式16-4】．（2023秋?浦東新區(qū)校級月考）過點(diǎn)作直線，不同時為零）的垂線，垂足為，已知點(diǎn)，則的取值范圍是．
【分析】化已知直線為，即有且，解方程可得定點(diǎn)，可得在以為直徑的圓上運(yùn)動，求得圓心和半徑，由圓的性質(zhì)可得最值．
【解答】解：由直線，不同時為零）
化為，
令，解得，，
直線經(jīng)過定點(diǎn)，
由為直角三角形，斜邊為，
在以為直徑的圓上運(yùn)動，
可得圓心為，半徑為，
則與的最大值為；
與的最小值為，
則的取值范圍是，，
故答案為：，．
【點(diǎn)評】本題考查直線恒過定點(diǎn)，以及圓的方程的運(yùn)用，圓外一點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的距離的最值求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．
【扁絲16-5】．（2023秋?奉賢區(qū)校級月考）已知直線恒過點(diǎn)，且與軸，軸分別交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時，求直線的方程；
（3）當(dāng)取得最小值時，求的面積．
【分析】（1）將直線方程化為，即可確定定點(diǎn)；
（2）由題意到直線的距離，列方程求參數(shù)，即可得直線方程；
（3）由題意，，且、，結(jié)合基本不等式求最小值，確定取值條件，進(jìn)而求的面積．
【解答】解：（1）直線，整理可得：，
可得直線恒過；
（2）要使點(diǎn)到直線的距離最大，則，可得，
即到直線的距離，
兩邊平方可得：，整理得，
所以，
所以，即．
（3）由題意，直線的截距均不為0，由題意和（1）可得，，，且、，
因為，所以，，
所以，僅當(dāng)時等號成立，
所以時取最小值，
當(dāng)，則，，此時的面積為；
當(dāng)，則，，此時的面積為；
所以的面積為或．
【點(diǎn)評】本題考查點(diǎn)到直線的最大距離的求法，屬于基礎(chǔ)題．
【變式16-6】．（2023秋?青浦區(qū)校級期中）已知點(diǎn)和非零實數(shù)，若兩條不同的直線，均過點(diǎn)，且斜率之積為，則稱直線，是一組“共軛線對”，如直，是一組“共軛線對”，其中是坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）已知點(diǎn)、點(diǎn)和點(diǎn)分別是三條直線，，上的點(diǎn)，，與，，均不重合），且直線，是“共軛線對”，直線，是“共軛線對”，直線，是“共軛線對”，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）已知點(diǎn)，直線，是“共軛線對”，當(dāng)?shù)男甭首兓瘯r，求原點(diǎn)到直線，的距離之積的取值范圍．
【分析】（1）設(shè)直線，，的斜率分別為，，，則根據(jù)題意可得，解方程組求出，，，從而可求出，的方程，進(jìn)而解方程組可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，
（2）根據(jù)題意設(shè)，，其中，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式求出到直線，的距離的積，化簡后利用基本不等式可求得其范圍．
【解答】解：（1）設(shè)直線，，的斜率分別為，，，
則，得，，或，，．
當(dāng)，，時，直線的方程為，直線的方程為，
由，解得，則；
當(dāng)，，時，直線的方程為，直線的方程為，
由，解得，則；
故所求為或；
（2）設(shè)，，其中，
故
由于（等號成立的條件是，
故，．
【點(diǎn)評】本題主要考查點(diǎn)到直線的距離，屬于中檔題．
【考查題型十七】兩條平行直線間的距離
【例17】．（2023秋?浦東新區(qū)校級期中）平行直線與的距離為．
【分析】結(jié)合平行線間的距離公式求解即可．
【解答】解：直線即為，
平行直線與的距離．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題主要考查平行線間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．
【變式17-1】．（2023秋?迎澤區(qū)校級月考）已知兩條直線和，其中．若，則直線與之間的距離為．
【分析】根據(jù)兩直線平行列方程求出的值，再計算兩直線之間的距離．
【解答】解：由直線和，
若，則，解得或，
當(dāng)時，和，
所以直線與之間的距離為；
當(dāng)時，和，
兩直線重合，不滿足題意；
綜上，兩直線之間的距離為．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查了兩條平行線之間的距離計算問題，也考查了運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
【變式17-2】．（2023秋?青浦區(qū)校級期中）已知直線，直線，則與之間的距離為．
【分析】根據(jù)兩平行線間的距離公式求得正確答案．
【解答】解：依題意，與之間的距離為．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：平行線間的距離公式，主要考查學(xué)生的理解能力和計算能力，屬于中檔題．
【變式17-3】．（2023秋?楊浦區(qū)校級期中）已知兩條直線和．
（1）討論直線與的位置關(guān)系；
（2）當(dāng)直線與平行時，求它們之間的距離；當(dāng)直線與相交時，求它們之間夾角的最大值，并指出相應(yīng)的取值．
【分析】（1）由兩相交求得的范圍，再討論平行與重合的情形即可；
（2）由平行線間距離公式求距離，考慮特殊情形即兩直線能否垂直，垂直時夾角最大為．
【解答】解：（1），且時，兩直線相交，
時，兩直線方程分別為和，兩直線重合，
時，兩直線方程分別為和，兩直線平行．
綜上，且時，兩直線相交，時，兩直線重合，時，兩直線平行；
（2）由（1）兩直線平行時，兩直線方程分別為和，
即為和，距離為，
兩直線相交時，且，
時，的斜率為，的斜率為，
由得，即時兩直線垂直，夾角最大為．
【點(diǎn)評】本題考查平行線間的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
圖示
傾斜角
(范圍)
α＝0°
0°＜α＜90°
α＝90°
90°＜α
＜180°
斜率
(范圍)
0
(0，＋∞)
不存在
(－∞，0)
類型
斜率存在
斜率不存在
條件
α1＝α2≠90°
α1＝α2＝90°
對應(yīng)關(guān)系
l1∥l2?k1＝k2
l1∥l2?兩直線斜率都不存在
圖示
圖示
對應(yīng)關(guān)系
l1⊥l2(兩條直線的斜率都存在，且都不為零)?k1k2＝－1
l1的斜率不存在，l2的斜率為0?l1⊥l2
點(diǎn)斜式
斜截式
已知條件
點(diǎn)P(x0，y0)和斜率k
斜率k和直線在y軸上的截距b
圖示
方程形式
y－y0＝k(x－x0)
y＝kx＋b
適用條件
斜率存在
名稱
兩點(diǎn)式方程
截距式方程
已知條件
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)其中x1≠x2，y1≠y2
在x軸、y軸上的截距分別為a、b，且a≠0，b≠0.
示意圖
直線方程
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
適用范圍
斜率存在且不為零
斜率存在且不為零，不過原點(diǎn)
幾何元素及關(guān)系
代數(shù)表示
點(diǎn)A
A(a，b)
直線l
l：Ax＋By＋C＝0
點(diǎn)A在直線l上
Aa＋Bb＋C＝0
直線l1與l2的交點(diǎn)是A
方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0))的解是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝a,y＝b))
方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0))的解
一組
無數(shù)組
無解
直線l1和l2公共點(diǎn)的個數(shù)
一個
無數(shù)個
零個
直線l1和l2的位置關(guān)系
相交
重合
平行
名稱
點(diǎn)到直線的距離
兩平行線間的距離
概念
過一點(diǎn)向直線作垂線，則該點(diǎn)與垂足之間的距離，就是該點(diǎn)到直線的距離
夾在兩條平行直線間的公垂線段的長度就是兩條平行直線間的距離
條件
點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0
兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0
公式
d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))
d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))

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