分類加法計(jì)數(shù)原理中,完成一件事的方法屬于其中一類,并且只屬于其中一類.分步乘法計(jì)數(shù)原理中,各個(gè)步驟相互依存,步與步之間“相互獨(dú)立,分步完成”.
考點(diǎn)2.排列與組合的概念
考點(diǎn)3.排列數(shù)與組合數(shù)
考點(diǎn)4.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)
n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1
(1)二項(xiàng)式定理:(a+b)n=　　　　　　　　　　　　　　　　　　,n∈N*.?(2)通項(xiàng):　　　　　　　,它表示展開式的第k+1項(xiàng).?(3)二項(xiàng)式系數(shù):二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù) (k=0,1,2,…,n)叫做二項(xiàng)式系數(shù).
字母a,b是一種“符號(hào)”,實(shí)際上可以是數(shù)和式
只與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān),而與a,b的值無關(guān)
考點(diǎn)6.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
常用結(jié)論若二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tr+1=g(r)·xh(r)(r=0,1,2,…,n),g(r)≠0,則有以下常見結(jié)論:(1)h(r)=0?Tr+1是常數(shù)項(xiàng).(2)h(r)是非負(fù)整數(shù)?Tr+1是整式項(xiàng).(3)h(r)是負(fù)整數(shù)?Tr+1是分式項(xiàng).(4)h(r)是整數(shù)?Tr+1是有理項(xiàng).
題型1.分類加法、分步乘法計(jì)數(shù)原理
【例題1】現(xiàn)有甲、乙、丙3名同學(xué)在周一至周五參加某項(xiàng)公益活動(dòng),要求每人參加一天且每天至多安排一人,并要求甲同學(xué)安排在另外兩人前面,則不同的安排方法數(shù)為(　 　)A.10B.20C.40D.60
【例題2】汽車維修師傅在安裝好汽車輪胎后,需要緊固輪胎的五個(gè)螺栓,記為A,B,C,D,E(在正五邊形的頂點(diǎn)上),緊固時(shí)需要按一定的順序固定每一個(gè)螺栓,但不能連續(xù)固定相鄰的兩個(gè),則不同固定螺栓順序的種數(shù)為(　 　)A.20B.15C.10D.5
【例題3】現(xiàn)有2門不同的考試要安排在5天之內(nèi)進(jìn)行,每天最多進(jìn)行一門考試,且不能連續(xù)兩天有考試,那么不同的考試安排方案種數(shù)為　　　　.?
(1)分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理,回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問題.區(qū)別在于:分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類”問題,其中各種方法相互獨(dú)立,用其中任何一種方法都可以做完這件事;分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步”問題,各個(gè)步驟中的方法互相依存,只有每一個(gè)步驟都完成才算做完這件事.(2)分類標(biāo)準(zhǔn)要明確,做到不重復(fù)不遺漏.(3)混合問題一般是先分類再分步.(4)切實(shí)理解“完成一件事”的含義,以確定需要分類還是需要分步進(jìn)行.
【例題4】甲、乙、丙、丁等6人按下列要求排隊(duì),試計(jì)算分別有多少種不同的排法.
(2)甲、乙必須相鄰;
(4)甲、乙之間間隔兩人;
(5)甲、乙、丙互不相鄰;
(6)甲、乙、丙3人與其他3人相互間隔排列;
(7)6人排好后,從左向右看甲、乙、丙3人的順序一定;
(8)甲不站最左邊,乙不站最右邊;
(9)排成前后兩排,前排2人,后排4人.
求解排列應(yīng)用問題的6種主要方法
【例題5】(2022·新高考Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演,若甲不站在兩端,丙和丁相鄰,則不同的排列方式共有(　　)A.12種B.24種C.36種D.48種
【例題6】(多選題)把5件不同產(chǎn)品A,B,C,D,E擺成一排,則下列說法正確的是(　　)A.A與B相鄰有48種擺法B.A在C的左邊有30種擺法C.A,B相鄰又A,C相鄰,有12種擺法D.A與B相鄰,且A與C不相鄰有36種擺法
組合問題的2種題型及解法
【例題8】為增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì),強(qiáng)化鍛煉意識(shí),某校舉辦萬米接力賽,每支參賽隊(duì)伍限定10人,高三(1)班從包含甲、乙在內(nèi)的10名主力隊(duì)員和3名替補(bǔ)隊(duì)員中組建參賽隊(duì),若甲、乙兩人至多有1人參加,則不同的組隊(duì)方案種數(shù)為(　　)A.11 B.110 C.113 D.121
【例題9】(多選題)現(xiàn)有3名男生4名女生,若從中選取3名學(xué)生,則下列說法正確的是(　　)A.選取的3名學(xué)生都是女生的不同選法共有4種B.選取的3名學(xué)生恰有1名女生的不同選法共有24種C.選取的3名學(xué)生至少有1名女生的不同選法共有34種D.選取的3名學(xué)生至多有1名男生的不同選法共有18種
題型4.排列與組合的綜合應(yīng)用 分配與分組問題
【例題10】有6本不同的書按下列方式分配或分組,問:共有多少種不同的分配方法?
(1)分給甲、乙、丙三人甲得1本,乙得2本,丙得3本;
(2)分成1本、2本、3本三組;
(3)分給甲、乙、丙三人,其中一個(gè)人1本,一個(gè)人2本,一個(gè)人3本;
(4)分成三組,每組都是2本;
【例題10】 有6本不同的書按下列方式分配或分組,問:共有多少種不同的分配方法?
(5)分給甲、乙、丙三人,每個(gè)人2本;
(6)分成三組,一組4本,另外兩組各1本;
(7)分給甲、乙、丙三人,其中一個(gè)人4本,其余一人1本;
(8)甲得1本,乙得1本,丙得4本;
(9)分給甲、乙、丙、丁4個(gè)人,每人至少1本.
求解分組與分配問題的方法(1)分配問題中,目標(biāo)與數(shù)目確定的可以直接利用組合數(shù)及兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解.(2)對(duì)于分配問題,應(yīng)先分組后分配.(3)對(duì)于不均分分組問題,即各組個(gè)數(shù)均不相同的問題,可以直接按照組數(shù)利用組合數(shù)求解.
(5)對(duì)于部分均分分組問題,均分的部分可以參考平均分組問題的求解處理.
【例題11】用四種顏色給正四棱錐V-ABCD的五個(gè)頂點(diǎn)涂色,要求每個(gè)頂點(diǎn)涂一種顏色,且每條棱的兩個(gè)頂點(diǎn)涂不同顏色,則不同的涂法有(　　)A.72種 B.36種 C.12種 D.60種
涂色問題可按顏色的種類分類,也可按不同的區(qū)域分步完成.
【例題13】如圖所示,用6種不同的顏色給圖中的4個(gè)格子涂色,每個(gè)格子涂一種顏色,要求最多使用3種顏色且相鄰的兩個(gè)格子顏色不同,則不同的涂色方法共有　　　　種(用數(shù)字作答).?
題型6. 二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)及其應(yīng)用(多考向探究預(yù)測(cè))
考向1求形如(a+b)n(n∈N*)的二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)(或系數(shù))【例題14】(2023·北京,5) 的展開式中x的系數(shù)為(　　)A.-80B.-40C.40D.80
【例題16】 的展開式中系數(shù)為無理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為(　　)A.2B.3C.4D.5
【例題18】若 的展開式中存在常數(shù)項(xiàng),則正整數(shù)n可以是(　　)A.3B.5C.6D.7
題型7.求形如(a+b)m(c+d)n(m,n∈N*)的兩個(gè)多項(xiàng)式積的展開式問題【例題19】(2022·新高考Ⅰ,13) (x+y)8的展開式中x2y6的系數(shù)為　　　　　(用數(shù)字作答).?
【例題21】(x+ +1)(1-x)6的展開式中x3的系數(shù)為　　　　(用數(shù)字作答).?
【例題22】在(1-x)4(2x+1)5的展開式中,含x2的項(xiàng)的系數(shù)是　　　　.?
考向3三項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)(或系數(shù))【例題23】(x2+x+y)5的展開式中,x5y2的系數(shù)為(　　)A.10B.20C.30D.60
【例題24】(x-2y+3z)6的展開式中x3y2z的系數(shù)為(　　)A.-60B.240C.-360D.720
題型8. 二項(xiàng)式系數(shù)與各項(xiàng)的系數(shù)和問題
【例題25】(多選題) 已知 的展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和為256, 則(　 　)A.n=8B.展開式中x-2的系數(shù)為-448C.展開式中常數(shù)項(xiàng)為16D.展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1
【例題26】(多選題)已知(3x-2)2 023=a0+a1x+a2x2+…+a2 023x2 023,則(　 　)A.a0=22 023B.a0+a1+a2+…+a2 023=1
解析 對(duì)于A,令x=0,可得a0=(-2)2 023=-22 023,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,令x=1,可得a0+a1+a2+…+a2 023=12 023=1,故B正確;對(duì)于C,令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+…+a2 022-a2 023=(-5)2 023=-52 023,結(jié)合選項(xiàng)B,兩式作差,可得2(a1+a3+a5+…+a2 023)=52 023+1,即a1+a3+a5+…+a2 023
【例題27】已知多項(xiàng)式(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,則a2=　　　　　,a1+a2+a3+a4+a5=　　　　　.?
令x=1,則a0+a1+a2+a3+a4+a5=0,令x=0,得a0=2,所以a1+a2+a3+a4+a5=-2.
題型9. 二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的最值問題
【例題28】已知 的展開式中,只有第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則展開式中常數(shù)項(xiàng)為　　　　.(用數(shù)字作答)?
【例題29】若 展開式的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256,則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為　　　　.(用數(shù)字作答)?
【例題30】(x+2y)6展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為　　　　.?
解析 由二項(xiàng)式系數(shù)的基本性質(zhì)可知(x+2y)6展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T4= x3·(2y)3=160x3y3.因此,展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為160.
【例題31】若 展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)和為163,則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為　　　　　.?
題型10. 二項(xiàng)式定理的應(yīng)用
【例題32】9810除以1 000的余數(shù)是　　　　.?(2)用二項(xiàng)式定理估算1.0110=　　　　.(精確到0.001)?
【例題33】用二項(xiàng)式定理估算0.9985的近似值(精確到0.001)是　　　　.?
【例題34】若642 024+m能被13整除,則m的最小正整數(shù)取值為　　　　.?
1.某臺(tái)小型晚會(huì)由6個(gè)節(jié)目組成,演出順序有如下要求:①節(jié)目甲必須排在第四位;②節(jié)目乙不能排在第一位;③節(jié)目丙必須排在最后一位,那么該臺(tái)晚會(huì)節(jié)目演出順序的編排方案共有　　　　種.?
答案 18解析 由于節(jié)目甲必須排在第四位,節(jié)目乙不能排在第一位,節(jié)目丙必須排在最后一位,則節(jié)目乙可放在第二、三、五個(gè)位置中的任何一個(gè)位置,其他3個(gè)節(jié)目任意排列,由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知,該臺(tái)晚會(huì)節(jié)目演出順序的編排方案共有 種.
2.已知某工藝品的加工需要先由普通技師完成粗加工,再由高級(jí)技師完成精加工.其中粗加工要完成A,B,C,D四道工序且不分順序,精加工要完成E,F,G三道工序且E為F的前一道工序,則完成該工藝不同的方法有(　　)A.144種B.96種C.48種D.112種答案 C
3.有8位學(xué)生春游,其中小學(xué)生2名、初中生3名、高中生3名.現(xiàn)將他們排成一列,要求2名小學(xué)生相鄰、3名初中生相鄰,3名高中生中任意兩名都不相鄰,則不同的排法種數(shù)有(　　)A.288種B.144種C.72種D.36種答案 B
4.7人排隊(duì),其中甲、乙、丙3人順序一定,共有多少種不同的排法?
5.有兩排座位,前排11個(gè)座位,后排12個(gè)座位,現(xiàn)安排2人就座,規(guī)定前排中間的3個(gè)座位不能坐,并且這兩人不左右相鄰,那么不同的排法種數(shù)是(　　)A.234B.346C.350D.363答案 B
6.(1－x)4(1＋2y)3的展開式中xy2的系數(shù)為________．
9.(多選)已知(x－1)(x＋2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，則(　 　)A．a(chǎn)0＝－64B．a(chǎn)7＝－1C．a(chǎn)1＋a2＋…＋a7＝0D．a(chǎn)1＋a3＋a5＋a7＝1
　　　　由(x－1)(x＋2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，令x＝0，得a0＝－64，故A正確；
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝0①，再由a0＝－64，得a1＋a2＋…＋a7＝64，故C錯(cuò)誤；令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a7＝－2②，①－②再除以2得a1＋a3＋a5＋a7＝1，故D正確．
11.(多選)已知(x2＋x＋1)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a18x18，下列說法正確的有 (　 　)A．a(chǎn)0＝1B．a(chǎn)2＝42
　　　　對(duì)于A，令x＝0，則a0＝1，故A正確；
對(duì)于D，因?yàn)閇(x2＋x＋1)9]′＝9(x2＋x＋1)8(2x＋1)，(a0＋a1x＋a2x2＋…＋a18x18)′＝a1＋2a2x＋…＋18a18x17，所以9(x2＋x＋1)8(2x＋1)＝a1＋2a2x＋…＋18a18x17，令x＝1，則a1＋2a2＋3a3＋…＋18a18＝9×38×3＝311，故D正確．
12.若(1＋x)(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，則a1＋a2＋…＋a7的值是(　　)A．－2B．－3C．125D．－131
　　　　令x＝0，得a0＝1；令x＝1，得－2＝a0＋a1＋a2＋…＋a8，即a1＋a2＋…＋a8＝－3．
13.已知(1＋3x)n的展開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為79，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第 (　　)A．7項(xiàng)B．8項(xiàng)C．9項(xiàng)D．10項(xiàng)
因?yàn)閞∈N，故r＝9，因此，展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第10項(xiàng)．

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