知識(shí)點(diǎn)1.數(shù)列的有關(guān)概念
并非每一個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式,數(shù)列有通項(xiàng)公式時(shí)也不一定是唯一的
微點(diǎn)撥1.從函數(shù)觀點(diǎn)看,數(shù)列{an}可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集)為定義域的函數(shù)an=f(n),當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí),所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值.2.對(duì)于一個(gè)數(shù)列,如果只知道它的前幾項(xiàng),而沒(méi)有指出它的變化規(guī)律,是不能確定這個(gè)數(shù)列的.
微思考數(shù)列的通項(xiàng)公式an=3n+5與函數(shù)y=3x+5有何區(qū)別與聯(lián)系?
提示 數(shù)列的通項(xiàng)公式an=3n+5是特殊的函數(shù),其定義域?yàn)镹*,而函數(shù)y=3x+5的定義域是R,an=3n+5的圖象是離散的點(diǎn),且排列在y=3x+5的圖象上.
知識(shí)點(diǎn)2.數(shù)列的表示方法
給出了數(shù)列相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系
數(shù)列的圖象是坐標(biāo)系中的一些孤立的點(diǎn)
知識(shí)點(diǎn)3.an與Sn的關(guān)系
誤區(qū)警示1.切記公式an=Sn-Sn-1成立的條件是n≥2,當(dāng)n=1時(shí),只能用a1=S1求解,根據(jù)Sn求an時(shí)一定要注意檢驗(yàn)a1的值是否適合an=Sn-Sn-1.2.類比an與Sn的關(guān)系,若設(shè)數(shù)列{an}前n項(xiàng)的積為Tn(Tn≠0),則有
知識(shí)點(diǎn)4.數(shù)列的分類
微思考數(shù)列的單調(diào)性與對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性相同嗎?
提示 不同.數(shù)列作為特殊的函數(shù),也具有單調(diào)性,但其單調(diào)性與對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性又有所不同,由于數(shù)列中項(xiàng)數(shù)n只能取正整數(shù),所以當(dāng)函數(shù)f(x)在[1,+∞)上單調(diào)時(shí),數(shù)列{f(n)}也是單調(diào)數(shù)列,但當(dāng)數(shù)列{f(n)}是單調(diào)數(shù)列時(shí),函數(shù)f(x)不一定是單調(diào)函數(shù),例如函數(shù)f(x)=(x- )2在[1,+∞)上不單調(diào),但數(shù)列{an}(an=f(n))是遞增數(shù)列.
知識(shí)點(diǎn)4.等差數(shù)列的有關(guān)概念
an+1-an=d(n∈N*,d為常數(shù))
微點(diǎn)撥1.在等差數(shù)列{an}中,從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)(有窮等差數(shù)列的末項(xiàng)除外)都是它前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng),即{an}成等差數(shù)列?an+1+an-1=2an (n∈N*,n≥2).2.任何兩個(gè)實(shí)數(shù)都有等差中項(xiàng),且等差中項(xiàng)是唯一的.
證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的“等差中項(xiàng)法”
知識(shí)點(diǎn)5.等差數(shù)列的有關(guān)公式
公差d的幾何意義是點(diǎn)(1,a1),…,(n,an)所在直線的斜率
微思考1.在等差數(shù)列{an}中,通項(xiàng)an是關(guān)于n的一次函數(shù)嗎?2.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式是如何推導(dǎo)的?這種方法通常稱為什么方法?
提示 an不一定是關(guān)于n的一次函數(shù),事實(shí)上,在等差數(shù)列{an}中, an=kn+b(k,b∈R),當(dāng)k=0,即數(shù)列為常數(shù)列時(shí),an不是關(guān)于n的一次函數(shù).
知識(shí)點(diǎn)6.等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣:an=am+　　　　(m,n∈N*).?(2)若{an}是等差數(shù)列,且m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則am+an=ap+aq.
　但若am+an=ap+aq,卻不一定有m+n=p+q
特別地,當(dāng)m+n=2p時(shí),am+an=2ap.
ap為am和an的等差中項(xiàng)
(3)若{an}是等差數(shù)列,公差為d,則ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差為　　　　的等差數(shù)列.?
在等差數(shù)列中下標(biāo)成等差的 項(xiàng)組成的新數(shù)列仍為等差數(shù)列
(4)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則數(shù)列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…是　　 　　數(shù)列.?(5)S2n-1=(2n-1)an.(6)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則數(shù)列 是　　　　數(shù)列.?
誤區(qū)警示等差數(shù)列{an}中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…構(gòu)成等差數(shù)列,即數(shù)列的片斷和成等差數(shù)列,注意不是Sm,S2m,S3m,…構(gòu)成等差數(shù)列.
常用結(jié)論1.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=pn+q(p,q∈R),則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列,且公差為p.2.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是Sn=an2+bn(a,b∈R).
微思考任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都有等比中項(xiàng)嗎?
提示 不是.只有同號(hào)的兩個(gè)非零實(shí)數(shù)才有等比中項(xiàng),且等比中項(xiàng)有兩個(gè),它們互為相反數(shù).
知識(shí)點(diǎn)7.等比數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式:an=　　　　　　(n∈N*);?
誤區(qū)警示在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí),必須注意對(duì)q=1與q≠1分類討論,防止因忽略q=1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤.微點(diǎn)撥當(dāng)q>1,a1>0或0

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