第三章 排列、組合與二項(xiàng)式定理小結(jié) 高二年級(jí) 數(shù)學(xué)主講人 謝艷 北京市第一六一中學(xué) 北京市中小學(xué)空中課堂概念復(fù)習(xí)1．分類加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事，如果有n類辦法，在第一類辦法中有 種不同的方法，在第二類辦法中有 種不同的方法，……，在第n類辦法中有 種不同的方法，那么完成這件事共有 種不同的方法．概念復(fù)習(xí)2．分步乘法計(jì)數(shù)原理：完成一件事，如果需要分成n個(gè)步驟，且：做第一個(gè)步驟有 種不同的方法，做第二個(gè)步驟有 種不同的方法，……，做第n個(gè)步驟有 種不同的方法，那么完成這件事共有 種不同的方法.概念復(fù)習(xí)3.2.排列數(shù)：從n個(gè)不同對(duì)象中取出m(m n)個(gè)對(duì)象的所有排列的個(gè)數(shù)，稱為從n個(gè)不同對(duì)象中取出m個(gè)對(duì)象的排列數(shù)，用符號(hào) 表示.m=n的排列數(shù)用符號(hào) 表示.3.1.排列：一般地，從n個(gè)不同對(duì)象中，任取m(m n)個(gè)對(duì)象，按照一定的順序排成一列，稱為從n個(gè)不同對(duì)象中取出m個(gè)對(duì)象的一個(gè)排列．m=n的排列稱為全排列．概念復(fù)習(xí)4.2.組合數(shù)：n個(gè)不同對(duì)象中，取出m(m n)個(gè)對(duì)象的所有組合的個(gè)數(shù)，稱為從n個(gè)不同對(duì)象中取出m個(gè)對(duì)象的組合數(shù)，用符號(hào) 表示．4.1.組合：一般地，從n個(gè)不同對(duì)象中，取出m(m n)個(gè)對(duì)象并成一組，稱為從n個(gè)不同對(duì)象中取出m個(gè)對(duì)象的一個(gè)組合．概念復(fù)習(xí) 5.二項(xiàng)式定理：一般地，當(dāng)n是正整數(shù)時(shí)，有 概念復(fù)習(xí)夯實(shí)基礎(chǔ)第一類：先從0，2中選0，0只能排在中間位置，有一種方法；再?gòu)?，3，5中任選2個(gè)數(shù)排剩下的兩個(gè)位置，有 種方法，分步用乘法，共有 種方法；例1.從0,2中選出一個(gè)數(shù)字，從1,3,5中選出兩個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______個(gè).解：解決這個(gè)問(wèn)題分兩類：夯實(shí)基礎(chǔ)分類用加法，所以完成這件事總共有 種方法,滿足條件的奇數(shù)是18 個(gè). 第二類：再?gòu)?，2中選2，可以排在首位和第二位，有2種方法；再?gòu)?，3，5中任選2個(gè)數(shù)排剩下的兩個(gè)位置，有 種方法；分步用乘法，共有 種方法.夯實(shí)基礎(chǔ)總結(jié):解決排列問(wèn)題的基本方法: 1.理清完成這件事的策略 2.特殊元素、特殊位置優(yōu)先排列夯實(shí)基礎(chǔ)例2.張李兩位老師和甲乙丙丁四位同學(xué)排成一排準(zhǔn)備照相：（1）若老師必須相鄰，則共有多少種不同的排法；解：把兩位老師看成一個(gè)元素，加上4名同學(xué)共5個(gè)元素去排序，且兩位老師之間可以交換順序，共有 種不同排法. 夯實(shí)基礎(chǔ)例2.張李兩位老師和甲乙丙丁四位同學(xué)排成一排準(zhǔn)備照相：（2）若兩位老師不相鄰，共有多少種不同的排法；解：先排好4位學(xué)生，共有 種可能，4位學(xué)生共形成5個(gè)空，再把兩位老師排在5個(gè)空里，就可以保證老師不相鄰，因此共有 =480種不同的排法.夯實(shí)基礎(chǔ)例2.張李兩位老師和甲乙丙丁四位同學(xué)排成一排準(zhǔn)備照相：（3）又來(lái)了兩個(gè)同學(xué)加入，如果保持原來(lái)6人的相對(duì)順序不變，則不同的加入方法有多少種？ 解：原來(lái)6人的相對(duì)順序保持不變，相當(dāng)于8個(gè)人排序，其中6人定序.夯實(shí)基礎(chǔ)方法1：共8個(gè)位置，可以讓后來(lái)的同學(xué)先選，共有 種方法，剩下6個(gè)位置，讓原來(lái)的6個(gè)人保持順序排進(jìn)去，所以總共是 =56種不同的加入方法.方法2：因?yàn)橐３种暗捻樞颍梢宰屩暗?人只選不排，所以是 種情況，接下來(lái)讓后來(lái)的兩人占剩下的兩個(gè)位置有 種情況 ，共有 種不同的方法.夯實(shí)基礎(chǔ)總結(jié):排列中的常見(jiàn)問(wèn)題及解決策略: 1.相鄰問(wèn)題——捆綁 2.不相鄰問(wèn)題——插空 3.定序問(wèn)題——只選不排夯實(shí)基礎(chǔ)例3．從3名男生4名女生中，選出3人參加某課外小組.（1）A必須當(dāng)選的選法種數(shù)；解：A必須當(dāng)選，實(shí)際上只需要從剩下的6人中還選出2人，因?yàn)槭侵贿x不排，所以是 種.夯實(shí)基礎(chǔ)例3．從3名男生4名女生中，選出3人參加某課外小組.（2）A、B都不當(dāng)選的選法種數(shù)；解：A、B都不當(dāng)選，需要從剩下的5人中選出3人，所以是 種. 夯實(shí)基礎(chǔ)例3．從3名男生4名女生中，選出3人參加某課外小組.（3）男、女生至少各1人的選法種數(shù)．典型錯(cuò)誤解法分析：先選出一個(gè)男生 ,再選出一個(gè)女生 ,最后隨便選出一個(gè),總共是 種 .男甲某女男乙男乙某女男甲夯實(shí)基礎(chǔ)例3．從3名男生4名女生中，選出3人參加某課外小組.（3）男、女生至少各1人的選法種數(shù)．解法1：男、女生至少各1人，即1男2女，2男1女共兩種情況，所以一共有 種. 解法2：用不帶限制條件的組合減去全是男生和全是女生的情況即 種 . 夯實(shí)基礎(chǔ)總結(jié):帶限制條件的組合問(wèn)題: 1.必含有 2.必不含 3.至多……，至少…… 夯實(shí)基礎(chǔ)例4．已知 的展開(kāi)式中，各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和是512，（1）求n的值;解： 夯實(shí)基礎(chǔ)例4．已知 的展開(kāi)式中，各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和是512，（2）求各項(xiàng)系數(shù)的和；解:夯實(shí)基礎(chǔ)即各項(xiàng)系數(shù)的和為0； 夯實(shí)基礎(chǔ)例4．已知 的展開(kāi)式中，各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和是512，（3）求含 項(xiàng)的系數(shù)；解:含 項(xiàng)的系數(shù)夯實(shí)基礎(chǔ)例4．已知 的展開(kāi)式中，各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和是512，（4）系數(shù)最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)？解： 故系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng).夯實(shí)基礎(chǔ)總結(jié):二項(xiàng)式定理常見(jiàn)問(wèn)題及解決策略: 1.某一項(xiàng)的問(wèn)題—— 2.和的問(wèn)題—— 恰當(dāng)賦值難點(diǎn)辨析例5.標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)球和3個(gè)不同的盒子，(1)盒子不空且每個(gè)盒子只能放一個(gè)球，一共有幾種方法？解:依題意只有3個(gè)球放到盒子里，可先選球后放球，即種.難點(diǎn)辨析例5.標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)球和3個(gè)不同的盒子，(2)4個(gè)球全部放入盒子，一共有多少種方法？解:4個(gè)球全部放入盒子，可以從兩個(gè)角度來(lái)看，一個(gè)是從球的角度，一個(gè)從盒子的角度.難點(diǎn)辨析解法1:從球的角度來(lái)看，把球放到盒子里，這件事就完成了.依次放球，放第一個(gè)球有3種方法，第2個(gè)球有3種方法，第3個(gè)球有3種方法，第4個(gè)球有3種方法，因此是 種.難點(diǎn)辨析解法2:從盒子的角度來(lái)看，可分成3類，即1個(gè)盒子得球，2個(gè)盒子得球和3個(gè)盒子得球：第一類，4個(gè)球全部放入1個(gè)盒子，有3種.第二類，4個(gè)球放入2個(gè)盒子，有兩種情況，把球按照 或者 放到兩個(gè)盒子里，前者是不均勻分組問(wèn)題，而后者是均勻分組問(wèn)題.難點(diǎn)辨析先看按 把球放到2個(gè)盒子的情況.第一步：選出要放的盒子即 ，第二步：按照非均勻分組分成兩組即 ，第三步：把分好堆的球放到選好的盒子里即 ，總共是 種; 難點(diǎn)辨析再看按 把球放到2個(gè)盒子的情況.甲：還是先選出盒子 ，再把球分成兩堆 ，最后把分好堆的球放到選好的盒子里，因此,總共是 種.乙：先選出盒子 ，再把球分成兩堆 ，最后把分好堆的球除堆的順序后放到選好的盒子里，因此,共 種.錯(cuò)誤AC,BD;BD,ACAB,CD;CD,ABBC,AD;AD,BC正確難點(diǎn)辨析第三類：4個(gè)球放入3個(gè)盒子，只有1種情況，即按 放入盒子.這是部分均勻分組問(wèn)題.方法2：采用捆綁的策略.就是把2個(gè)球捆在一起當(dāng)做一個(gè)球，加上剩下的2個(gè)球共3個(gè)球放入3個(gè)盒子里，即 .方法1：仍用先分組后分盒子的策略. 即 ;難點(diǎn)辨析例5.標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)球和3個(gè)不同的盒子，（2）4個(gè)球全部放入盒子，一共有多少種方法？ 三類共有 種. 難點(diǎn)辨析例6.相同的5個(gè)小球，放入3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少有一個(gè)球，有多少種不同的方法？解：相同元素的分組，只需要區(qū)分?jǐn)?shù)量，用插板法.有 種. 難點(diǎn)辨析總結(jié):1.優(yōu)化解題策略 2.不同元素不均勻分組問(wèn)題 3.不同元素均勻分組問(wèn)題要注意除序 4.相同元素分組——插板課堂小結(jié)1.歸納形成體系2.整合突破難點(diǎn)課后作業(yè)1.書架上有4本不同的數(shù)學(xué)書，5本不同的物理書，3本不同的化學(xué)書，將這些書全部豎起來(lái)排成一排；（1）如果同類書不能分開(kāi)，一共有多少種不同的排法？ （2）如果使任意兩本物理書都不相鄰，一共有多少種不同的排法？課后作業(yè)2.從10名學(xué)生中選出3人擔(dān)任課代表，則甲、乙兩人中至少有1人入選，而丙沒(méi)有入選的不同選法共有多少種？3.已知a是實(shí)常數(shù)，且二項(xiàng)式 的展開(kāi)式 的系數(shù)是84，求a的值以及展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和.4.將3名醫(yī)生和6名護(hù)士分配到3所學(xué)校為學(xué)生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士，有多少種不同的分配方案？謝謝

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