考點(diǎn)1.事件的相互獨(dú)立性
P(AB)=P(A)P(B)是事件A與B相互獨(dú)立的充要條件
當(dāng)P(A)=0時(shí),我們不定義條件概率
P(B|A)+P(C|A)
考點(diǎn)3.全概率公式一般地,設(shè)A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,則對(duì)任意事件B?Ω,有　　　　　　　　　　　.我們稱這個(gè)公式為全概率公式.
指的是對(duì)目標(biāo)事件B有貢獻(xiàn)的全部原因?
常用結(jié)論1.若事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立,那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積,即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).2.當(dāng)P(A)>0時(shí),事件A與B相互獨(dú)立?P(B|A)=P(B).3.貝葉斯公式:設(shè)A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且
(1)隨機(jī)變量一般地,對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)ω,都有唯一的實(shí)數(shù)X(ω)與之對(duì)應(yīng),我們稱X為隨機(jī)變量.通常用大寫英文字母表示,例如X,Y,Z;用小寫英文字母表示隨機(jī)變量的取值,例如x,y,z.
分兩類:離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量
(2)離散型隨機(jī)變量:可能取值為有限個(gè)或可以　　　　　的隨機(jī)變量.?
微點(diǎn)撥離散型隨機(jī)變量X的每一個(gè)可能取值為實(shí)數(shù),其實(shí)質(zhì)代表的是“事件”,即事件是用一個(gè)反映結(jié)果的實(shí)數(shù)表示的.
考點(diǎn)4.隨機(jī)變量的有關(guān)概念
考點(diǎn)5.離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)(1)一般地,設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1,x2,…,xn,我們稱X取每一個(gè)值xi的　　　　　　 　　　為X的概率分布列,簡(jiǎn)稱分布列.(2)離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)①pi　　　0,i=1,2,…,n;?②　　　　 　　=1.?
有表格、圖形和解析式三種形式?
概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n
p1+p2+…+pn
考點(diǎn)6.離散型隨機(jī)變量的均值與方差離散型隨機(jī)變量X的分布列為
(1)均值稱E(X)=　　　　 　　　　=　　　　為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望,數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望.?
反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平
x1p1+x2p2+…+xnpn
(2)方差稱D(X)=　　　　　　　為隨機(jī)變量X的方差,并稱 為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差,記為σ(X).?
用來度量隨機(jī)變量X取值與其均值E(X)的偏離程度
4.均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX+b)=　　　 　　.(a,b為常數(shù))?(2)D(aX+b)=　 .(a,b為常數(shù))?
常用結(jié)論1.E(k)=k,D(k)=0,其中k是常數(shù).2.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).3.D(X)=E(X2)-[E(X)]2.4.若X1,X2相互獨(dú)立,則E(X1X2)=E(X1)E(X2).
(1)n重伯努利試驗(yàn)把只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做　　　　　　　.?將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).(2)二項(xiàng)分布一般地,在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(00時(shí),稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)　　　　;?當(dāng)r3)=P(X≥2)-P(2≤X≤3)=0.5-0.4=0.1.
【例9】某校高三年級(jí)近期進(jìn)行一次數(shù)學(xué)考試,參加考試的學(xué)生人數(shù)有1 000人,考試成績(jī)X~N(80,25),則該年級(jí)學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)約為　　　　.(運(yùn)算結(jié)果四舍五入到整數(shù))?(參考數(shù)據(jù):P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ+2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5)
解析 由成績(jī)X~N(80,25)知,μ=80,σ=5,μ-σ=75,μ+σ=85,μ-2σ=70,μ+2σ=90,所以P(75≤X≤85)≈0.682 7,P(70≤X≤90)≈0.954 5,所以P(X>90) (1-0.954 5) =0.022 75,則該年級(jí)學(xué)生中數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)為1 000×0.022 75≈23.
考向2正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用【例10】某商場(chǎng)在五一假期期間開展了一項(xiàng)有獎(jiǎng)闖關(guān)活動(dòng),并對(duì)每一關(guān)根據(jù)難度進(jìn)行賦分,闖關(guān)活動(dòng)共五關(guān),規(guī)定:上一關(guān)不通過則不進(jìn)入下一關(guān),本關(guān)第一次未通過有再挑戰(zhàn)一次的機(jī)會(huì),兩次均未通過,則闖關(guān)失敗,且各關(guān)能否通過相互獨(dú)立,已知甲、乙、丙三人都參加了該項(xiàng)闖關(guān)活動(dòng).
(2)已知該闖關(guān)活動(dòng)累計(jì)得分服從正態(tài)分布,且滿分為450分,現(xiàn)要根據(jù)得分給2 500名參加者中得分前400名發(fā)放獎(jiǎng)勵(lì).①假設(shè)該闖關(guān)活動(dòng)平均分?jǐn)?shù)為171分,351分以上共有57人,已知甲的得分為270分,問甲能否獲得獎(jiǎng)勵(lì),請(qǐng)說明理由;②丙得知他的分?jǐn)?shù)為430分,而乙告訴丙:“這次闖關(guān)活動(dòng)平均分?jǐn)?shù)為201分,351分以上共有57人”,請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)幫助丙辨別乙所說信息的真?zhèn)?附:若隨機(jī)變量Z~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7;P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5;P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
解 (1)設(shè)Ai表示事件“第i次通過第一關(guān)”,Bi表示事件“第i次通過第二關(guān)”,甲可以進(jìn)入第三關(guān)的概率為P,由題意知
(2)設(shè)此次闖關(guān)活動(dòng)的分?jǐn)?shù)記為X~N(μ,σ2).
知識(shí)點(diǎn)9 成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性
【例11】調(diào)查某種群花萼長(zhǎng)度和花瓣長(zhǎng)度,所得數(shù)據(jù)如圖所示,其中相關(guān)系數(shù)r=0.824 5,下列說法正確的是(　　)A.花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度沒有相關(guān)性B.花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)C.花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈現(xiàn)正相關(guān)D.若從樣本中抽取一部分,則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.824 5
解析 根據(jù)散點(diǎn)的集中程度可知,花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度有相關(guān)性,A選項(xiàng)錯(cuò)誤;散點(diǎn)的分布是從左下到右上,從而花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈現(xiàn)正相關(guān)性,B選項(xiàng)錯(cuò)誤,C選項(xiàng)正確;由于r=0.824 5是全部數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù),取出來一部分?jǐn)?shù)據(jù),相關(guān)性可能變強(qiáng),可能變?nèi)?即取出的數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)不一定是0.824 5,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
知識(shí)點(diǎn)10 回歸模型
考向1一元線性回歸模型【例12】移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)制造、公共服務(wù)、個(gè)人消費(fèi)等領(lǐng)域.截至2022年底,我國(guó)移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)達(dá)18.45億戶,成為全球主要經(jīng)濟(jì)體中首個(gè)實(shí)現(xiàn)“物超人”的國(guó)家.下圖是2018~2022年移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)w(單位:億戶)與年份代碼t的散點(diǎn)圖,其中年份2018~2022對(duì)應(yīng)的t分別為1~5.
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖推斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān).計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01),并推斷它們的相關(guān)程度;(2)求w關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,并預(yù)測(cè)2024年移動(dòng)物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù).
考向2非線性回歸模型【例13】《中共中央國(guó)務(wù)院關(guān)于全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興加快農(nóng)業(yè)農(nóng)村現(xiàn)代化的意見》,這是21世紀(jì)以來第18個(gè)指導(dǎo)“三農(nóng)”工作的中央一號(hào)文件.文件指出,民族要復(fù)興,鄉(xiāng)村必振興,要大力推進(jìn)數(shù)字鄉(xiāng)村建設(shè),推進(jìn)智慧農(nóng)業(yè)發(fā)展.某鄉(xiāng)村合作社借助互聯(lián)網(wǎng)直播平臺(tái)進(jìn)行農(nóng)產(chǎn)品銷售,眾多網(wǎng)紅主播參與到直播當(dāng)中,在眾多網(wǎng)紅直播中,統(tǒng)計(jì)了10名網(wǎng)紅直播的觀看人次xi和農(nóng)產(chǎn)品銷售量yi(i=1,2,3,…,10)的數(shù)據(jù),得到如圖所示的散點(diǎn)圖.
x和銷售量y的回歸方程類型;(只要給出判斷即可,不必說明理由)(2)對(duì)數(shù)據(jù)作出如下處理,得到相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如表:
解 (1)由散點(diǎn)圖可知,散點(diǎn)分布在一條對(duì)數(shù)型曲線附近,所以選擇回歸方程
知識(shí)點(diǎn)11 列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)
【例14】為了解學(xué)生對(duì)黨的“二十大”精神的學(xué)習(xí)情況,學(xué)校開展了“二十大”相關(guān)知識(shí)的競(jìng)賽活動(dòng),全校共有1 000名學(xué)生參加,其中男生450名,采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取100人,將他們的比賽成績(jī)(滿分為100分),分為6組:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如圖所示的頻率分布直方圖.其中成績(jī)不低于80分為“優(yōu)秀”,低于80分為“非優(yōu)秀”.
(1)求實(shí)數(shù)a的值,并估算全校1 000名學(xué)生中成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù);(2)完成下列2×2列聯(lián)表,依據(jù)α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否認(rèn)為比賽成績(jī)優(yōu)秀與性別有關(guān).
解 (1)由題意可得(0.005+0.015+0.030+0.025+0.005+a)×10=1,解得a=0.020,所以樣本中成績(jī)優(yōu)秀的頻率為(0.020+0.005)×10=0.25,據(jù)此估算全校1 000名學(xué)生中成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)為0.25×1 000=250(人).
(2)零假設(shè)為H0:比賽成績(jī)優(yōu)秀與性別無關(guān).由題意,采用分層隨機(jī)抽樣,男生抽取 100=45(人),女生抽取100-45=55(人),且樣本中優(yōu)秀的人數(shù)為100×0.25=25人,故補(bǔ)全2×2列聯(lián)表如下:單位:人
可得χ2= 3.0300D.|r1|>|r2|
解析 由散點(diǎn)圖可知,樣本相關(guān)系數(shù)r1的圖象表示y與x負(fù)相關(guān),故-10,故B錯(cuò)誤;∵樣本相關(guān)系數(shù)r2的點(diǎn)較樣本相關(guān)系數(shù)r1的點(diǎn)密集,故|r2|>|r1|,故r1+r2>0,故C正確,D錯(cuò)誤.故選AC.
5.某中學(xué)高一(2)班物理課外興趣小組在最近一次課外探究學(xué)習(xí)活動(dòng)中,測(cè)量某種物體的質(zhì)量X服從正態(tài)分布N(10,0.04),則下列判斷錯(cuò)誤的是(　　 )A.P(X>10)=0.5B.P(X>10.2)=P(X9.6)

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