【考點(diǎn)題型一】概率與數(shù)列交匯
【例1】（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對(duì)方投籃．無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為，乙每次投籃的命中率均為．由抽簽確定第次投籃的人選，第次投籃的人是甲、乙的概率各為．則求第次投籃的人是甲的概率為 .
【答案】
【分析】記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，設(shè)，由題意可得，根據(jù)數(shù)列知識(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列即可解出；
【詳解】記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，
設(shè)，依題可知，，
則，
即，
構(gòu)造等比數(shù)列，
設(shè)，解得，則，
又，則，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
即，．
則第次投籃的人是甲的概率為.
故答案為：
【例2】（23-24高三上·廣西·階段練習(xí)）將一枚均勻的硬幣連續(xù)拋擲n次，以表示沒(méi)有出現(xiàn)連續(xù)3次正面向上的概率，由題意可知，則 ．
【答案】
【分析】求出，，分類(lèi)討論，即分第次反面向上，和第次正面向上情況，確定，由此可求得答案.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，出現(xiàn)連續(xù)3次正面的情況可能是：正正正反、正正正正、反正正正，
所以，
要求，即拋鄭次沒(méi)有出現(xiàn)連續(xù)3次正面的概率，分類(lèi)進(jìn)行討論，
若第次反面向上，前次未出現(xiàn)連續(xù)3此正面即可；
若第次正面向上，則需要對(duì)第進(jìn)行討論，依次類(lèi)推，得到下表：
所以，
又，
故答案為：
【例3】（2024·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）某學(xué)校有甲，乙兩個(gè)餐廳，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，前一天選擇餐廳甲就餐第二天仍選擇餐廳甲就餐的概率為，第二天選擇餐廳乙就餐的概率為；前一天選擇餐廳乙就餐第二天仍選擇餐廳乙就餐的概率為，第二天選擇餐廳甲就餐的概率為．若學(xué)生第一天選擇餐廳甲就餐的概率是，選擇餐廳乙就餐的概率是，記某同學(xué)第天選擇餐廳甲就餐的概率為．
(1)記某班3位同學(xué)第二天選擇餐廳甲的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及期望；
(2)學(xué)校為緩解就餐壓力，決定每天從各年級(jí)抽調(diào)21人到甲乙兩個(gè)餐廳參加志愿服務(wù)，請(qǐng)求出的通項(xiàng)公式，根據(jù)以上數(shù)據(jù)合理分配甲，乙兩個(gè)餐廳志愿者人數(shù)，并說(shuō)明理由．
【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，；
(2)，分配到甲，乙兩個(gè)餐廳志愿者人數(shù)分別為和.
【分析】（1）先求某同學(xué)第二天選擇餐廳甲就餐的概率，然后根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式求出概率，可得分布列，利用二項(xiàng)分布期望公式可得期望；
（2）根據(jù)題意先求與的關(guān)系，然后利用構(gòu)適法可得通項(xiàng)，由確定兩餐廳志愿者人數(shù)分配.
【詳解】（1）某同學(xué)第二天選擇餐廳甲就餐的概率
某同學(xué)第二天選擇餐廳乙就餐的概率
所以3位同學(xué)第二天選擇餐廳甲就餐的人數(shù)為
記某班3位同學(xué)第二天選擇餐廳甲的人數(shù)為，所有可能的取值為，
則
的分布列為：
.
（2）依題意，，即，
則有，當(dāng)時(shí)，可得，
數(shù)列是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列，則，
時(shí)，，
所以，各年級(jí)抽調(diào)的21人中，分配到餐廳甲的志愿者人數(shù)為，分配到餐廳乙的志愿者人數(shù)為.
【例4】（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）某商場(chǎng)為促銷(xiāo)設(shè)計(jì)了一項(xiàng)回饋客戶(hù)的抽獎(jiǎng)活動(dòng)，抽獎(jiǎng)規(guī)則是：有放回的從裝有大小相同的6個(gè)紅球和4個(gè)黑球的袋中任意抽取一個(gè)，若第一次抽到紅球則獎(jiǎng)勵(lì)50元的獎(jiǎng)券，抽到黑球則獎(jiǎng)勵(lì)25元的獎(jiǎng)券；第二次開(kāi)始，每一次抽到紅球則獎(jiǎng)券數(shù)額是上一次獎(jiǎng)券數(shù)額的2倍，抽到黑球則獎(jiǎng)勵(lì)25元的獎(jiǎng)券，記顧客甲第n次抽獎(jiǎng)所得的獎(jiǎng)券數(shù)額的數(shù)學(xué)期望為．
(1)求及的分布列．
(2)寫(xiě)出與的遞推關(guān)系式，并證明為等比數(shù)列；
(3)若顧客甲一共有6次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，求該顧客所得的所有獎(jiǎng)券數(shù)額的期望值．（考數(shù)據(jù)：?）
【答案】(1)，分布列見(jiàn)解析；
(2)，證明見(jiàn)解析；
(3)（元）
【分析】（1）根據(jù)條件，直接求出，的取值及相應(yīng)的概率，再利用期望的計(jì)算公式，即可求出結(jié)果；
（2）根據(jù)條件，建立關(guān)系式，即可求出結(jié)果，再構(gòu)造成，利用等比數(shù)列的定義，即可證明結(jié)果；
（3）由（2）得到，即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）依題意，抽到一個(gè)紅球的概率為，抽到一個(gè)黑球的概率為0.4，
顯然的值為25，50，則，
所以，
又的值為，
則，
所以的分布列為：
（2）依題意，當(dāng)時(shí)，甲第n次抽到紅球所得的獎(jiǎng)券數(shù)額為，對(duì)應(yīng)概率為，
抽到黑球所得的獎(jiǎng)券數(shù)額為25元，對(duì)應(yīng)概率為，
因此當(dāng)時(shí)，，
，即，又，
數(shù)列為等比數(shù)列，公比為1.2，首項(xiàng)為90．
（3）由（2）得，，即，
所以顧客甲抽獎(jiǎng)6次，所得獎(jiǎng)券數(shù)額的期望為（元）．
【例5】（23-24高三上·河北邢臺(tái)·期末）杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物為一組名為“江南憶”的三個(gè)吉祥物“宸宸”，“琮琮”，“蓮蓮”，聚焦共同的文化基因，蘊(yùn)含獨(dú)特的城市元素．本次亞運(yùn)會(huì)極大地鼓舞了中國(guó)人民參與運(yùn)動(dòng)的熱情．某體能訓(xùn)練營(yíng)為了激勵(lì)參訓(xùn)隊(duì)員，在訓(xùn)練之余組織了一個(gè)“玩骰子贏(yíng)禮品”的活動(dòng)，他們來(lái)到一處訓(xùn)練場(chǎng)地，恰有20步臺(tái)階，現(xiàn)有一枚質(zhì)地均勻的骰子，游戲規(guī)則如下：擲一次骰子，出現(xiàn)3的倍數(shù)，則往上爬兩步臺(tái)階，否則爬一步臺(tái)階，再重復(fù)以上步驟，當(dāng)隊(duì)員到達(dá)第7或第8步臺(tái)階時(shí)，游戲結(jié)束．規(guī)定：到達(dá)第7步臺(tái)階，認(rèn)定失??；到達(dá)第8步臺(tái)階可贏(yíng)得一組吉祥物．假設(shè)平地記為第0步臺(tái)階．記隊(duì)員到達(dá)第步臺(tái)階的概率為（），記．
(1)投擲4次后，隊(duì)員站在的臺(tái)階數(shù)為第階，求的分布列；
(2)①求證：數(shù)列（）是等比數(shù)列；
②求隊(duì)員贏(yíng)得吉祥物的概率．
【答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)①證明見(jiàn)解析 ；②
【分析】（1）由題意可得爬一步臺(tái)階的概率為，爬兩步臺(tái)階的概率為，列出隨機(jī)變量可能取值，求出對(duì)應(yīng)的概率，求出分布列即可；
（2）（i）由題意可得，分類(lèi)討論到達(dá)第步臺(tái)階的情況，求出對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而（），結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證明；（ii）由（i），根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，利用累加法求得（），令計(jì)算即可求解.
【詳解】（1）由題意得每輪游戲爬一步臺(tái)階的概率為，爬兩步臺(tái)階的概率為，
所以隨機(jī)變量可能取值為4，5，6，7，8，
可得，，
，，
，
所以的分布列：
（2）（?。┳C明：，即爬一步臺(tái)階，是第1次擲骰子，
向上點(diǎn)數(shù)不是3的倍數(shù)概率，則
到達(dá)第步臺(tái)階有兩種情況：
①前一輪爬到第步臺(tái)階，又?jǐn)S骰子是3的倍數(shù)得爬兩步臺(tái)階，其概率為，
②前一輪爬到第步臺(tái)階，又?jǐn)S骰子不是3的倍數(shù)爬一步臺(tái)階，其概率為，
所以（），
則（），
所以數(shù)列（）是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．
（ⅱ）因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，所以，，…，，
各式相加，得：，所以（），
所以活動(dòng)參與者得到紀(jì)念品的概率為
．
【變式1-1】.（23-24高三上·甘肅·階段練習(xí)）某學(xué)校有、兩個(gè)餐廳，已知同學(xué)甲每天中午都會(huì)在這兩個(gè)餐廳中選擇一個(gè)就餐，如果甲當(dāng)天選擇了某個(gè)餐廳，他第二天會(huì)有的可能性換另一個(gè)餐廳就餐，假如第天甲選擇了餐廳，則第天選擇餐廳的概率為 .
【答案】
【分析】根據(jù)全概率公式可得出，可得出，由此可得出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【詳解】當(dāng)且時(shí)，若甲在第天選擇了餐廳，
那么在第天有的可能性選擇餐廳，
若甲在第天選擇了餐廳，那么在第天有的可能性選擇餐廳，
所以第天選擇餐廳的概率，
即，所以.
又由題意得，，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，所以.
故答案為：.
【變式1-2】.（23-24高三上·河南駐馬店·期末）一枚質(zhì)地均勻的小正四面體，其中兩個(gè)面標(biāo)有數(shù)字1，兩個(gè)面標(biāo)有數(shù)字2.現(xiàn)將此正四面體任意拋擲次，落于水平的桌面，記次底面的數(shù)字之和為.
(1)當(dāng)時(shí)，記為被3整除的余數(shù)，求的分布列與期望；
(2)求能被3整除的概率.
【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，期望為
(2)
【分析】（1）先確定的可能值，再分別求概率列表求期望.
（2）先得到遞推關(guān)系，再構(gòu)造等比數(shù)列求解.
【詳解】（1）由題可知，正四面體與桌面接觸的數(shù)字為1和2的概率均為，
的取值可能為0，1，2.
，
，
，
則的分布列為
.
（2）由題可知，當(dāng)時(shí)，次底面的數(shù)字之和能被3整除的概率為，
所以，則，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
則，即.
【變式1-3】.（2024·廣東湛江·一模）甲進(jìn)行摸球跳格游戲．圖上標(biāo)有第1格，第2格，…，第25格，棋子開(kāi)始在第1格．盒中有5個(gè)大小相同的小球，其中3個(gè)紅球，2個(gè)白球（5個(gè)球除顏色外其他都相同）．每次甲在盒中隨機(jī)摸出兩球，記下顏色后放回盒中，若兩球顏色相同，棋子向前跳1格；若兩球顏色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格時(shí)，游戲結(jié)束．記棋子跳到第n格的概率為．
(1)甲在一次摸球中摸出紅球的個(gè)數(shù)記為X，求X的分布列和期望；
(2)證明：數(shù)列為等比數(shù)列．
【答案】(1)分布列見(jiàn)解析；期望；
(2)證明見(jiàn)解析；
【分析】（1）寫(xiě)出X的所有可能取值并求出對(duì)應(yīng)的概率，即可列出分布列，計(jì)算求出期望值；
（2）依題意根據(jù)跳格規(guī)則可得，即可得出證明；
【詳解】（1）根據(jù)題意可知，X的所有可能取值為0，1，2；
則，，；
可得X的分布列如下：
期望值為.
（2）依題意，當(dāng)時(shí)，棋子跳到第格有兩種可能：
第一種，棋子先跳到第格，再摸出兩球顏色不同；
第二種，棋子先跳到第格，再摸出兩球顏色相同；
又可知摸出兩球顏色不同，即跳兩格的概率為，
摸出兩球顏色相同，即跳一格的概率為；
因此可得；
所以，
因此可得，
即數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.
【變式1-4】.（23-24高三下·新疆·階段練習(xí)）我國(guó)某企業(yè)研發(fā)的家用機(jī)器人，其生產(chǎn)共有四道工序，前三道工序的生產(chǎn)互不影響，第四道工序是出廠(chǎng)檢測(cè)工序，包括智能自動(dòng)檢測(cè)與人工抽檢，其中智能自動(dòng)檢測(cè)為次品的會(huì)被自動(dòng)淘汰，合格的進(jìn)入流水線(xiàn)進(jìn)行人工抽檢．已知該家用機(jī)器人在生產(chǎn)中前三道工序的次品率分別為．
(1)已知某批次的家用機(jī)器人智能自動(dòng)檢測(cè)顯示合格率為，求在人工抽檢時(shí)，工人抽檢一個(gè)家用機(jī)器人恰好為合格品的概率（百分號(hào)前保留兩位小數(shù)）；
(2)該企業(yè)利用短視頻直播方式擴(kuò)大產(chǎn)品影響力，在直播現(xiàn)場(chǎng)進(jìn)行家用機(jī)器人推廣活動(dòng)，現(xiàn)場(chǎng)人山人海，場(chǎng)面火爆，從現(xiàn)場(chǎng)抽取幸運(yùn)顧客參與游戲，游戲規(guī)則如下：參與游戲的幸運(yùn)顧客，每次都要有放回地從10張分別寫(xiě)有數(shù)字的卡片中隨機(jī)抽取一張，指揮家用機(jī)器人運(yùn)乒乓球，直到獲得獎(jiǎng)品為止，每次游戲開(kāi)始時(shí)，甲箱中有足夠多的球，乙箱中沒(méi)有球，若抽的卡片上的數(shù)字為奇數(shù)，則從甲箱中運(yùn)一個(gè)乒乓球到乙箱；若抽的卡片上的數(shù)字為偶數(shù)，則從甲箱中運(yùn)兩個(gè)乒乓球到乙箱，當(dāng)乙箱中的乒乓球數(shù)目達(dá)到9個(gè)時(shí)，獲得獎(jiǎng)品優(yōu)惠券960元；當(dāng)乙箱中的乒乓球數(shù)目達(dá)到10個(gè)時(shí)，獲得獎(jiǎng)品大禮包一個(gè)，獲得獎(jiǎng)品時(shí)游戲結(jié)束．
①求獲得“優(yōu)惠券”的概率；
②若有16個(gè)幸運(yùn)顧客參與游戲，每人參加一次游戲，求該企業(yè)預(yù)備的優(yōu)惠券總金額的期望值．
【答案】(1)
(2)①；②元
【分析】（1）根據(jù)條件概率的概率公式計(jì)算可得；
（2）①設(shè)乙箱中有個(gè)球的概率為，即可求出、，當(dāng)時(shí)可得，從而得到，即當(dāng)時(shí)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，求出，再用累加法求出，即可求出；
②設(shè)參與游戲的個(gè)幸運(yùn)顧客中獲得優(yōu)惠券的人數(shù)為，則，設(shè)優(yōu)惠券的總金額為元，則，再根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式及期望的性質(zhì)計(jì)算可得.
【詳解】（1）設(shè)家用機(jī)器人經(jīng)過(guò)前三道工序后是合格品的概率為，
則，
設(shè)家用機(jī)器人智能自動(dòng)檢測(cè)合格為事件，人工抽檢合格為事件，則，
，
所以，
即在人工抽檢時(shí)，工人抽檢一個(gè)家用機(jī)器人恰好為合格品的概率約為.
（2）①設(shè)乙箱中有個(gè)球的概率為，
第一次抽到奇數(shù)，家用機(jī)器人運(yùn)個(gè)乒乓球，概率為，即，
乙箱中有個(gè)球，有兩類(lèi)情況，所以，
乙箱中有個(gè)球的情況有：
i家用機(jī)器人已運(yùn)個(gè)球，又抽出偶數(shù)，其概率為；
ii家用機(jī)器人已運(yùn)個(gè)球，又抽出奇數(shù)，其概率為；
所以，且，
所以，所以，
即當(dāng)時(shí)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，
所以，
又，，所以當(dāng)時(shí)也成立，
所以，，，，
上述各式相加得
，
又，
所以，，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)上式也成立，
所以，
所以，即獲得“優(yōu)惠券”的概率為.
②設(shè)參與游戲的個(gè)幸運(yùn)顧客中獲得優(yōu)惠券的人數(shù)為，則，
所以的期望，
設(shè)優(yōu)惠券的總金額為元，則，
所以個(gè)幸運(yùn)顧客中獲得優(yōu)惠券總金額的期望值（元），
故該企業(yè)預(yù)備的優(yōu)惠券總金額的期望值為元.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)關(guān)鍵是由相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率公式得到，再利用構(gòu)造法及累加法求出.
【變式1-5】.（23-24高三上·浙江溫州·期末）現(xiàn)有標(biāo)號(hào)依次為1，2，…，n的n個(gè)盒子，標(biāo)號(hào)為1號(hào)的盒子里有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，其余盒子里都是1個(gè)紅球和1個(gè)白球．現(xiàn)從1號(hào)盒子里取出2個(gè)球放入2號(hào)盒子，再?gòu)?號(hào)盒子里取出2個(gè)球放入3號(hào)盒子，…，依次進(jìn)行到從號(hào)盒子里取出2個(gè)球放入n號(hào)盒子為止．
(1)當(dāng)時(shí)，求2號(hào)盒子里有2個(gè)紅球的概率；
(2)當(dāng)時(shí)，求3號(hào)盒子里的紅球的個(gè)數(shù)的分布列；
(3)記n號(hào)盒子中紅球的個(gè)數(shù)為，求的期望．
【答案】(1)
(2)分布列見(jiàn)解析
(3)
【分析】(1)由古典概率模型進(jìn)行求解；
(2) 可取，求出對(duì)應(yīng)的概率，再列出分布列即可；
(3) 記為第號(hào)盒子有三個(gè)紅球和一個(gè)白球的概率，則，
為第號(hào)盒子有兩個(gè)紅球和兩個(gè)白球的概率，則，
則第號(hào)盒子有一個(gè)紅球和三個(gè)白球的概率為，且，化解得，即可求解.
【詳解】（1）由題可知2號(hào)盒子里有2個(gè)紅球的概率為；
（2）由題可知可取，
，
，
所以3號(hào)盒子里的紅球的個(gè)數(shù)ξ的分布列為
（3）記為第號(hào)盒子有三個(gè)紅球和一個(gè)白球的概率，則，
為第號(hào)盒子有兩個(gè)紅球和兩個(gè)白球的概率，則，
則第號(hào)盒子有一個(gè)紅球和三個(gè)白球的概率為，
且，
化解得，
得，
而則數(shù)列為等比數(shù)列,首項(xiàng)為，公比為，
所以，
又由求得：
因此．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：記為第號(hào)盒子有三個(gè)紅球和一個(gè)白球的概率，則，為第號(hào)盒子有兩個(gè)紅球和兩個(gè)白球的概率，則，則第號(hào)盒子有一個(gè)紅球和三個(gè)白球的概率為，且，即可求解.
【考點(diǎn)題型二】借助導(dǎo)數(shù)求概率中最值問(wèn)題
【例1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）公元1651年，一個(gè)問(wèn)題引發(fā)了數(shù)學(xué)家德梅赫、帕斯卡、費(fèi)馬和惠更斯等人的討論，這三位當(dāng)時(shí)全歐洲乃至全世界最優(yōu)秀的科學(xué)家都給出了正確的解答．該問(wèn)題如下：設(shè)兩名賭徒約定誰(shuí)先贏(yíng)局，誰(shuí)便贏(yíng)得全部賭注元．每局甲贏(yíng)的概率為，乙贏(yíng)的概率為，且每局賭博相互獨(dú)立．在甲贏(yíng)了局，乙贏(yíng)了局時(shí)，賭博意外終止．賭注該怎么分才合理？這三位數(shù)學(xué)家給出的答案是：如果出現(xiàn)無(wú)人先贏(yíng)局則賭博意外終止的情況，甲、乙便按照賭博再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏(yíng)得全部賭注的概率之比分配賭注．
(1)甲、乙賭博意外終止，若，，，，，求甲應(yīng)分得的賭注；
(2)記事件為“賭博繼續(xù)進(jìn)行下去乙贏(yíng)得全部賭注”，試求當(dāng)，，時(shí)賭博繼續(xù)進(jìn)行下去甲贏(yíng)得全部賭注的概率；當(dāng)時(shí)，求事件發(fā)生的概率的最大值．
【答案】(1)元；
(2)0.0272．
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用互斥事件的概率公式，結(jié)合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求出甲贏(yíng)得全部賭注概率.
（2）求出乙贏(yíng)得全部賭注的概率，進(jìn)而求出，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值即得.
【詳解】（1）設(shè)賭博再繼續(xù)進(jìn)行局甲贏(yíng)得全部賭注，則最后一局必然甲贏(yíng)，由題意知，最多再進(jìn)行4局，甲、乙必然有人贏(yíng)得全部賭注，
當(dāng)時(shí)，甲以贏(yíng)，則，
當(dāng)時(shí)，甲以贏(yíng)，則，
當(dāng)時(shí)，甲以贏(yíng)，則，
于是得甲贏(yíng)得全部賭注的概率為，
所以甲應(yīng)分得的賭注為元．
（2）設(shè)賭博繼續(xù)進(jìn)行局乙贏(yíng)得全部賭注，則最后一局必然乙贏(yíng)，
當(dāng)時(shí)，乙以贏(yíng)，，
當(dāng)時(shí)，乙以贏(yíng)，，
則乙贏(yíng)得全部賭注的概率為，
于是甲贏(yíng)得全部賭注的概率，
，
因，即，從而有在上單調(diào)遞增，
因此，乙贏(yíng)的概率最大值為，
所以事件發(fā)生的概率的最大值為0.0272．
【例2】（2024·廣東汕頭·一模）2023年11月，我國(guó)教育部發(fā)布了《中小學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)基本目錄》，內(nèi)容包括高中數(shù)學(xué)在內(nèi)共有16個(gè)學(xué)科900多項(xiàng)實(shí)驗(yàn)與實(shí)踐活動(dòng).我市某學(xué)校的數(shù)學(xué)老師組織學(xué)生到“牛田洋”進(jìn)行科學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，在某種植番石榴的果園中，老師建議學(xué)生嘗試去摘全園最大的番石榴，規(guī)定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回頭.結(jié)果，學(xué)生小明兩手空空走出果園，因?yàn)樗恢狼懊媸欠裼懈蟮?，所以沒(méi)有摘，走到前面時(shí)，又發(fā)覺(jué)總不及之前見(jiàn)到的，最后什么也沒(méi)摘到.假設(shè)小明在果園中一共會(huì)遇到顆番石榴（不妨設(shè)顆番石榴的大小各不相同），最大的那顆番石榴出現(xiàn)在各個(gè)位置上的概率相等，為了盡可能在這些番石榴中摘到那顆最大的，小明在老師的指導(dǎo)下采用了如下策略：不摘前顆番石榴，自第顆開(kāi)始，只要發(fā)現(xiàn)比他前面見(jiàn)過(guò)的番石榴大的，就摘這顆番石榴，否則就摘最后一顆.設(shè)，記該學(xué)生摘到那顆最大番石榴的概率為.
(1)若，求；
(2)當(dāng)趨向于無(wú)窮大時(shí)，從理論的角度，求的最大值及取最大值時(shí)的值.
（?。?br>【答案】(1)；
(2)的最大值為，此時(shí)的值為.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用有限制條件的排列求出古典概率.
（2）利用全概率公式求出，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值.
【詳解】（1）依題意，4個(gè)番石榴的位置從第1個(gè)到第4個(gè)排序，有種情況，
要摘到那個(gè)最大的番石榴，有以下兩種情況：
①最大的番石榴是第3個(gè)，其它的隨意在哪個(gè)位置，有種情況；
②最大的番石榴是最后1個(gè)，第二大的番石榴是第1個(gè)或第2個(gè)，其它的隨意在哪個(gè)位置，有種情況，
所以所求概率為.
（2）記事件表示最大的番石榴被摘到，事件表示最大的番石榴排在第個(gè)，則，
由全概率公式知：，
當(dāng)時(shí)，最大的番石榴在前個(gè)中，不會(huì)被摘到，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，最大的番石榴被摘到，當(dāng)且僅當(dāng)前個(gè)番石榴中的最大一個(gè)在前個(gè)之中時(shí)，此時(shí)，
因此，
令，求導(dǎo)得，由，得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則，于是當(dāng)時(shí)，取得最大值，
所以的最大值為，此時(shí)的值為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：全概率公式是將復(fù)雜事件A的概率求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在不同情況下發(fā)生的簡(jiǎn)單事件的概率求和問(wèn)題.
【例3】（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）籃球運(yùn)動(dòng)是在1891年由美國(guó)馬薩諸塞州斯普林爾德市基督教青年會(huì)訓(xùn)練學(xué)校體育教師詹姆士·奈史密斯博士，借鑒其他球類(lèi)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目設(shè)計(jì)發(fā)明的．起初，他將兩只桃籃釘在健身房?jī)?nèi)看臺(tái)的欄桿上，桃籃上沿離地面約米，用足球作為比賽工具，任何一方在獲球后，利用傳遞、運(yùn)拍，將球向籃內(nèi)投擲，投球入籃得一分，按得分多少?zèng)Q定比賽勝負(fù)．在1891年的12月21日，舉行了首次世界籃球比賽，后來(lái)籃球界就將此日定為國(guó)際籃球日．甲、乙兩人進(jìn)行投籃，比賽規(guī)則是：甲、乙每人投3球，進(jìn)球多的一方獲得勝利，勝利1次，則獲得一個(gè)積分，平局或者輸方不得分．已知甲和乙每次進(jìn)球的概率分別是和p，且每人進(jìn)球與否互不影響．
(1)若，求乙在一輪比賽中獲得一個(gè)積分的概率；
(2)若，且每輪比賽互不影響，乙要想至少獲得3個(gè)積分且每輪比賽至少要超甲2個(gè)球，從數(shù)學(xué)期望的角度分析，理論上至少要進(jìn)行多少輪比賽？
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）分別求得甲和乙在每一輪比賽中投進(jìn)球?qū)?yīng)的概率，再結(jié)合題意，求出乙在一輪比賽中獲得1個(gè)積分的概率即可；
（2）先求得乙在每輪比賽至少要超甲2個(gè)球的概率，設(shè)隨機(jī)變量表示輪比賽后，乙在每輪比賽至少要超甲2個(gè)球的情況下獲得的積分，根據(jù)二項(xiàng)分布的期望計(jì)算公式求得，進(jìn)而根據(jù)題意，列出不等關(guān)系，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得結(jié)果.
【詳解】（1）設(shè)事件表示甲在一輪比賽中投進(jìn)個(gè)球，表示乙在一輪比賽中投進(jìn)個(gè)球，
則，，，；
，，，；
若乙在一輪比賽中獲得一個(gè)積分，則乙勝利次，
故其概率
.
（2）設(shè)事件表示乙每場(chǎng)比賽至少要超甲2個(gè)球，則
；
設(shè)隨機(jī)變量表示輪比賽后，乙在每輪比賽至少要超甲2個(gè)球的情況下獲得的積分，
顯然，故，
要滿(mǎn)足題意，則，即，又，故，
令，則在恒成立，
故在上單調(diào)遞增，又的最大值為，
則的最大值為，的最小值為，而，
故理論上至少要進(jìn)行輪比賽.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是設(shè)出隨機(jī)變量，利用二項(xiàng)分布的期望求解公式，解得；同時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和最值；屬綜合困難題.
【例4】（21-22高三·云南昆明·開(kāi)學(xué)考試）甲?乙兩人參加一個(gè)游戲，該游戲設(shè)有獎(jiǎng)金256元，誰(shuí)先贏(yíng)滿(mǎn)5局，誰(shuí)便贏(yíng)得全部的獎(jiǎng)金，已知每局游戲乙贏(yíng)的概率為，甲贏(yíng)的概率為，每局游戲相互獨(dú)立，在乙贏(yíng)了3局甲贏(yíng)了1局的情況下，游戲設(shè)備出現(xiàn)了故障，游戲被迫終止，則獎(jiǎng)金應(yīng)該如何分配才為合理？有專(zhuān)家提出如下的獎(jiǎng)金分配方案：如果出現(xiàn)無(wú)人先贏(yíng)5局且游戲意外終止的情況，則甲?乙按照游戲再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏(yíng)得全部獎(jiǎng)金的概率之比分配獎(jiǎng)金.
(1)若，則乙應(yīng)該得多少獎(jiǎng)金；
(2)記事件A為“游戲繼續(xù)進(jìn)行下去甲獲得全部獎(jiǎng)金”，試求當(dāng)游戲繼續(xù)進(jìn)行下去，甲獲得全部獎(jiǎng)金的概率，并判斷當(dāng)時(shí)，事件A是否為小概率事件，并說(shuō)明理由.（注：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于，則稱(chēng)隨機(jī)事件為小概率事件）
【答案】(1)252（元）
(2)事件A是小概率事件，理由見(jiàn)解析.
【分析】（1）根據(jù)已知，利用二項(xiàng)分布、相互獨(dú)立事件、和事件的概率公式計(jì)算概率，再進(jìn)行求解.
（2）利用概率公式計(jì)算概率，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，再利用導(dǎo)數(shù)研究最值，再根據(jù)結(jié)果進(jìn)行判斷.
【詳解】（1）設(shè)游戲再繼續(xù)進(jìn)行下去X局乙贏(yíng)得全部獎(jiǎng)金，則最后一局必然乙贏(yíng).
由題知，當(dāng)時(shí)，乙以贏(yíng)，所以，
當(dāng)時(shí)，乙以贏(yíng)，所以，
當(dāng)時(shí)，乙以贏(yíng)，所以，
當(dāng)時(shí)，乙以贏(yíng)，所以，
所以乙贏(yíng)得全部獎(jiǎng)金的概率為，
所以乙應(yīng)該得多少獎(jiǎng)金為（元）.
（2）設(shè)游戲繼續(xù)進(jìn)行Y局甲獲得全部獎(jiǎng)金，則最后一局必然甲贏(yíng).
由題知，當(dāng)時(shí)，甲以贏(yíng)，所以，
當(dāng)時(shí)，甲以贏(yíng)，所以，
甲獲得全部獎(jiǎng)金的概率，
所以，
所以，
，，
在上單調(diào)遞減，所以，
故事件A是小概率事件.
【變式2-1】.（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為，收到1的概率為．考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏敚畣未蝹鬏斒侵该總€(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）．
(1)當(dāng)時(shí)，若發(fā)送0，則要得到正確信號(hào)，試比較單次傳輸和三次傳輸方案的概率大??；
(2)若采用三次傳輸方案發(fā)送1，記收到的信號(hào)中出現(xiàn)2次信號(hào)1的概率為，出現(xiàn)3次信號(hào)1的概率為，求的最大值．
【答案】(1)單次傳輸小于三次傳輸
(2)
【分析】（1）分別算出單次、三次傳輸發(fā)送0譯碼為0的概率，比大小，即可下結(jié)論；
（2）由題意可得，．設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的性質(zhì)求出即可.
【詳解】（1）單次傳輸發(fā)送0譯碼為0的概率．
三次傳輸發(fā)送0譯碼為0的概率．
因?yàn)?，所以要得到正確信號(hào)，三次傳輸方案的概率大．
（2）由題意得，．
記函數(shù)，
則．
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以的最大值是．
【變式2-2】.（2022·海南·模擬預(yù)測(cè)）在政府精準(zhǔn)扶貧政策的扶持下，甲、乙，丙三位學(xué)徒跟老李師傅學(xué)習(xí)制作某種陶器，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的學(xué)習(xí)后，他們各自能制作成功該陶器的概率分別為，，，且．現(xiàn)需要他們?nèi)酥谱饕患撎掌?，每次只有一個(gè)人制作，且每個(gè)人只制作一次，如果有一個(gè)人制作失敗則換下一個(gè)人重新制作，若陶器制作成功則結(jié)束．
(1)按照甲、乙、丙的順序制作該陶器，若，且，求制作該陶器的人數(shù)均值的最大值；
(2)若這種陶器制作成功后需要兩輪檢測(cè)都合格才能上市銷(xiāo)售，已知學(xué)徒甲制作的陶器第一輪檢測(cè)合格的概率為，第二輪檢測(cè)合格的概率為，且兩輪檢測(cè)是否合格相互之間沒(méi)有影響．如果這種陶器可以上市銷(xiāo)售，則每件陶器可獲利100元；如果這種陶器不能上市銷(xiāo)售，則每件陶器虧損80元．現(xiàn)有學(xué)徒甲制作的這種陶器4件，求這4件陶器獲利220元的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)制作人數(shù)為，求得隨機(jī)變量的分布列，得到，設(shè)，求得，得到函數(shù)的單調(diào)性與最小值，即可求解；
（2）設(shè)“該陶器能上市銷(xiāo)售”為事件，求得，結(jié)合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式，即可求解.
【詳解】（1）解：設(shè)制作人數(shù)為，他們?nèi)烁髯阅苤谱鞒晒υ撎掌鞯母怕史謩e為、、，
可得，
則隨機(jī)變量的分布列為
均值為，
，
設(shè)，，
因?yàn)?，且?br>所以在上單調(diào)遞增，所以，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，的最大值為．
（2）解：記“該陶器能上市銷(xiāo)售”為事件，則,
由已知可知4件陶器獲利220元的情況是可上市銷(xiāo)售3件，
則概率為．
【變式2-3】.（22-23高二下·廣東江門(mén)·階段練習(xí)）三年多的“新冠之戰(zhàn)”在全國(guó)人民的共同努力下剛剛?cè)〉猛陝伲@給我們的個(gè)人衛(wèi)生和公共衛(wèi)生都提出更高的要求！某機(jī)構(gòu)欲組建一個(gè)有關(guān)“垃圾分類(lèi)”相關(guān)事宜的項(xiàng)目組，對(duì)各個(gè)地區(qū)“垃圾分類(lèi)”的處理模式進(jìn)行相關(guān)報(bào)道，該機(jī)構(gòu)從600名員工中進(jìn)行篩選，篩選方法如下：每位員工測(cè)試A，B，C三項(xiàng)工作，3項(xiàng)測(cè)試中至少2項(xiàng)測(cè)試“不合格”的員工，將被認(rèn)定為“暫定”，有且只有一項(xiàng)測(cè)試“不合格”的員工將再測(cè)試A，B兩項(xiàng)，如果這兩項(xiàng)中有1項(xiàng)以上（含1項(xiàng)）測(cè)試“不合格”，將也被認(rèn)定為“暫定”，每位員工測(cè)試A，B，C三項(xiàng)工作相互獨(dú)立，每一項(xiàng)測(cè)試“不合格”的概率均為．
(1)記每位員工被認(rèn)定為“暫定”的概率為，求；
(2)每位員工不需要重新測(cè)試的費(fèi)用為90元，需要重新測(cè)試的前后兩輪測(cè)試的總費(fèi)用為150元，所有員工除測(cè)試費(fèi)用外，其他費(fèi)用總計(jì)為1萬(wàn)元，若該機(jī)構(gòu)的預(yù)算為8萬(wàn)元，且600名員工全部參與測(cè)試，試估計(jì)上述方案是否會(huì)超出預(yù)算，并說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)不會(huì)超過(guò)預(yù)算，理由見(jiàn)詳解
【分析】（1）利用互斥事件的概率加法計(jì)算公式和n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的概率計(jì)算公式進(jìn)行求解即可；
（2）設(shè)每位員工測(cè)試的費(fèi)用為X元，則X的可能取值為90，150，利用n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的概率計(jì)算公式和離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望公式求出數(shù)學(xué)期望的表達(dá)式，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求最值即可．
【詳解】（1）由題意知，每位員工首輪測(cè)試被認(rèn)定為“暫定”的概率為，
每位員工再次測(cè)試被認(rèn)定為“暫定”的概率為，
綜上可知，每位員工被認(rèn)定為“暫定”的概率為
．
（2）設(shè)每位員工測(cè)試的費(fèi)用為X元，則X的可能取值為90，150，
由題意知，， ，
所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為
（元），，
令，，
則，
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，即（元）.
所以此方案的最高費(fèi)用為（萬(wàn)元），
綜上可知，若以此方案實(shí)施估計(jì)不會(huì)超過(guò)預(yù)算．
【點(diǎn)睛】本題考查互斥事件的概率加法公式、n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的概率計(jì)算公式、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望公式和利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求最值；考查運(yùn)算求解能力和轉(zhuǎn)化與化歸能力；通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值是求解本題的關(guān)鍵；屬于綜合型、難度大型試題．
第次
次
次
概率
反面
正面
反面
正面
正面
反面
X
0
1
2
3
P
25
50
100
0.4
0.24
0.36
4
5
6
7
8
0
1
2
0
1
2
1
2
3
P
1
2
3

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第06講 數(shù)列與導(dǎo)數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)等交匯綜合問(wèn)題-【練透核心考點(diǎn)】2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)全題型突破（新教材新高考）

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新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)歸納與演練專(zhuān)題3-10 導(dǎo)數(shù)與數(shù)列，導(dǎo)數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)（含解析）

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專(zhuān)題3-10 導(dǎo)數(shù)與數(shù)列，導(dǎo)數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)-備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)畢業(yè)班二輪熱點(diǎn)題型歸納與變式演練（新高考專(zhuān)用）

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