【考點題型一】條件概率
（1）一般地，設(shè)，為兩個隨機事件，且，我們稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率．
【例1】（多選）（2024·山東煙臺·一模）先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記向上的點數(shù)分別為，設(shè)事件“為整數(shù)”，“為偶數(shù)”，“為奇數(shù)”，則（ ）
A．B．
【例2】（21-22高二下·陜西咸陽·階段練習(xí)）袋中有5個球，其中紅黃藍白黑球各一個，甲乙兩人按序從袋中有放回的隨機摸取一球，記事件：甲和乙至少一人摸到紅球，事件：甲和乙摸到的球顏色不同，則 ．
【變式1-1】.（23-24高三上·河北·期末）第19屆亞運會在杭州舉行，為了弘揚“奉獻，友愛，互助，進步”的志愿服務(wù)精神，5名大學(xué)生將前往3個場館開展志愿服務(wù)工作．若要求每個場館都要有志愿者，則當(dāng)甲不去場館時，場館僅有2名志愿者的概率為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】.（多選）（2024·江蘇·模擬預(yù)測）設(shè)是一個隨機試驗中的兩個事件，且，則（ ）
A．B．
C．D．
【考點題型二】條件概率性質(zhì)應(yīng)用
（1）由條件概率的定義，對任意兩個事件與，若，則．我們稱上式為概率的乘法公式．
（2）如果和是兩個互斥事件，則；
【例1】（2019高三·全國·專題練習(xí)）已知1號箱中有2個白球和4個紅球，2號箱中有5個白球和3個紅球（白球與紅球大小、形狀、質(zhì)地相同），現(xiàn)隨機從1號箱中取出一球放入2號箱，再從2號箱中隨機取出一球，則兩次都取到紅球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【例2】（21-22高二上·安徽安慶·期末）已知，且若，，則 ．
【例3】（22-23高二下·山西太原·階段練習(xí)）條件概率只是縮小了樣本空間，因此條件概率同樣具有概率的性質(zhì).故試著證明條件概率的性質(zhì)（1）和（2）．設(shè)，則
(1)；
(2)如果B和C是兩個互斥事件，則；
【變式2-1】.（2023·云南昆明·模擬預(yù)測）已知事件A，B，C滿足A，B是互斥事件，且，，，則的值等于（ ）
A．B．C．D．
【變式2-2】.（多選）（22-23高三下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）一個盒子中裝有個黑球和個白球（，均為不小于2的正整數(shù)），現(xiàn)從中先后無放回地取2個球.記“第一次取得黑球”為，“第一次取得白球”為，“第二次取得黑球”為，“第二次取得白球”為，則（ ）
A．B．
C．D．
【變式2-3】.（20-21高二·全國·課時練習(xí)）已知事件A和B是互斥事件，，，，則 ．
【考點題型三】全概率公式及其應(yīng)用
一般地,設(shè),,是一組兩兩互斥的事件,,且，,則對任意的事件,有,我們稱此公式為全概率公式.
【例1】（2024·河南信陽·二模）隨著城市經(jīng)濟的發(fā)展，早高峰問題越發(fā)嚴重，上班族需要選擇合理的出行方式．某公司員工小明的上班出行方式有三種，某天早上他選擇自駕，坐公交車，騎共享單車的概率分別為，，，而他自駕，坐公交車，騎共享單車遲到的概率分別為，，，結(jié)果這一天他遲到了，在此條件下，他自駕去上班的概率是（ ）
A．B．C．D．
【例2】（21-22高二下·陜西咸陽·階段練習(xí)）有甲、乙、丙三個工廠生產(chǎn)同一型號的產(chǎn)品，甲廠生產(chǎn)的次品率為，乙廠生產(chǎn)的次品率為，丙廠生產(chǎn)的次品率為，生產(chǎn)出來的產(chǎn)品混放在一起．已知甲、乙、丙三個工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)分別占總數(shù)的，從中任取一件產(chǎn)品，則取得的產(chǎn)品為次品的概率為 ．
【例3】（23-24高三下·湖北荊州·階段練習(xí)）現(xiàn)有10個球，其中5個球由甲工廠生產(chǎn)，3個球由乙工廠生產(chǎn)，2個球由丙工廠生產(chǎn).這三個工廠生產(chǎn)該類產(chǎn)品的合格率依次是，，.現(xiàn)從這10個球中任取1個球，設(shè)事件為“取得的球是合格品”，事件分別表示“取得的球是甲、乙、丙三個工廠生產(chǎn)的”.
(1)求；
(2)若取出的球是合格品，求該球是甲工廠生產(chǎn)的概率.
【變式3-1】.（多選）（23-24高二下·江西·開學(xué)考試）某中藥材盒中共有包裝相同的10袋藥材，其中甲級藥材有4袋，乙級藥材有6袋，從中不放回地依次抽取2袋，用A表示事件“第一次取到甲級藥材”，用B表示事件“第二次取到乙級藥材”，則（ ）
A．B．
C．D．事件A，B相互獨立
【變式3-2】.（2024·北京懷柔·模擬預(yù)測）甲袋中有5個紅球和3個白球，乙袋中有4個紅球和2個白球，如果所有小球只存在顏色的差別，并且整個取球過程是盲取，分兩步進行：第一步，先從甲袋中隨機取出一球放入乙袋，分別用、表示由甲袋中取出紅球、白球的事件；第二步，再從乙袋中隨機取出兩球，用B表示第二步由乙袋中取出的球是“兩球都為紅球”的事件，則事件B的概率是 .
【變式3-3】.（22-23高二下·新疆喀什·期末）甲箱中有個紅球，個白球和個黑球，乙箱中有個紅球，個白球和個黑球.先從甲箱中隨機取出一個球放入乙箱中，再從乙箱中隨機取出一球，則從乙箱中取出的是紅球的概率為 .
【考點題型四】離散型隨機變量分布列均值，方差
【例1】（2024·江西南昌·一模）甲公司現(xiàn)有資金200萬元，考慮一項投資計劃，假定影響投資收益的唯一因素是投資期間的經(jīng)濟形勢，若投資期間經(jīng)濟形勢好，投資有的收益率，若投資期間經(jīng)濟形勢不好，投資有的損益率；如果不執(zhí)行該投資計劃，損失為1萬元.現(xiàn)有兩個方案，方案一：執(zhí)行投資計劃；方案二：聘請投資咨詢公司乙分析投資期間的經(jīng)濟形勢，聘請費用為5000元，若投資咨詢公司乙預(yù)測投資期間經(jīng)濟形勢好，則執(zhí)行投資計劃；若投資咨詢公司乙預(yù)測投資期間經(jīng)濟形勢不好，則不執(zhí)行該計劃.根據(jù)以往的資料表明，投資咨詢公司乙預(yù)測不一定正確，投資期間經(jīng)濟形勢好，咨詢公司乙預(yù)測經(jīng)濟形勢好的概率是0.8；投資期間經(jīng)濟形勢不好，咨詢公司乙預(yù)測經(jīng)濟形勢不好的概率是0.7.假設(shè)根據(jù)權(quán)威資料可以確定，投資期間經(jīng)濟形勢好的概率是，經(jīng)濟形勢不好的概率是.
(1)求投資咨詢公司乙預(yù)測投資期間經(jīng)濟形勢好的概率；
(2)根據(jù)獲得利潤的期望值的大小，甲公司應(yīng)該執(zhí)行哪個方案？說明理由.
【例2】（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）新高考數(shù)學(xué)試卷增加了多項選擇題，每小題有A、B、C、D四個選項，原則上至少有2個正確選項，至多有3個正確選項．題目要求：“在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．”
其中“部分選對的得部分分”是指：若正確答案有2個選項，則只選1個選項且正確得3分；若正確答案有3個選項，則只選1個選項且正確得2分，只選2個選項且都正確得4分．
(1)若某道多選題的正確答案是AB，一考生在解答該題時，完全沒有思路，隨機選擇至少一個選項，至多三個選項，請寫出該生所有選擇結(jié)果所構(gòu)成的樣本空間，并求該考生得分的概率；
(2)若某道多選題的正確答案是2個選項或是3個選項的概率均等，一考生只能判斷出A選項是正確的，其他選項均不能判斷正誤，給出以下方案，請你以得分的數(shù)學(xué)期望作為判斷依據(jù)，幫該考生選出恰當(dāng)方案：
方案一：只選擇A選項；
方案二：選擇A選項的同時，再隨機選擇一個選項；
方案三：選擇A選項的同時，再隨機選擇兩個選項．
【例3】（2018高二·全國·競賽）現(xiàn)有甲、乙、丙三人參加某電視臺的應(yīng)聘節(jié)目《非你莫屬》，若甲應(yīng)聘成功的概率為，乙、丙應(yīng)聘成功的概率均為，且三個人是否應(yīng)聘成功是相互獨立的.
(1)若乙、丙有且只有一個人應(yīng)聘成功的概率等于甲應(yīng)聘成功的概率，求的值；
(2)記應(yīng)聘成功的人數(shù)為，若當(dāng)且僅當(dāng)為2時概率最大，求的取值范圍.
【變式4-1】.（2022·全國·模擬預(yù)測）“國家反詐中心”APP集合報案助手、舉報線索、風(fēng)險查詢、詐騙預(yù)警、騙局曝光、身份核實等多種功能于一體，是名副其實的“反詐戰(zhàn)艦”.2021年該APP于各大官方應(yīng)用平臺正式上線，某地組織全體村民下載注冊，并組織了一場線下反電信詐騙問卷測試，隨機抽取其中100份問卷，統(tǒng)計測試得分（滿分100分），將數(shù)據(jù)按照，，…，，分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求a的值及這100份問卷的平均分（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值代替）；
(2)若界定問卷得分低于70分的村民“防范意識差”，不低于90分的村民“防范意識強”．現(xiàn)從樣本的“防范意識差”和“防范意識強”村民中采用分層抽樣的方法抽取7人開座談會，再從這7人中隨機抽取3人，記抽取的3人中“防范意識強”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【變式4-2】.（2024·廣東·模擬預(yù)測）某公司是一家集無人機特種裝備的研發(fā)、制造與技術(shù)服務(wù)的綜合型科技創(chuàng)新企業(yè).該公司生產(chǎn)的甲、乙兩種類型無人運輸機性能都比較出色，但操控水平需要十分嫻熟，才能發(fā)揮更大的作用.已知在單位時間內(nèi)，甲、乙兩種類型無人運輸機操作成功的概率分別為和，假設(shè)每次操作能否成功相互獨立.
(1)隨機選擇兩種無人運輸機中的一種，求選中的無人運輸機操作成功的概率；
(2)操作員連續(xù)進行兩次無人機的操作有兩種方案：
方案一：在初次操作時，隨機選擇兩種無人運輸機中的一種，若初次操作成功，則第二次繼續(xù)使用該類型設(shè)備；若初次操作不成功，則第二次使用另一類型進行操作；
方案二：在初次操作時，隨機選擇兩種無人運輸機中的一種，無論初次操作是否成功，第二次均使用初次所選擇的無人運輸機進行操作.
假定方案選擇及操作不相互影響，試比較這兩種方案的操作成功的次數(shù)的期望值.
【變式4-3】.（2016高二·全國·競賽）“蛟龍?zhí)枴睆暮５字袔Щ氐哪撤N生物，甲乙兩個生物小組分別獨立開展對該生物離開恒溫箱的成活情況進行研究，每次試驗一個生物，甲組能使生物成活的概率為，乙組能使生物成活的概率為，假定試驗后生物成活，則稱該試驗成功，如果生物不成活，則稱該次試驗是失敗的.
(1)甲小組做了三次試驗，求至少兩次試驗成功的概率；
(2)如果乙小組成功了4次才停止試驗，求乙小組第四次成功前共有三次失敗，且恰有兩次連續(xù)失敗的概率；
(3)若甲乙兩小組各進行2次試驗，設(shè)試驗成功的總次數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
【考點題型五】均值和方差的性質(zhì)
①若與都是隨機變量，且，則由與之間分布列的關(guān)系可知.
②若與相互獨立，則.
③若與都是隨機變量，且，則由與之間分布列的關(guān)系可知.
【例1】（22-23高二下·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）隨機變量的分布列如下，則 ．
【例2】（2023高三上·全國·專題練習(xí)）已知隨機變量的分布列為
則 ； .
【例3】（22-23高二上·全國·課時練習(xí)）設(shè)隨機變量滿足為非零常數(shù))，若，則 ， ．
【變式5-1】.（22-23高二下·遼寧鞍山·階段練習(xí)）已知隨機變量X，Y滿足，且隨機變量X的分布列如下：
則隨機變量Y的方差等于 ；
【變式5-2】.（22-23高二下·江蘇·課時練習(xí)）已知隨機變量X的概率分布為
若，且，則 ．
【變式5-3】.（21-22高二·全國·課時練習(xí)）設(shè)離散型隨機變量的期望為，則 ．
【考點題型六】獨立重復(fù)試驗與二項分布模型
【例1】（23-24高三上·全國·開學(xué)考試）一次拋擲兩顆質(zhì)地均勻的正方體骰子，若出現(xiàn)的點數(shù)和是3的倍數(shù)，則這次拋擲得分為3，否則得分為．拋擲n次，記累計得分為，若，則 ．
【例2】（2024·江蘇·模擬預(yù)測）某學(xué)校有甲，乙兩個餐廳，經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，前一天選擇餐廳甲就餐第二天仍選擇餐廳甲就餐的概率為，第二天選擇餐廳乙就餐的概率為；前一天選擇餐廳乙就餐第二天仍選擇餐廳乙就餐的概率為，第二天選擇餐廳甲就餐的概率為．若學(xué)生第一天選擇餐廳甲就餐的概率是，選擇餐廳乙就餐的概率是，記某同學(xué)第天選擇餐廳甲就餐的概率為．
(1)記某班3位同學(xué)第二天選擇餐廳甲的人數(shù)為，求隨機變量的分布列及期望；
(2)學(xué)校為緩解就餐壓力，決定每天從各年級抽調(diào)21人到甲乙兩個餐廳參加志愿服務(wù)，請求出的通項公式，根據(jù)以上數(shù)據(jù)合理分配甲，乙兩個餐廳志愿者人數(shù)，并說明理由．
【例3】（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）甲?乙兩選手進行象棋比賽，設(shè)各局比賽的結(jié)果相互獨立，每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為.
(1)若采用5局3勝制比采用3局2勝制對甲更有利，求的取值范圍；
(2)若，已知甲乙進行了局比賽且甲勝了13局，試給出的估計值（表示局比賽中甲勝的局數(shù)，以使得最大的的值作為的估計值）.
【變式6-1】.（23-24高二上·江西南昌·期末）在一個布袋中裝有除顏色外完全相同的3個白球和m個黑球，從中隨機摸取1個球，有放回地摸取3次，記摸取白球的個數(shù)為X．若，則 ．
【變式6-2】.（2024·甘肅蘭州·一模）2024年高三數(shù)學(xué)適應(yīng)性考試中選擇題有單選和多選兩種題型組成．單選題每題四個選項，有且僅有一個選項正確，選對得5分，選錯得0分，多選題每題四個選項，有兩個或三個選項正確，全部選對得6分，部分選對得3分，有錯誤選擇或不選擇得0分．
(1)已知某同學(xué)對其中4道單選題完全沒有答題思路，只能隨機選擇一個選項作答，且每題的解答相互獨立，記該同學(xué)在這4道單選題中答對的題數(shù)為隨機變量X．
（i）求；
（ii）求使得取最大值時的整數(shù)；
(2)若該同學(xué)在解答最后一道多選題時，除確定B，D選項不能同時選擇之外沒有答題思路，只能隨機選擇若干選項作答．已知此題正確答案是兩選項與三選項的概率均為，求該同學(xué)在答題過程中使得分期望最大的答題方式，并寫出得分的最大期望．
【變式6-3】.（2024·江西贛州·一模）某人準備應(yīng)聘甲?乙兩家公司的高級工程師，兩家公司應(yīng)聘程序都是：應(yīng)聘者先進行三項專業(yè)技能測試，專業(yè)技能測試通過后進入面試.已知該應(yīng)聘者應(yīng)聘甲公司，每項專業(yè)技能測試通過的概率均為，該應(yīng)聘者應(yīng)聘乙公司，三項專業(yè)技能測試通過的概率依次為，，m，其中，技能測試是否通過相互獨立.
(1)若.求該應(yīng)聘者應(yīng)聘乙公司三項專業(yè)技能測試恰好通過兩項的概率；
(2)已知甲?乙兩家公司的招聘在同一時間進行，該應(yīng)聘者只能應(yīng)聘其中一家，應(yīng)聘者以專業(yè)技能測試通過項目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，若該應(yīng)聘者更有可能通過乙公司的技能測試，求m的取值范圍.
【考點題型七】超幾何分布模型
【例1】（2024·安徽合肥·一模）2023年9月26日，第十四屆中國（合肥）國際園林博覽會在合肥駱崗公園開幕.本屆園博會以“生態(tài)優(yōu)先，百姓園博”為主題，共設(shè)有5個省內(nèi)展園?26個省外展園和7個國際展園，開園面積近3.23平方公里.游客可通過乘坐觀光車?騎自行車和步行三種方式游園.
(1)若游客甲計劃在5個省內(nèi)展園和7個國際展園中隨機選擇2個展園游玩，記甲參觀省內(nèi)展園的數(shù)量為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(2)為更好地服務(wù)游客，主辦方隨機調(diào)查了500名首次游園且只選擇一種游園方式的游客，其選擇的游園方式和游園結(jié)果的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：
用頻率估計概率.若游客乙首次游園，選擇上述三種游園方式的一種，求游園結(jié)束時乙能參觀完所有展園的概率.
【例2】（2022·全國·模擬預(yù)測）很多新手拿到駕駛證后開車上路，如果不遵守交通規(guī)則，將會面臨扣分的處罰，為讓廣大新手了解駕駛證扣分新規(guī)定，某市交警部門結(jié)合機動車駕駛?cè)擞羞`法行為一次記12分、6分、3分、2分的新規(guī)定設(shè)置了一份試卷（滿分100分），發(fā)放給新手解答，從中隨機抽取了12名新手的成績，成績以莖葉圖表示如圖所示，并規(guī)定成績低于95分的為不合格，需要加強學(xué)習(xí)，成績不低于95分的為合格.
(1)將頻率視為概率，根據(jù)樣本估計總體的思想，若從該市新手中任選4人，求至多1人不合格的概率；
(2)若從這12名新手中任選3人，用表示成績合格的人數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
【例3】（23-24高二上·江西南昌·期末）“英才計劃”最早開始于2013年，由中國科協(xié)、教育部共同組織實施，到2023年已經(jīng)培養(yǎng)了6000多名具有創(chuàng)新潛質(zhì)的優(yōu)秀中學(xué)生，為選拔培養(yǎng)對象，某高校在暑假期間從中學(xué)里挑選優(yōu)秀學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)學(xué)科夏令營活動．
(1)若數(shù)學(xué)組的7名學(xué)員中恰有3人來自中學(xué)，從這7名學(xué)員中選取3人，表示選取的人中來自中學(xué)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望：
(2)在夏令營開幕式的晚會上，物理組舉行了一次學(xué)科知識競答活動，規(guī)則如下：兩人一組，每一輪競答中，每人分別答兩題，若小組答對題數(shù)不小于3，則取得本輪勝利．已知甲、乙兩位同學(xué)組成一組，甲、乙答對每道題的概率分別為，且，假設(shè)每輪答題結(jié)果互不影響，如果甲、乙兩位同學(xué)想在此次答題活動中取得6輪勝利，那么理論上至少要參加多少輪競賽？
【變式7-1】.（23-24高三上·安徽亳州·期末）小張參加某公司的招聘考試，題目按照難度不同分為A類題和B類題，小張需要通過“抽小球”的方式?jīng)Q定要答的題目難度類型：一個箱子里裝有質(zhì)地?大小一樣的5個球，3個標有字母A，另外2個標有字母B，小張從中任取3個小球，若取出的A球比B球多，則答A類題，否則答B(yǎng)類題.
(1)設(shè)小張抽到A球的個數(shù)為X，求X的分布列及.
(2)已知A類題里有4道論述題和1道計算題，B類題里有3道論述題和2道計算題，小張確定題目的難度類型后需要從相應(yīng)題目中任選一道題回答.
（i）求小張回答論述題的概率；
（ii）若已知小張回答的是論述題，求小張回答的是A類題的概率.
【變式7-2】.（23-24高三上·浙江紹興·期末）臨近新年，某水果店購入A，B，C三種水果，數(shù)量分別是36箱，27箱，18箱.現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取9箱，進行質(zhì)量檢查.
(1)應(yīng)從A，B，C三種水果各抽多少箱?
(2)若抽出的9箱水果中，有5箱質(zhì)量上乘，4箱質(zhì)量一般，現(xiàn)從這9箱水果中隨機抽出4箱送有關(guān)部門檢測.
①用X表示抽取的4箱中質(zhì)量一般的箱數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
②設(shè)A為事件“抽取的4箱水果中，既有質(zhì)量上乘的，也有質(zhì)量一般的水果”，求事件A發(fā)生的概率.
【變式7-3】.（21-22高三上·廣東廣州·期末）某地區(qū)共有200個村莊，根據(jù)扶貧政策的標準，劃分為貧困村與非貧困村.為了分析2018年度該地區(qū)的（國內(nèi)生產(chǎn)總值）（單位：萬元）情況，利用分層抽樣的方法，從中抽取一個容量為20的樣本，并繪成如圖所示的莖葉圖.
(1)（i）分別求樣本中非貧困村與貧困村的的平均值；
（ii）利用樣本平均值來估算該地區(qū)2018年度的的總值.
(2)若從樣本中的貧困村中隨機抽取4個村進行調(diào)研，設(shè)表示被調(diào)研的村中低于（i）中貧困村平均值的村的個數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
【考點題型八】正態(tài)分布模型
【例1】（2022高三·全國·專題練習(xí)）為準備2022年北京一張家口冬奧會，某冰上項目組織計劃招收一批9~14歲的青少年參加集訓(xùn)，以選拔運動員，共有10000名運動員報名參加測試，其測試成績（滿分100分）服從正態(tài)分布，成績?yōu)?0分及以上者可以進入集訓(xùn)隊，已知80分及以上的人數(shù)為228人，請你通過以上信息，推斷進入集訓(xùn)隊的人數(shù)為 ．附：，，．
【例2】（23-24高二上·江西·期末）已知隨機變量，若，則 .
【例3】（23-24高三下·山東·開學(xué)考試）某小區(qū)在2024年的元旦舉辦了聯(lián)歡會，現(xiàn)場來了1000位居民．聯(lián)歡會臨近結(jié)束時，物業(yè)公司從現(xiàn)場隨機抽取了20位幸運居民進入摸獎環(huán)節(jié)，這20位幸運居民的年齡用隨機變量X表示，且．
(1)請你估計現(xiàn)場年齡不低于60歲的人數(shù)（四舍五入取整數(shù)）；
(2)獎品分為一等獎和二等獎，已知每個人摸到一等獎的概率為40%，摸到二等獎的概率為60%，每個人摸獎相互獨立，設(shè)恰好有個人摸到一等獎的概率為，求當(dāng)取得最大值時的值．
附：若，則．
【例4】（2021·廣東·模擬預(yù)測）2020年國慶節(jié)期間，我國高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速公路免費政策”.某路橋公司為掌握國慶節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費站點記錄了3日上午9:20~10:40這一時間段內(nèi)通過的車輛數(shù)，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)這一時間段內(nèi)共有600輛車通過該收費站點，它們通過該收費站點的時刻的頻率分布直方圖如下圖所示，其中時間段9:20~9:40記作、9:40~10:00記作，10:00~10:20記作，10:20~10:40記作，例如：10點04分，記作時刻64.
(1)估計這600輛車在9:20~10:40時間內(nèi)通過該收費站點的時刻的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；
(2)為了對數(shù)據(jù)進行分析，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再從這10輛車隨機抽取4輛，設(shè)抽到的4輛車中，在9:20~10:00之間通過的車輛數(shù)為X，求X的分布列；
(3)根據(jù)大數(shù)據(jù)分析，車輛在每天通過該收費站點的時刻T服從正態(tài)分布，其中可用3日數(shù)據(jù)中的600輛車在9:20~10:40之間通過該收費站點的時刻的平均值近似代替，用樣本的方差近似代替（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）.假如4日全天共有1000輛車通過該收費站點，估計在9:46~10:40之間通過的車輛數(shù)（結(jié)果保留到整數(shù)）.
附：若隨機變量T服從正態(tài)分布，則，，.
【變式8-1】.（2024·遼寧·一模）小明所在的公司上午9：00上班，小明上班通常選擇自駕、公交或地鐵這三種方式.若小明選擇自駕，則從家里到達公司所用的時間(單位：分鐘)服從正態(tài)分布若小明選擇地鐵，則從家里到達公司所用的時間(單位：分鐘)服從正態(tài)分布；若小明選擇公交，則從家里到達公司所用的時間(單位：分鐘)服從正態(tài)分布.若小明上午8：12從家里出發(fā)，則選擇 上班遲到的可能性最小.(填“自駕”“公交”或“地鐵”)
參考數(shù)據(jù)：若則，，
【變式8-2】.（23-24高三上·安徽亳州·期末）已知隨機變量，若，則的取值范圍是 .
【變式8-3】.（23-24高三下·廣東·階段練習(xí)）第五代移動通信技術(shù)（5th Generatin Mbile Cmmunicatin Technlgy，簡稱5G）是具有高速率、低時延和大連接特點的新一代寬帶移動通信技術(shù)，5G通訊設(shè)施是實現(xiàn)人機物互聯(lián)的網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)設(shè)施。2023年5月17日，中國電信、中國移動、中國聯(lián)通、中國廣電宣布正式啟動全球首個5G異網(wǎng)漫游試商用．此前，中國移動、中國聯(lián)通和中國電信三大運營商分別公布了其5G套餐價格．下面是中國移動公布的5G套餐價格：
中國移動公司某營業(yè)廳隨機統(tǒng)計了100名近4個月使用5G套餐客戶實際月使用流量情況，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．（假設(shè)每位客戶每月使用流量一樣，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）．
(1)求這100名5G套餐客戶月使用流量的平均值；
(2)由頻率分布直方圖可以認為，中國移動5G套餐客戶月使用流量近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，經(jīng)計算得，若從中國移動所有5G套餐客戶中隨機抽取1000人，記為這1000人中月使用流量小于95GB的人數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望；
(3)針對5G套餐客戶，中國移動根據(jù)客戶訂購的套餐，將客戶分為以下四種：
假設(shè)月使用流量在GB的客戶有一半人訂購30GB套餐流量，另一半人訂購60GB套餐流量，月使用流量在GB的客戶都訂購100GB套餐流量，月使用流量在GB的客戶都訂購150GB套餐流量，月使用流量在GB的客戶都訂購300GB套餐流量．
中國移動根據(jù)以上統(tǒng)計的100名客戶情況，準備今年年底針對這些客戶舉辦返利活動，有以下兩種方案：
方案一：按分層抽樣在銀卡客戶、金卡客戶、鉆石卡客戶中共抽取24人，對這些客戶免收一個月套餐費（超出套餐流量的部分也免費，客戶不改變自己已經(jīng)訂購的套餐且每月使用流量不變）；
方案二：通過參與摸球游戲直接反現(xiàn)金給客戶，規(guī)則如下：每次游戲客戶從一個裝有1個紅球、3個白球（球的大小、形狀一樣）的不透明箱子中，有放回的摸3次球，每次摸一個球；若摸到紅球的次數(shù)為1，則可得50元現(xiàn)金，若摸到紅球的次數(shù)為2，則可得100元現(xiàn)金，摸到紅球的次數(shù)為3，則可得150元現(xiàn)金，若沒有摸到紅球，則不返現(xiàn)；每位普卡客戶可參與1次游戲，每位銀卡客戶可參與2次游戲，每位金卡客戶可參與3次游戲，每位鉆石卡客戶可參與4次游戲（每次摸球的結(jié)果相互獨立）．
試問，中國移動應(yīng)選擇哪種方案，投資更少？
附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，．
【變式8-4】.（23-24高三下·山東濟寧·開學(xué)考試）2021年是中國共產(chǎn)黨建黨100周年，為引導(dǎo)和帶動青少年重溫中國共產(chǎn)黨的百年光輝歷程，某市組織全市中學(xué)生參加中國共產(chǎn)黨百年歷史知識競賽，現(xiàn)從中隨機抽取了100名學(xué)生的成績組成樣本，并將得分分成以下6組：，統(tǒng)計結(jié)果如圖所示．
(1)試估計這100名學(xué)生得分的中位數(shù)（保留小數(shù)點后兩位有效數(shù)字）；
(2)從樣本中得分不低于70分的學(xué)生中，按比例用分層隨機抽樣的方法選取11人進行座談，若從座談名單中隨機抽取3人，記其得分在的人數(shù)為，試求的分布列和均值；
(3)用樣本估計總體，根據(jù)頻率分布直方圖，可以認為參加知識競賽的學(xué)生的得分近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，經(jīng)計算．現(xiàn)從所有參加知識競賽的學(xué)生中隨機抽取2000人，若這2000名學(xué)生的得分相互獨立，試問得分高于90分的人數(shù)最有可能是多少？
參考數(shù)據(jù)：若隨機變量，則，．
0
1
2
P
X
1
2
3
4
5
P
0.1
0.3
0.4
0.1
0.1
X
0
1
2
P
X
－2
－1
0
1
2
P
m
游園方式
游園結(jié)果
觀光車
自行車
步行
參觀完所有展園
80
80
40
未參觀完所有展園
20
120
160
月費（元人民幣）
128
198
298
398
598
流量（GB）
30
60
100
150
300
語音通話（分鐘）
200
500
800
1200
3000
備注
超出套餐流量5元/GB，滿15元后按照3元/GB計費
訂購套餐流量（GB）
30
60
100
150
300
對應(yīng)客戶名稱
普卡客戶
銀卡客戶
金卡客戶
鉆石卡客戶

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