新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)歸納與演練專題3-10 導(dǎo)數(shù)與數(shù)列，導(dǎo)數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)（含解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc19733" 專題3-10導(dǎo)數(shù)與數(shù)列，導(dǎo)數(shù)與概率統(tǒng)計(jì) PAGEREF _Tc19733 \h 1
\l "_Tc14568" PAGEREF _Tc14568 \h 1
\l "_Tc12462" 題型一：利用放縮通項(xiàng)公式解決數(shù)列求和中的不等問(wèn)題 PAGEREF _Tc12462 \h 1
\l "_Tc20104" 題型二：導(dǎo)數(shù)與概率統(tǒng)計(jì) PAGEREF _Tc20104 \h 10
\l "_Tc164" PAGEREF _Tc164 \h 22
題型一：利用放縮通項(xiàng)公式解決數(shù)列求和中的不等問(wèn)題
【典例分析】
例題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求證： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
（1）
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
下面證明： SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
例題2．（2022·福建·三明一中高三階段練習(xí)）已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ．
(1)證明：函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象與直線 SKIPIF 1 < 0 只有一個(gè)公共點(diǎn)．
(2)證明：對(duì)任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
（1）
要證函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象與直線 SKIPIF 1 < 0 只有一個(gè)交點(diǎn)，只需證方程 SKIPIF 1 < 0 只有一個(gè)根，
即證 SKIPIF 1 < 0 只有一個(gè)根，即 SKIPIF 1 < 0 只有一個(gè)根．
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ；當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 恒成立，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 方程 SKIPIF 1 < 0 只有一個(gè)根，
即函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象與直線 SKIPIF 1 < 0 只有一個(gè)公共點(diǎn)．
（2）
由（1）知： SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 恒成立（在 SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立）．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
【提分秘籍】
常見(jiàn)的放縮不等式如下：
① SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào)；
② SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào)；
③當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào)；
④當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào)；
⑤當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0
⑥ SKIPIF 1 < 0 當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào)；
【變式演練】
1．（2022·廣西·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ．
(1)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 恒成立，求實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍；
(2)設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，求證： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)證明見(jiàn)解析
(1)
SKIPIF 1 < 0 的定義域?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 遞增；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 遞減，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí),因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增,
所以 SKIPIF 1 < 0 恒成立,
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí),因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增,
在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減.
又 SKIPIF 1 < 0 ,與 SKIPIF 1 < 0 恒成立相矛盾.
綜上, 實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 .
(2)
由（1）知當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
2．（2022·福建省龍巖第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 處取得極值
(1)求函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的單調(diào)性；
(2)證明：對(duì)于任意的正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 都成立.
【答案】(1)增區(qū)間是 SKIPIF 1 < 0 ，減區(qū)間是 SKIPIF 1 < 0
(2)證明見(jiàn)解析
(1)
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的極值點(diǎn)
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 的增區(qū)間是 SKIPIF 1 < 0 ，減區(qū)間是 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)
由（1）知當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0
3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝ln x－ax＋1在x＝2處的切線斜率為－ SKIPIF 1 < 0 .
(1)求實(shí)數(shù)a的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)設(shè)g(x)＝ SKIPIF 1 < 0 ，對(duì)?x1 SKIPIF 1 < 0 (0，＋∞)，?x2 SKIPIF 1 < 0 (－∞，0)使得f(x1)≤g(x2)成立，求正實(shí)數(shù)k的取值范圍；
(3)證明： SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＋…＋ SKIPIF 1 < 0 (n∈N*，n≥2).
【答案】(1)a＝1，增區(qū)間為 SKIPIF 1 < 0 ，單調(diào)遞減區(qū)間為 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3)證明見(jiàn)解析
(1)
由已知得f′(x)＝ SKIPIF 1 < 0 －a，∴f′(2)＝ SKIPIF 1 < 0 －a＝－ SKIPIF 1 < 0 ，解得a＝1.
于是f′(x)＝ SKIPIF 1 < 0 －1＝ SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)x SKIPIF 1 < 0 (0，1)時(shí)，f′(x)>0，f(x)為增函數(shù)，當(dāng)x SKIPIF 1 < 0 (1，＋∞)時(shí)，f′(x)

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