（1）本節(jié)將要研究哪類問題？
（2）本節(jié)研究的起點(diǎn)是什么？目標(biāo)是什么？
問題1　閱讀課本第104~107，回答下列問題：
問題2　試回答：在平面直角坐標(biāo)系中，（－2，3）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為_______，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為________；點(diǎn)（x，y）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為_________，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為__________．
填寫下表，觀察指定函數(shù)的自變量x互為相反數(shù)時(shí)，函數(shù)值之間具有什么關(guān)系，并分別說出函數(shù)圖像應(yīng)具有的特征．
定義：一般地，設(shè)函數(shù)y＝f（x）的定義域?yàn)镈，如果對(duì)D內(nèi)的任意一個(gè)x，都有－x∈D，且f（－x）＝f（x），則稱y＝f（x）為偶函數(shù)．
問題2　如果y＝f（x）是偶函數(shù)，其圖像具有什么特征呢？
從圖像上可以看出關(guān)于y軸對(duì)稱，那么一般的偶函數(shù)的圖像是否都具有這一特點(diǎn)呢？
我們知道，點(diǎn)P（x，f（x））與Q（－x， f（－x））都是函數(shù)y＝f（x）圖像上的 點(diǎn)，按照偶函數(shù)的定義，點(diǎn)Q又可以寫 成Q（－x，f（x）），因此點(diǎn)P和點(diǎn)Q關(guān)于y軸對(duì)稱．
結(jié)論：偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱（即偶函數(shù)圖像關(guān)于直線 x＝0對(duì) 稱）；反之，結(jié)論也成立，即圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)一定是偶函數(shù)．
【嘗試與發(fā)現(xiàn)】按照類似的方式得到奇函數(shù)的定義，以及奇函數(shù)圖像的特征．
一般地，設(shè)函數(shù)y＝f（x）的定義域?yàn)镈，如果對(duì)D內(nèi)的任意一個(gè)x，都有－x∈D，且f（－x）＝－f（x），則稱y＝f（x）為奇函數(shù)．奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
問題3　你能找出幾個(gè)熟悉的函數(shù)是奇函數(shù)嗎？
知識(shí)點(diǎn)1 函數(shù)的奇偶性
如果一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)或是奇函數(shù)，則稱這個(gè)函數(shù)具有奇偶性．函數(shù)的奇偶性體現(xiàn)的是函數(shù)的整體性質(zhì)．
例1　判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性：
（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，所以x∈R時(shí)，－x∈R．
f（－x）＝（－x）＋（－x）3＋（－x）5 　　　 ＝－（x＋x3＋x5）＝－f（x），
所以函數(shù)f（x）＝x＋x3＋x5是奇函數(shù)．
（1）f（x）＝x＋x3＋x5；
（3）f（x）＝x＋1；
（2）f（x）＝x2＋1；
（4）f（x）＝x2，x∈[－1，3]
（2）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，所以x∈R時(shí)，－x∈R．
f（－x）＝（－x）2＋1＝x2＋1＝f（x），
所以函數(shù)f（x）＝x2＋1是偶函數(shù)
（3）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，所以x∈R時(shí)，－x∈R
又因?yàn)閒（－1）＝0，f（1）＝2，所以
f（－1）≠－f（1）且f（－1）≠f（1），
因此函數(shù)f（x）＝x＋1既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)（也可說成f（x）是非奇非偶函數(shù)）．
（4）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)閇－1，3]，
但－3?[－1，3]，
所以函數(shù)f（x）＝x2，x∈[－1，3]是非奇非偶函數(shù)．
例（1）（4）說明，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，如果存在x0∈D，但－x0?D，即函數(shù)f（x）的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．
判斷一個(gè)函數(shù)的奇偶性，第一步看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再看f（－x）與f（x）的關(guān)系：對(duì)定義域內(nèi)任一x都有f（－x）＝f（x），則f（x）是偶函數(shù)；對(duì)定義域內(nèi)任一x都有f（－x）＝－f（x），則f（x）是奇函數(shù)．若存在一個(gè)x0∈D，有 －x0∈D，但f（－x0）≠－f（x0）且f（－x0）≠f（x0），則f（x）是非奇非偶函數(shù)．
例2　判斷下列函數(shù)的奇偶性：
（1）　　　　　　 （2）　　　　　　 （3）
（1）因?yàn)閒（x）有意義，
所以f（x）為非奇非偶函數(shù)．
所以f（x）的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
所以f（x）是奇函數(shù)．
解得：－2≤x＜0，或0＜x≤2，
所以f（x）的定義域?yàn)閇－2，0)∪(0，2]，
所以f（x）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．
又f（－x）＝0＝f（x）且f（－x）＝0＝－f（x），
所以f（x）的定義域?yàn)閧－1，1} ，
判斷函數(shù)的奇偶性要注意兩點(diǎn)：
1．定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的前提．
2．判斷f（x）與f（－x）是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式（ f（－x）＋ f（x）＝0 （奇函數(shù)）或（ f（－x）－f（x）＝0偶函數(shù)））是否成立．
例3　已知奇函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，且0∈D，求證：f（0）＝0．
所以f（－0）＝－f（0），
即f（0）＝－f（0），
因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，
奇函數(shù)在0處如果有定義，則0處的函數(shù)值為0．
例4　已知函數(shù)f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是定義域?yàn)閇a－1，2a]的偶函數(shù)，試求a＋b的值．
又由f（x）＝f（－x）可得：b＝0，
由偶函數(shù)定義可知（a－1，2a）＝0，
問題4　回顧本節(jié)課，你有什么收獲？
（1）什么是偶函數(shù)？偶函數(shù)的圖像有什么特征？
（2）什么是奇函數(shù)？奇函數(shù)的圖像有什么特征？
（3）按照函數(shù)是否具有奇偶性，函數(shù)可分為哪幾類？
作業(yè)：教科書P109~120練習(xí)B 1、2、3

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3.1.3 函數(shù)的奇偶性

版本： 人教B版 (2019)

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