學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解函數(shù)奇偶性的定義.2.掌握函數(shù)奇偶性的判斷和證明方法.3.會應(yīng)用奇、偶函數(shù)圖像的對稱性解決簡單問題．
導(dǎo)語
在我們的日常生活中，可以觀察到許多對稱現(xiàn)象，如圖，六角形的雪花晶體、建筑物和它在水中的倒影…
而對稱美在數(shù)學(xué)中更是體現(xiàn)的淋漓盡致，今天我們來探究數(shù)學(xué)中的對稱美．
一、函數(shù)奇偶性的判斷
問題1 觀察下列函數(shù)圖像，你能發(fā)現(xiàn)這兩個函數(shù)圖像有什么共同特征嗎？
提示 這兩個函數(shù)圖像都關(guān)于y軸對稱．
問題2 如何利用符號語言精確地描述“函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱”呢？不妨取自變量的一些特殊值，觀察下表相應(yīng)函數(shù)值的情況．
提示 可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)自變量取一對相反數(shù)時，相應(yīng)的兩個函數(shù)值相等．
問題3 觀察函數(shù)f(x)＝x和g(x)＝eq \f(1,x)的圖像，你能發(fā)現(xiàn)這兩個函數(shù)圖像有什么共同特征嗎？
提示 可以發(fā)現(xiàn)，兩個函數(shù)的圖像都關(guān)于原點成中心對稱．
知識梳理
函數(shù)奇偶性的概念及圖像特點
有關(guān)結(jié)論
注意點：
(1)函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；
(2)判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)先判斷定義域是否關(guān)于原點對稱；
(3)偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱；
(4)若奇函數(shù)在原點處有意義，則必有f(0)＝0；
(5)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)有且只有一類，即f(x)＝0，x∈D，D是關(guān)于原點對稱的實數(shù)集．
例1 判斷下列函數(shù)的奇偶性：
(1)f(x)＝2－|x|；
(2)f(x)＝eq \r(x2－1)＋ eq \r(1－x2)；
(3)f(x)＝eq \f(x,x－1)；
(4)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x>0，,－x＋1，x0時，－x0，,x2－x，x0時，－x0.
解 (1)先描出(1,1)，(2,0)關(guān)于原點的對稱點(－1，－1)，(－2,0)，連線可得f(x)的圖像如圖．
(2)xf(x)>0即圖像上橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)同號．結(jié)合圖像可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．
延伸探究 把本例中的“奇函數(shù)”改為“偶函數(shù)”，重做該題．
解 (1)f(x)的圖像如圖所示．
(2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．
反思感悟 可以用奇(偶)函數(shù)圖像關(guān)于原點(y軸)對稱這一特性去畫圖、求值、解不等式等．
跟蹤訓(xùn)練2 設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域為[－5,5]，當(dāng)x∈[0,5]時，函數(shù)y＝f(x)的圖像如圖所示，則使函數(shù)值y

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第一冊電子課本

3.1.3 函數(shù)的奇偶性

版本： 人教B版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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