第三章 函數(shù)3.1.3 函數(shù)的奇偶性教學設計教材分析：通過函數(shù)奇偶性概念的形成過程，培養(yǎng)學生觀察、歸納、抽象的能力；學會運用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)，滲透數(shù)形結合的數(shù)學思想；借助計算機觀察圖象、抽象概括、歸納數(shù)學問題，體驗數(shù)與形結合的數(shù)學思想。教學目標：1.結合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的概念和幾何意義；2.能用代數(shù)運算和函數(shù)圖象揭示函數(shù)的奇偶性；3.能判斷具體函數(shù)的奇偶性，提升數(shù)學運算和邏輯推理等核心素養(yǎng)。【教學重點】1.結合具體函數(shù)，了解奇偶性的概念和幾何意義2 .掌握判斷函數(shù)奇偶性的方法與步驟。3.學會利用奇偶性應用，證明函數(shù)關于某點，某直線對稱.【教學難點】1.判斷函數(shù)的奇偶性，利用函數(shù)的奇偶性特征解決問題；2.函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的綜合應用.課前準備提問學生：源于生活，那么我們現(xiàn)在在學習的函數(shù)圖象，是否也會具有對稱的特性呢？是否也體現(xiàn)了圖象對稱的美感呢？教學過程一、函數(shù)的奇偶性初中時我們學習過有關軸對稱和中心對稱的知識，而且已經(jīng)知道，在平面直角坐標系中，點（x，y）關于y軸的對稱點為（一x，y），關于原點的對稱點為（一x，-y）.例如，（一2，3）關于y軸的對稱點為（2，3），關于原點的對稱點為（2，-3）【嘗試與發(fā)現(xiàn)】    不難發(fā)現(xiàn)，上述兩個函數(shù)，當自變量取互為相反數(shù)的兩個組x相一x時，對應的函數(shù)值相等，即f(-x)=(-x)2=x2=f(x)，g(x)=    =    =g(x)一般地，設函數(shù)y=f（x）的定義域為D，如果對D內(nèi)的任意一個x，都有-x∈D，且f（-x）=f（x），則稱y=f（x）為偶函數(shù)。如果y=f（x）是偶函數(shù)，其圖像具有什么特征呢？我們知道，點P（x，f（x））與Q（-x，f（-x））都是函數(shù)y=f（x）圖像上的點，按照偶函數(shù)的定義，點Q又可以寫成Q（-x，f（x）），因此點P和點Q關于y軸對稱，所以偶函數(shù)的圖像關于y軸對稱；反之，結論也成立，即圖像關于y軸對稱的函數(shù)一定是偶函數(shù)。如下圖所示是嘗試與發(fā)現(xiàn)中兩個函數(shù)的圖像.    【嘗試與發(fā)現(xiàn)】     奇函數(shù)的圖像特征也可按照下述方式得到：點P（x，f（x））與Q（一x，f（-x））都是函數(shù)y=f（x）圖像上的點，如果y=f（x）是奇函數(shù)，則點Q又可以寫成Q（一x，一f（x）），因此點P和點Q關于原點對稱，所以奇函數(shù)的圖像關于原點對稱；反之，結論也成立，即圖像關于原點對稱的函數(shù)一定是奇函數(shù)。如下圖所示是奇函數(shù)f（x）=x3和g（x）=  的圖像.    如果一個函數(shù)是偶函數(shù)或是奇函數(shù)，則稱這個函數(shù)具有奇偶性.可以看出，當n是正整數(shù)時，函數(shù)f（x）=x2n是偶函數(shù)，函數(shù)g（x）=x2n-1是奇函數(shù)【典型例題】例1 例判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性：（1）f（x）=x+x3+x5；（2）f（x）=x2+1；（3）f（x）=x+1；    （4）f（x）=x2，x∈[-1，3]解（1）因為函數(shù)的定義域為R，所以x∈R時，一x∈R.又因為f（-x）=（-x）+（-x）3+（-x）5=-（x+x3+x5）=-f（x），所以函數(shù)f（x）=x+x3+x5是奇函數(shù)。（2）因為函數(shù)的定義域為R，所以x∈R時，一x∈R.又因為f（-x）=（-x）2+1=x2+1=f（x），所以函數(shù)f（x）=x2+1是偶函數(shù)（3）因為函數(shù)的定義域為R，所以x∈R時，一x∈R又因為f（-1）=0，f（1）=2，所以f（-1）≠-f（1）且f（-1）≠f（1），因此函數(shù)f（x）=x+1既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)（也可說成f（x）是非奇非偶函數(shù)）。（4）因為函數(shù)的定義域為[一1，3]，而3∈[-1，3]，但一3?[一1，3]，所以函數(shù)f（x）=x2，x∈[-1，3]是非奇非偶函數(shù)。例（1）（4）說明，設函數(shù)f（x）的定義域為D，如果存在x0∈D，但一x0?D，即函數(shù)f（x）的定義域不關于原點對稱，則f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).例2已知奇函數(shù)f（x）的定義域為D，且0∈D，求證：f（0）=0.證明     因為f（x）是奇函數(shù)，所以f（-0）=-f（0），即f（0）=-f（0），所以2f（0）=0，因此f（0）=0.二、函數(shù)奇偶性的應用因為函數(shù)的奇偶性描述了函數(shù)圖像具有的對稱性，所以利用函數(shù)的奇偶性能簡化函數(shù)性質(zhì)的研究。如果知道一個函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)，那么其定義域能分成關于原點對稱的兩部分，得出函數(shù)在其中一部分上的性質(zhì)和圖像，就可得出這個函數(shù)在另一部分上的性質(zhì)和圖像【嘗試與發(fā)現(xiàn)】   顯然，如果f（x）是偶函數(shù)，則f（-5）=f（5）= -3；如果f（x）是奇函數(shù)，則f（-5）=-f（5）=3.【典型例題】例3  已知函數(shù)f（x）滿足f（5）<f（3），分別在下列各條件下比較f（-5）與f（-3）的大?。?/span>（1）f（x）是偶函數(shù)；（2）f（x）是奇函數(shù)。解（1）因為f（x）是偶函數(shù)，所以f（-x）=f（x），因此f（-5）=f（5），f（-3）=f（3），從而由條件可知f（-5）<f（-3）.（2）因為f（x）是奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x），因此f（-5）=-f（5），f（-3）=-f（3），又由條件可知-f（5）>-f（3），從而f（-5）>f（-3）.例3說明，當f（x）具有奇偶性時，函數(shù)的單調(diào)性會有一定規(guī)律.【嘗試與發(fā)現(xiàn)】        不難看出，如果y=f（x）是偶函數(shù)，那么其在x>0與x<0時的單調(diào)性相反；如果y=f（x）是奇函數(shù)，那么其在x>0與x<0時的單調(diào)性相同。 例4   研究函數(shù)       的性質(zhì)，并作出函數(shù)圖像.解  要使函數(shù)表達式意義，需有x≠0，因此函數(shù)的定義域為D={x∈R|x≠0}，從而可知函數(shù)的圖像有左右兩部分.     設          則對任意x∈D，都有一x∈D，而且  所以函數(shù)       是偶函數(shù)，函數(shù)的兩部分圖像關于y軸對稱. 下面研究函數(shù)在區(qū)間（0，+oo）上的性質(zhì)及圖像.因為x1，x2∈（0，+oo）時，有      所以       在（0，+oo）上是減函數(shù) 又因為x∈（0，+oo）時，       >0，所以函數(shù)圖像在右邊的部分一定在第一象限。列出部分函數(shù)值如下表所示，然后可以描點作圖。 x 1 2 3 4 1再根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)，可以得出函數(shù)的圖像如下圖所示，而且函數(shù)的定義域為{x∈R|x≠0}，函數(shù)是偶函數(shù)，在（一∞，0）上單調(diào)遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，函數(shù)的值域是（0，+co）.      利用研究奇偶函數(shù)的類似方法還可以研究更一般的函數(shù)圖像的對稱性.【典型例題】例5  求證：二次函數(shù)f（x）=x2+4x+6的圖像關于x=-2對稱.【嘗試與發(fā)現(xiàn)】        證明    任取h∈R，因為f（-2+h）=（-2+h）2+4（-2+h）+6=h2+2，f（-2-h）=（-2-h）2+4（-2-h）+6=h2+2，所以f（-2+h）=f（-2-h），這就說明函數(shù)的圖像關于x=-2對稱。由例5可知，要證明函數(shù)圖像關于垂直于x軸的直線對稱并不難，但怎樣才能找到對應的對稱軸呢？以例5所示的二次函數(shù)為例，注意到f（x）=x2+4x+6=（x+2）2+2，由此就容易得到f（-2+h）=f（-2-h），從而可知f（x）圖像的對稱軸為x=-2.【探索與研究】    教學反思在本節(jié)課的教學中，學生可能遇到的問題是奇偶性概念的數(shù)學化提煉過程。從學生的認知基礎看，學生在初中已經(jīng)學習了軸對稱圖形和中心對稱圖形，并且有了一定數(shù)量的簡單函數(shù)的儲備。同時，剛剛學習了函數(shù)單調(diào)性，積累了研究函數(shù)的基本方法與初步經(jīng)驗。從學生的思維發(fā)展看，高一學生思維能力正在由形象經(jīng)驗型向抽象理論型轉變，能夠用假設、推理來思考和解決問題。但是，學生看待問題還是靜止的、片面的，抽象概括能力比較薄弱，這對建構奇偶性的概念造成了一定的困難。所以教學難點就是判斷函數(shù)的奇偶性。  

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3.1.3 函數(shù)的奇偶性

版本： 人教B版 (2019)

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