第21節(jié) 雙變量問題之極差計算講義——高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)從入門到精通-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

設(shè)、是區(qū)間D上的任意兩個實數(shù)，不等式（其中k為給定常數(shù)）恒成立，求解析式中參數(shù)的取值范圍.這類問題一般轉(zhuǎn)化為來處理，此方法稱為極差計算，解題的關(guān)鍵是求出函數(shù)在區(qū)間D上的最大最小值.
典型例題
【例題】（2015·新課標Ⅱ卷）設(shè)函數(shù).
（1）證明：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
（2）若對于任意，都有，求m的取值范圍.
【解析】（1）解法1：由題意，，，
所以在R上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
解法2：由題意，，
（i）若，則當(dāng)時，，所以，又，所以，
當(dāng)時，，所以，又，所以，
從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
（ii）若，則當(dāng)時，，所以，又，所以，
當(dāng)時，，所以，又，所以，
從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
綜上所述，對任意的，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）解法1：，等價于當(dāng)時，，
由（1）可得當(dāng)時，，，而，設(shè)，
則，所以在R上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，故當(dāng)時，，所以應(yīng)有，令，則，因為，所以在上單調(diào)遞減，結(jié)合知當(dāng)且僅當(dāng)時，，
當(dāng)時，，所以應(yīng)有，
令，則，因為，所以在上單調(diào)遞增，結(jié)合知當(dāng)且僅當(dāng)時，
綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為
解法2：，等價于當(dāng)時，，
由（1）可得，，
所以①，令，則不等式組①即為，因為，所以，，
從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，
若，則且，符合題意；
若，則，不合題意；
若，則，所以，不合題意；
強化訓(xùn)練
l.已知函數(shù)，其中且，若對任意的,，不等式恒成立，則a的取值范圍為______.
【解析】由題意，，故，
，
所以當(dāng)時，，從而在上單調(diào)遞增，
故，，
因為對任意的,恒成立，所以，故，從而，解得：，故a的取值范圍為.
【答案】
2．已知函數(shù)
（1）求的極值；
（2）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.
【解析】（1）由題意，，所以，，從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故有極大值，無極小值.
（2）對任意的，恒成立等價于當(dāng)時，，當(dāng)時，由（1）知在上單調(diào)遞增，所以，，從而，解得：，結(jié)合知；
當(dāng)時，由（1）知在上單調(diào)遞減，所以，，從而，解得：，結(jié)合知；
當(dāng)時，由（1）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，，
要使恒成立，只需，即，
不等式顯然對任意的成立，令，則，所以在上單調(diào)遞減，結(jié)合知恒成立，
從而不等式也恒成立，
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為.
3.已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)，時，對任意的，有成立，求實數(shù)b的取值范圍.
【解析】（1）當(dāng)時，，所以，
當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）當(dāng)時，，所以，故，
當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，所以，
從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，，，
，恒成立等價于當(dāng)時，，
所以，故，從而
令，則，因為，所以，，從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，由知，此時，故，
綜上所述，b的取值范圍為.