第22節(jié) 雙變量問題之換元法與主元法講義——高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)從入門到精通-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．換元法：將要證明的不等式或目標(biāo)代數(shù)式通過變形成關(guān)于的整體結(jié)構(gòu)，通過將換元成t把問題化歸成單變量問題來處理，這一方法也稱為“齊次換元”.
2.主元法：要證明的不等式或目標(biāo)代數(shù)式中含有和兩個變量，將其中一個變量看成主元，另一個變量看成次元，將主元換成x，構(gòu)造函數(shù)研究問題.
典型例題
【例1】已知函數(shù).
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）設(shè)，證明：.
解：（1）由題意，，所以，，故所求切線方程為.
（2）證法1：要證，
只需證，
即證，也即證，
故只需證，即證，
令，由知，所以只需證對任意的成立，
設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，
又，所以恒成立，故對任意的成立，
從而
證法2：要證，
只需證，
即證，
設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞減，結(jié)合知恒成立，
因為，所以，
故.
【例2】已知函數(shù).
（1）若存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍；
（2）若，是的兩個不同的極值點(diǎn)，證明：.
【解析】（1）由題意，，，若在上單調(diào)遞減，則恒成立，即，所以，設(shè)，則，
所以，，從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，因為恒成立，所以，故當(dāng)在上單調(diào)遞減時，，因為存在單調(diào)遞增區(qū)間，所以，故a的取值范圍為.
（2）由題意，，是的兩個零點(diǎn)，所以
由3×①+②可得：，
整理得：③，
由①－②可得：，所以，
代入式③得：，所以④，
設(shè)，則且，且式④即為，
所以要證，只需證，即證⑤，
設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞增，
又，所以當(dāng)時，，即，所以，故，
當(dāng)時，，即，所以，故，
所以不等式⑤對任意的且都成立，故成立.
【例3】已知函數(shù)
（1）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時，證明：.
【解析】（1）當(dāng)時，，
易求得，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，，故；當(dāng)時，，故；從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）證法1：由題意，，
設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，
因為，所以，又，所以在上有唯一的零點(diǎn)，且當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，所以；
從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故①，因為，所以，代入①整理得：，注意到函數(shù)在上為減函數(shù)，結(jié)合可得，設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞減，
又，所以，從而，
因為，所以，結(jié)合是的最大值可得.
證法2：由題意，要證，只需證，
即證，也即證①，
將a看成主元，x看成常數(shù)，設(shè)，則，
當(dāng)時，，所以，，
從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故.
設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，又，
所以恒成立，即，
因為，所以，即，所以不等式①成立；當(dāng)時，，所以恒成立，故在上單調(diào)遞減，從而，
由（1）可得當(dāng)時，，
又，所以，即，所以不等式①成立；
綜上所述，當(dāng)時，成立.
【反思】本題第2問證法1直接對求導(dǎo)研究，求得的最大值，利用虛設(shè)零點(diǎn)，零點(diǎn)代換的方法去化簡，再通過放縮證得；證法2則先將a看成主元，x看成次元，對x進(jìn)行分類討論證得不等式.
強(qiáng)化訓(xùn)練
1．設(shè)a和b是任意兩個不相等的正數(shù)，證明：.
證明：不妨設(shè)，先證，只需證，即證，
令，則只需證對任意的成立，
設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，結(jié)合可得，即，所以成立；
再證，只需證，即證，也即證，令，則只需證對任意的成立，
令，則，所以在上單調(diào)遞減，
結(jié)合可得恒成立，即，所以，
綜上所述，不等式成立.
2．已知函數(shù)，
（1）若直線與的圖象相切，求實(shí)數(shù)k的值；
（2）設(shè)，比較與的大小，并說明理由.
【解析】（1）設(shè)切點(diǎn)為，因為，所以，解得：.
（2）解法1（換元法）：，證明如下：
要證，只需證，即證，
也即證，故只需證①,
令，則，且不等式①即為，整理得：②，
令，，則，，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，從而在上單調(diào)遞增，因為，所以，故式②成立，所以
解法2（主元法）：，證明如下：
要證，只需證
因為，所以，故只需證，
即證，令，，則，，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，
從而在上也單調(diào)遞增，易求得，所以恒成立，
因為，所以，故
3．已知函數(shù)，其中.
（1）當(dāng)時，求的極值；
（2）當(dāng)，時，證明：.
【解析】（1）由題意，，，
所以當(dāng)時，，，
由解得：或，由解得：，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故有極大值，極小值.
（2）由題意，，，
要證，只需證，
而，
，
所以只需證，即證①，下面給出兩種證明不等式①的方法：
證法1：要證，只需證，
即證，令，
則，所以在上單調(diào)遞增，顯然，所以當(dāng)時，，
因為，所以，即，
故.
證法2：要證，只需證，即證，
令，則，所以只需證當(dāng)時，，即證，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，又，所以成立，即，
故
4．設(shè)函數(shù)，其中.
（1）當(dāng)時，證明：有且僅有一個零點(diǎn)；
（2）在函數(shù)的圖象上是否存在不同的兩點(diǎn)，，使得線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與直線的斜率k之間滿足?若存在，求出；若不存在，說明理由.
【解析】（1）當(dāng)時，，，
所以，
從而在上單調(diào)遞增，又，所以有且僅有一個零點(diǎn).
（2）假設(shè)存在A、B兩點(diǎn)滿足，不妨設(shè)，
由題意，
，易求得，
所以，
從而等價于，
整理得：，即①，
令，，則式①即為，也即②，
令，則式②即為，也即③，
令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以方程③的解為，此時，所以，從而，故，矛盾，所以函數(shù)的圖象上不存在不同的A、B兩點(diǎn)，使得.