考點分類講解
考點一：統(tǒng)計圖表、數(shù)字特征
1．頻率分布直方圖中相鄰兩橫坐標之差表示組距，縱坐標表示eq \f(頻率,組距)，頻率＝組距×eq \f(頻率,組距).
2．在頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1.
3．利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)．
(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標即眾數(shù)．
(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和相等．
(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和．
易錯提醒 (1)對于給出的統(tǒng)計圖表，一定要結合問題背景理解圖表意義．
(2)頻率分布直方圖中縱坐標不要誤以為是頻率．
【例1】（2024·陜西西安·二模）某教育機構為調(diào)查中小學生每日完成作業(yè)的時間，收集了某位學生100天每天完成作業(yè)的時間，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖（每個區(qū)間均為左閉右開），根據(jù)此直方圖得出了下列結論，其中正確的是（ ）
A．估計該學生每日完成作業(yè)的時間在2小時至2.5小時的有50天
B．估計該學生每日完成作業(yè)時間超過3小時的概率為0.3
C．估計該學生每日完成作業(yè)時間的平均數(shù)為2.75小時
D．估計該學生每日完成作業(yè)時間的中位數(shù)與平均數(shù)相等
【變式1】（23-24高三上·安徽亳州·期末）如圖所示為某企業(yè)員工年齡（歲）的頻率分布直方圖，從左到右依次為第一組?第二組、……、第五組，若第五組的員工有80人，則第二組的員工人數(shù)為（ ）
A．140B．240C．280D．320
【變式2】（23-24高三下·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·開學考試）為了積極推進國家鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某示范村不斷自主創(chuàng)新，拓寬村民增收渠道，近年來取得了顯著成效．據(jù)悉該村2023年經(jīng)濟總收入是2022年的2倍，為了更好地了解該村經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該村兩年的經(jīng)濟收入構成比例，得到如圖所示的條形圖和餅圖．則以下說法錯誤的是（ ）
A．2023年“種植收入”和2022年“種植收入”一樣多
B．2023 年“養(yǎng)殖收入”與“第三產(chǎn)業(yè)收入”之和比2022年的全年總收入還多
C．2023年“外出務工收入”是2022年“外出務工收入”的
D．2023年“其他收入”比2022年“其他收入”的2倍還多
【變式3】（2024·甘肅·一模）小李一周的總開支分布如圖（1）所示，其中一周的食品開支如圖（2）所示，則以下判斷錯誤的是（ ）

A．小李這一周用于肉蛋奶的支出高于用于娛樂的支出
B．小李這一周用于食品中其他類的支出在總支出中是最少的
C．小李這一周用于主食的支出比用于通信的支出高
D．小李這一周用于主食和蔬菜的總支出比日常支出高
考點二：回歸分析
求經(jīng)驗回歸方程的步驟
(1)依據(jù)成對樣本數(shù)據(jù)畫出散點圖，確定兩個變量具有線性相關關系(有時可省略)．
(2)計算出eq \x\t(x)，eq \x\t(y)，eq \(a,\s\up6(^))，eq \(b,\s\up6(^)).
(3)寫出經(jīng)驗回歸方程．
易錯提醒 (1)樣本點不一定在經(jīng)驗回歸直線上，但點(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))一定在經(jīng)驗回歸直線上．
(2)求eq \(b,\s\up6(^))時，靈活選擇公式，注意公式的推導和記憶．
(3)利用樣本相關系數(shù)判斷相關性強弱時，看|r|的大小，而不是r的大?。?br>(4)區(qū)分樣本相關系數(shù)r與決定系數(shù)R2.
(5)通過經(jīng)驗回歸方程求的都是估計值，而不是真實值．
【例2】（22-23高三下·浙江杭州·階段練習）某公司在x年的銷售額(萬元)如下表，根據(jù)表中數(shù)據(jù)用最小二乘法得到的回歸方程為，則當關于a，b的表達式取到最小值時，（ ）
A．5B．13
C．8059D．8077
【變式1】（2023·上海奉賢·三模）已知兩組數(shù)據(jù)和，其中且時，；且時，，，我們研究這兩組數(shù)據(jù)的相關性，在集合中取一個元素作為a的值，使得相關性最強，則a=（ ）
A．8B．11C．12D．13
【變式2】（2024·河北·一模）集校為了解本校高一男生身高和體重的相關關系，在該校高一年級隨機抽取了7名男生，測量了他們的身高和體重得下表：
由表格制作成如圖所示的散點圖：

由最小二乘法計算得到經(jīng)驗回歸直線的方程為，其相關系數(shù)為；經(jīng)過殘差分析，點對應殘差過大，把它去掉后，再用剩下的6組數(shù)據(jù)計算得到經(jīng)驗回歸直線的方程為，相關系數(shù)為.則下列選項正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【變式3】（22-23高三上·四川成都·階段練習）以模型去擬合一組數(shù)據(jù)，設將其變換后得到線性回歸方程，則原模型中的值分別是（ ）
A．， B．，
C．，D．，
考點三：獨立性檢驗
獨立性檢驗的一般步驟
(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)列2×2列聯(lián)表．
(2)根據(jù)公式χ2＝eq \f(n?ad－bc?2,?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?)，計算χ2的值．
(3)查表比較χ2與臨界值的大小關系，作統(tǒng)計判斷．χ2越大，對應假設事件H0成立(兩類變量相互獨立)的概率越小，H0不成立的概率越大．
易錯提醒 (1)χ2越大兩分類變量無關的可能性越小，推斷犯錯誤的概率越小，通過表格查得無關的可能性．
(2)在犯錯誤的概率不大于0.01的前提下認為兩個變量有關，并不是指兩個變量無關的可能性為0.01.
【例3】（2024·寧夏銀川·一模）有甲、乙兩個班級進行數(shù)學考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計成績，得到如下所示的列聯(lián)表：
附：
已知在全部105人中隨機抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為，則下列說法正確的是（ ）
A．列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35
B．列聯(lián)表中c的值為15，b的值為50
C．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按97.5%的可靠性要求，能認為“成績與班級有關系”
D．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按97.5%的可靠性要求，不能認為“成績與班級有關系”
【變式1】（2024高三·全國·專題練習）下列命題中
①散點圖可以直觀地判斷兩個變量是否具有線性相關關系;
②回歸直線就是散點圖中經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)點最多的那條直線;
③回歸分析和獨立性檢驗沒有什么區(qū)別;
④回歸直線一定經(jīng)過樣本中心點.
其中正確的命題個數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【變式2】（2024·廣東廣州·二模）根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到.依據(jù)的獨立性檢驗，結論為（ ）
A．變量與獨立
B．變量與獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過
C．變量與不獨立
D．變量與不獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過
【變式3】（23-24高三上·四川成都·期末）在某病毒疫苗的研發(fā)過程中，需要利用基因編輯小鼠進行動物實驗.現(xiàn)隨機抽取100只基因編輯小鼠對該病毒疫苗進行實驗，得到如下列聯(lián)表（部分數(shù)據(jù)缺失）：
計算可知，根據(jù)小概率值______的獨立性檢驗，分析“給基因編輯小鼠注射該種疫苗能起到預防該病毒感染的效果” （ ）
附：，.
A．0.001B．0.05C．0.01D．0.005
強化訓練
一、單選題
1．（23-24高三下·四川綿陽·開學考試）為研究高中生的性別與是否喜歡數(shù)學課程之間的關系，運用列聯(lián)表進行檢驗，經(jīng)計算，參考下表，則認為“性別與喜歡數(shù)學有關”犯錯誤的概率不超過（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·海南·模擬預測）某機構統(tǒng)計了1000名演員的學歷情況，制作出如圖所示的餅狀圖，其中本科學歷的人數(shù)為630.現(xiàn)按比例用分層隨機抽樣的方法從中抽取200人，則抽取的碩士學歷的人數(shù)為（ ）

A．11B．13C．22D．26
3．（21-22高二下·山東濱州·期末）針對時下的“短視頻熱”，某高校團委對學生性別和喜歡短視頻是否有關聯(lián)進行了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男生?女生人數(shù)均為人，男生中喜歡短視頻的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生中喜歡短視頻的人數(shù)占女生人數(shù)的.零假設為：喜歡短視頻和性別相互獨立.若依據(jù)的獨立性檢驗認為喜歡短視頻和性別不獨立，則的最小值為（ ）
附：，附表：
A．7B．8C．9D．10
4．（23-24高三下·上海浦東新·階段練習）為調(diào)查吸煙是否對患肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機地調(diào)查了50人，得到如下結果（單位：人）
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，以下敘述正確的是：（ ）
A．可以通過計算，結合統(tǒng)計決斷，判斷：有的把握認為吸煙與患肺癌有關
B．可以通過計算，結合統(tǒng)計決斷，判斷：不能否定吸煙與肺癌無關
C．可以通過計算，結合統(tǒng)計決斷，判斷：有的把握認為吸煙與患肺癌有關
D．可以通過計算，結合統(tǒng)計決斷，判斷：不能否定吸煙與肺癌無關
5．（2024·云南曲靖·一模）已知變量關于的回歸方程為，若對兩邊取自然對數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)與線性相關．現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)如下表所示：
則當時，預測的值為（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·四川成都·二模）高三某班學生每天完成作業(yè)所需的時間的頻率分布直方圖如圖，為響應國家減負政策，若每天作業(yè)布置量在此基礎上減少小時，則減負后完成作業(yè)的時間的說法中正確的是（ ）
A．減負后完成作業(yè)的時間的標準差減少
B．減負后完成作業(yè)的時間的方差減少
C．減負后完成作業(yè)的時間在小時以上的概率大于
D．減負后完成作業(yè)的時間的中位數(shù)在至之間
7．（23-24高三上·江西·期末）為了加深師生對黨史的了解，激發(fā)廣大師生知史愛黨、知史愛國的熱情，某校舉辦了“學黨史、育文化的黨史知識競賽，并將1000名師生的競賽成績（滿分100分，成績?nèi)≌麛?shù)）整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法錯誤的為（ ）
A．的值為0.005B．估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75分
C．估計這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為85分D．估計成績低于60分的有250人
8．（23-24高三上·浙江紹興·期末）平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的信息，它們的大小關系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關.在下圖分布形態(tài)中，分別對應這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，則下列關系正確的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
1．（23-24高三上·廣東深圳·期末）為豐富優(yōu)質(zhì)旅游資源，釋放旅游消費潛力，推動旅游業(yè)高質(zhì)量發(fā)展，某地政府從2023年國慶期間到該地旅游的游客中，隨機抽取部分游客進行調(diào)查，得到各年齡段游客的人數(shù)和對景區(qū)服務是否滿意的數(shù)據(jù)，并繪制統(tǒng)計圖如圖所示，利用數(shù)據(jù)統(tǒng)計圖估計，得到的結論正確的是（ ）
A．游客中，青年人是老年人的2倍多
B．老年人的滿意人數(shù)是青年人的2倍
C．到該地旅游的游客中滿意的中年人占總游客人數(shù)的24.5%
D．到該地旅游的游客滿意人數(shù)超過一半
2．（2024·廣西南寧·一模）下列說法中，正確的是（ ）
A．一組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為12
B．若樣本數(shù)據(jù)的方差為8，則數(shù)據(jù)的方差為2
C．已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則
D．在獨立性檢驗中，零假設為：分類變量和獨立．基于小概率值的獨立性檢驗規(guī)則是：當時，我們就推斷不成立，即認為和不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過；當時，我們沒有充分證據(jù)推斷不成立，可以認為和獨立
3．（2024·云南·模擬預測）下列說法正確的是（ ）
A．設隨機變量的均值為是不等于的常數(shù)，則相對于的偏離程度小于相對于的偏離程度（偏離程度用差的平方表示）
B．若一組數(shù)據(jù)的方差為0，則所有數(shù)據(jù)都相同
C．用決定系數(shù)比較兩個回歸模型的擬合效果時，越小，殘差平方和越小，模型擬合效果越好
D．在對兩個分類變量進行獨立性檢驗時，如果列聯(lián)表中所有數(shù)據(jù)都擴大為原來的10倍，在相同的檢驗標準下，再去判斷兩變量的關聯(lián)性時，結論不會發(fā)生改變
三、填空題
1．（23-24高三下·北京海淀·開學考試）某直播間從參與購物的人群中隨機選出200人，并將這200人按年齡分組，得到的頻率分布直方圖如圖所示，則在這200人中年齡在的人數(shù) ，直方圖中 .
2．（23-24高三·天津濱海新·期末）下列說法中正確的有 （填正確說法的序號）．
①回歸直線恒過點，且至少過一個樣本點；
②若樣本數(shù)據(jù)的方差為4，則數(shù)據(jù)的標準差為4；
③已知隨機變量，且，則；
④若線性相關系數(shù)越接近1，則兩個變量的線性相關性越弱；
⑤是用來判斷兩個分類變量是否相關的隨機變量，當?shù)闹岛苄r可以推斷兩個變量不相關．
3．（23-24高三上·寧夏銀川·階段練習）有甲、乙兩個班級共計105 人進行數(shù)學考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計成績，得到如下所示的列聯(lián)表：
附: 其中.
已知在全部 105人中隨機抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為 ，則下列說法正確的是
①列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35；
②列聯(lián)表中c的值為20，b的值為 45；
③根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按的可靠性要求，能認為“成績與班級有關系”；
④根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按的可靠性要求，不能認為“成績與班級有關系”.
四、解答題
1．（2024·貴州畢節(jié)·二模）某地區(qū)工會利用“健步行APP”開展健步走活動.為了解會員的健步走情況，工會在某天從系統(tǒng)中抽取了100名會員，統(tǒng)計了當天他們的步數(shù)（千步為單位），并將樣本數(shù)據(jù)分為，，，…，，九組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計樣本數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)；
(2)據(jù)統(tǒng)計，在樣本數(shù)據(jù)，，的會員中體檢為“健康”的比例分別為，，，以頻率作為概率，估計在該地區(qū)工會會員中任取一人，體檢為“健康”的概率.
2.（2024·寧夏吳忠·模擬預測）配速是馬拉松運動中常使用的一個概念，是速度的一種，是指每公里所需要的時間，相比配速，把心率控制在一個合理水平是安全理性跑馬拉松的一個重要策略.圖1是一名馬拉松跑者的心率（單位：次/分鐘）和配速（單位：分鐘/公里）的散點圖，圖2是一次馬拉松比賽（全程約42公里）前3000名跑者成績（單位：分鐘）的頻率分布直方圖.
(1)由散點圖看出，可用線性回歸模型擬合與的關系，求與的線性回歸方程；
(2)該跑者如果參加本次比賽，將心率控制在160次/分鐘左右跑完全程，估計他跑完全程花費的時間，并估計他能獲得的名次，
參考公式：線性回歸方程中，，.
3．（2024·黑龍江·二模）2023 年是全面貫徹落實黨的二十大精神的開局之年，也是實施“十四五”規(guī)劃承上啟下的關鍵之年，經(jīng)濟增長呈現(xiàn)穩(wěn)中有進的可喜現(xiàn)象.某省為做好刺梨產(chǎn)業(yè)的高質(zhì)量發(fā)展，項目組統(tǒng)計了全省近5年刺梨產(chǎn)業(yè)綜合產(chǎn)值如下：
年份代碼x，綜合產(chǎn)值y（單位：億元）
(1)請通過樣本相關系數(shù)，推斷y與x之間的相關程度；（若，則線性相關性程度很強;若，則線性相關性程度一般，若，則線性相關性程度很弱.）
(2)求出y關于x的經(jīng)驗回歸方程，并預測 2024 年該省刺梨產(chǎn)業(yè)的綜合產(chǎn)值.
參考公式：樣本相關系數(shù)經(jīng)驗回歸方程 中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為，.
參考數(shù)據(jù)：
4．（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）睡眠是生命健康不可缺少的源泉，然而許多人被睡眠時長過短?質(zhì)量不高等問題所困擾.2023年3月21日是第23個世界睡眠日，這一天某研究小組隨機調(diào)查了某高校100名學生在某一天內(nèi)的睡眠情況，將所得數(shù)據(jù)按照分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖：
(1)求的值，并由頻率分布直方圖估計該校所有學生每一天的平均睡眠時長（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；
(2)每一天睡眠時長不低于7.75小時認定為睡眠充足，以頻率代替概率，樣本估計總體，在該高校學生中隨機抽查3人，求至少有兩人每一天睡眠時長充足的概率.
5．（2024·安徽黃山·一模）某校高三年級名學生的高考適應性演練數(shù)學成績頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是、、、、、．
(1)求圖中的值，并根據(jù)頻率分布直方圖，估計這名學生的這次考試數(shù)學成績的第百分位數(shù)；
(2)從這次數(shù)學成績位于、的學生中采用比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取人，再從這人中隨機抽取人，該人中成績在區(qū)間的人數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學期望．
x
2017
2018
2019
2020
2021
2022
身高（單位：
167
173
175
177
178
180
181
體重（單位：
90
54
59
64
67
72
76
優(yōu)秀
非優(yōu)秀
總計
甲班
10
b
乙班
c
30
合計
P（K2≥k0）
0.05
0.025
0.010
0.005
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
被某病毒感染
未被某病毒感染
合計
注射疫苗
10
50
未注射疫苗
30
50
合計
30
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
0.05
0.01
3.841
6.635
不患肺癌
患肺癌
合計
不吸煙
24
6
30
吸煙
6
14
20
合計
30
20
50
1
2
3
4
5

優(yōu)秀
非優(yōu)秀
總計
甲班
10
b

乙班
c
30

0.10
0.05
0.025
0.010
0.0005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
年份
2019
2020
2021
2022
2023
年份代碼x
1
2
3
4
5
綜合產(chǎn)值y
1.5
2
3.5
8
15

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第05講 導數(shù)的綜合應用（3大考點母題突破+強化訓練）-沖刺985、211名校高考數(shù)學重難點培優(yōu)全攻略（新高考專用）

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第04講 函數(shù)的極值、最值（3大考點+強化訓練）-沖刺985、211名校高考數(shù)學重難點培優(yōu)全攻略（新高考專用）

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第01講 函數(shù)的圖象與性質(zhì)（3大考點+強化訓練）-沖刺985、211名校高考數(shù)學重難點培優(yōu)全攻略（新高考專用）

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