知識(shí)導(dǎo)圖
考點(diǎn)分類講解
考點(diǎn)一：概率和數(shù)列的綜合問(wèn)題
規(guī)律方法 概率問(wèn)題與數(shù)列的交匯，綜合性較強(qiáng)，主要有以下類型：
(1)求通項(xiàng)公式：關(guān)鍵是找出概率Pn或均值E(Xn)的遞推關(guān)系式，然后根據(jù)構(gòu)造法(一般構(gòu)造等比數(shù)列)，求出通項(xiàng)公式．
(2)求和：主要是數(shù)列中的倒序相加法求和、錯(cuò)位相減法求和、裂項(xiàng)相消法求和．
(3)利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，研究單調(diào)性、最值或求極限．
【例1】（2024·山東菏澤·一模）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，記在數(shù)列的前項(xiàng)中任取兩數(shù)都是正數(shù)的概率為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用分類討論及通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，再利用組合數(shù)公式和古典概型的概率的計(jì)算公式求出概率的通式即可求解.
【詳解】為奇數(shù)時(shí)，前項(xiàng)中有個(gè)奇數(shù)項(xiàng)，即有個(gè)正數(shù)，
，，故A錯(cuò)誤；
為偶數(shù)時(shí)，前項(xiàng)中有個(gè)奇數(shù)項(xiàng)，即有個(gè)正數(shù)，
，
，，故B錯(cuò)誤；
，故C正確；
，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)分類討論，利用組合數(shù)和古典概型的概率的計(jì)算公式求出概率的通式即可.
【變式1】（2024·黑龍江·二模）某校組織知識(shí)競(jìng)賽，已知甲同學(xué)答對(duì)第一題的概率為，從第二題開(kāi)始，若甲同學(xué)前一題答錯(cuò)，則此題答對(duì)的概率為；若前一題答對(duì)，則此題答對(duì)的概率為.記甲同學(xué)回答第題時(shí)答錯(cuò)的概率為，當(dāng)時(shí)，恒成立，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
寫出甲同學(xué)回答第題時(shí)答錯(cuò)的概率，構(gòu)造得到數(shù)列是等比數(shù)列，從而利用等比數(shù)列通項(xiàng)得到數(shù)列遞減，由函數(shù)單調(diào)性即可得到答案.
【詳解】因?yàn)榛卮鸬陬}時(shí)有答對(duì)、答錯(cuò)兩種情況，則回答第題時(shí)答錯(cuò)的概率，
所以，
由題意知，則，
所以是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列，
所以，即.
顯然數(shù)列遞減，所以當(dāng)時(shí)，，
所以的最小值為.
故選：D.
【變式2】(2023·晉中模擬)晉中市是晉商文化的發(fā)源地，且擁有豐富的旅游資源，其中有保存完好的大院人文景觀(如王家大院，常家莊園等)，也有風(fēng)景秀麗的自然景觀(如介休綿山，石膏山等)．某旅行團(tuán)帶游客來(lái)晉中旅游，游客可自由選擇人文景觀和自然景觀中的一處游覽．若每位游客選擇人文景觀的概率是eq \f(2,3)，選擇自然景觀的概率為eq \f(1,3)，游客之間選擇意愿相互獨(dú)立．
(1)從游客中隨機(jī)選取5人，記5人中選擇人文景觀的人數(shù)為X，求X的均值與方差；
(2)現(xiàn)對(duì)游客進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，若選擇人文景觀記2分，選擇自然景觀記1分，記已調(diào)查過(guò)的累計(jì)得分為n分的概率為Pn，求Pn.
【解析】 (1)由題可知X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(2,3)))(或者列出分布列)，于是E(X)＝5×eq \f(2,3)＝eq \f(10,3)，
D(X)＝5×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(10,9).
(2)方法一 由題可知P1＝eq \f(1,3)，
P2＝eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(7,9).
當(dāng)n≥3時(shí)，Pn＝eq \f(1,3)Pn－1＋eq \f(2,3)Pn－2，
即Pn＋eq \f(2,3)Pn－1＝Pn－1＋eq \f(2,3)Pn－2，
∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(Pn＋\f(2,3)Pn－1))為常數(shù)數(shù)列，
且Pn＋eq \f(2,3)Pn－1＝P2＋eq \f(2,3)P1＝eq \f(7,9)＋eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＝1(n≥2)，
∴Pn－eq \f(3,5)＝－eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Pn－1－\f(3,5)))，
∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(Pn－\f(3,5)))是以P1－eq \f(3,5)＝－eq \f(4,15)為首項(xiàng)，－eq \f(2,3)為公比的等比數(shù)列，
∴Pn－eq \f(3,5)＝－eq \f(4,15)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))n－1，
∴Pn＝eq \f(3,5)－eq \f(4,15)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))n－1.
方法二 由題可知P1＝eq \f(1,3)，
P2＝eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(7,9).
當(dāng)n≥3時(shí)，Pn＝eq \f(1,3)Pn－1＋eq \f(2,3)Pn－2，
即Pn－Pn－1＝－eq \f(2,3)(Pn－1－Pn－2)，
∴{Pn－Pn－1}是以P2－P1＝eq \f(4,9)為首項(xiàng)，－eq \f(2,3)為公比的等比數(shù)列，
∴Pn－Pn－1＝eq \f(4,9)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))n－2(n≥2)，
Pn－1－Pn－2＝eq \f(4,9)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))n－3，
……
P2－P1＝eq \f(4,9)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))0，
以上各式相加得Pn－P1＝eq \f(4,9)×eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))n－1,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3))))
＝eq \f(4,15)－eq \f(4,15)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))n－1，
∴Pn＝eq \f(3,5)－eq \f(4,15)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))n－1，
又P1＝eq \f(1,3)也滿足上式，
∴Pn＝eq \f(3,5)－eq \f(4,15)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))n－1.
【變式3】(2023·邯鄲模擬)某市為了讓廣大市民更好地了解并傳承成語(yǔ)文化，當(dāng)?shù)匚穆镁謹(jǐn)M舉辦猜成語(yǔ)大賽．比賽共設(shè)置n道題，參加比賽的選手從第一題開(kāi)始答題，一旦答錯(cuò)則停止答題，否則繼續(xù)，直到答完所有題目．設(shè)某選手答對(duì)每道題的概率均為p(04的n的最小值．
參考數(shù)據(jù)：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477.
解 (1)根據(jù)題意，X的所有可能取值為1,2,3，
P(X＝1)＝1－p，P(X＝2)＝p(1－p)，
P(X＝3)＝p2，
所以E(X)＝1－p＋2p(1－p)＋3p2＝p2＋p＋1，
由E(X)＝p2＋p＋1>1.75得p>eq \f(1,2)，
又08.848，又n∈N*，故n的最小值為9.
考點(diǎn)二:概率和函數(shù)的綜合問(wèn)題
規(guī)律方法 構(gòu)造函數(shù)求最值時(shí)，要注意變量的選取，以及變量自身的隱含條件對(duì)變量范圍的限制．
【例2】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)為的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和，，，表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，則的最小值為 ．
【答案】/0.2
【分析】賦值法求出，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷，確定結(jié)合等差數(shù)列求和公式得，將轉(zhuǎn)化為點(diǎn)點(diǎn)距的平方進(jìn)而求解.
【詳解】令可得，，，
設(shè)，則，
令，得
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減．
則
故對(duì)任意的，
故，故，即
，
則的幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方，
最小值即點(diǎn)到的距離的平方，
與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，
且點(diǎn)到直線的距離，
點(diǎn)到直線的距離，
的最小值為
故答案為:
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)最值及點(diǎn)點(diǎn)距的應(yīng)用，關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)判斷出，進(jìn)而確定.
【變式1】（2024·黑龍江·二模）某校組織知識(shí)競(jìng)賽，已知甲同學(xué)答對(duì)第一題的概率為，從第二題開(kāi)始，若甲同學(xué)前一題答錯(cuò)，則此題答對(duì)的概率為；若前一題答對(duì)，則此題答對(duì)的概率為.記甲同學(xué)回答第題時(shí)答錯(cuò)的概率為，當(dāng)時(shí)，恒成立，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
寫出甲同學(xué)回答第題時(shí)答錯(cuò)的概率，構(gòu)造得到數(shù)列是等比數(shù)列，從而利用等比數(shù)列通項(xiàng)得到數(shù)列遞減，由函數(shù)單調(diào)性即可得到答案.
【詳解】因?yàn)榛卮鸬陬}時(shí)有答對(duì)、答錯(cuò)兩種情況，則回答第題時(shí)答錯(cuò)的概率，
所以，
由題意知，則，
所以是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列，
所以，即.
顯然數(shù)列遞減，所以當(dāng)時(shí)，，
所以的最小值為.
故選：D.
【變式2】(2023·浙江金麗衢十二校聯(lián)考)某公司生產(chǎn)一種大件產(chǎn)品的日產(chǎn)為2件，每件產(chǎn)品質(zhì)量為一等的概率為0.5，二等的概率為0.4，若達(dá)不到一、二等，則為不合格，且生產(chǎn)兩件產(chǎn)品品質(zhì)結(jié)果相互獨(dú)立．已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤(rùn)如下表：
(1)求生產(chǎn)兩件產(chǎn)品中至少有一件一等品的概率；
(2)求該公司每天所獲利潤(rùn)ξ(萬(wàn)元)的均值；
(3)若該工廠要增加日產(chǎn)量，需引入設(shè)備及更新技術(shù)，但增加n件，其成本也將相應(yīng)提升n－ln n(萬(wàn)元)，假如你作為工廠決策者，你覺(jué)得該廠目前該不該增產(chǎn)？請(qǐng)回答，并說(shuō)明理由．
(ln 2≈0.69，ln 3≈1.1)
【解析】(1)設(shè)一件產(chǎn)品是一等品為事件A，則一件產(chǎn)品不是一等品為事件eq \x\t(A)，P(A)＝0.5，P(eq \x\t(A))＝0.5,2件產(chǎn)品至少有一件為一等品事件為AA＋Aeq \x\t(A)＋eq \x\t(A)A，
其概率P＝P(AA)＋Ceq \\al(1,2)P(A)P(eq \x\t(A))＝0.52＋2×0.5×0.5＝0.75.
(2)設(shè)一件產(chǎn)品為一等品為事件A，二等品為事件B，次品為事件C，
則P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，P(C)＝0.1，
則ξ的所有可能取值為1.6,1.4,1.2,0.5,0.3，－0.6，
P(ξ＝－0.6)＝[P(C)]2＝0.01，
P(ξ＝0.3)＝Ceq \\al(1,2)P(B)P(C)＝2×0.4×0.1＝0.08，
P(ξ＝0.5)＝Ceq \\al(1,2)P(A)P(C)＝2×0.5×0.1＝0.1，
P(ξ＝1.2)＝[P(B)]2＝0.16，
P(ξ＝1.4)＝Ceq \\al(1,2)P(A)P(B)＝2×0.5×0.4＝0.4，
P(ξ＝1.6)＝[P(A)]2＝0.25，
則ξ的分布列為
E(ξ)＝－0.6×0.01＋0.3×0.08＋0.5×0.1＋1.2×0.16＋1.4×0.4＋1.6×0.25＝1.22.
(3)由(2)可知，每件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為1.22÷2＝0.61(萬(wàn)元)，則增加n件產(chǎn)品，利潤(rùn)增加為0.61n萬(wàn)元，成本也相應(yīng)提高(n－ln n)萬(wàn)元，
所以凈利潤(rùn)為0.61n－n＋ln n＝ln n－0.39n，n∈N*，
設(shè)f(x)＝ln x－0.39x，則f′(x)＝eq \f(1,x)－0.39，
當(dāng)x0，f(x)單調(diào)遞增，
當(dāng)x>eq \f(100,39)時(shí)，f′(x)

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