考點(diǎn)分類講解
母題突破1：范圍、最值問(wèn)題
規(guī)律方法 求解范圍、最值問(wèn)題的常見方法
(1)利用判別式來(lái)構(gòu)造不等關(guān)系．
(2)利用已知參數(shù)的范圍，在兩個(gè)參數(shù)之間建立函數(shù)關(guān)系．
(3)利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式．
(4)利用基本不等式．
【例1】(2023·全國(guó)甲卷)已知直線x－2y＋1＝0與拋物線C：y2＝2px(p>0)交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝4eq \r(15).
(1)求p；
(2)設(shè)F為C的焦點(diǎn)，M，N為C上兩點(diǎn)，eq \(FM,\s\up6(→))·eq \(FN,\s\up6(→))＝0，求△MFN面積的最小值．
思路分析
?聯(lián)立方程利用弦長(zhǎng)求p
?設(shè)直線MN：x＝my＋n和點(diǎn)M，N的坐標(biāo)
?利用eq \(FM,\s\up6(→))·eq \(FN,\s\up6(→))＝0，得m，n的關(guān)系
?寫出S△MFN的面積
?利用函數(shù)性質(zhì)求S△MFN面積的最小值
解 (1)設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋1＝0，,y2＝2px，))可得y2－4py＋2p＝0，
所以yA＋yB＝4p，yAyB＝2p，
所以|AB|＝eq \r(5)×eq \r(?yA＋yB?2－4yAyB)＝4eq \r(15)，
即2p2－p－6＝0，解得p＝2(負(fù)值舍去)．
(2)由(1)知y2＝4x，
所以焦點(diǎn)F(1,0)，顯然直線MN的斜率不可能為零，
設(shè)直線MN：x＝my＋n，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,x＝my＋n，))可得y2－4my－4n＝0，
所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n，
Δ＝16m2＋16n>0?m2＋n>0，
因?yàn)閑q \(FM,\s\up6(→))·eq \(FN,\s\up6(→))＝0，eq \(FM,\s\up6(→))＝(x1－1，y1)，eq \(FN,\s\up6(→))＝(x2－1，y2)，
所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，
即(my1＋n－1)(my2＋n－1)＋y1y2＝0，
即(m2＋1)y1y2＋m(n－1)(y1＋y2)＋(n－1)2＝0，
將y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n代入得，
4m2＝n2－6n＋1，
所以4(m2＋n)＝(n－1)2>0，
所以n≠1，且n2－6n＋1≥0，
解得n≥3＋2eq \r(2)或n≤3－2eq \r(2).
設(shè)點(diǎn)F到直線MN的距離為d，
所以d＝eq \f(|n－1|,\r(1＋m2))，
|MN|＝eq \r(1＋m2)eq \r(?y1＋y2?2－4y1y2)
＝eq \r(1＋m2)eq \r(16m2＋16n)
＝eq \r(1＋m2)eq \r(4?n2－6n＋1?＋16n)
＝2eq \r(1＋m2)|n－1|，
所以△MFN的面積
S＝eq \f(1,2)×|MN|×d＝eq \f(1,2)×2eq \r(1＋m2)|n－1|×eq \f(|n－1|,\r(1＋m2))＝(n－1)2，
而n≥3＋2eq \r(2)或n≤3－2eq \r(2)，
所以當(dāng)n＝3－2eq \r(2)時(shí)，△MFN的面積最小，為Smin＝(2－2eq \r(2))2＝12－8eq \r(2)＝4(3－2eq \r(2))．
【變式1】（2023·遼寧撫順·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且，則直線OM的斜率的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)，，確定，根據(jù)向量之間的關(guān)系得到，得到，，利用均值不等式計(jì)算得到答案.
【詳解】，設(shè)，顯然當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
要想求解直線OM的斜率的最大值，此時(shí)．

設(shè)，，，則，即，
解得．
，故，即，
，故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故直線OM的斜率的最大值為．
故選：B.
【變式2】（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為．
(1)若點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于1，當(dāng)直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)恰好為線段的中點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；
(2)求內(nèi)切圓的圓心到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的最大值．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）設(shè)，依題意得到關(guān)于的方程組，進(jìn)而求得的坐標(biāo)，結(jié)合即可得解；
（2）聯(lián)立直線與拋物線的方程，證得內(nèi)切圓的圓心在軸上，再利用角平分線定理得到，分析的取值情況，從而得到關(guān)于的不等式組，解之即可得解.
【詳解】（1）由題意，知，設(shè)，則，
又，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
代入拋物線方程，得，
聯(lián)立，解得或，
所以或，又，
所以或，
所以直線的方程為或，
即或.
（2）設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，消去并整理，得，
所以，
所以
，
所以，即內(nèi)切圓的圓心在軸上，
設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，
由角平分線定理，得，
過(guò)點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足為，
則，即，
故當(dāng)最大時(shí)，最小，
所以只有當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，取得最小值，
此時(shí)直線斜率存在，設(shè)切線為，
聯(lián)立，消去，得，
則，解得，則的最小值為，
易知，則，解得，
所以內(nèi)切圓的圓心到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的最大值為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
【變式3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）第一象限的點(diǎn)在拋物線上，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)．
(1)求的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線的方程；
(2)記的焦點(diǎn)分別為，則四邊形的面積是否有最值？
【答案】(1)
(2)在上沒(méi)有最值．
【分析】（1）設(shè)，得到，求出，，得到軌跡方程；
（2）根據(jù)四邊形為梯形，表達(dá)出面積，求導(dǎo)得到單調(diào)性，在上沒(méi)有最值.
【詳解】（1）設(shè)，，則有，其中，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，
所以，則，即，，
故的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線的方程．
（2）因?yàn)榕c平行，所以四邊形是梯形，

其上底為，下底為，高為，
所以其面積，又，
所以，
令，則，
所以即關(guān)于單調(diào)遞增，
又當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，
所以在上沒(méi)有最值．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或范圍問(wèn)題的常見解法，
（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來(lái)解決；
（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．
母題突破2：定點(diǎn)(定直線)問(wèn)題
規(guī)律方法 動(dòng)線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的兩大類型及解法
(1)動(dòng)直線l過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，解法：設(shè)動(dòng)直線方程(斜率存在)為y＝kx＋t，由題設(shè)條件將t用k表示為t＝mk，得y＝k(x＋m)，故動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)(－m,0)．
(2)動(dòng)曲線C過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對(duì)參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點(diǎn)．
【例2】（2024·江西·一模）已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)C在E上，點(diǎn)分別為直線上的點(diǎn).
(1)求的值；
(2)設(shè)直線與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為D，求證：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）解法一：設(shè)，根據(jù)斜率公式得，然后根據(jù)點(diǎn)C在橢圓上化簡(jiǎn)即可求解；
解法二：設(shè)，利用三點(diǎn)共線的向量形式求得，，結(jié)合點(diǎn)C在橢圓上化簡(jiǎn)即可求解；
（2）解法一：聯(lián)立直線MA與橢圓E方程，利用韋達(dá)定理得，同理得點(diǎn)的坐標(biāo)為，分類討論求得直線的方程，即可求得直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)；
解法二：設(shè)直線的方程為：，
聯(lián)立直線與橢圓E方程，結(jié)合韋達(dá)定理利用求得，從而求得直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn).
【詳解】（1）解法一：設(shè)，由題可知，，
又，由，
在上，則，
，.
解法二：設(shè)，則，
∵A、C、M三點(diǎn)共線，∴，同理：，∴，
又在曲線E上，∴，代入上式得：.
（2）解法一：由題可知，直線MA的方程為：，
聯(lián)立方程可得：，
=45>0，
，，
又，，，
同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，
（i）當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，，即，，
，此時(shí)直線的方程為；
（ii）當(dāng)直線不垂直于x軸時(shí)，
，
故直線的方程為，
令，則，
整理得，此時(shí)直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)
綜上，直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).
解法二：由，
又，∴，
由題可得直線顯然不與x軸平行，
設(shè)直線的方程為：，
由得，
，
又
，
由得或（舍去），
∴直線：，∴直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).
【變式1】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，，為上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，，若，試判斷直線是否過(guò)定點(diǎn).若過(guò)定點(diǎn)，求該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】過(guò)定點(diǎn)，
【分析】根據(jù)題意，平移坐標(biāo)系，得到直線與橢圓方程，聯(lián)立之后結(jié)合韋達(dá)定理代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】將坐標(biāo)系左移2個(gè)單位長(zhǎng)度（即橢圓右移），則橢圓方程變?yōu)椋?br>即.
設(shè)直線為直線，平移后為直線，聯(lián)立
齊次化得，整理可得，
兩邊同除以，得，則，解得.
把代入直線中，得，當(dāng)時(shí)，，
所以過(guò)定點(diǎn)，則直線過(guò)定點(diǎn).
【變式2】（23-24高三下·四川綿陽(yáng)·階段練習(xí)）已知點(diǎn)在拋物線上，為拋物線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，不垂直軸，為焦點(diǎn)，且滿足．
(1)求的值，并證明：線段的垂直平分線過(guò)定點(diǎn)；
(2)設(shè)（1）中定點(diǎn)為，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求直線的方程．
【答案】(1)，證明見解析
(2)
【分析】（1）代入點(diǎn)的坐標(biāo)可得拋物線方程，聯(lián)立方程，利用垂直和平分求出垂直平分線的方程可得答案；
（2）先求出弦長(zhǎng)和高，表示出三角形的面積，利用導(dǎo)數(shù)求解可得答案.
【詳解】（1）將點(diǎn)代入拋物線方程，可得，解得，
所以拋物線方程為，
設(shè)直線的方程為：，
聯(lián)立方程，消去得，，
由韋達(dá)定理得，
根據(jù)拋物線定義：，可得，
此時(shí)，解得或，
設(shè)的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，
可得的垂直平分線方程為：，
將代入整理得：，故的垂直平分線過(guò)定點(diǎn)．
（2）由（1）可得，
且點(diǎn)到直線的距離，
則的面積為，
可得，

設(shè)，設(shè)，則
令，解得；令，解得；
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
所以當(dāng)時(shí)，的面積取最大值，此時(shí)，即．此時(shí).
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問(wèn)題求解方法：先把目標(biāo)式表示出來(lái)，根據(jù)目標(biāo)式的特點(diǎn)選擇合適的方法進(jìn)行求解，常用方法有：①二次函數(shù)法：利用換元法，目標(biāo)式化成二次型，結(jié)合二次函數(shù)求解；②基本不等式法：把目標(biāo)式化成能使用基本不等式的結(jié)構(gòu)，利用基本不等式求解；③導(dǎo)數(shù)法：求解導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解最值.
【變式3】（23-24高三下·江西·開學(xué)考試）設(shè)拋物線，過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)、．當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，．
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(2)已知點(diǎn)，直線、分別與拋物線交于點(diǎn)、.
①求證：直線過(guò)定點(diǎn)；
②求與面積之和的最小值．
【答案】(1)
(2)①證明見解析；②.
【分析】（1）利用弦長(zhǎng)求解，即可求解拋物線方程；
（2）①設(shè)直線方程，與拋物線聯(lián)立，韋達(dá)定理找到坐標(biāo)關(guān)系，表示出直線方程，即可求出定點(diǎn)；
②利用三角形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得與面積之和的最小值．
【詳解】（1）解：由題意，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，直線的方程為，
聯(lián)立可得，則，所以，即，
所以拋物線的方程為.
（2）證明：①若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，
同理可知，直線也不與軸重合，易知點(diǎn)，
設(shè)、，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立得，，
因此，.
設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，
則，因此，，則，同理可得.
所以.
因此直線的方程為，
由對(duì)稱性知，定點(diǎn)在軸上，
令得，
，
所以，直線過(guò)定點(diǎn).
解：②記點(diǎn)，，
，
所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故與面積之和的最小值為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；
（3）求證直線過(guò)定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來(lái)證明.
母題突破3：定值問(wèn)題
規(guī)律方法 求解定值問(wèn)題的兩大途徑
(1)由特例得出一個(gè)值(此值一般就是定值)→證明定值：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明待證式與參數(shù)(某些變量)無(wú)關(guān)．
(2)先將式子用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)或動(dòng)線中的參數(shù)表示，再利用其滿足的約束條件使其絕對(duì)值相等的正負(fù)項(xiàng)抵消或分子、分母約分得定值．
【例3】（2024·遼寧撫順·一模）已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，其右焦點(diǎn)到漸近線的距離為，離心率為，
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)記雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)為雙曲線的右支上異于點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，直線與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為，直線垂直于點(diǎn)，問(wèn)是否存在點(diǎn)，使得為定值？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由，
【答案】(1)
(2)存在點(diǎn)使為定值3， 的坐標(biāo)為
【分析】（1）利用待定系數(shù)法，結(jié)合點(diǎn)線距離公式與雙曲線的離心率得到關(guān)于的方程組，解之即可得解；
（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，得到，再由三點(diǎn)共線與三點(diǎn)共線得關(guān)于的方程，分析得，從而得到直線過(guò)定點(diǎn)，進(jìn)而求得點(diǎn)，由此得解.
【詳解】（1）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則其漸近線為，
由已知可得，結(jié)合，可得，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
（2）由已知，直線不垂直于軸，設(shè)直線的方程為，
由消去并整理得，①
則，且由這個(gè)方程的判別式可得，
設(shè)，則，
由已知可得，設(shè)，
由三點(diǎn)共線可得，
由三點(diǎn)共線可得，
消去并整理得，
又，所以上式可化為，
即，
整理可得，
若，則，代入①式可得，
因?yàn)辄c(diǎn)不與點(diǎn)重合，所以，即，
所以，
所以，即，所以直線過(guò)定點(diǎn)，
因?yàn)橹本€垂直于直線，垂足為點(diǎn)，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，
所以存在點(diǎn)使為定值3，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
【變式1】（23-24高三下·江西·開學(xué)考試）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與交于兩點(diǎn).
(1)若點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，求的最大值與最小值；
(2)若，求的斜率；
(3)在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)最大值為，最小值為；
(2)
(3)存在定點(diǎn)
【分析】（1）由題意，根據(jù)橢圓的定義可得，則，當(dāng)點(diǎn)與的左、右頂點(diǎn)重合時(shí)取到最值；
（2）設(shè)，根據(jù)平面共線向量的坐標(biāo)表示可得，結(jié)合求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)表示斜率公式計(jì)算即可求解；
（3）假設(shè)滿足條件的點(diǎn)存在，易知直線的斜率不存在時(shí)；設(shè)，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)：，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理表示出，代入，化簡(jiǎn)計(jì)算即可求解.
【詳解】（1）設(shè)的左焦點(diǎn)為，則，
由橢圓的定義知，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與的左頂點(diǎn)重合時(shí)取等號(hào)，
即的最大值為；
，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與的右頂點(diǎn)重合時(shí)取等號(hào).
即的最小值為.
（2）設(shè)，則由，得，
所以，即，又在上，
所以，即解得
即.
故直線的斜率為.
（3）假設(shè)滿足條件的點(diǎn)存在，設(shè)，
則，
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，
把代入，得，
所以，
，
，
所以為定值，
所以，解得，
存在定點(diǎn)，使得為定值；
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易得滿足為定值.
綜上，存在定點(diǎn)，使得為定值.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見的方法一般有兩種：
(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)．
(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．
【變式2】（2024·湖南邵陽(yáng)·二模）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線上，直線與雙曲線交于兩點(diǎn).
(1)若經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，求；
(2)若經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且兩點(diǎn)在雙曲線的左支上，則在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值.若存在，請(qǐng)求出面積的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)；
(2)存在，.
【分析】（1）先利用點(diǎn)在雙曲線上和雙曲線的性質(zhì)求出雙曲線方程，然后分直線的斜率存在與否討論，存在時(shí)，設(shè)出直線方程，利用韋達(dá)定理法表示出，再代入直線方程表示出，最后利用向量的數(shù)量積為零求出斜率，再代入弦長(zhǎng)公式求出弦長(zhǎng)；
（2）假設(shè)存在，設(shè)直線方程，利用韋達(dá)定理法表示出，要使為定值，則，解出后得到點(diǎn)的坐標(biāo)，再用弦長(zhǎng)公式表示出三角形的面積，最后利用換元法和分離常數(shù)法結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求出面積的最小值.
【詳解】（1）
把代入得：
，又.
又，解得.
雙曲線方程為.
若直線的斜率不存在時(shí)，，此時(shí)不妨設(shè).
，舍去.
若的斜率存在，設(shè)方程為，代入，化簡(jiǎn)得，，
設(shè)，則，
.
，得，即.則.
.
（2）
假設(shè)存在，使得為定值.
設(shè)方程為，代入，化簡(jiǎn)得.
由題意.
.
由題意.
要使為定值，則，解之得.
存在，使得為定值.
此時(shí)
令，
.
.
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在遞減，
在時(shí)取得最大值1.
的最小值為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：
（1）求弦長(zhǎng)時(shí)，可用弦長(zhǎng)公式，韋達(dá)定理表示出兩根之和和兩根之積；
（2）對(duì)于直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，可采用向量垂直數(shù)量積為零，求出關(guān)于參數(shù)的方程，再討論定點(diǎn)問(wèn)題；
（3）求圓錐曲線中三角形的面積最值問(wèn)題時(shí)，可用弦長(zhǎng)公式表示出面積，再結(jié)合換元法或基本不等式或函數(shù)的單調(diào)性求出面積的最值.
【變式3】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，分別為有心二次曲線的左、右焦點(diǎn)，為曲線上任意一點(diǎn)，直線，分別交曲線于點(diǎn)（異于點(diǎn)），設(shè)，，求證：為定值．
【答案】證明見解析
【分析】將，代入曲線方程,，然后結(jié)合定比分點(diǎn)公式化簡(jiǎn)整理求.
【詳解】設(shè)，，．
因?yàn)?，所以?br>將，代入曲線方程，得，
，得．
兩邊同除以，并整理得，
所以，即．
又，即，
兩式相加，得．
同理，
所以為定值．
定比分點(diǎn)公式：若，則稱點(diǎn)M為AB的定比分點(diǎn)，若，，則.
母題突破4：探究性問(wèn)題
【例4】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)和直線，點(diǎn)到的距離 .
(1)求點(diǎn)的軌跡方程；
(2)不經(jīng)過(guò)圓點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡交于，兩點(diǎn). 設(shè)直線，的斜率分別為，，記 ，是否存在值使得的面積為定值，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）利用直接法求得軌跡方程；
（2）設(shè)，，分別表示，及，進(jìn)而表示，可知，當(dāng)時(shí)，為定值，即面積為定值.
【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，由，
當(dāng)時(shí)，，不成立，
所以，則，即；
（2）設(shè)，，則，，
又點(diǎn)在橢圓上，則，則，同理，
設(shè)直線與的傾斜角分別為，，則，
則，
則，
所以當(dāng)時(shí)，為定值，即面積為定值.

【變式1】（22-23高三下·浙江紹興·開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C：.
(1)設(shè)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；
(2)設(shè)與坐標(biāo)軸不垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn)，試問(wèn)：是否存在滿足條件的直線，使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出直線的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，將轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示，求取值范圍；
（2）設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)中點(diǎn)為D，若是以B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則，，解出直線方程.
【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，則，
，
因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以.
（2）設(shè)直線l：（），，，
，消去y得，，
由題，，
，，
，，
若是以B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則， ，
所以，①
設(shè)中點(diǎn)為D，則，因?yàn)椋?br>所以，即，②
由①②，得，或，，滿足，
所以存在直線l使得是以B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，
直線方程為或.
【變式2】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的圓錐曲線E的離心率為2，過(guò)E的右焦點(diǎn)F作垂直于x軸的直線，該直線被E截得的弦長(zhǎng)為6．
(1)求E的方程；
(2)若面積為3的的三個(gè)頂點(diǎn)均在E上，邊過(guò)F，邊過(guò)原點(diǎn)，求直線的方程：
(3)已知，過(guò)點(diǎn)的直線l與E在y軸的右側(cè)交于不同的兩點(diǎn)P，Q，l上是否存在點(diǎn)S滿足，且？若存在，求點(diǎn)S的橫坐標(biāo)的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)不存在，理由見解析
【分析】（1）依題意設(shè)出雙曲線方程，根據(jù)條件即可得結(jié)果；
（2）根據(jù)直線與雙曲線相交，由弦長(zhǎng)公式及三角形面積公式可得結(jié)果；
（3）根據(jù)直線與雙曲線相交，由條件得出點(diǎn)S的軌跡可判斷結(jié)果.
【詳解】（1）圓錐曲線E的離心率為2，故E為雙曲線，
因?yàn)镋中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)E的方程為，
令，解得，所以有 ①
又由離心率為2，得 ②，由①②解得，
所以雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程是．
（2）設(shè)，，由已知，得，根據(jù)直線過(guò)原點(diǎn)及對(duì)稱性，
知，
聯(lián)立方程，得，化簡(jiǎn)整理，得，
所以，且，
所以，解得，
所以直線的方程是或．

（3）若直線l斜率不存在，此時(shí)直線l與雙曲線右支無(wú)交點(diǎn)，不合題意，
故直線l斜率存在，設(shè)直線l方程，聯(lián)立方程，得，
化簡(jiǎn)整理，得，
依題意有，因?yàn)楹愠闪ⅲ?br>所以，故，解得：，
設(shè)，，則由韋達(dá)定理，得，
設(shè)點(diǎn)S的坐標(biāo)為，由，得，
則，變形得到，
將，代入，解得，
將代入中，解得，
消去k，得到點(diǎn)S的軌跡為定直線：上的一段線段（不含線段端點(diǎn)，，設(shè)直線與雙曲線切于，直線與漸近線平行時(shí)于交點(diǎn)為）．
因?yàn)?，，且，取中點(diǎn)，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，故，
即S的軌跡方程為，表示以點(diǎn)H為圓心，半徑為的圓H，
設(shè)直線與y軸，x軸分別交于，，依次作出直線，，，，
且四條直線的斜率分別為：，，，，
因?yàn)?，所以線段是線段的一部分
經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)，均在圓H內(nèi)部，所以線段也必在圓H內(nèi)部，
因此線段也必在圓H內(nèi)部，所以滿足條件的點(diǎn)S始終在圓H內(nèi)部，
故不存在這樣的點(diǎn)S，使得，且成立．
【點(diǎn)睛】直線與圓錐曲線相交，常利用“設(shè)而不求”的方法解決弦長(zhǎng)，面積，數(shù)量積，斜率等問(wèn)題.
【變式3】（2024·廣東佛山·二模）已知以下事實(shí)：反比例函數(shù)（）的圖象是雙曲線，兩條坐標(biāo)軸是其兩條漸近線．
(1)（?。┲苯訉懗龊瘮?shù)的圖象的實(shí)軸長(zhǎng)；
（ⅱ）將曲線繞原點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)，得到曲線，直接寫出曲線的方程．
(2)已知點(diǎn)是曲線的左頂點(diǎn)．圓：（）與直線：交于、兩點(diǎn)，直線、分別與雙曲線交于、兩點(diǎn)．試問(wèn)：點(diǎn)A到直線的距離是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此時(shí)的值；若不存在，說(shuō)明理由．
【答案】(1)（?。?；（ⅱ）．
(2)存在，點(diǎn)A到直線距離的最大值為2，．
【分析】（1）由題意結(jié)合雙曲線的性質(zhì)，即可求得答案；
（2）方法一：設(shè)，，，設(shè)：，聯(lián)立雙曲線方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)而求出兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，結(jié)合，即可求得參數(shù)之間的關(guān)系，代入，即可求得答案；
方法二：設(shè)，，，，，
利用，的方程求出，，的表達(dá)式，即可得的坐標(biāo)，從而求出的方程，可推出過(guò)定點(diǎn)，即可求得答案；
方法三：設(shè)，，，，，可得，設(shè)：，聯(lián)立雙曲線方程化簡(jiǎn)得出，變形后利用根與系數(shù)的關(guān)系可得出，求出n，即可推出過(guò)定點(diǎn)，即可求得答案..
【詳解】（1）（?。┯深}意可知雙曲線的實(shí)軸在上，聯(lián)立，
解得或，即雙曲線的兩頂點(diǎn)為，
故實(shí)軸長(zhǎng)為；
（ⅱ）將曲線繞原點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)，得到曲線，
曲線的方程為；
（2）方法一：設(shè)，，，顯然直線的斜率存在，設(shè)：，
聯(lián)立：得，
所以，，①，
因?yàn)椋?，令，則，同理，，②
依題意得，③
由①②③得，，
所以，即或，
若，則：過(guò)點(diǎn)A，不合題意；
若，則：．所以，恒過(guò)，
所以，．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得，
此時(shí)方程為，結(jié)合，
解得，，，
綜上所述，點(diǎn)A到直線距離的最大值為2，此時(shí)圓的半徑為；
方法二：設(shè)，，，，，
則：，：，
聯(lián)立，得，
為此方程的一根，另外一根為，則，
代入方程得，，
同理可得，，
即，，
則，
所以直線的方程為，
所以直線過(guò)定點(diǎn),
所以．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得，
解得,
綜上所述，點(diǎn)A到直線距離的最大值為2，此時(shí)圓的半徑為；
方法三：設(shè)，，，，，
則，
依題意，直線不過(guò)點(diǎn)A，可設(shè)：，
曲線的方程改寫為，即，
聯(lián)立直線的方程得，
所以，
若，則，代入直線方程，無(wú)解；
故，兩邊同時(shí)除以得，
則，得，
在直線：中，令，則，
所以，恒過(guò)，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得，此時(shí)，符合題意，
且方程為，解得，，，
綜上所述，點(diǎn)A到直線距離的最大值為2，此時(shí)圓的半徑為．
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查雙曲線方程的求解以及直線和雙曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，其中的難點(diǎn)是求解最值問(wèn)題，解答時(shí)要注意利用直線方程和雙曲線方程的聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)，難點(diǎn)就在于化簡(jiǎn)的過(guò)程十分復(fù)雜，計(jì)算量大，并且基本上都是有關(guān)字母參數(shù)的運(yùn)算，需要有較強(qiáng)的計(jì)算能力.
強(qiáng)化訓(xùn)練
1.（2024·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為分別為橢圓的左，右頂點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上異于的一動(dòng)點(diǎn)，面積的最大值為.
(1)求的方程；
(2)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，記的面積為，過(guò)線段的中點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，設(shè)直線的斜率分別為.
①求的取值范圍；
②求證：為定值.
【答案】(1)
(2)①；②證明見解析
【分析】（1）根據(jù)離心率以及面積的最大值，構(gòu)造方程解方程可得的方程為；
（2）①聯(lián)立橢圓與直線方程得出的面積的表達(dá)式，利用對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性即可求得的取值范圍為；
②利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得，得出斜率表達(dá)式即可得，可得為定值.
【詳解】（1）由題意知，解得，
所以的方程為；
（2）①易知，
設(shè)直線方程為，如下圖所示：
聯(lián)立，消去可得，
所以，
且，
可得，
令，
可得，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得在時(shí)單調(diào)遞增；
所以可得；
即的取值范圍為.
②易知，
可得；
所以
；
因此為定值.
2.（22-23高三上·河南焦作·期中）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，以線段為直徑的圓與橢圓僅有個(gè)不同的公共點(diǎn)，且橢圓上一點(diǎn)到的距離之和為．
(1)求的方程；
(2)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線交于，兩點(diǎn)，，若恒成立，求點(diǎn)到點(diǎn)的最小距離．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)圓與橢圓交點(diǎn)個(gè)數(shù)可知，結(jié)合橢圓定義和橢圓之間關(guān)系即可求得橢圓方程；
（2）易知在橢圓內(nèi)部；當(dāng)直線斜率為時(shí)，不是定點(diǎn)，不合題意，由此可設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的結(jié)論；根據(jù)可知，由斜率公式和韋達(dá)定理的結(jié)論可化簡(jiǎn)得到或；分析可知滿足題意，由此確定；設(shè)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最小值的求解問(wèn)題，由此可得結(jié)果.
【詳解】（1）以為直徑的圓與橢圓僅有個(gè)不同的公共點(diǎn)，，
由橢圓定義知：，解得：，
，解得：，的方程為：.
（2）若點(diǎn)在橢圓上或橢圓外，此時(shí)，不合題意，
在橢圓內(nèi)部，即；
當(dāng)直線斜率為時(shí)，為橢圓左右頂點(diǎn)，此時(shí)恒成立，則不是定點(diǎn)，不合題意；
當(dāng)直線斜率不為時(shí)，設(shè)，
由得：，
，則；
設(shè)，，則，；
，，
，
.
或；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)恒成立，則不是定點(diǎn)，不合題意；
當(dāng)時(shí)，滿足；
綜上所述：定點(diǎn)的坐標(biāo)為；
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)到點(diǎn)的最小距離為.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用中的定點(diǎn)問(wèn)題的求解，求解此類問(wèn)題的基本思路如下：
①假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；
②利用求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；
③利用韋達(dá)定理表示出已知中的等量關(guān)系，代入韋達(dá)定理可整理得到變量間的關(guān)系或求得變量的值；
④利用變量間的關(guān)系或變量值確定定點(diǎn)坐標(biāo).
3.（2024·陜西西安·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線，其焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l交拋物線S于A和B兩點(diǎn)，，角（如圖）．
(1)求拋物線S的方程；
(2)在拋物線S上是否存在關(guān)于直線l對(duì)稱的相異兩點(diǎn)，若存在，求出該兩點(diǎn)所在直線的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)；
(2)不存在，理由見解析.
【分析】（1）求出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合拋物線定義及給定弦長(zhǎng)求出即得.
（2）假設(shè)存在符合要求的兩點(diǎn)，并設(shè)出兩點(diǎn)坐標(biāo)，再利用對(duì)稱思想列式求解判斷即得.
【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)，直線方程為，
設(shè)，
由消去得：，則，
，，于是，解得，
所以拋物線S的方程為.
（2）由（1）知直線：，
假設(shè)在拋物線S上存在關(guān)于直線l對(duì)稱的相異兩點(diǎn)，設(shè)這兩點(diǎn)坐標(biāo)為，
于是直線的斜率，解得，
線段的中點(diǎn)在直線上，則，而應(yīng)在線段上，必有與矛盾，
所以在拋物線S上不存在關(guān)于直線l對(duì)稱的相異兩點(diǎn).
【點(diǎn)睛】
思路點(diǎn)睛：有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式（或），若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式.
4.（2024·安徽阜陽(yáng)·一模）已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，動(dòng)直線過(guò)點(diǎn)，當(dāng)直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為．
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(2)當(dāng)直線與雙曲線交于異于的兩點(diǎn)時(shí)，記直線的斜率為，直線的斜率為．是否存在實(shí)數(shù)，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）根據(jù)雙曲線的漸近線方程，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可求解，
（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程得韋達(dá)定理，進(jìn)而可得，根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式表達(dá)斜率，進(jìn)而代入化簡(jiǎn)即可求解.
【詳解】（1），
故當(dāng)直線過(guò)且與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，與的漸近線平行．
設(shè)直線，
則點(diǎn)到直線的距離為，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）由題可知，直線的斜率不為0，
設(shè)直線，
由得．
成立，
則，
．
，
．
故存在實(shí)數(shù)，使得成立．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答直線與圓錐曲線相交的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情況，強(qiáng)化有關(guān)直線與雙曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．
5.．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，過(guò)橢圓上的定點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的兩直線，設(shè)其分別交橢圓于兩點(diǎn)，求證：直線的斜率是定值.
【答案】證明見解析
【分析】設(shè)直線的方程為，，將橢圓方程化為，與直線方程聯(lián)立，齊次化并整理，再利用韋達(dá)定理求出，再結(jié)合，即可得出結(jié)論.
【詳解】由題意可得直線不過(guò)點(diǎn)，且直線的斜率都存在，
設(shè)直線的方程為，，
因?yàn)?br>，
所以橢圓方程可化為，
聯(lián)立，
齊次化并整理可得，
由韋達(dá)定理得，
又因?yàn)?，所以?br>所以，故直線的斜率為定值.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見的方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；
（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．
6．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知橢圓C：.過(guò)點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)為和.設(shè)E，F(xiàn)是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(1)如果直線AE的斜率與直線AF的斜率之和為2，證明：直線EF恒過(guò)定點(diǎn)；
(2)如果直線AE的斜率與直線AF的斜率之積為2，證明：直線EF恒過(guò)定點(diǎn).
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）將直線方程與橢圓方程齊次化，利用韋達(dá)定理可得直線EF的方程為，可得結(jié)論；
（2）由（1）中的結(jié)論由韋達(dá)定理可得直線EF的方程為，得出證明.
【詳解】（1）設(shè)直線EF方程為，即，
從而.
又橢圓過(guò)點(diǎn)，可得
整理可得
所以
即
則
顯然這是一個(gè)關(guān)于的一元二次方程.
對(duì)于問(wèn)題（1），由韋達(dá)定理得
所以，故，則
所以直線EF恒過(guò)定點(diǎn).
（2）對(duì)于問(wèn)題（2），由韋達(dá)定理得
所以，則，
所以直線EF恒過(guò)定點(diǎn).
7．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線：的左右焦點(diǎn)為，，其右準(zhǔn)線為，點(diǎn)到直線的距離為，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，．
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．
【答案】(1)
(2)證明過(guò)程見解析
【分析】（1）由右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離以及通徑長(zhǎng)度，結(jié)合之間的平方關(guān)系即可求解；
（2）設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立雙曲線方程結(jié)合韋達(dá)定理得，用以及的坐標(biāo)表示出點(diǎn)以及的方程，根據(jù)對(duì)稱性可知，只需在的直線方程中，令，證明相應(yīng)的為定值即可求解.
【詳解】（1）由題意，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由題意，當(dāng)直線斜率為0時(shí)，直線，
當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，，
，
所以，
直線的方程為：，
所以的方程為，
由對(duì)稱性可知過(guò)的定點(diǎn)一定在軸上，
令
，
又，
所以，
所以直線過(guò)定點(diǎn).
8．（2022高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知點(diǎn)P是橢圓C: 上的動(dòng)點(diǎn)，，求的最小值.
【答案】
【分析】首先得出的表達(dá)式，再對(duì)其分類討論求最小值即可解決.
【詳解】設(shè)，則
則
==，
當(dāng)時(shí)，，在時(shí)取最小值，
當(dāng)時(shí)，，在時(shí)取最小值，
當(dāng)時(shí)，，在時(shí)取最小值
綜上，
9．（2024·北京豐臺(tái)·一模）已知橢圓()的焦距為，以橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的周長(zhǎng)為16．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．是否存在定點(diǎn)，使得？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，.
【分析】(1)根據(jù)焦距可求c，根據(jù)已知四邊形周長(zhǎng)及a、b、c的關(guān)系可求出a、b，從而可求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)由題可知，若存在定點(diǎn)，使得，等價(jià)于以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)．從而只需從直線l斜率不存著時(shí)入手求出該定點(diǎn)D，斜率存在時(shí)驗(yàn)算即可．
【詳解】（1）由題意得解得
∴橢圓的方程為．
（2）若存在定點(diǎn)，使得，等價(jià)于以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)．
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，為直徑的圓的方程為①，
當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，令，得，
因此為直徑的圓的方程為②．
聯(lián)立①②，得猜測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．
設(shè)直線的方程為，
由得．
設(shè)，則
∴
綜上，存在定點(diǎn)，使得．
10．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的一條漸近線方程為，右焦點(diǎn)F到漸近線的距離為．
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若雙曲線上動(dòng)點(diǎn)Q處的切線交C的兩條漸近線于A，B兩點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：的面積S是定值．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由雙曲線的漸近線方程結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可求雙曲線方程；
（2）討論直線的斜率是否存在，且當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，根據(jù)，找到參數(shù)之間的關(guān)系，線段的長(zhǎng)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出三角形的高，求得面積，即可證明.
【詳解】（1）由已知得漸近線方程為，右焦點(diǎn)，
，，
，解得．
，
，，
雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）①當(dāng)直線經(jīng)過(guò)雙曲線的頂點(diǎn)時(shí)直線的斜率不存在，此時(shí)直線方程為，
此時(shí)易得，點(diǎn)到直線的距離為，所以此時(shí)；
②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線為，
由得，
因?yàn)橹本€于雙曲線相切，所以且，
整理得且，即，
由得，則，
同理得到，
所以
點(diǎn)到直線的距離
所以，
所以的面積為定值.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用，找到參數(shù)之間的關(guān)系，再利用公式求得，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出三角形的高，進(jìn)而求出面積是解題關(guān)鍵.
11．（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）已知橢圓：，是的一個(gè)焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，為的左頂點(diǎn)，直線與交于不同的兩點(diǎn)，．
(1)求的方程；
(2)直線，分別交軸于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)；在軸上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)存在，H的坐標(biāo)為和．
【分析】（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，再結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，解方程組即可求解；
（2）設(shè)點(diǎn)，表示出直線的方程，從而得到點(diǎn)的坐標(biāo)，同理得到點(diǎn)的坐標(biāo)，再由得到，坐標(biāo)代入后結(jié)合題中條件進(jìn)一步計(jì)算求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解.
【詳解】（1）由題意可知，橢圓C的半焦距，
由得，
把D的坐標(biāo)代入C的方程得，
由解得
所以C的方程為．
（2）假設(shè)在軸上存在點(diǎn)H，使得．
設(shè)，由，可知，
所以，即，所以．
因?yàn)橹本€交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱．
設(shè)，，（，且），
由題意得，則直線RP的方程為，令，得，
直線RQ的方程為，令，得，
因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)樵贑上，所以，即，
所以，得．
當(dāng)時(shí)，由，得，
，，
所以，，
所以，又，為銳角，所以，
所以，滿足題意，同理當(dāng)時(shí)，也滿足題意．
所以，在軸上存在點(diǎn)H，使得，且H的坐標(biāo)為和．
12．（2024·山東濟(jì)南·一模）已知雙曲線C：的左右頂點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線C的右支交于M，N兩點(diǎn).
(1)若直線的斜率k存在，求k的取值范圍；
(2)記直線，的斜率分別為，，求的值；
(3)設(shè)G為直線與直線的交點(diǎn)，，的面積分別為，，求的最小值.
【答案】(1)；
(2)；
(3)3.
【分析】（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合題意列出不等式組，即可求解；
（2）由（1）得到，求得，結(jié)合斜率公式，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解；
（3）由（2）可知，設(shè)與的方程分別為和，兩兩方程組，求得，結(jié)合三角形的面積公式和不等式的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】（1）解：設(shè)，，直線的方程為，
聯(lián)立方程組，整理得，
因?yàn)橹本€與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，
可得 ，解得，
又由直線的斜率為，可得的取值范圍是.
（2）解：由雙曲線，可得，，
由（1）可得，，則.
所以
.
（3）解：由（2）可知，
所以直線與直線的方程分別為和，
聯(lián)立兩直線方程可得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
于是
，
故的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)成立.

【點(diǎn)睛】方法技巧：求解圓錐曲線的最值問(wèn)題的解答策略與技巧：
1、幾何方法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓、圓錐曲線的定義、圖形，以及幾何性質(zhì)求解；
2、代數(shù)方法：當(dāng)題目給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③單調(diào)性法；④三角換元法；⑤導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.
13．（2024·陜西寶雞·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，下頂點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)．
(1)求橢圓的方程；
(2)若點(diǎn)均在橢圓上，且滿足直線與的斜率之積為，
（?。┣笞C：直線過(guò)定點(diǎn)；
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，求直線的方程．
【答案】(1)
(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）
【分析】（1）首先求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到，再由橢圓過(guò)點(diǎn)，求出；
（2）（?。┰O(shè)直線的方程為，、，直線方程代入橢圓方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得，代入后化簡(jiǎn)得的值，代入直線方程可得定點(diǎn)坐標(biāo)；
（ⅱ）設(shè)直線恒過(guò)定點(diǎn)為，由，可得，結(jié)合（ⅰ）中韋達(dá)定理求出、，即可求出，從而求出直線方程.
【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，所以橢圓的下頂點(diǎn)，則，
又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，
所以橢圓方程為；
（2）（?。┊?dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)，則，
所以，則，與矛盾，
所以直線的斜率存在，
由已知直線斜率同號(hào)，因此直線的斜率存在且不為，
設(shè)直線的方程為，設(shè)，
由得，
由，可得，
所以，，
則
，
，
所以，
即，
所以，解得或，
當(dāng)時(shí)直線方程為，令，可得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，不合題意，
當(dāng)時(shí)直線方程為，令，可得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，符合題意．
綜上可得直線恒過(guò)定點(diǎn).
（ⅱ）設(shè)直線恒過(guò)定點(diǎn)為，
此時(shí)，解得，
由，可得，
又，，
所以，，
所以，解得，滿足，
所以，
所以直線方程為.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：處理圓錐曲線上直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的方法．
設(shè)出直線方程為，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立方程組，消元后應(yīng)用韋達(dá)定理得，代入題中關(guān)于交點(diǎn)的滿足的的條件可得出關(guān)系，從而代入直線方程后得定點(diǎn)坐標(biāo)．
14．（2024·貴州黔東南·二模）已知雙曲線的漸近線方程為的焦距為，且.
(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若為上的一點(diǎn)，且為圓外一點(diǎn)，過(guò)作圓的兩條切線，（斜率都存在），與交于另一點(diǎn)與交于另一點(diǎn)，證明：
（i）的斜率之積為定值；
（ii）存在定點(diǎn)，使得關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
【答案】(1)
(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析
【分析】（1）利用漸近線方程可得，再由焦距為以及即可求得，，可得的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）（i）設(shè)切線方程為，利用直線和圓相切可得，再由韋達(dá)定理整理可得的斜率之積為定值，且定值為2；
（ii）聯(lián)立直線與雙曲線方程，可得，同理可求出，化簡(jiǎn)得，所以，因此關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
【詳解】（1）因?yàn)榈臐u近線方程為，所以，
則，所以，
因?yàn)?，所以，?
因?yàn)椋?，可得?br>所以，
故的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）證明：（i）設(shè)，如下圖所示：
設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線的斜率為，則切線方程為，
即，所以，
即，
因此的斜率是上式中方程的兩根，即.
又因?yàn)樗?br>所以的斜率之積為定值，且定值為2.
（ii）不妨設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，
聯(lián)立，得.
因?yàn)椋裕?br>則，同理可得，
所以.
因?yàn)?，所?所以，
得.
因?yàn)槎荚谏?，所以或（舍去）?br>所以存在定點(diǎn)，使得關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：處理圓錐曲線中定點(diǎn)、定值時(shí)，經(jīng)常聯(lián)立直線和曲線方程利用韋達(dá)定理對(duì)表達(dá)式進(jìn)行整理化簡(jiǎn)，便可得出結(jié)論.
15．（23-24高三下·浙江·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于M，N兩點(diǎn)在第一象限）.
(1)當(dāng)時(shí)，求直線的方程;
(2)若三角形OMN的外接圓與曲線交于點(diǎn)（異于點(diǎn)O，M，N），
（i）證明:△MND的重心的縱坐標(biāo)為定值，并求出此定值;
（ii）求凸四邊形OMDN的面積的取值范圍.
【答案】(1)
(2)（i）證明見解析；縱坐標(biāo)為0；（ii）.
【分析】（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，由韋達(dá)定理和已知關(guān)系即可求解.
（2）（i）由O，M，D，N四點(diǎn)共圓，設(shè)該圓的方程為，
聯(lián)立，消去，得，由方程根的思想即可求解. 或O，M，C，N四點(diǎn)共圓，由，，也可求解.
（2）（ii）記的面積分別為，分別聯(lián)立方程先求出，所以，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)一步化簡(jiǎn)為，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)進(jìn)而求解.
【詳解】（1）解:設(shè)直線
聯(lián)立，消去，得，
所以，
，則
，則，又由題意，
直線的方程是;
（2）（1）方法1:設(shè)
因?yàn)镺，M，D，N四點(diǎn)共圓，設(shè)該圓的方程為，
聯(lián)立，消去，得，
即，
所以即為關(guān)于的方程的3個(gè)根，
則，
因?yàn)椋?br>由的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等得，，所以的重心的縱坐標(biāo)為0.
方法2:設(shè)，則，
因?yàn)镺，M，C，N四點(diǎn)共圓，所以，即，
化簡(jiǎn)可得:，
所以的重心的縱坐標(biāo)為0.
（2）記的面積分別為，由已知得直線MN的斜率不為0，設(shè)直線，聯(lián)立，消去，得，所以，
所以，
由（1）得，，
所以，即，
因?yàn)椋?br>點(diǎn)到直線MN的距離，
所以，
所以
在第一象限，即，
依次連接O，M，D，N構(gòu)成凸四邊形OMDN，所以，即，
又因?yàn)?，即，即?br>所以，即，即，
所以，
設(shè)，則，
令，則，
因?yàn)?，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，
所以的取值范圍為.
16．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，且在第一象限內(nèi)，滿足.
(1)求的平分線所在的直線的方程；
(2)在橢圓上是否存在關(guān)于直線對(duì)稱的相異的兩點(diǎn)，若存在，請(qǐng)找出這兩點(diǎn)；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)已知雙曲線與橢圓有共同的焦點(diǎn)，且雙曲線與橢圓相交于，若四邊形的面積最大時(shí)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【答案】(1)
(2)不存在滿足題設(shè)條件相異的兩點(diǎn)，理由見解析
(3)
【分析】（1）結(jié)合橢圓定義與角平分線性質(zhì)計(jì)算即可得；
（2）利用反證法，假設(shè)存在，設(shè)出該直線，聯(lián)立后借助韋達(dá)定理找出矛盾點(diǎn)即可得假設(shè)不成立；
（3）設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程后，表示出四邊形的面積后借助基本不等式計(jì)算即可得.
【詳解】（1）設(shè)的平分線與軸交于點(diǎn)，
由，則，由，有，故，
故，則，解得，故，
由角平分線的性質(zhì)可得，所以，
解得，故，則有，
即直線的方程為；

（2）假設(shè)存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則，所以，
設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，
得，則，
即，
所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)在直線，
所以，所以，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
與點(diǎn)重合，矛盾，所以不存在滿足題設(shè)條件相異的兩點(diǎn)；
（3）由題意知，，
設(shè)與橢圓共焦點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
設(shè)它們的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，它們的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積記，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào)，因?yàn)?，所以?br>所以，所以，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
17．（2024·廣東廣州·一模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的焦距為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).
(1)求的方程：
(2)若直線與交于，兩點(diǎn)，且，求的取值范圍：
(3)已知點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在定圓，使得當(dāng)過(guò)點(diǎn)能作圓的兩條切線，時(shí)（其中，分別是兩切線與的另一交點(diǎn)），總滿足？若存在，求出圓的半徑：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）根據(jù)焦距以及經(jīng)過(guò)的點(diǎn)即可聯(lián)立求解，
（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程得韋達(dá)定理，進(jìn)而根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)得，根據(jù)弦長(zhǎng)公式，結(jié)合不等式即可求解，
（3）根據(jù)圓心到直線的距離可得，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算可判斷，結(jié)合對(duì)稱性即可求解；或者利用切線關(guān)系得,根據(jù)斜率相乘關(guān)系，代入韋達(dá)定理化簡(jiǎn)可得半徑.
【詳解】（1）由題意可得，解得，
故雙曲線方程為
（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè),
將其代入雙曲線方程，
又，解得，
此時(shí)，
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，設(shè),
聯(lián)立，
故，
則
，
化簡(jiǎn)得，此時(shí)，
所以
，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，
，故，
因此，
綜上可得.

（3）解法一：當(dāng)直線與相切時(shí)，
圓心到直線的距離，
設(shè)設(shè),
類似（2）中的計(jì)算可得
，
所以，
由雙曲線的對(duì)稱性，延長(zhǎng)交雙曲線于另一點(diǎn),
則，且，
根據(jù)軸對(duì)稱性可得,且直線與也相切，即即為,
符合題意，

當(dāng)或斜率不存在時(shí)，此時(shí)，，顯然滿足題意，
故存在這樣的圓，半徑為
解法二：

設(shè)，，
由于為圓的切線，平分，且,所以,
設(shè)過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線方程為（直線斜率存在時(shí)）
，
，將兩根記為，
，
同理可得
故
，
故存在這樣的圓，半徑為
當(dāng)或斜率不存在時(shí)，此時(shí)，，顯然滿足題意，
故存在這樣的圓，半徑為
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值與范圍問(wèn)題的常見求法：（1）幾何法，若題目的條件能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，如本題需先將用k表示出來(lái)，然后再利用基本不等式長(zhǎng)最值．
18．（2024·江蘇·一模）已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為A，直線l：與x軸交于點(diǎn)M，且，
(1)求C的方程；
(2)B為l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)B作C的兩條切線，分別交y軸于點(diǎn)P，Q，
①證明：直線BP，BF，BQ的斜率成等差數(shù)列；
②⊙N經(jīng)過(guò)B，P，Q三點(diǎn)，是否存在點(diǎn)B，使得，？若存在，求；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)
(2)①證明見解析；②存在，
【分析】（1）先求出右頂點(diǎn)D和M的坐標(biāo)，利用題中條件列等式，分類討論計(jì)算得出橢圓的方程；
（2）設(shè)直線的方程為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得出韋達(dá)定理，由題意，將韋達(dá)定理代入可出答案.
【詳解】（1）由右焦點(diǎn)為，得，
因?yàn)椋裕?br>若，則，得，無(wú)解，
若，則，得，所以，因此C的方程.
（2）設(shè)，易知過(guò)B且與C相切的直線斜率存在，
設(shè)為，
聯(lián)立，消去y得，
由，得，
設(shè)兩條切線BP，BQ的斜率分別為，，則，.
①設(shè)BF的斜率為，則，
因?yàn)?，所以BP，BF，BQ的斜率成等差數(shù)列，

②法1：在中，令，得，所以，
同理，得，所以PQ的中垂線為，
易得BP中點(diǎn)為，所以BP的中垂線為，
聯(lián)立，解得，
所以，，
要使，即，整理得，
而，
所以，解得，，因此，
故存在符合題意的點(diǎn)B，使得，此時(shí).

法2：在中，令，得，因此，
同理可得，所以PQ的中垂線為，
因?yàn)锽P中點(diǎn)為，所以BP的中垂線為，
聯(lián)立，解得，
要使，則，所以，即，
而，
所以，解得，，因此，
故存在符合題意的點(diǎn)B，使得，此時(shí).

法3：要使，即或，
從而，又，所以，
因?yàn)椋?br>所以，解得，，所以，
故存在符合題意的點(diǎn)B，使得，此時(shí).

法4：要使，即或，
從而，
在中，令，得，故，
同理可得，
因此，，
所以，
故，即，
整理得，
所以，整理得，解得或（舍去），
因此，，
故存在符合題意的點(diǎn)B，使得，此時(shí).

法5：要使，即或，
在中，令，得，故，
同理可得，
由等面積法得，
即，整理得，
所以，整理得，解得或（舍去），
因此，，
故存在符合題意的點(diǎn)B，使得，此時(shí).
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
19．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）設(shè)、是橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，線段的中垂線與橢圓交于，兩點(diǎn)；
(1)求的方程，并確定的取值范圍：
(2)判斷是否存在，使、、、四點(diǎn)共圓，若存在，則寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明原因．
【答案】(1)，
(2)存在，
【分析】（1）設(shè)直線的方程為，代入，整理得：，然后結(jié)合題設(shè)條件由根與經(jīng)數(shù)的關(guān)系和根的判別式能夠求出直線的方程．
（2）由題意知直線的方程為代入橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理，由弦長(zhǎng)公式可得，同理可得，即可得到，依題意可得必為圓的直徑，的中點(diǎn)為圓心，由即可得證，從而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【詳解】（1）依題意，可設(shè)直線的方程為，
代入，整理得①，
設(shè)，，則，是方程①的兩個(gè)不同的根，
②，且．
由是線段的中點(diǎn)，得，
解得，代入②得，
即的取值范圍是．
于是直線的方程為，即．
（2）
垂直平分，
直線的方程為，即代入橢圓方程，整理得③．
又設(shè)，，的中點(diǎn)為，
則，是方程③的兩根，
，，且，，即，
于是由弦長(zhǎng)公式可得．④
將直線的方程代入橢圓方程得⑤．
所以，，
同理可得⑥．
當(dāng)時(shí)，，
．
假設(shè)存在，使得、、、四點(diǎn)共圓，則必為圓的直徑，點(diǎn)為圓心．
點(diǎn)到直線的距離為⑦．
于是，由④⑥⑦式及勾股定理可得．
故當(dāng)時(shí)，、、、四點(diǎn)均在以為圓心，為半徑的圓上．
此時(shí)圓的方程為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
20．（2024·四川成都·二模）已知雙曲線的左?右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為.過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，且直線的斜率之積為.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)直線分別與直線相交于兩點(diǎn)，求證：以為直徑的圓經(jīng)過(guò)軸上的定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1)
(2)證明見解析，
【分析】
（1）設(shè)，根據(jù)直線的斜率之積為及在雙曲線求出，即可得解；
（2）設(shè)，直線，聯(lián)立方程，理由韋達(dá)定理求出，再求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出以為直徑的圓的方程，再令，即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）設(shè)，
，
，
在雙曲線上，
，
解得，
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）設(shè)，直線，
由，消去得，
，
，
直線，
令，解得，同理可得，
以為直徑的圓的方程為，
令，得，
，
，解得或，
以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn).
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題或圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，通常要設(shè)出直線方程，與圓錐曲線聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，再表達(dá)出直線方程或圓的方程，結(jié)合方程特點(diǎn)，求出所過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo).

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