2.三角恒等變換以選擇題、填空題為主，解三角形以解答題為主，中等難度．
知識導(dǎo)圖
考點分類講解
考點一：三角恒等變換
1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sinαcsβ±csαsinβ；
(2)cs(α±β)＝csαcsβ?sinαsinβ；
(3)tan(α±β)＝eq \f(tan α±tan β,1?tan αtan β).
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sinαcsα；
(2)cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
規(guī)律方法 三角恒等變換的“4大策略”
(1)常值代換：特別是“1”的代換，1＝sin2θ＋cs2θ＝tan 45°等．
(2)項的拆分與角的配湊：如sin2α＋2cs2α＝(sin2α＋cs2α)＋cs2α，α＝(α－β)＋β等．
(3)降冪與升冪：正用二倍角公式升冪，逆用二倍角公式降冪．
(4)弦、切互化：一般是切化弦．
考點二：正弦定理、余弦定理及綜合應(yīng)用
1．正弦定理：在△ABC中，eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(R為△ABC的外接圓半徑)．
變形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝eq \f(a,2R) ，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R) ，
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等．
2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccs A.
變形：b2＋c2－a2＝2bccs A，cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc).
3．三角形的面積公式：S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A.
考向1：正弦定理、余弦定理
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】方法一：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結(jié)合倍角公式運算求解；方法二：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結(jié)合余弦定理運算求解；方法三：根據(jù)切線結(jié)合點到直線的距離公式可得，利用韋達定理結(jié)合夾角公式運算求解.
【詳解】方法一：因為，即，可得圓心，半徑，
過點作圓C的切線，切點為，
因為，則，
可得，
則，
，
即為鈍角，
所以；
法二：圓的圓心，半徑，
過點作圓C的切線，切點為，連接，
可得，則，
因為
且，則，
即，解得，
即為鈍角，則，
且為銳角，所以；
方法三：圓的圓心，半徑，
若切線斜率不存在，則切線方程為，則圓心到切點的距離，不合題意；
若切線斜率存在，設(shè)切線方程為，即，
則，整理得，且
設(shè)兩切線斜率分別為，則，
可得，
所以，即，可得，
則，
且，則，解得.
故選：B.

2．在ABC中，．則A的取值范圍是（ ）
A．（0，]B．[，）C．（0，]D．[，）
【答案】C
【詳解】試題分析：
由于，根據(jù)正弦定理可知，故．又，則的范圍為.故本題正確答案為C.
考點：三角形中正余弦定理的運用.
3．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知，，，則b=（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】D
【詳解】由余弦定理得，
解得（舍去），故選D.
【考點】余弦定理
【名師點睛】本題屬于基礎(chǔ)題,考查內(nèi)容單一,根據(jù)余弦定理整理出關(guān)于b的一元二次方程,再通過解方程求b.運算失誤是基礎(chǔ)題失分的主要原因,請考生切記！
4．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c．已知，a=2，c=，則C=（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】試題分析：根據(jù)誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式以及正弦定理計算即可
詳解：sinB=sin（A+C）=sinAcsC+csAsinC，
∵sinB+sinA（sinC﹣csC）=0，
∴sinAcsC+csAsinC+sinAsinC﹣sinAcsC=0，
∴csAsinC+sinAsinC=0，
∵sinC≠0，
∴csA=﹣sinA，
∴tanA=﹣1，
∵＜A＜π，
∴A= ，
由正弦定理可得，
∵a=2，c=，
∴sinC== ，
∵a＞c，
∴C=，
故選B．
點睛：本題主要考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，屬于難題.在解與三角形有關(guān)的問題時，正弦定理、余弦定理是兩個主要依據(jù). 解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個定理更方便、簡捷一般來說 ,當條件中同時出現(xiàn) 及 、 時，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時，往往運用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進行解答.
5．在中，,BC=1,AC=5，則AB=（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】分析：先根據(jù)二倍角余弦公式求csC,再根據(jù)余弦定理求AB.
詳解：因為
所以，選A.
點睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達到解決問題的目的.
二、多選題
6．（2022·全國·高考真題）雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點，且，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】依題意不妨設(shè)雙曲線焦點在軸，設(shè)過作圓的切線切點為，利用正弦定理結(jié)合三角變換、雙曲線的定義得到或，即可得解，注意就在雙支上還是在單支上分類討論.
【詳解】[方法一]：幾何法，雙曲線定義的應(yīng)用
情況一
M、N在雙曲線的同一支，依題意不妨設(shè)雙曲線焦點在軸，設(shè)過作圓的切線切點為B，
所以，因為，所以在雙曲線的左支，
，， ，設(shè)，由即，則，
選A
情況二
若M、N在雙曲線的兩支，因為，所以在雙曲線的右支，
所以，， ，設(shè)，
由，即，則，
所以，即，
所以雙曲線的離心率
選C
[方法二]：答案回代法
特值雙曲線
，
過且與圓相切的一條直線為，
兩交點都在左支,，
，
則，
特值雙曲線，
過且與圓相切的一條直線為，
兩交點在左右兩支，在右支，，
，
則，
[方法三]：
依題意不妨設(shè)雙曲線焦點在軸，設(shè)過作圓的切線切點為，
若分別在左右支，
因為，且，所以在雙曲線的右支，
又，，，
設(shè)，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以雙曲線的離心率
若均在左支上，
同理有，其中為鈍角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故選：AC.
7．三角形的三邊所對的角為，，則下列說法正確的是（ ）
A．B．若面積為，則周長的最小值為12
C．當，時，D．若，，則面積為
【答案】ABD
【分析】由題意可得，選項A：利用正弦定理邊角互化結(jié)合余弦定理即可求角的大??；選項B：由三角形面積和角可得，利用均值不等式求周長最小值即可；選項C：利用邊角互化后得到的解即可；選項D：利用正弦定理求，然后后面積公式求解即可.
【詳解】因為，
由題意可得，
整理得，
由正弦定理邊角互化得，
又由余弦定理得，所以，A正確；
當時，，所以，當且僅當時等號成立，
所以，即，
所以，B正確；
由當，時，，解得，C錯誤；
由，得，由正弦定理得解得，
又因為，
所以，D正確；
故選：ABD.
三、填空題
8．（2022·全國·高考真題）已知中，點D在邊BC上，．當取得最小值時， ．
【答案】/
【分析】設(shè)，利用余弦定理表示出后，結(jié)合基本不等式即可得解.
【詳解】[方法一]：余弦定理
設(shè)，
則在中，，
在中，，
所以
，
當且僅當即時，等號成立，
所以當取最小值時，.
故答案為：.
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D為原點，OC為x軸，建立平面直角坐標系.
則C（2t,0），A（1，），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
設(shè)BD=x,CD=2x.由余弦定理得
，，
，，
令，則，
，
，
當且僅當，即時等號成立.
[方法四]：判別式法
設(shè)，則
在中，，
在中，，
所以，記，
則
由方程有解得：
即，解得：
所以，此時
所以當取最小值時，，即.
四、解答題
9．（2022·全國·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．
(1)求的面積；
(2)若，求b．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先表示出，再由求得，結(jié)合余弦定理及平方關(guān)系求得，再由面積公式求解即可；
（2）由正弦定理得，即可求解.
【詳解】（1）由題意得，則，
即，由余弦定理得，整理得，則，又，
則，，則；
（2）由正弦定理得：，則，則，.
考向2:解三角形中的最值與范圍問題
規(guī)律方法 解三角形中常見的求最值與范圍問題的解題策略
(1)利用余弦定理，找三角形三邊之間的關(guān)系，利用基本不等式將a＋b與ab相互轉(zhuǎn)化求最值范圍．
(2)利用正弦定理，將邊化成角的正弦，利用三角恒等變換進行化簡；利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值、范圍．
一、解答題
1．（2023·河南開封·一模）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，且.
(1)求；
(2)若的面積為，求的周長.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）已知條件由正弦定理得，可求；
（2）由的面積得，余弦定理求，可得的周長.
【詳解】（1）由正弦定理得，則.
（2），得，
由余弦定理，
即，則，所以，
的周長為.
2．已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等變換化簡已知條件，然后利用整體代入法求得的單調(diào)遞減區(qū)間.
（2）利用余弦定理求得，結(jié)合三角函數(shù)值域的求法求得的取值范圍.
【詳解】（1）
令，則
所以，單調(diào)減區(qū)間是.
（2）由得：
，即，
由于，所以.
在中，，
，
于是，則，，
，所以.
3．已知中，角所對的邊分別為，且.
(1)求角A的大?。?br>(2)若，求面積的最大值以及周長的最大值.
【答案】(1)
(2)面積的最大值為，周長的最大值為
【分析】（1）利用正弦定理角化邊再結(jié)合余弦定理即可求得答案；
（2）由題意利用余弦定理結(jié)合基本不等式可得，利用三角形面積公式可得面積的最大值；再用余弦定理結(jié)合基本不等式求得，即可求得三角形周長的最大值.
【詳解】（1）依題意得，，
由正弦定理，得，
所以，
因為，所以.
（2）由得，，即，
當且僅當時，等號成立，
所以的面積，
所以面積的最大值為.
又，
所以，當且僅當時，等號成立，
故的周長為，
故周長的最大值為.
4．（2023·湖南長沙·一模）在銳角中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知．
(1)求角B的值；
(2)若，求的周長的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)正弦定理得到，再利用余弦定理求出；
（2）根據(jù)正弦定理得到，從而得到，求出，得到，，從而求出周長的取值范圍.
【詳解】（1），由正弦定理得：，
即，
由余弦定理得：，
因為，
所以；
（2）銳角中，，，
由正弦定理得：，
故，
則
，
因為銳角中，，
則，，
解得：，
故，，
則，
故，
所以三角形周長的取值范圍是.
【點睛】解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)的范圍問題，或與角度有關(guān)的范圍問題，
常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；
②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；
③巧妙利用三角換元，實現(xiàn)邊化角，進而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值
考點三:解三角形的實際應(yīng)用
解三角形應(yīng)用題的?？碱愋?br>(1)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．
(2)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解．
規(guī)律方法 解三角形實際問題的步驟
①需要測量的數(shù)據(jù)有：點到，點的俯角；
點到，的俯角；，的距離 ……….
②第一步：計算. 由正弦定理 ；
第二步：計算. 由正弦定理 ；
第三步：計算. 由余弦定理
一、解答題
1．如圖，某城市有一條從正西方通過市中心后轉(zhuǎn)向東偏北方向的公路，為了緩解城市交通壓力，現(xiàn)準備修建一條繞城高速公路，并在上分別設(shè)置兩個出口在的東偏北的方向（兩點之間的高速公路可近似看成直線段），由于之間相距較遠，計劃在之間設(shè)置一個服務(wù)區(qū)．

(1)若在的正北方向且，求到市中心的距離和最小時的值；
(2)若在市中心的距離為，此時在的平分線與的交點位置，且滿足，求到市中心的最大距離．
【答案】(1)，
(2)20
【分析】（1）利用正弦定理，將分別用表示，再利用基本不等式求的最小值；（2）先由化簡得到，再根據(jù)三角形面積公式列方程得到與的函數(shù)關(guān)系，由函數(shù)單調(diào)性求得的最大值.
【詳解】（1）設(shè)，在中，
在中，由正弦定理得
當且僅當，即時取到等號
到市中心的距離和最小時，．
（2），
，即
，
又
即
當時，
2．如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點處下上至處有兩種路徑．一種是從沿直線步行到，另一種是先從沿索道乘纜車到，然后從沿直線步行到．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從處下山，甲沿勻速步行，速度為．在甲出發(fā)后，乙從乘纜車到，在處停留后，再從勻速步行到，假設(shè)纜車勻速直線運動的速度為，山路長為1260，經(jīng)測量，．
（1）求索道的長；
（2）問：乙出發(fā)多少后，乙在纜車上與甲的距離最短？
（3）為使兩位游客在處互相等待的時間不超過，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？
【答案】（1）m （2）（3）（單位：m/min）
【詳解】（1）在中，因為，，
所以，，
從而．
由正弦定理，得（）．
（2）假設(shè)乙出發(fā)后，甲、乙兩游客距離為，此時，甲行走了，乙距離處，
所以由余弦定理得，
由于，即，
故當時，甲、乙兩游客距離最短．
（3）由正弦定理，
得（）．
乙從出發(fā)時，甲已走了（），還需走710才能到達．
設(shè)乙步行的速度為，由題意得，解得，
所以為使兩位游客在處互相等待的時間不超過，乙步行的速度應(yīng)控制在（單位：）范圍內(nèi)．
考點：正弦、余弦定理在實際問題中的應(yīng)用.
【方法點睛】本題主要考查了正弦、余弦定理在實際問題中的應(yīng)用，考查了考生分析問題和利用所學知識解決問題的能力，屬于中檔題.解答應(yīng)用問題，首先要讀懂題意，設(shè)出變量建立題目中的各個量與變量的關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系和不等關(guān)系求解.本題解得時，利用正余弦定理建立各邊長的關(guān)系，通過二次函數(shù)和解不等式求解，充分體現(xiàn)了數(shù)學在實際問題中的應(yīng)用.
3．為了測量兩山頂M，N間的距離，飛機沿水平方向在A，B兩點進行測量，A，B，M，N在同一個鉛垂平面內(nèi)（如示意圖），飛機能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離，請設(shè)計一個方案，包括：①指出需要測量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標出）；②用文字和公式寫出計算M，N間的距離的步驟.
【答案】見解析
【詳解】
要求長度，需要測量的數(shù)據(jù)有：點到，點的俯角，最后通過正弦定理得到最終結(jié)果.
強化訓(xùn)練
一、單選題
1．（2021·全國·高考真題）2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點，且A，B，C在同一水平面上的投影滿足，．由C點測得B點的仰角為，與的差為100；由B點測得A點的仰角為，則A，C兩點到水平面的高度差約為（）（ ）
A．346B．373C．446D．473
【答案】B
【分析】通過做輔助線，將已知所求量轉(zhuǎn)化到一個三角形中，借助正弦定理，求得，進而得到答案．
【詳解】
過作，過作，
故，
由題，易知為等腰直角三角形，所以．
所以．
因為，所以
在中，由正弦定理得：
，
而，
所以
所以．
故選：B．
【點睛】本題關(guān)鍵點在于如何正確將的長度通過作輔助線的方式轉(zhuǎn)化為．
2．（2021·全國·高考真題）若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由二倍角公式可得，再結(jié)合已知可求得，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.
【詳解】
，
，，，解得，
，.
故選：A.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查三角函數(shù)的化簡問題，解題的關(guān)鍵是利用二倍角公式化簡求出.
3．若，，且，，則的值是（ ）
A． B．
C．或D．或
【答案】A
【分析】先計算和的取值范圍，根據(jù)取值范圍解出和的值，再利用
求解的值.
【詳解】∵，∴.
∵，∴，
∴，.
∵，∴，
∴，
∴
.
又∵，
∴.
故選：A.
【點睛】本題考查三角恒等變換中和差角公式的運用，難度一般.解答時，要注意三角函數(shù)值的正負問題，注意目標式與條件式角度之間的關(guān)系，然后通過和差角公式求解.
4．如圖，在中，，點D在線段BC上，且，，則的面積的最大值為（ ）
A．B．4C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)，則，根據(jù)三角形的面積公式求出AC，AB，然后由，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出面積的最大值．
【詳解】解：設(shè)，則．
，，，，
，同理，
其中，
，當時，，．
故選：C．
【點睛】本題考查了余弦定理和三角恒等變換，以及三角形的面積公式，考查了運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
5．在中，，BC邊上的高等于,則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】試題分析：設(shè)
,故選C.
考點：解三角形.
6．如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為，，此時氣球的高是
，則河流的寬度BC等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】，，，
所以
.
故選C.
7．已知 ∈（0，），2sin2α=cs2α+1，則sinα=
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用二倍角公式得到正余弦關(guān)系，利用角范圍及正余弦平方和為1關(guān)系得出答案．
【詳解】，．
，又，，又，，故選B．
【點睛】本題為三角函數(shù)中二倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的考查，中等難度，判斷正余弦正負，運算準確性是關(guān)鍵，題目不難，需細心，解決三角函數(shù)問題，研究角的范圍后得出三角函數(shù)值的正負，很關(guān)鍵，切記不能憑感覺．
8．（22-23高三上·江蘇南京·階段練習）阻尼器是一種以提供阻力達到減震效果的專業(yè)工程裝置.我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“定樓神器”，如圖1.由物理學知識可知，某阻尼器的運動過程可近似為單擺運動，其離開平衡位置的位移和時間的函數(shù)關(guān)系為，如圖2，若該阻尼器在擺動過程中連續(xù)三次到達同一位置的時間分別為，，，且，，則在一個周期內(nèi)阻尼器離開平衡位置的位移大于0.5m的總時間為（ ）

A．B．C．1sD．
【答案】C
【分析】先根據(jù)周期求出，再解不等式，得到的范圍即得解.
【詳解】因為，，，所以，又，所以，
則，由可得，
所以，，
所以，，故，
所以在一個周期內(nèi)阻尼器離開平衡位置的位移大于0.5m的總時間為1s.
故選：C.
二、多選題
9．（2023·海南海口·一模）如圖，在棱長為1的正方體中，Q是棱上的動點，則下列說法正確的是（ ）

A．不存在點Q，使得
B．存在點Q，使得
C．對于任意點Q，Q到的距離的取值范圍為
D．對于任意點Q，都是鈍角三角形
【答案】ABC
【分析】證明直線與是異面直線判斷A，當與重合時，可判斷BD，設(shè)（），計算出的面積的最大值和最小值后從而可得Q到的距離的最小值和最大值，從而判斷C．
【詳解】由平面，平面，，平面，∴直線與是異面直線，A正確；
平面，平面，則，又，與是平面內(nèi)兩相交直線，所以平面，又平面，所以，即當與重合時，，B正確，此時是直角三角形，D錯；
設(shè)（），，，，
，
，
所以，
，
所以時，，或1時，，所以的最大值是，最小值是，
記到的距離為，，因此的最大值是，的最小值是，C正確．
故選：ABC．

10．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知中，，．下列說法中正確的是（ ）
A．若是鈍角三角形，則
B．若是銳角三角形，則
C．的最大值是
D．的最小值是
【答案】BC
【分析】根據(jù)為鈍角時即可判斷A，根據(jù)正弦定理結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可判斷BCD.
【詳解】對于A,若為鈍角，則,故，A錯誤，
對于B,由正弦定理可得，
由于是銳角三角形，所以且，故，
故，進而，故B正確，
對于C, ,由于，所以時，取最大值，故最大值為，C正確，
對于D，由正弦定理可得
當時，，故D錯誤，
故選：BC
11．（23-24高三下·重慶·階段練習）如圖，在海面上有兩個觀測點在的正北方向，距離為，在某天10：00觀察到某航船在處，此時測得分鐘后該船行駛至處，此時測得，則（ ）

A．觀測點位于處的北偏東方向
B．當天10：00時，該船到觀測點的距離為
C．當船行駛至處時，該船到觀測點的距離為
D．該船在由行駛至的這內(nèi)行駛了
【答案】ACD
【分析】利用方位角的概念判斷A，利用正弦定理、余弦定理求解后判斷BCD．
【詳解】A選項中，,，
因為在D的正北方向，所以位于的北偏東方向，故A正確.
B選項中，在中，，，則,又因為，
所以km,故B錯誤.
C選項中，在中，由余弦定理，得
，即km，故C正確.
D選項中，在中，，，則.
由正弦定理，得AC=km，故D正確.
故選：ACD．
三、填空題
12．（2024·北京平谷·模擬預(yù)測）若的面積為，且為鈍角，則 ；的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】由三角形面積公式可得，可求出；再根據(jù)為鈍角限定出，利用正弦定理可得，可得其范圍是.
【詳解】根據(jù)題意可得面積，
可得，即，
又易知為銳角，可得；
由正弦定理可得，
因為為鈍角，可得，所以；
可得，因此；
故答案為：；；
13．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為，位于第一象限的點在上，為坐標原點，且滿足，則外接圓的半徑為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意得出拋物線的焦點坐標和點，再利用三角形面積公式即可求解.
【詳解】由題可得，由，可得點的橫坐標為，所以，
所以，
設(shè)外接圓的半徑為，
則由正弦定理可得，
所以外接圓的半徑為.
故答案為：.
14．（2024高三·江蘇·專題練習）的內(nèi)角所對邊分別為，點O為的內(nèi)心，記△OBC，的面積分別為，，，已知，，若為銳角三角形，則 AC的取值范圍為 .
【答案】
【分析】首先根據(jù)得到，由余弦定理可得，再結(jié)合正弦定理以及銳角三角形的條件求AC的取值范圍即可.
【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，因為，
所以，化簡得：，
所以，因為，所以，所以，
因為，所以，
因為為銳角三角形，
所以，，解得：，
所以，所以AC的取值范圍為．
故答案為：
四、解答題
15．（23-24高三下·浙江麗水·開學考試）在凸四邊形中，記，四邊形的面積為S．已知．
(1)證明：；
(2)設(shè)，證明：；
(3)若，求四邊形面積的最大值．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）設(shè)．在和中，利用余弦定理得到求解．
（2）連接，由和的面積分別為，從而求解．
（3）由（2），當時，,即,．其中，．方法一，設(shè)，用導(dǎo)數(shù)法求解．方法二，利用均值不等式求解.
【詳解】（1）解：設(shè)．在和中，
由余弦定理得：．
整理得．
因為，所以,
代入上式得．
（2）連接，和的面積分別為．如圖示：
因為，所以,
從而．
所以
．
所以，．
（3）由（2），當時，,即,
而．其中，．
方法一：設(shè)．
則．
當時，；當時，．
則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．
所以，所以,等號成立條件是，此時．
綜上，四邊形面積的最大值是．
方法二：根據(jù)均值不等式，
．
等號成立條件是,即,此時．
綜上，四邊形面積的最大值是．
16．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）已知函數(shù)．
(1)當時，求函數(shù)在上的值域；
(2)在中，內(nèi)角的對邊分別為為的平分線，若的最小正周期是，求的面積．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換將化為一般式，再利用整體法，結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性，即可求得值域；
（2）根據(jù)題意，求得，利用等面積法和余弦定理，求得，再求三角形面積即可.
【詳解】（1）
,
當時，，又，故，
又在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，
故函數(shù)在上的值域為.
（2）由（1）知，，由其最小正周期為，
可得，又，解得，則；
由，即，又，可得，則，即；
為的平分線，故可得，
則，即，；
在三角形中由余弦定理可得，即，
將代入上式可得：，即，
解得，或（舍去）；
故的面積為.
17．（2024·福建廈門·二模）定義：如果三角形的一個內(nèi)角恰好是另一個內(nèi)角的兩倍，那么這個三角形叫做倍角三角形.如圖，的面積為，三個內(nèi)角所對的邊分別為，且.
(1)證明：是倍角三角形；
(2)若，當取最大值時，求.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由三角形面積公式化簡條件，結(jié)合余弦定理及正弦定理進一步化簡即可證明；
（2）由正弦定理結(jié)合題中條件得到，結(jié)合三角形面積公式化為關(guān)于的表達式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得最大值即可.
【詳解】（1）因為，
又,所以，
則，
又由余弦定理知，，
故可得，
由正弦定理，,
又,
代入上式可得,
即，
，
則有,
故是倍角三角形.
（2）因為，所以,
故，則，又，
又，則,
則
,
設(shè)，，
則
令得或者（舍），
且當時，，
當時，，
則在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，
故當時，取最大值，
此時也取最大值，
故為所求.
18．（23-24高三下·天津·開學考試）在△中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，△的面積為.
(1)求；
(2)若，求；
(3)求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用余弦定理和三角形面積公式求解；
（2）根據(jù)和求出，再結(jié)合正弦定理即可求解；
（3）利用二倍角公式和兩角和的余弦公式求解.
【詳解】（1）由余弦定理知：
∵在△中，，∴，即
又∵，∴.即
∴；
（2）由（1）知，則角為銳角，
∵，∴ ，
由正弦定理知：，則，，
∴
又∵，，，
∴；
（3）由（2）知，，
所以，.
所以.
19．（2024高三·江蘇·專題練習）中，角 的對邊分別為，從下列三個條件中任選一個作為已知條件，并解答問題.①；②；③的面積為，求的取值范圍.
【答案】
【分析】選①②時，利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換即可求得；選③時，龍三角形面積公式結(jié)合余弦定理即可求得；利用三角恒等變換化簡為只含有一個角的三角函數(shù)的形式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)，即可得答案；
【詳解】選擇①：因為，由正弦定理可得，
所以，
因為，所以，所以 ，即，
因為，所以，所以，
所以，即；
選擇②：因為，所以，
由正弦定理得 ，
因為，所以，所以 ，
所以，
因為，所以，所以，即；
選擇③：由，
可得 ，即，
所以，由于，故.
顯然，不管選擇哪個條件，都有，
所以

，
因為，所以，
所以，所以，
即的取值范圍為.

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