微重點07 球的切接問題（2大考點+強化訓(xùn)練）-沖刺985、211名校高考數(shù)學(xué)重難點培優(yōu)全攻略（新高考專用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

知識導(dǎo)圖
考點分類講解
考點一：空間幾何體的外接球
規(guī)律方法求解空間幾何體的外接球問題的策略
(1)定球心：球心到接點的距離相等且為半徑．
(2)作截面：選準(zhǔn)最佳角度作出截面(要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系)，達(dá)到空間問題平面化的目的．
(3)求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解．
【例1】（2024·遼寧撫順·一模）在三棱錐中，，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】在中由余弦定理求得，由題意證得平面ABC，進(jìn)而確定外接球球心O，由球心與相關(guān)點的位置關(guān)系求球的半徑，最后求表面積即可.
【詳解】在中，，
即，又，
因為，所以，同理，
又由平面ABC，平面.
設(shè)的外接圓半徑為，所以，
所以，所以外接球的半徑R滿足，
∴三棱錐外接球的表面積為.
故選：A.
【變式1】（23-24高三下·內(nèi)蒙古赤峰·開學(xué)考試）已知正四面體的棱長為，則該四面體的外接球與以點為球心，為半徑的球面的交線的周長為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出正四面體外接球半徑，利用三角函數(shù)定義求出，則得到，再利用三角函數(shù)定義和圓周長公式即可得到答案.
【詳解】設(shè)該正四面體的外接球的半徑為，為底面的中心，為該正四面體外接球的球心，
則，則該正四面體的高，
根據(jù)，即，解得，
則，，，
如圖，在中，，
所以；
在中，，
因為交線為圓，所以周長為.
故選：C.
【變式2】(2023·昆明模擬)故宮太和殿是中國形制最高的宮殿，其建筑采用了重檐廡殿頂?shù)奈蓓敇邮?，廡殿頂是“四出水”的五脊四坡式，由一條正脊和四條垂脊組成，因此又稱五脊殿．由于屋頂有四面斜坡，故又稱四阿頂．如圖，某幾何體ABCDEF有五個面，其形狀與四阿頂相類似．已知底面ABCD為矩形，AB＝4，AD＝EF＝2，EF∥底面ABCD，且EA＝ED＝FB＝FC＝BC，則幾何體ABCDEF外接球的表面積為( )
A．22π B．28π
C．32π D．38π
【答案】 A
【解析】連接AC，BD，設(shè)AC∩BD＝M，取EF的中點N，連接MN，
由題意知，球心O在直線MN上，取BC的中點G，連接FG，則FG⊥BC，
且FG＝2×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3).
連接MG，過點F作FP⊥MG于點P，則四邊形MPFN是矩形，MN＝FP，
則MN＝FP＝eq \r(FG2－PG2)＝eq \r(2)，
又因AM＝eq \f(1,2)AC，
AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝2eq \r(5)，
則AM＝eq \r(5)，
因為△AMO和△ONE均為直角三角形，
設(shè)外接球半徑為R，OM＝x，
當(dāng)球心O在線段MN上時，
則R2＝x2＋(eq \r(5))2，R2＝(eq \r(2)－x)2＋12，
解得x＝－eq \f(\r(2),2)(舍)，
當(dāng)球心O在線段MN外時，
則R2＝x2＋(eq \r(5))2，R2＝(eq \r(2)＋x)2＋12，
解得x＝eq \f(\r(2),2)，故R2＝eq \f(1,2)＋5＝eq \f(11,2)，
所以外接球的表面積S＝4πR2＝22π.
【變式3】(2023·全國乙卷)已知點S，A，B，C均在半徑為2的球面上，△ABC是邊長為3的等邊三角形，SA⊥平面ABC，則SA＝________.
【答案】 2
【解析】如圖，將三棱錐S－ABC轉(zhuǎn)化為直三棱柱SMN－ABC，
設(shè)△ABC的外接圓圓心為O1，半徑為r，
則2r＝eq \f(AB,sin∠ACB)＝eq \f(3,\f(\r(3),2))＝2eq \r(3)，可得r＝eq \r(3)，
設(shè)三棱錐S－ABC的外接球球心為O，連接OA，OO1，則OA＝2，OO1＝eq \f(1,2)SA，
因為OA2＝OOeq \\al(2,1)＋O1A2，
即4＝3＋eq \f(1,4)SA2，解得SA＝2.
考點二：空間幾何體的內(nèi)切球
規(guī)律方法空間幾何題的內(nèi)切球問題，一是找球心，球心到切點的距離相等且為球的半徑，作出截面，在截面中求半徑；二是利用等體積法直接求內(nèi)切球的半徑．
【例2】（2024·湖南·二模）一個正四棱錐底面邊長為2，高為，則該四棱錐的內(nèi)切球表面積為 .
【答案】/
【分析】根據(jù)三角形相似求出內(nèi)切球半徑，再利用球的表面積公式求其表面積.
【詳解】由題意可知該幾何體為正四棱錐，如圖，
為內(nèi)切球的球心，是棱錐的高，分別是的中點，
連接是球與側(cè)面的切點，可知在上，，
設(shè)內(nèi)切球半徑為，
則，
由△∽△可知，即，解得，
所以內(nèi)切球表面積.
故答案為：.
【變式1】(2023·沈陽模擬)如圖，圓臺內(nèi)有一個球，該球與圓臺的側(cè)面和底面均相切．已知圓臺的下底面圓心為O1，半徑為r1，圓臺的上底面圓心為O2，半徑為r2(r1>r2)，球的球心為O，半徑為R，記圓臺的表面積為S1，球的表面積為S2，則eq \f(S1,S2)的可能的取值為( )
A.eq \f(π,2) B.eq \f(3,2) C.eq \f(π,3) D.eq \f(4,3)
【答案】A
【解析】如圖，作出圓臺的軸截面，作DF⊥BC，垂足為F，
由題意知圓O與梯形ABCD相切，
則DC＝DE＋CE＝O2D＋O1C＝r2＋r1，
又DC＝eq \r(DF2＋FC2)＝eq \r(4R2＋?r1－r2?2)，
故eq \r(4R2＋?r1－r2?2)＝r1＋r2，
化簡可得R2＝r1r2，
則eq \f(S1,S2)＝eq \f(π?r\\al(2,1)＋r\\al(2,2)?＋π?r1＋r2??r1＋r2?,4πR2)
＝eq \f(r\\al(2,1)＋r\\al(2,2)＋r1r2,2r1r2)
＝eq \f(r\\al(2,1)＋r\\al(2,2),2r1r2)＋eq \f(1,2)>eq \f(2r1r2,2r1r2)＋eq \f(1,2)
＝eq \f(3,2)(r1>r2，故取不到等號)，由于eq \f(3,2)，eq \f(π,3)，eq \f(4,3)都不大于eq \f(3,2)，故eq \f(S1,S2)的可能的取值為eq \f(π,2).
【變式2】（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）某包裝設(shè)計部門為一球形塑料玩具設(shè)計一種正四面體形狀的外包裝盒（盒子厚度忽略不計），已知該球形玩具的直徑為2，每盒需放入10個塑料球，則該種外包裝盒的棱長的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先確定正四面體的棱長與高還有內(nèi)切球半徑的關(guān)系，然后根據(jù)當(dāng)a取得最小值時，從上到下每層中放在邊緣的小球都與正四面體的面都相切，從而計算出棱長的最小值.
【詳解】設(shè)正四面體的棱長為，高為，內(nèi)切球半徑為
則，可得，
又，可得，

即正四面體的高等于其棱長的，正四面體的內(nèi)切球的半徑等于其棱長的．
如圖，10個直徑為2的小球放進(jìn)棱長為a的正四面體中，構(gòu)成三棱錐的形狀，有3層，從上到下每層的小球個數(shù)依次為1，3，6．

當(dāng)a取得最小值時，從上到下每層中放在邊緣的小球都與正四面體的側(cè)面相切，底層的每個球都與正四面體的底面相切，任意相鄰的兩個小球都外切，位于底層正三角狀頂點的所有相鄰小球的球心連線為一個正四面體，底面的中心為，與面的交點為，
則該正四面體的棱長為，
可求得其高為，，
所以正四面體的高為，
進(jìn)而可求得其棱長a的最小值為．
故選：C.
【點睛】方法點睛：對于四面體的內(nèi)切球問題，我們最好能熟記正四面體的棱長與高還有內(nèi)切球半徑的關(guān)系，即正四面體的高等于其棱長的，正四面體的內(nèi)切球的半徑等于其棱長的，這樣解題的時候我們可以利用這個關(guān)系快速得到我們要的量.
【變式3】（2024·四川宜賓·二模）所有棱長均為6的三棱錐，其外接球和內(nèi)切球球面上各有一個動點，則線段長度的最大值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意，正四面體的外接球和內(nèi)切球的球心重合且在正四面體的內(nèi)部，求出外接球半徑，內(nèi)切球半徑，線段長度的最大值為得解.
【詳解】由正四面體的棱長為6，則其外接球和內(nèi)切球的球心重合且在正四面體的內(nèi)部，
設(shè)球心為，如圖，連接并延長交底面于，
則平面，且為底面的中心，
所以，
在中，可求得，
設(shè)外接球半徑為，內(nèi)切球半徑為，
則，
解得，，
所以線段長度的最大值為.
故答案為：.
強化訓(xùn)練
一、單選題
1．（2023·浙江紹興·模擬預(yù)測）已知某正六棱柱的所有棱長均為2，則該正六棱柱的外接球的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)正六棱柱的性質(zhì)可求解半徑，由表面積公式即可求解.
【詳解】由正六棱柱的性質(zhì)可得為其外接球的球心（如圖）,
由于底面為正六邊形，所以為等邊三角形，故,
所以,
所以為外接球的半徑，故外接球表面積為，
故選：D
2．（2024·廣東梅州·一模）某圓錐的底面直徑和高均是2，則其內(nèi)切球（與圓錐的底面和側(cè)面均相切）的半徑為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】作出圓錐的軸截面，設(shè)內(nèi)切球的半徑為R，利用三角形面積關(guān)系建立關(guān)于R的方程，解之即可求解.
【詳解】圓錐的軸截面如圖所示，設(shè)內(nèi)切球的球心為D，半徑為R，
則，所以，
又，
即，
解得，即內(nèi)切球的半徑為.
故選：B
3．（2024·陜西西安·一模）六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個氟原子分別位于正八面體的6個頂點，若相鄰兩個氟原子之間的距離為m，則該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)結(jié)合線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理找出內(nèi)切球的半徑，利用等面積法求出半徑的大小，即可求解.
【詳解】如圖，連接交于點，連接，
取的中點，連接，
因為,所以,
,
由可得平面，
且，所以平面，
過作，
因為平面，平面，所以,
且平面，所以平面，
所以為該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球的半徑，
在直角三角形中，，
由等面積法可得，,解得，
所以內(nèi)切球的表面積為，
故選:D.
4．（2024·廣東·模擬預(yù)測）將邊長為2的正三角形沿某條線折疊，使得折疊后的立體圖形有外接球，則當(dāng)此立體圖形體積最大時，其外接球表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先分類討論得出，滿足題意的直線為，且此時，進(jìn)一步求出底面四邊形外接圓圓心坐標(biāo)、半徑，從而得到直線的距離，設(shè)出外接球球心到底面的距離，結(jié)合可得，由此可得外接球半徑，進(jìn)而即可求解.
【詳解】若將邊長為2的正三角形沿某條線折疊，且這條線過三角形的某個頂點且不垂直于三角形的邊，
由題意以為原點，以邊長為2的等邊三角形的邊為軸，邊上的高為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系：
由題意，
不失一般性，設(shè)（也就是設(shè)點在不包含端點的線段上），
在中，令得，
所以的面積為，
而點到直線的距離為，
此時三棱錐體積的最大值為（此時面面），
所以，
所以；
若將邊長為2的正三角形沿某條線折疊，且這條線過三角形的某個頂點且垂直于三角形的邊，
此時上述情況中的點于原點重合，
此時三棱錐體積的最大值為
（此時面面），
其中為點到的距離，即的長度；
將邊長為2的正三角形沿某條線折疊，且這條線不過三角形的任何頂點，如圖所示：
不失一般性，設(shè)該直線分別與交于點，
折疊后的立體圖形有外接球，則四點共圓，從而，
又因為，
所以，所以，
由題意，設(shè)，
所以，
過點向引垂線，垂足為，則，
所以四棱錐體積的最大值為
（此時四邊形與三角形垂直），
從而，或，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)且僅當(dāng)時，有，
綜上所述，滿足題意的直線為，且此時，
此時我們首先來求四邊形外接圓圓心，
因為中點坐標(biāo)為，斜率為，
所以的垂直平分線方程為，
而中垂直線方程為，
從而解得，
所以四邊形外接圓半徑為，
而到直線的距離為，
又滿足題意的四棱錐的高為，
設(shè)滿足題意的四棱錐的外接球球心為，
設(shè)球心到平面的距離為，
則由可得，，即，
解得，
從而滿足題意的外接球表面積為.
故選：B.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵是得出滿足題意的直線為，且此時，由此即可順利得解.
5．（2024·河北邯鄲·三模）已知在四面體中，，二面角的大小為，且點A，B，C，D都在球的球面上，為棱上一點，為棱的中點．若，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意和幾何關(guān)系，并在所在平面內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系，確定點的位置和坐標(biāo)，即可求解.
【詳解】由題意知與均為等邊三角形，連接，，則，，是二面角的平面角，

所以，又易知，所以是等邊三角形．
設(shè)為的外心，為的中點，連接，則點O，P，Q都在平面內(nèi)，建立平面直角坐標(biāo)系如圖．
設(shè)，則，，所以．
又，所以，因為，易知，
則，，從而，．

故選：C
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是結(jié)合幾何關(guān)系，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為平面幾何問題.
6．（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知四棱錐的底面為矩形，，，側(cè)面為正三角形且垂直于底面，M為四棱錐內(nèi)切球表面上一點，則點M到直線距離的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分別為和的中點，平面截四棱錐的內(nèi)切球O所得的截面為大圓，求出圓的半徑，利用圓心到直線距離求點M到直線距離的最小值.
【詳解】如圖，設(shè)四棱錐的內(nèi)切球的半徑為r，取的中點為H，的中點為N，連接，，，

球O為四棱錐的內(nèi)切球，
底面為矩形，側(cè)面為正三角形且垂直于底面，
則平面截四棱錐的內(nèi)切球O所得的截面為大圓，
此圓為的內(nèi)切圓，半徑為r，與，分別相切于點E，F(xiàn)，
平面平面，交線為，平面，
為正三角形，有，平面，
平面，，
，，則有，，，
則中，，解得.
所以，四棱錐內(nèi)切球半徑為1，連接.
平面，平面，，
又，平面，，
平面，平面，可得，
所以內(nèi)切球表面上一點M到直線的距離的最小值即為線段的長減去球的半徑，
又.
所以四棱錐內(nèi)切球表面上的一點M到直線的距離的最小值為.
故選：B.
【點睛】方法點睛：
四棱錐的內(nèi)切球，與四棱錐的五個面都相切，由對稱性平面截四棱錐的內(nèi)切球O所得的截面為大圓，問題轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)切圓，利用面積法求出半徑，即內(nèi)切球的半徑，由球心到直線的距離，求點M到直線的距離的最小值.
7．（2024·河南開封·二模）已知經(jīng)過圓錐的軸的截面是正三角形，用平行于底面的截面將圓錐分成兩部分，若這兩部分幾何體都存在內(nèi)切球（與各面均相切），則上、下兩部分幾何體的體積之比是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作出圓錐的軸的截面，根據(jù)題意推出上、下兩部分幾何體的兩部分的內(nèi)切球的半徑之比為，從而可得上部分圓錐的體積與圓錐的體積之比為，從而可得解．
【詳解】如圖，作出圓錐的軸截面，
設(shè)上、下兩部分幾何體的兩部分的內(nèi)切球的球心分別為，，半徑分別為，，
即，，
根據(jù)題意可知為正三角形，易知，圓錐的底面半徑，
，又，
，，
上部分圓錐的底面半徑為，高為，
又圓錐的底面半徑為，高為，
上部分圓錐的體積與圓錐的體積之比為，
上、下兩部分幾何體的體積之比是．
故選：C．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是找到上、下底面的半徑的關(guān)系，從而得到兩圓錐的體積之比.
8．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）已知四點均在半徑為（為常數(shù)）的球的球面上運動，且，若四面體的體積的最大值為，則球的表面積為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】如圖，取BC中點為N，結(jié)合題意可得四面體的體積最大時，平面ABC，且球心在DN上，后可得四面體的體積表達(dá)式為，其中R為球體半徑，結(jié)合均值不等式可得R，即可得答案.
【詳解】因取BC中點為N，則，又，平面，，
則平面，面，則平面平面，要使四面體的體積最大，則有平面，且球心O在DN上.
設(shè)球體半徑為R，則，則，
又注意到，，則.
注意到.
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.又四面體的體積的最大值為，則.
則球的表面積為.
故選：D
【點睛】關(guān)鍵點點睛：此類問題需結(jié)合題目條件，設(shè)置合理的變量，得到相關(guān)的代數(shù)表達(dá)式，后由不等式取等條件得到等量關(guān)系，從而解決問題.
二、多選題
1．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，若分別是的中點，則下列結(jié)論正確的是（）
A．平面
B．平面
C．點到平面的距離為
D．三棱錐外接球的半徑為
【答案】ABD
【分析】利用線面垂直的判定即可判斷A；利用線面平行的判定即可判斷B，利用等體積法即可求出點到平面距離，找到球心位于的中點，則得到外接球半徑，即判斷D.
【詳解】對A，因為平面平面，所以.
在中，因為，所以，
則.又平面平面，所以平面，故A正確.
對B，取為的中點，連接.易知，所以四邊形為平行四邊形，
則.又平面平面，所以平面，故B正確.
對C，設(shè)點到平面的距離為，則是以為頂點，為底面的三棱錐的高.
因為平面，所以是三棱錐的高.又為直角三角形，
所以，所以.
又是直角三角形，所以.又，
所以，所以是直角三角形，則.
由，得，則，即點到平面的距離為，故C錯誤.
對D，因為和均為直角三角形，所以為三棱錐外接球的球心，即半徑為，故D正確.
故選：ABD.
2．（2024·新疆·一模）如圖，兩個共底面的正四棱錐組成一個八面體 E-ABCD-F，且該八面體的各棱長均相等，則（）
A．異面直線 AE與BF所成的角為60°
B．BD⊥CE.
C．此八面體內(nèi)切球與外接球的表面積之比為
D．直線 AE與平面BDE 所成的角為60°
【答案】ABC
【分析】根據(jù)異面直線的夾角、線面垂直的判定、外接和內(nèi)切球，線面角等知識點逐項判斷即可．
【詳解】將正八面體E-ABCD-F置于一個正方體中，該正八面體的頂點為正方體六個面的中心，如圖所示，

設(shè)交于點O,易知O為正方體的中心，
由正方體性質(zhì)易知，為的中位線，則，
同理，又，則，
則直線與所成角即與所成角，
因為為正三角形，所以，A正確，
由正方體性質(zhì)易知BD⊥平面，平面，故BD⊥CE，B正確；
設(shè)正方體的棱長為2，
因為，
所以為此八面體外接球的球心，即此八面體一定存在外接球，且外接球半徑為，
設(shè)內(nèi)切球的半徑為，
八面體的體積為，
又八面體的表面積為，
所以，解得，
此八面體內(nèi)切球與外接球的表面積之比為，故C項正確．
由正方體性質(zhì)易知AC⊥平面,故為直線 AE與平面BDE 所成的角，
又，故，故D錯誤.
故選：ABC.

3.（2024·江西上饒·一模）空間中存在四個球，它們半徑分別是2，2，4，4，每個球都與其他三個球外切，下面結(jié)論正確的是（）
A．以四個球球心為頂點的四面體體積為
B．以四個球球心為頂點的四面體體積為
C．若另一小球與這四個球都外切，則該小球半徑為
D．若另一小球與這四個球都內(nèi)切，則該小球半徑為
【答案】ACD
【分析】設(shè)半徑為2的兩球球心為A，B；半徑為4的兩球球心為C,D，根據(jù)內(nèi)切關(guān)系可得三棱錐的各棱長，根據(jù)線線關(guān)系確定線面關(guān)系從而可求以四個球球心為頂點的四面體體積及與這四個球都外切或內(nèi)切的球的半徑，逐項判斷即可得結(jié)論.
【詳解】設(shè)半徑為2的兩球球心為A，B；半徑為4的兩球球心為C,D，易知，，,
取中點，連接，

因為，點為中點，
所以，，則，
故，則，
因為平面，所以平面，
則，故A正確，B不正確；
若另一小球與這四個球都外切，設(shè)小球中心為，半徑為，則點在四面體內(nèi)，取中點，中點，連接，

則，，又，，所以，
則球心在上，所以，
同理，代入解得或（舍），故C正確；
若另一小球與這四個球都內(nèi)切，設(shè)小球中心為，半徑為，則，，且點在上，
所以，
同理，代入得或（舍），故D正確.
故選：ACD.
三、填空題
1．（2024·貴州·三模）已知一個圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，其頂點為，底面圓心為，點是線段上的一點，是底面內(nèi)接正三角形，且平面，則；三棱錐的外接球的表面積是 .
【答案】
【分析】（1）根據(jù)正弦定理求出的長；
（2）確定三棱錐的外接球，即為以為棱的正方體的外接球，再求其半徑，最后應(yīng)用球的表面積公式即可求出.
【詳解】解：由題意，圓錐的底面半徑為1，母線長為2，
是底面內(nèi)接正三角形，結(jié)合題設(shè)有，所以，
由平面，平面，則，，
為正三角形，則，顯然為中心，
結(jié)合對稱性，易知，即，且，
三棱錐的外接球，即為以為相鄰棱的正方體的外接球，
故外接球半徑為，
所以三棱錐的外接球的表面積是.
故答案為：；
2．（2024·廣東·一模）已知表面積為的球O的內(nèi)接正四棱臺，，，動點P在內(nèi)部及其邊界上運動，則直線BP與平面所成角的正弦值的最大值為．
【答案】/
【分析】先根據(jù)條件得到，進(jìn)而得到，，利用線面垂直的性質(zhì)作出面，故為直線BP與平面所成角，再利用，得知當(dāng)與重合時，最小，再利用對頂角相等，即可求出結(jié)果.
【詳解】如圖，分別是上下底面的中心，設(shè)球心為，半徑為，易知，
由題知，得到，又，，得到，
所以與重合，由，得到，
所以，又，所以，
因為面，面，所以，
又，，面，所以面，
連接并延長，過作，交的延長線于，
又面，所以，又，面，
所以面，連接，則為直線BP與平面所成的角，，
在中，易知，，所以，
所以當(dāng)最小時，直線BP與平面所成角的正弦值的最大值，
又動點P在內(nèi)部及其邊界上運動，所以當(dāng)與重合時，最小，
此時為直線BP與平面所成的角，所以直線BP與平面所成角的正弦值的最大值為，

故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點晴：本題的關(guān)鍵在于點位置的確定，通過利用線面垂直的性質(zhì)作出面，從而得出為直線BP與平面所成角，再利用，將問題轉(zhuǎn)化成求的最小值，即可確定點位置，從而解決問題.
3．（23-24高三下·陜西安康·階段練習(xí)）如圖為某三棱錐的三視圖，其正視圖的面積為，則該三棱錐外接球表面積的最小值為．
【答案】
【分析】由三視圖還原幾何體，利用正弦定理可用表示出三棱錐的高和的外接圓半徑，結(jié)合基本不等式可求得，代入球的表面積公式即可.
【詳解】由三視圖可還原幾何體如下圖所示，其中平面，平面，
設(shè)，，則，；
設(shè)的外接圓半徑為，三棱錐的外接球半徑為，
在中，由正弦定理得：，，
（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），
該三棱錐外接球表面積的最小值為.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查立體幾何中的多面體外接球相關(guān)問題的求解，解題關(guān)鍵是能夠通過三視圖準(zhǔn)確還原幾何體，借助直棱柱模型確定幾何體外接球半徑.
四、解答題
1．（2023高三·全國·專題練習(xí)）將個半徑為的球和個半徑為的球疊為兩層放在桌面上，上層只放個較小的球，個球兩兩相切，求上層小球的最高點到桌面的距離.

【答案】
【分析】設(shè)下層三個半徑為1的球的球心構(gòu)成邊長為2的等邊三角形，上面小球的球心和這個等邊三角形構(gòu)成側(cè)棱長為的正三棱錐，上層小球的最高點到桌面的距離為小球半徑、大球半徑與正三棱錐的高相加之和．
【詳解】將球心連接起來構(gòu)成側(cè)棱為，底面邊長為的正三棱錐,
設(shè)底面三角形的中心為，則
故正三棱錐的高，
顯然平面到桌面的距離為，
所以上層小球的最高點到桌面的距離為.
2．（2023高三·全國·專題練習(xí)）如圖：長為3的線段與邊長為2的正方形垂直相交于其中心．
(1)若二面角的正切值為，試確定在線段的位置；
(2)在（1）的前提下，以，，，，，為頂點的幾何體是否存在內(nèi)切球？若存在，試確定其內(nèi)切球心的具體位置；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)存在，在線段上的靠近點的三分點位置
(2)存在，內(nèi)切球心在點距離為的位置上．
【分析】（1）取線段的中點為點，連接，，．證明出為二面角的平面角.設(shè)，，，利用直角三角形建立關(guān)于的方程，解出；
（2）幾何體存在內(nèi)切球，設(shè)球心為，設(shè)線段的中點為點，內(nèi)切球的半徑為，利用幾何性質(zhì)計算出在點距離為的位置上．
【詳解】（1）取線段的中點為點，連接，，．
由于四邊形是正方形，為其中心，所以，
又面,面，所以.
而，面,面,所以面.
因為面，所以.
同理可以證出，為二面角的平面角，．
設(shè)，，，則．且
在中，，
同理在中，
由，
得：
故在線段上的靠近點的三分點位置.
（2）幾何體存在內(nèi)切球，令球心為.
若設(shè)線段的中點為點，內(nèi)切球的半徑為，由對稱性可知：平面四邊形的內(nèi)切圓的圓心為，半徑即為，
故，而，．
所以，得．
由三角形相似有：
所以．
故其內(nèi)切球心在點距離為的位置上．
3．（23-24高三上·寧夏吳忠·階段練習(xí)）如圖，已知圓錐的軸截面是邊長為正三角形，是底面圓的直徑，點在上，且.

(1)求異面直線與所成角的余弦值；
(2)求能放置在該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得異面直線與所成角的余弦值.
（2）通過求等邊三角形內(nèi)切圓的半徑來求得最大球的半徑，進(jìn)而求得最大球的體積.
【詳解】（1）連接，以為原點，分別為、軸，過且垂直的直線為軸，
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，
，
設(shè)異面直線與所成角為，
所以.
（2）依題意可知，圓錐內(nèi)半徑最大的球的半徑，等于等邊三角形內(nèi)切圓的半徑，
根據(jù)等面積法有，
所以最大球的體積為.

4．（23-24高三上·上海普陀·期末）對于一個三維空間，如果一個平面與一個球只有一個交點，則稱這個平面是這個球的切平面.已知在空間直角坐標(biāo)系中，球的半徑為，記平面、平面、平面分別為、、.
(1)若棱長為的正方體、棱長為的正四面體的內(nèi)切球均為球，求的值；
(2)若球在處有一切平面為，求與的交線方程，并寫出它的一個法向量；
(3)如果在球面上任意一點作切平面，記與、、的交線分別為、、，求到、、距離乘積的最小值.
【答案】(1)
(2)交線方程為，該直線的一個方向向量為
(3)
【分析】（1）求出的值，利用等體積法求出的值，由此可得出的值；
（2）在與的交線上任取一點，記點，由結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可得出與的交線方程，由此可寫出交線的一個法向量；
（3）設(shè)為球面上一點，則，求出平面的方程，可求出平面與三條軸的交點坐標(biāo)，利用等面積法求出點到直線、、距離，在利用三元基本不等式可求得到、、距離乘積的最小值.
【詳解】（1）解：由題意可知，球內(nèi)最大內(nèi)切正方體的棱長為，
設(shè)球為最大內(nèi)切正四面體為，如下圖所示：
設(shè)頂點在底面的射影為點，則為正的中心，
取線段的中點，連接，則，
則，，
所以，，，
因為，
，故，解得，
所以，.
（2）解：在與的交線上任取一點，記點，
則，即，
即，即，
所以，與的交線方程為，該直線的一個法向量為.
（3）解：設(shè)為球面上一點，則，
在平面上任取一點，則，
即，
即，即，
因為平面與三個坐標(biāo)平面均有交線，則，
平面分別交、、軸于點、、，
設(shè)到、、距離分別為、、，
則，
同理可得，，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)，
故到、、距離乘積的最小值為.
【點睛】思路點睛：本題考查立體幾何與平面解析幾何的綜合問題，解題時主要要清楚直線與球的切結(jié)關(guān)系，考查學(xué)生的邏輯思維能力與空間想象能力，屬于難題.
5．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知三棱柱，其中，，點是的中點，連接，，異面直線和所成角記為．

(1)若，求三棱柱外接球的表面積；
(2)若，則在過點且與平行的截面中，當(dāng)截面圖形為等腰梯形時，求該截面面積．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）因為異面直線和所成角的余弦值為，可得或，分類討論結(jié)合球的表面積計算即可得；
（2）取，，的中點，，，連接，，，，結(jié)合題意可得四邊形即為符合要求的等腰梯形，在等腰梯形中，，取，的中點，，計算即可得該截面面積.
【詳解】（1）因為，，所以，
又因為，、平面，，
所以平面，故三棱柱為直三棱柱，
因為異面直線和所成角的余弦值為，
所以，，設(shè)該三棱柱外接球球心為點，
當(dāng)時，
由余弦定理可得，
由正弦定理可得底面外接圓為圓心的直徑，
而，所以球的半徑，
所以球的表面積，
當(dāng)時，，
同理可得球的半徑，所以球的表面積；
（2）分別取，，的中點，，，連接，，，，
則且，

在直三棱柱中，是的中位線，
且，，且，
，，，四點共面，，分別為，的中點，
，又平面，平面，
平面，，且，分別為，的中點，
四邊形即為符合要求的等腰梯形，
當(dāng)不是的中點時，不平行于平面，過作，
連接得到與平行的平面，三棱柱底面三角形為直角三角形，
可以將三棱柱補成正方體，過作，延長與相交于，
連接交于點，不平行于平面，與共面，
則與不平行，此時四邊形不是等腰梯形，故等腰梯形有且僅有一個，
在等腰梯形中，，取，的中點，，

由圖可知，，故，
所以該截面面積為.

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