第Ⅰ卷
一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）
1．下列四個(gè)實(shí)數(shù)中，最小的是( )
A．B．4C．1D．
【答案】D
【分析】此題主要考查了實(shí)數(shù)大小比較的方法．正實(shí)數(shù)都大于0，負(fù)實(shí)數(shù)都小于0，正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)絕對(duì)值大的反而小，據(jù)此判斷即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴最小的數(shù)是，
故選：D．
2．在以下回收、綠色食品、節(jié)能、節(jié)水四個(gè)標(biāo)志中，是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念：一個(gè)圖形沿某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后能與原圖完全重合的；由此問(wèn)題可求解．
【詳解】解：選項(xiàng)A、B、D不能找到一個(gè)點(diǎn)繞其旋轉(zhuǎn)180度后能與原圖完全重合，所以都不是中心對(duì)稱圖形，而C選項(xiàng)可以找到一個(gè)點(diǎn)繞其旋轉(zhuǎn)180度后能與原圖完全重合，所以是中心對(duì)稱圖形；
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查中心對(duì)稱圖形，熟練掌握中心對(duì)稱圖形的概念是解題的關(guān)鍵．
3．下列計(jì)算中，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)積的乘方，完全平方公式，同底數(shù)冪的除法，二次根式的加法對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：由題意知，，正確，故A符合要求；
，錯(cuò)誤，故B不符合要求；
，錯(cuò)誤，故C不符合要求；
，錯(cuò)誤，故D不符合要求；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了積的乘方，完全平方公式，同底數(shù)冪的除法，二次根式的加法．熟練掌握積的乘方，完全平方公式，同底數(shù)冪的除法，二次根式的加法是解題的關(guān)鍵．
4．據(jù)共青團(tuán)中央2023年5月3日發(fā)布的中國(guó)共青團(tuán)團(tuán)內(nèi)統(tǒng)計(jì)公報(bào)，截至2022年12月底，全國(guó)共有共青團(tuán)員7358萬(wàn)．?dāng)?shù)據(jù)7358萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．7.358×107B．7.358×103C．7.358×104D．7.358×106
【答案】A
【分析】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，表示較大的數(shù)，利用科學(xué)記數(shù)法的法則解答即可．
【詳解】解：7358萬(wàn)，
故選：A．
5．如圖，把一個(gè)含有角的直角三角板放在兩條平行線m，n上，若，則的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】可求，，即可求解．
【詳解】解：如圖：

，
，
是的一個(gè)外角，，
，
，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．如圖，是的直徑，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題考查圓周角的性質(zhì)．
由是的直徑可得，又由“同弧或等弧所對(duì)圓周角相等”可得，從而可求得．
【詳解】∵是的直徑，
∴，
∵
∴，
∴．
故選：C
7．一元一次方程不等式組的解在數(shù)軸上表示正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本題考查的是一元一次不等式組的解法及在數(shù)軸上表示解集，在數(shù)軸上表示解集時(shí)“”，“”要用實(shí)心圓點(diǎn)表示；“”，“”要用空心圓點(diǎn)表示．熟練掌握不等式組的解法是解題的關(guān)鍵．先分別解出兩個(gè)不等式，然后找出解集，表示在數(shù)軸上即可．
【詳解】解：，
由①得，?，
由②得，，
故原不等式組的解集為：．
在數(shù)軸上表示為：
故答案為：D．
8．如圖，在“經(jīng)典誦讀”比賽活動(dòng)中，某校10名學(xué)生參賽成績(jī)?nèi)鐖D所示，對(duì)于這10名學(xué)生的參賽成績(jī)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）

A．眾數(shù)是90分B．方差是10C．平均數(shù)是91分D．中位數(shù)是90分
【答案】B
【分析】根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差的定義和統(tǒng)計(jì)圖中提供的數(shù)據(jù)分別列出算式，求出答案．
【詳解】解：A、∵90出現(xiàn)了5次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，∴眾數(shù)是90；故此選項(xiàng)不符合題意；
B、方差是：；故此選項(xiàng)符合題意；
C、平均數(shù)是（85×2+100×1+90×5+95×2）÷10＝91；故此選項(xiàng)不符合題意；
D、∵共有10個(gè)數(shù)，∴中位數(shù)是第5、6個(gè)數(shù)的平均數(shù)，∴中位數(shù)是（90+90）÷2＝90；故此選項(xiàng)不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了折線統(tǒng)計(jì)圖，用到的知識(shí)點(diǎn)是眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差，能從統(tǒng)計(jì)圖中獲得有關(guān)數(shù)據(jù)，求出眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差是解題的關(guān)鍵．
9．在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)和的圖象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本題主要考查正比例函數(shù)的系數(shù)和一次函數(shù)常數(shù)項(xiàng)決定圖象所過(guò)象限的知識(shí)點(diǎn)．
【詳解】解：．由函數(shù)得，與圖象的矛盾，故本選項(xiàng)不符合題意；
．函數(shù)所過(guò)象限錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)不符合題意；
．函數(shù)所過(guò)象限錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)不符合題意；
．由函數(shù)得，與圖象的一致，故本選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
10．“千門(mén)萬(wàn)戶瞳瞳日，總把新桃換舊符”．春節(jié)是中華民族的傳統(tǒng)節(jié)日，古人常用寫(xiě)“桃符”的方式來(lái)祈福避禍，而現(xiàn)在，人們常用貼“?！弊?、貼春聯(lián)、掛燈籠等方式來(lái)表達(dá)對(duì)新年的美好祝愿．某商家在春節(jié)期間開(kāi)展商品促銷活動(dòng)，顧客凡購(gòu)物金額滿100元，就可以從“?！弊?、春聯(lián)、燈籠這三類禮品中免費(fèi)領(lǐng)取一件．禮品領(lǐng)取規(guī)則：顧客每次從裝有大小、形狀、質(zhì)地都相同的三張卡片(分別寫(xiě)有“?！弊帧⒋郝?lián)、燈籠)的不透明袋子中，隨機(jī)摸出一張卡片，然后領(lǐng)取一件與卡片上文字所對(duì)應(yīng)的禮品．現(xiàn)有2名顧客都只領(lǐng)取了一件禮品，那么他們恰好領(lǐng)取同一類禮品的概率是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分別用表示寫(xiě)有“?！弊?、春聯(lián)、燈籠的三張卡片，利用列表法求出概率即可．
【詳解】解：分別用A，B，C表示寫(xiě)有“?！弊?、春聯(lián)、燈籠的三張卡片，列表如下：
共有9中等可能的結(jié)果，其中他們恰好領(lǐng)取同一類禮品有種等可能的結(jié)果，
∴；
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查列表法求概率，解題的關(guān)鍵是正確的列出表格．
第Ⅱ卷
二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）
11．若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．直接利用二次根式有意義則被開(kāi)方數(shù)大于或等于零即可得出答案．
【詳解】解：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，
故，
解得：．
故答案為：．
12．分式方程的解是 ．
【答案】
【分析】先去分母，再解出整式方程，然后檢驗(yàn)，即可求解．
【詳解】解：去分母得：，
解得：，
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，
∴原方程的解為．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，能把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程是解此題的關(guān)鍵．解分式方程注意要檢驗(yàn)．
13．若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ．
【答案】/
【分析】利用方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，，建立關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍．
【詳解】解：關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
，即，
解得：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．
14．如圖，扇形的半徑為1，分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)P，，則的長(zhǎng) （結(jié)果保留π）．

【答案】/
【分析】先求解，再利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．
【詳解】解：由作圖知：垂直平分，
∵，
∴，
∵扇形的半徑是1，
∴的長(zhǎng)．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的作圖，等腰三角形的性質(zhì)，弧長(zhǎng)的計(jì)算，熟記弧長(zhǎng)公式是解本題的關(guān)鍵．
15．如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)對(duì)角線的交點(diǎn)，已知點(diǎn)A，，在坐標(biāo)軸上，，的面積為16，則 ．

【答案】
【分析】由平行四邊形面積轉(zhuǎn)化為矩形面積，在得到矩形面積，應(yīng)用反比例函數(shù)比例系數(shù)k的意義即可．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)做軸于點(diǎn)．

四邊形為平行四邊形，
，
又軸，
為矩形，
，
，
為對(duì)角線交點(diǎn)，軸，
四邊形為矩形面積為8，
即，
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)k的幾何意義以及平行四邊形的性質(zhì)，理解等底等高的平行四邊形與矩形面積相等是解題的關(guān)鍵．
16．《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)專著，書(shū)中記載了這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有勾五步，股十二步，問(wèn)勾中容方幾何？”其大意是：如圖，的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為5和12，則它的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為 ．
【答案】/
【分析】先設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，再表示出，，然后說(shuō)明∽，并根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例得出答案.
【詳解】根據(jù)題意可知，．
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則，.
∵四邊形是正方形，
∴．
∵，
∴∽，
∴，
即，
解得.
所以正方形的邊長(zhǎng)為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是求線段長(zhǎng)的常用方法．
三、解答題（本大題共9個(gè)小題，第17、18、19題每題6分，第20、21題每題8分，第22、23題每題9分，第24、25每題10分，共72分）
17．計(jì)算：
【答案】
【分析】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，先計(jì)算特殊角三角函數(shù)值，零次冪，負(fù)整數(shù)次冪，絕對(duì)值，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：
18．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，熟知分式混合運(yùn)算的法則是解答此題的關(guān)鍵．先根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則把原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再把a(bǔ)的值代入進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：原式
當(dāng)時(shí)，
原式．
19．如圖，從水平面看一山坡上的通訊鐵塔，在點(diǎn)A處用測(cè)角儀測(cè)得塔頂端點(diǎn)P的仰角是，向前走9米到達(dá)B點(diǎn)，用測(cè)角儀測(cè)得塔頂端點(diǎn)P和塔底端點(diǎn)C的仰角分別是和．

(1)求的度數(shù)；
(2)求該鐵塔的高度．（結(jié)果精確到米；參考數(shù)據(jù)：，）
【答案】(1)
(2)米
【分析】本題考查了仰角的定義、解直角三角形、三角函數(shù)；
（1）延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)F，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求得即可；
（2）設(shè)米，根據(jù)，構(gòu)建方程求出x即可．
【詳解】（1）延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)F，則，

依題意得：，，
∴．
（2）設(shè)米，
∵，，
∴，
∴，
∴米，
在中，，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴（米），
即該鐵塔的高度約為米．
20．為了進(jìn)一步加強(qiáng)中小學(xué)國(guó)防教育，教育部研究制定了《國(guó)防教育進(jìn)中小學(xué)課程教材指南》．某中學(xué)開(kāi)展了形式多樣的國(guó)防教育培訓(xùn)活動(dòng)．為了解培訓(xùn)效果，該校組織七、八年級(jí)全體學(xué)生參加了國(guó)防知識(shí)競(jìng)賽（百分制），并規(guī)定90分及以上為優(yōu)秀，分為良好，分為及格，59分及以下為不及格．該學(xué)校七、八兩個(gè)年級(jí)各有學(xué)生300人，現(xiàn)隨機(jī)抽取了七、八年級(jí)各20名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行了整理與分析，下面給出了部分信息．
a．抽取七年級(jí)20名學(xué)生的成績(jī)?nèi)缦拢?br>b．抽取七年級(jí)20名學(xué)生成績(jī)的頻數(shù)分布直方圖如圖1所示（數(shù)據(jù)分成5組：，，，，）
c．抽取八年級(jí)20名學(xué)生成績(jī)的扇形統(tǒng)計(jì)圖如圖2所示．

d．七年級(jí)、八年級(jí)各抽取的20名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)、方差如下表：
請(qǐng)根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：
(1)補(bǔ)全七年級(jí)20名學(xué)生成績(jī)的頻數(shù)分布直方圖，寫(xiě)出表中的值；
(2)估計(jì)七、八兩個(gè)年級(jí)此次競(jìng)賽成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的學(xué)生共有多少人；
(3)若本次競(jìng)賽成績(jī)達(dá)到81分及以上的同學(xué)可以獲得參加挑戰(zhàn)賽的機(jī)會(huì)，請(qǐng)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計(jì)，七、八兩個(gè)年級(jí)中哪個(gè)年級(jí)獲得參加挑戰(zhàn)賽的機(jī)會(huì)的學(xué)生人數(shù)更多？并說(shuō)明理由．
【答案】(1)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖見(jiàn)解析；
(2)七、八兩個(gè)年級(jí)此次競(jìng)賽成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的學(xué)生共有165人
(3)七年級(jí)獲得參加挑戰(zhàn)賽的機(jī)會(huì)的學(xué)生人數(shù)更多；理由見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)題意可得七年級(jí)成績(jī)位于的有4人；七年級(jí)成績(jī)位于第10位和第11位的是81和83，即可求解；
（2）先求出八年級(jí)成績(jī)優(yōu)秀的所占的百分比，再分別用300乘以各自的百分比，即可求解；
（3）分別求出七、八兩個(gè)年級(jí)獲得參加挑戰(zhàn)賽的機(jī)會(huì)的學(xué)生人數(shù)，然后進(jìn)行比較即可．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：七年級(jí)成績(jī)位于的有4人，
補(bǔ)全圖形如下：

七年級(jí)成績(jī)位于第10位和第11位的是81和83，
∴七年級(jí)成績(jī)的中位數(shù)；
（2）解：根據(jù)題意得：八年級(jí)成績(jī)良好的所占的百分比為
∴八年級(jí)成績(jī)優(yōu)秀的所占的百分比為，
∴八年級(jí)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的學(xué)生有（人），
七年級(jí)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的學(xué)生有人，
（人），
答：七、八兩個(gè)年級(jí)此次競(jìng)賽成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的學(xué)生共有165人．
（3）解：八年級(jí)獲得參加挑戰(zhàn)賽的機(jī)會(huì)的學(xué)生人數(shù)約為：
（人），
七年級(jí)獲得參加挑戰(zhàn)賽的機(jī)會(huì)的學(xué)生人數(shù)約為：
（人），
∵，
∴七年級(jí)獲得參加挑戰(zhàn)賽的機(jī)會(huì)的學(xué)生人數(shù)更多．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖，求中位數(shù)，用樣本估計(jì)總體，明確題意，準(zhǔn)確從統(tǒng)計(jì)圖中獲取信息是解題的關(guān)鍵．
21．如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．

(1)求證：；
(2)若時(shí)，求的長(zhǎng)；
(3)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究的值是否存在最小值，如果存在，求出這個(gè)最小值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
(3)存在，
【分析】（1）由即可證明；
（2）證明（），勾股定理得到，在 中，勾股定理即可求解；
（3）證明，即可求解．
【詳解】（1）解：由題意，可知，，．
．
即．
．
（2）在中，，
．
．
，
，．
．
．
在中，．
（3）由（2）可知，．
當(dāng)最小時(shí)，有的值最小，此時(shí)．
為等腰直角三角形，
．
．
即的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的幾何變換，涉及到等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
22．某服裝店老板到廠家選購(gòu)A、B兩種型號(hào)的服裝，若購(gòu)進(jìn)A種型號(hào)服裝9件與B種型號(hào)服裝10件共需要1810元；若購(gòu)進(jìn)A種型號(hào)服裝12件與B種型號(hào)服裝8件共需要1880元．
(1)A、B兩種型號(hào)的服裝每件分別為多少元？
(2)若銷售1件A型服裝可獲利18元，銷售1件B型服裝可獲利30元，根據(jù)市場(chǎng)需求，服裝店老板決定購(gòu)進(jìn)A型服裝的數(shù)量要比購(gòu)進(jìn)B型服裝的數(shù)量的2倍還多4件，這樣服裝全部售出后可使總的獲利不少于732元，問(wèn)至少購(gòu)進(jìn)B型服裝多少件？
【答案】(1)A種型號(hào)服裝每件90元，B種型號(hào)服裝每件100元．
(2)至少購(gòu)進(jìn)B型服裝10件．
【分析】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用，準(zhǔn)確地找到等量關(guān)系并用方程組表示出來(lái)是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意可知，本題中的相等關(guān)系是“A種型號(hào)服裝9件，B種型號(hào)服裝10件，需要1810元”和“A種型號(hào)服裝12件，B種型號(hào)服裝8件，需要1880元”，列方程組求解即可．
（2）利用兩個(gè)不等關(guān)系列不等式，結(jié)合實(shí)際意義求解．
【詳解】（1）設(shè)A種型號(hào)服裝每件x元，B種型號(hào)服裝每件y元．
依題意可得：
，
解得：，
答：A種型號(hào)服裝每件90元，B種型號(hào)服裝每件100元．
（2）設(shè)B型服裝購(gòu)進(jìn)m件，則A型服裝購(gòu)進(jìn)件．
根據(jù)題意得：，
解不等式得，
答：至少購(gòu)進(jìn)B型服裝10件．
23．如圖，四邊形為矩形，點(diǎn)在邊上，，連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)、作、且、相交于點(diǎn)．

(1)求證：；
(2)連接，若，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析；
(2)．
【分析】（1）根據(jù)即余角的性質(zhì)得到，可得，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，可證明，由此即可求證；
（2）根據(jù)題意可證四邊形是正方形，在中由勾股定理求出的長(zhǎng)，且是等腰直角三角形，根據(jù)其性質(zhì)得到．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：如圖所示，連接，

∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴四邊形是矩形，
∵，
∴四邊形是正方形，
∵，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴，
∵，
在中，，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴是等腰直角三角形，
∴．
【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是證明，由勾股定理求出的長(zhǎng)，由等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到．
24．如圖，A，B，C是上的三點(diǎn)，且，，點(diǎn)D為優(yōu)弧上的動(dòng)點(diǎn)，且．
(1)如圖1，若，延長(zhǎng)到F，使得，連接，求證：是的切線；
(2)如圖2，若的角平分線與相交于E，求的半徑與的長(zhǎng)；
(3)如圖3，將的邊所在的直線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到，直線與相交于M，N，連接．在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，的值是否發(fā)生變化？若不變，求出其值；若變化，說(shuō)明變化規(guī)律．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)的半徑為，
(3)在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，的值不發(fā)生變化，其值為25
【分析】（1）連接，先證，推出，得到四邊形是平行四邊形，，再得到，即可證得結(jié)論；
（2）連接交于H，連接，由垂徑定理得，根據(jù)，求出，設(shè)的半徑為x，則，，在中，由勾股定理求出，的半徑為，根據(jù)角平分線定義及同弧所對(duì)圓周角相等得到，由此得到；
（3）連接，并延長(zhǎng)交于Q，連接，過(guò)點(diǎn)A作于P，證明，得到，由（2）可知，點(diǎn)A到直線的距離為3，直線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到，A到直線的距離始終等于3，不會(huì)發(fā)生改變，由此得到．
【詳解】（1）證明：連接，如圖1所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半徑，
∴是的切線；
圖1
（2）解：連接交于H，連接，如圖2所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
設(shè)的半徑為x，則，，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴的半徑為，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
圖2
（3）解：連接，并延長(zhǎng)交于Q，連接，過(guò)點(diǎn)A作于P，如圖3所示：
則是的直徑，
∴，
∵，∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（2）可知，點(diǎn)A到直線的距離為3，直線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到，
∴點(diǎn)A到直線的距離始終等于3，不會(huì)發(fā)生改變，
∴，
∵，
∴，
∴在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，的值不發(fā)生變化，其值為25．
圖3
【點(diǎn)睛】此題考查銳角三角函數(shù)，證明直線是圓的切線，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，等知識(shí)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并綜合應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
25．定義：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，那么我們把經(jīng)過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線稱為這條拋物線的極限分割線．
【特例感知】
(1)拋物線的極限分割線與這條拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____ ．
【深入探究】
(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)和的拋物線與軸交于點(diǎn)，它的極限分割線與該拋物線另一個(gè)交點(diǎn)為，請(qǐng)用含的代數(shù)式表示點(diǎn)的坐標(biāo)．
【拓展運(yùn)用】
(3)在（2）的條件下，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，直線垂直平分，垂足為，交該拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)．
①當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
②若直線與直線關(guān)于極限分割線對(duì)稱，是否存在使點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到直線的距離相等的的值？若存在，直接寫(xiě)出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)和
(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為
(3)①頂點(diǎn)為或頂點(diǎn)為；②存在，或或
【分析】（1）根據(jù)定義，確定c值，再建立方程組求解即可．
（2）把點(diǎn)代入解析式，確定，根據(jù)定義建立方程求解即可．
（3）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，得到等線段，再利用字母表示等線段建立絕對(duì)值等式計(jì)算即可．
②設(shè)與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為，用含的式子表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，分別寫(xiě)出極限分割線、直線及直線的解析式，用含的式子分別表示出點(diǎn)到直線的距離和點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到直線的距離相等，得出關(guān)于的絕對(duì)值方程，解方程即可．
【詳解】（1）∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，極限分割線為，
極限分割線與這條拋物線的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，則另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為．
故答案為： 和．
（2）拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
∴
∴
∴，
解得
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為．
（3）①設(shè)與對(duì)稱軸交于點(diǎn)，若，則．

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．．
∴，
∴，
∴，
解得．
∵拋物線的頂點(diǎn)為，
∴拋物線的頂點(diǎn)為，
∴當(dāng)時(shí)，，故頂點(diǎn)為；
∴當(dāng)時(shí)，，故頂點(diǎn)為；
∴頂點(diǎn)為或頂點(diǎn)為．
存在，或或．
如圖，設(shè)與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為．

由知，，拋物線的頂點(diǎn)為，∴拋物線的極限分割線：，
直線垂直平分，
∴直線：，
∴點(diǎn)到直線的距離為；
直線與直線關(guān)于極限分割線對(duì)稱，
直線： ，
∵，
∴點(diǎn)到直線的距離為，
點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到直線的距離相等，
∴，
∴或，
解得或或，
故或或．
【點(diǎn)睛】．查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)和直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)等知識(shí)點(diǎn)，明確題中的定義、熟練掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)及絕對(duì)值方程是解題的關(guān)鍵．
A
B
C
A
A，A
A，B
A，C
B
B，A
B，B
B，C
C
C，A
C，B
C，C
65
87
57
96
79
67
89
97
77
100
83
69
89
94
58
97
69
78
81
88
年級(jí)
平均數(shù)
中位數(shù)
方差
七年級(jí)
81
八年級(jí)
82

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