第Ⅰ卷
一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）
1．設(shè)x是用字母表示的有理數(shù)，則下列各式中一定大于零的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，三種類(lèi)型的非負(fù)數(shù)：（1）絕對(duì)值；（2）偶次方；（3）二次根式（算術(shù)平方根）．根據(jù)含絕對(duì)值、平方的數(shù)都是非負(fù)數(shù)，它們的值都大于等于0，由此可解此題．
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，與都小于0，
當(dāng)時(shí)，，
而不論x取何值，，必大于0．
故選：D．
2．下列計(jì)算正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本題考查整式的加法運(yùn)算，根據(jù)合并同類(lèi)項(xiàng)法則判定A、B、C；根據(jù)去括號(hào)法則判定D即可．
【詳解】解：A. 沒(méi)有同類(lèi)項(xiàng)不能合并；故本選項(xiàng)不符合題意；
B. 故該選項(xiàng)正確，符合題意；
C. ，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
D. 故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
故選：B．
3．2023年9月23日第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)開(kāi)幕，有最高2640000人同時(shí)收看直播，數(shù)字2640000用科學(xué)記數(shù)法可以表示為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí)，一般形式為，確定與的值是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，共有位數(shù)字，的后面有位，
，
故選：C．
4．由6個(gè)同樣的立方體擺出從正面看是 的幾何體，下面擺法正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)主視圖：從正面看得到幾何體的圖像，逐個(gè)判斷即可得到答案．
【詳解】解：A選項(xiàng)圖形主視圖得到兩行兩列，故A不符合題意；
B選項(xiàng)圖形主視圖得到兩行三列，且第一列由兩個(gè)，其余的一個(gè)，故B符合題意；
C選項(xiàng)圖形主視圖得到兩行三列，且第一二列都是兩個(gè)，故C不符合題意；
D選項(xiàng)圖形主視圖得到兩行四列，故D不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查主視圖：從正面看得到幾何體的圖像叫幾何體的主視圖．
5．分式的值，可以等于（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】D
【分析】根據(jù)分子、分母的取值范圍進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：∵，，且，
∴的值不可能是、0、；當(dāng)時(shí)，分式的值等于2，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的求值，正確得出分子、分母的取值范圍是解題的關(guān)鍵．
6．如圖，是的切線，點(diǎn)是切點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，若，，則的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此題重點(diǎn)考查切線的性質(zhì)定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)．連接、，由是的直徑，得，，由切線的性質(zhì)得，而，則，所以是等邊三角形，則，所以，于是得到問(wèn)題的答案．
【詳解】解：連接、，則，
是的直徑，
，，
與相切于點(diǎn)，
，
，
，
，
是等邊三角形，
，
，
故選：C．
7．小明所在的班級(jí)有20人去體育場(chǎng)觀看演出，20張票分別為區(qū)第10排1號(hào)到20號(hào)采用隨機(jī)抽取的辦法分票，小明第一個(gè)抽取得到10號(hào)座位，接著小亮從其余的票中任意抽取一張，取得的一張恰與小明鄰座的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查了概率公式，直接利用概率公式求解．
【詳解】解：因?yàn)榕c10號(hào)座位相鄰得有2個(gè)座位（9號(hào)和11號(hào)），
所以小亮從其余的票中任意抽取一張，取得的一張恰與小明鄰座的概率為．
故選：A．
8．已知和均是以x為自變量的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值分別是和，若存在實(shí)數(shù)m，使得，則稱(chēng)函數(shù)和符合“特定規(guī)律”，以下函數(shù)和符合“特定規(guī)律”的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】B
【分析】本題主要考查一元二次方程根的判別式、二次函數(shù)的性質(zhì)．根據(jù)題中所給定義及一元二次方程根的判別式可直接進(jìn)行排除選項(xiàng)．
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)值分別為和，若存在實(shí)數(shù)，使得，
A、有，，所以不存在實(shí)數(shù)m，故不符合題意；
B、有，，所以存在實(shí)數(shù)m，故符合題意；
C、有，，所以不存在實(shí)數(shù)m，故不符合題意；
D、有，，所以不存在實(shí)數(shù)m，故不符合題意；
故選：B．
9．如圖，已知，以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作圓弧，與角的兩邊分別交于C，D兩點(diǎn)，分別以點(diǎn)C，D為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作圓弧，兩條圓弧交于內(nèi)一點(diǎn)P，連接，過(guò)點(diǎn)P作直線，交OB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作直線，交于點(diǎn)F．若，，則四邊形的面積是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】過(guò)P作于M，再判定四邊形為平行四邊形，再根據(jù)勾股定理求出邊和高，最后求出面積．
【詳解】解：過(guò)P作于M，
由作圖得：平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴四邊形為平行四邊形，，
∴，
∴，
設(shè)，
在中，，
即：，
解得：，
∴．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖，掌握平行四邊形的判定定理，勾股定理及平行四邊形的面積公式是解題的關(guān)鍵．
10．如圖，已知正方形和正方形，且三點(diǎn)在一條直線上，連接，以為邊構(gòu)造正方形，交于點(diǎn)，連接．設(shè)，．若點(diǎn)三點(diǎn)共線，，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，余角性質(zhì)，三角函數(shù)，過(guò)點(diǎn)作于，連接，先證明，得到，設(shè)，則，，再證明、，得到，，，利用三角函數(shù)即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于，連接，則，
∵四邊形、四邊形、四邊形是正方形，
∴，，，
∵點(diǎn)三點(diǎn)共線，
∴，
∴都是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，則，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
故選：．
第Ⅱ卷
二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）
11．計(jì)算的結(jié)果等于 ．
【答案】
【分析】根據(jù)平方差公式計(jì)算即可．
【詳解】解：原式．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟記平方差公式是解題的關(guān)鍵．
12．如圖，在中，．過(guò)點(diǎn)作的平分線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，則 ．
【答案】72
【分析】本題考查平行線及角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)．先利用平行線的性質(zhì)求出，再利用角平分線的定義和等邊對(duì)等角計(jì)算．
【詳解】解：，，
，
平分，
；
，
．
故答案為：72．
13．已知在二次函數(shù)中，函數(shù)值與自變量的部分對(duì)應(yīng)值如表：
則滿(mǎn)足方程的解是
【答案】/
【分析】本題考查了求拋物線解析式，一元二次方程的解，通過(guò)表格數(shù)據(jù)求出然后代入方程即可求解．
【詳解】解：由表格可知拋物線經(jīng)過(guò)，
拋物線解析式為：，
將代入可得：
，
解得：，
移項(xiàng)可得：
因式分解可得：
解得：．
14．如圖，P為直徑上的一點(diǎn)，點(diǎn)M和N在上，且．若，，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了垂徑定理，含30度的直角三角形三邊的關(guān)系和勾股定理．延長(zhǎng)交于Q，作于H，連接，如圖，由，得到，利用圓的對(duì)稱(chēng)性得到點(diǎn)M與點(diǎn)Q關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則，所以，在中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到，則在中可勾股定理計(jì)算出，然后根據(jù)垂徑定理得到，，即可得到的值．
【詳解】解：延長(zhǎng)交于Q，作于H，連接，如圖，
∵，
而，
∴，
∴點(diǎn)M與點(diǎn)Q關(guān)于對(duì)稱(chēng)，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，
在中，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
15．如圖1是一款重型訂書(shū)機(jī)，其結(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示．其主體部分為矩形EFGH，由支撐桿CD垂直固定于底座AB上，且可以繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)．壓桿MN與伸縮片PG連接，點(diǎn)M在HG上，MN可繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，PG⊥HG，DF＝8cm，GF＝2cm，不使用時(shí)，EF∥AB，G是PF中點(diǎn)，且點(diǎn)D在NM的延長(zhǎng)線上，則MG＝ cm，使用時(shí)如圖3，按壓MN使得MN∥AB，此時(shí)點(diǎn)F落在AB上，若CD＝2cm，則壓桿MN到底座AB的距離為 cm．
【答案】 4
【分析】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，正確做出輔助線是解題的關(guān)鍵．
如圖2，延長(zhǎng)，則過(guò)點(diǎn)D，由三角形中位線定理可得的長(zhǎng)度，如圖3，過(guò)點(diǎn)P作于K，可得在中，，知，故，可得，，由，得，即可得壓桿MN到底座AB的距離為．
【詳解】解：如圖2，延長(zhǎng)，則過(guò)點(diǎn)D，
四邊形是矩形，
，即，
是中點(diǎn)，
是的中位線，
，
如圖3，過(guò)點(diǎn)P作于K，
，
，
，
，
，
在中，，
知，
即，
，
解得，
，
，
，
得，
解得，
∴壓桿MN到底座AB的距離為，
故答案為：4，．
16．由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的大正方形如圖所示．將小正方形對(duì)角線雙向延長(zhǎng)，分別交邊，和邊的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，H．若大正方形與小正方形的面積之比為5，，則大正方形的邊長(zhǎng)為 ．
【答案】3
【分析】設(shè)小正方形在線段上的一個(gè)頂點(diǎn)為M，與相交于點(diǎn)P，由大正方形與小正方形的面積之比為5，可推出，設(shè)，，則，利用勾股定理和多項(xiàng)式的因式分解推出；延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，利用平行線分線段成比例定理可證N是的中點(diǎn)以及，設(shè)，則，證得，同理得，由此可推出；由，得，可求得與的長(zhǎng)，最后由求出a的值即可．
【詳解】解：設(shè)小正方形在線段上的一個(gè)頂點(diǎn)為M，與相交于點(diǎn)P，
∵大正方形與小正方形的面積之比為5，
∴，
∴，
設(shè)，，則，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
設(shè)，則，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，因式分解等知識(shí)，靈活運(yùn)用平行線分線段成比例定理和勾股定理求出線段之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共72分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
17．（6分）（1）計(jì)算：；
（2）解不等式：．
【答案】（1）；（2）
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算以及解一元一次不等式；
（1）分別根據(jù)零指數(shù)冪的定義，絕對(duì)值的性質(zhì)以及二次根式的性質(zhì)，計(jì)算即可；
（2）不等式去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，化系數(shù)為1即可．
【詳解】（1）原式
；
（2），
去括號(hào)，得，
移項(xiàng)，得，
合并同類(lèi)項(xiàng)，得．
18．（6分）小汪解答“解分式方程：”的過(guò)程如下，請(qǐng)指出他解答過(guò)程中錯(cuò)誤步驟的序號(hào)，并寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．
解：去分母得：…①，
去括號(hào)得：…②，
移項(xiàng)得：…③，
合并同類(lèi)項(xiàng)得：…④，
系數(shù)化為1得：…⑤，
∴是原分式方程的解．
【答案】錯(cuò)誤步驟的序號(hào)為①，解法見(jiàn)詳解．
【分析】本題考查檢查解分式方程；錯(cuò)誤步驟的序號(hào)為①，解方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，，進(jìn)而解這個(gè)整式方程，最后檢驗(yàn)，即可求解．
【詳解】解：錯(cuò)誤步驟的序號(hào)為①，
去分母得：
去括號(hào)得：
移項(xiàng)得：…③，
合并同類(lèi)項(xiàng)得：…④，
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，
∴是原分式方程的解．
19．（8分）某校初三年級(jí)開(kāi)展了系列交通安全知識(shí)競(jìng)賽，從中隨機(jī)抽取30名學(xué)生兩次知識(shí)競(jìng)賽的成績(jī)（百分制），并對(duì)數(shù)據(jù)（成績(jī)）進(jìn)行收集、整理、描述和分析．下面給出了部分信息．
a．這30名學(xué)生第一次競(jìng)賽成績(jī)
b．這30名學(xué)生兩次知識(shí)競(jìng)賽的獲獎(jiǎng)情況統(tǒng)計(jì)表
和第二次競(jìng)賽成績(jī)得分情況統(tǒng)計(jì)圖：（規(guī)定：分?jǐn)?shù)，獲卓越獎(jiǎng)；分?jǐn)?shù)，獲優(yōu)秀獎(jiǎng)；分?jǐn)?shù)，獲參與獎(jiǎng)）
c．第二次競(jìng)賽獲卓越獎(jiǎng)的學(xué)生成績(jī)?nèi)缦拢?br>90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98
d．兩次競(jìng)賽成績(jī)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如表：
根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：
(1)小松同學(xué)第一次競(jìng)賽成績(jī)是89分，第二次競(jìng)賽成績(jī)是91分，在圖中用“〇”圈出代表小松同學(xué)的點(diǎn)；
(2)直接寫(xiě)出m，n的值；
(3)請(qǐng)判斷第幾次競(jìng)賽中初三年級(jí)全體學(xué)生的成績(jī)水平較高，并說(shuō)明理由．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)，
(3)二，理由見(jiàn)解析
【分析】本題考查統(tǒng)計(jì)圖分析，涉及中位數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、眾數(shù)，
（1）根據(jù)這30名學(xué)生第一次競(jìng)賽成績(jī)和第二次競(jìng)賽成績(jī)得分情況統(tǒng)計(jì)圖可得橫坐標(biāo)是89，縱坐標(biāo)是90的點(diǎn)即代表小松同學(xué)的點(diǎn)；
（2）根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義可得m和n的值；
（3）根據(jù)平均數(shù)，眾數(shù)和中位數(shù)進(jìn)行決策即可．
【詳解】（1）解：（1）如圖所示．
（2），
∵第二次競(jìng)賽獲卓越獎(jiǎng)的學(xué)生有16人，成績(jī)從小到大排列為：
90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98，
∴第一和第二個(gè)數(shù)是30名學(xué)生成績(jī)中第15和第16個(gè)數(shù)，
∴，
∴，；
（3）可以推斷出第二次競(jìng)賽中初三年級(jí)全體學(xué)生的成績(jī)水平較高，
理由是：第二次競(jìng)賽學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都高于第一次競(jìng)賽．
答：二，第二次競(jìng)賽學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都高于第一次競(jìng)賽．
20．（8分）某校九年級(jí)學(xué)生在數(shù)學(xué)社團(tuán)課上進(jìn)行了項(xiàng)目化學(xué)習(xí)研究，某小組研究如下：
【提出驅(qū)動(dòng)性問(wèn)題】如何設(shè)計(jì)紙盒？
【設(shè)計(jì)實(shí)踐任務(wù)】選擇“素材1”“素材2”設(shè)計(jì)了“任務(wù)1”“任務(wù)2”的實(shí)踐活動(dòng)．
請(qǐng)你嘗試幫助他們解決相關(guān)問(wèn)題．
【答案】任務(wù)1：剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為．
任務(wù)2：當(dāng)剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為時(shí)，長(zhǎng)方形盒子的側(cè)面積最大為．
【分析】此題主要考查了一元二次方程和二次函數(shù)的應(yīng)用，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確地列出方程和函數(shù)關(guān)系式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
任務(wù)1：假設(shè)剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)長(zhǎng)方形盒子的底面積為，得方程，解所列方程并檢驗(yàn)可得；
任務(wù)2：側(cè)面積有最大值，設(shè)剪掉的正方形邊長(zhǎng)為，盒子的側(cè)面積為，利用長(zhǎng)方形盒子的側(cè)面積為：得出即可．
【詳解】解：任務(wù)1：設(shè)剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為，
則，即，
解得（不合題意，舍去），，
答：剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為．
任務(wù)2：側(cè)面積有最大值．
理由如下：
設(shè)剪掉的小正方形的邊長(zhǎng)為，盒子的側(cè)面積為，
則與的函數(shù)關(guān)系為：，
即，
即，
∴時(shí)，．
即當(dāng)剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為時(shí)，長(zhǎng)方形盒子的側(cè)面積最大為．
21．（10分）為了保護(hù)小吉的視力，媽媽為他購(gòu)買(mǎi)了可升降夾書(shū)閱讀架（如圖1），將其放置在水平桌面上的側(cè)面示意圖（如圖2），測(cè)得底座高為，支架為，面板長(zhǎng)為為．（厚度忽略不計(jì)）
(1)求支點(diǎn)離桌面的高度；（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）
(2)小吉通過(guò)查閱資料，當(dāng)面板繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，面板與桌面的夾角滿(mǎn)足時(shí)，能保護(hù)視力．當(dāng)從變化到的過(guò)程中，問(wèn)面板上端離桌面的高度是增加了還是減少了？增加或減少了多少？（精確到，參考數(shù)據(jù)：，）
【答案】(1)支點(diǎn)C離桌面l的高度；
(2)面板上端E離桌面l的高度是增加了，增加了約
【分析】（1）作，先在求出的長(zhǎng)，再計(jì)算即可得答案；
（2）分別求出時(shí) 和時(shí)，的長(zhǎng)，相減即可．
【詳解】（1）解：如下圖，作，
，
，
，
，
支點(diǎn)C離桌面l的高度；
（2）
，
，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
，
面板上端E離桌面l的高度是增加了，增加了約．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造直角三角形．
22．（10分）正方形邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)E是上一點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)F．
(1)如圖1，若，求的值；
(2)如圖1，，若，求m的值．
(3)如圖2，點(diǎn)G為上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，設(shè)，試探究y與x的函數(shù)關(guān)系．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握相似三角形判定定理的內(nèi)容是解題關(guān)鍵．
（1）證可得，結(jié)合即可求解；
（2）由可得，進(jìn)一步可得，據(jù)此即可求解；
（3）由（1）可得，證得即可求解．
【詳解】（1）解：由題意得：
∴
∴
即：
解得：
（2）解：∵，
∴
∴
由（1）可得：
∴
∴
∵，
∴
解得：
（3）解：由（1）得：
即：
解得：
∵，
∴
∴
即：
∴
整理得：
∵
∴，
又
∴
故：
23．（12分）如圖1，E點(diǎn)為x軸正半軸上一點(diǎn)，交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于C、D兩點(diǎn)，P點(diǎn)為劣弧上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且、．
(1)的度數(shù)為_(kāi)_______；
(2)如圖2，連結(jié)，取中點(diǎn)G，連結(jié)，則的最大值為_(kāi)_______；
(3)如圖3，連接、、、．若平分交于Q點(diǎn)，求的長(zhǎng)；
(4)如圖4，連接、，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與B、C兩點(diǎn)重合），求證：為定值，并求出這個(gè)定值．
【答案】(1)120
(2)2
(3)
(4)見(jiàn)解析，
【分析】本題主要考查了垂徑定理在圓中的應(yīng)用，最后一問(wèn)由“共頂點(diǎn)，等線段”聯(lián)想到旋轉(zhuǎn)，是此題的突破口，同時(shí)，要注意頂角為的等腰三角形腰和底邊比是固定值．
（1）由已知得到垂直平分，故得到，證明為等邊三角形即可得到答案；
（2）由于直徑，根據(jù)垂徑定理可以得到是的中點(diǎn)，要求最大值即求最大值，當(dāng)為直徑時(shí)，有最大值，即可得到答案；
（3）根據(jù)垂徑定理得到，證明，由（1）得，即可得到答案；
（4）將繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，得到，證明，過(guò)A作于G，則，根據(jù)勾股定理證明．
【詳解】（1）解：連接，，
、，
，
，
，
，
，
，
，
的度數(shù)為；
（2）解：由題可知，為直徑，且，
由垂徑定理可得，，
連接，
是的中點(diǎn)，
，
當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)取得最大值，
且，
的最大值為；
（3）解：連接，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
；
（4）證明：由題可得，直徑，
垂直平分，
如圖4，連接，，則，
由（1）得，
將繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，
，
，，
四邊形為圓內(nèi)接四邊形，
，
，
、D、P三點(diǎn)共線，
，
過(guò)A作于G，則，
，
在中，，
設(shè)，則，
，
，
，
，
為定值．
24．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限的拋物線上，連接，與軸交于點(diǎn)．
AI
(1)求拋物線表達(dá)式；
(2)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在平面內(nèi)，若，且四邊形是平行四邊形．
①求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②設(shè)射線與相交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)后的三角形記為，求的最小值．
【答案】(1)；
(2)①，；②的最小值為．
【分析】（1）將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入拋物線，利用待定系數(shù)法求得解析式；
（2）①由坐標(biāo)求出解析式，然后根據(jù)四邊形是平行四邊形和得出，再分類(lèi)討論求得和的坐標(biāo)；②求出解析式，交點(diǎn)為，再求出坐標(biāo)，然后由兩點(diǎn)間距離公式求出和長(zhǎng)度，因?yàn)樾D(zhuǎn)不改變長(zhǎng)度，所以長(zhǎng)度不變，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到軸上時(shí)，此時(shí)最短，所以此時(shí)等于，然后帶入計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：①∵拋物線交軸于點(diǎn)和點(diǎn)，
∴將、坐標(biāo)代入有，
解得
∴拋物線的表達(dá)式為；
（2）解：∵拋物線的表達(dá)式為，
∴，
設(shè)直線的解析式為
∵ ，，
∴
解得
∴直線的解析式為
∵為與軸交點(diǎn)，
∴，
∴，
∵四邊形是平行四邊形
∴且，且點(diǎn)在點(diǎn)下方，
∵且在軸上
∴，
∵，
∴，或，
若為，，
∵，故，
若為，，
∵，此時(shí)，矛盾，舍去
綜上，；
②最小值為
如圖，設(shè)的解析式為
∵拋物線交軸于點(diǎn)，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，
將點(diǎn)，、，的坐標(biāo)代入得
解得
∴的解析式為
與相交于點(diǎn)
∴
解得
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為
設(shè)直線的解析式為
將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入直線的解析式得
解得
所以直線的解析式為
與相交于點(diǎn)
∴
解得，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為
∴
，
∴，
當(dāng)旋轉(zhuǎn)到軸上時(shí)，此時(shí)最短，
∴，
∴．
故的最小值．
【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的綜合運(yùn)用，利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，找出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，逐步分析求解是解題的關(guān)鍵．
0
1
2
3
8
3
0
0
參與獎(jiǎng)
優(yōu)秀獎(jiǎng)
卓越獎(jiǎng)
第一次
競(jìng) 賽
人 數(shù)
10
10
10
平均分
82
87
95
第二次
競(jìng) 賽
人 數(shù)
2
12
16
平均分
84
87
93
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
第一次競(jìng)賽
m
87.5
88
第二次競(jìng)賽
90
n
91
素材1
利用一邊長(zhǎng)為的正方形紙板可能設(shè)計(jì)成如圖所示的無(wú)蓋紙盒
素材2
如圖，若在正方形硬紙板的四角各剪掉一個(gè)同樣大小的小正方形，將剩余部分折成一個(gè)無(wú)蓋紙盒．
【嘗試解決問(wèn)題】
任務(wù)1
初步探究：折一個(gè)底面積為無(wú)蓋紙盒
（1）求剪掉的小正方形的邊長(zhǎng)為多少？
任務(wù)2
折成的無(wú)蓋紙盒的側(cè)面積是否有最大值？
（2）如果有，求出這個(gè)最大值和此時(shí)剪掉的小正方形的邊長(zhǎng)；如果沒(méi)有，說(shuō)明理由．

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