第Ⅰ卷
一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）
1．有理數(shù)的相反數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)進(jìn)行解答即可．
【詳解】有理數(shù) 的相反數(shù)是，
故選：．
【點睛】此題考查了相反數(shù)的定義，掌握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
2．下列計算中，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)積的乘方，完全平方公式，同底數(shù)冪的除法，二次根式的加法對各選項進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：由題意知，，正確，故A符合要求；
，錯誤，故B不符合要求；
，錯誤，故C不符合要求；
，錯誤，故D不符合要求；
故選：A．
【點睛】本題考查了積的乘方，完全平方公式，同底數(shù)冪的除法，二次根式的加法．熟練掌握積的乘方，完全平方公式，同底數(shù)冪的除法，二次根式的加法是解題的關(guān)鍵．
3．一元一次方程不等式組的解在數(shù)軸上表示正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本題考查的是一元一次不等式組的解法及在數(shù)軸上表示解集，在數(shù)軸上表示解集時“”，“”要用實心圓點表示；“”，“”要用空心圓點表示．熟練掌握不等式組的解法是解題的關(guān)鍵．先分別解出兩個不等式，然后找出解集，表示在數(shù)軸上即可．
【詳解】解：，
由①得，?，
由②得，，
故原不等式組的解集為：．
在數(shù)軸上表示為：
故答案為：D．
4．在以下回收、綠色食品、節(jié)能、節(jié)水四個標(biāo)志中，是中心對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念：一個圖形沿某個點旋轉(zhuǎn)180度后能與原圖完全重合的；由此問題可求解．
【詳解】解：選項A、B、D不能找到一個點繞其旋轉(zhuǎn)180度后能與原圖完全重合，所以都不是中心對稱圖形，而C選項可以找到一個點繞其旋轉(zhuǎn)180度后能與原圖完全重合，所以是中心對稱圖形；
故選C．
【點睛】本題主要考查中心對稱圖形，熟練掌握中心對稱圖形的概念是解題的關(guān)鍵．
5．據(jù)共青團中央2023年5月3日發(fā)布的中國共青團團內(nèi)統(tǒng)計公報，截至2022年12月底，全國共有共青團員7358萬．?dāng)?shù)據(jù)7358萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．7.358×107B．7.358×103C．7.358×104D．7.358×106
【答案】A
【分析】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，表示較大的數(shù)，利用科學(xué)記數(shù)法的法則解答即可．
【詳解】解：7358萬，
故選：A．
6．如圖，的半徑為5，弦，則的長為（ ）

A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】本題考查了垂徑定理，由于于點C，所以由垂徑定理可得，在中，由勾股定理即可得到答案．熟練運用垂徑定理并結(jié)合勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵，
∴，
在中，，
由勾股定理可得：．
故選：C．
7．如圖所示幾何體的俯視圖是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)俯視圖是從上面看到的圖形判定即可．
【詳解】解：從上面看得該幾何體的俯視圖是：
．
故選：D．
【點睛】此題主要考查了簡單組合體的三視圖；用到的知識點為：主視圖，左視圖，俯視圖分別是從物體的正面，左面，上面看得到的圖形．
8．如圖，在“經(jīng)典誦讀”比賽活動中，某校10名學(xué)生參賽成績?nèi)鐖D所示，對于這10名學(xué)生的參賽成績，下列說法錯誤的是（ ）

A．眾數(shù)是90分B．方差是10C．平均數(shù)是91分D．中位數(shù)是90分
【答案】B
【分析】根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差的定義和統(tǒng)計圖中提供的數(shù)據(jù)分別列出算式，求出答案．
【詳解】解：A、∵90出現(xiàn)了5次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，∴眾數(shù)是90；故此選項不符合題意；
B、方差是：；故此選項符合題意；
C、平均數(shù)是（85×2+100×1+90×5+95×2）÷10＝91；故此選項不符合題意；
D、∵共有10個數(shù)，∴中位數(shù)是第5、6個數(shù)的平均數(shù)，∴中位數(shù)是（90+90）÷2＝90；故此選項不符合題意．
故選：B．
【點睛】此題考查了折線統(tǒng)計圖，用到的知識點是眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差，能從統(tǒng)計圖中獲得有關(guān)數(shù)據(jù)，求出眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差是解題的關(guān)鍵．
9．如圖，正方形的對角線交于點O，M是邊上一點，連接，過點O作交于點N，若四邊形的面積是4，則的長為（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】C
【分析】本題考查正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．過點O作，證明，進(jìn)而得到四邊形的面積等于正方形的面積，進(jìn)而求出的長，即可得解．
【詳解】解：過點O作于點E，于點F，
則：，
∵四邊形是正方形，
∴，
∴，四邊形為矩形，
∴四邊形為正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴正方形的面積等于四邊形的面積，
∴，
∴（負(fù)值已舍掉）；
∴；
故選：C．
10．拋物線的對稱軸是直線，拋物線與x軸的一個交點在點和點之間，其部分圖象如圖所示，下列結(jié)論①；②；③關(guān)于x的方程有兩個不相等實數(shù)根；④當(dāng)時，y隨x增大而增大；⑤；⑥y的最小值為．其中正確的個數(shù)是（ ）

A．2個B．3個C．4個D．5個
【答案】B
【分析】本題考查了的圖象與性質(zhì)，根據(jù)對稱軸確定拋物線與x軸的另一個交點，補全圖象是解題關(guān)鍵．
【詳解】解：∵拋物線的對稱軸是直線，
∴，
∴，
即：，故①正確；
∵拋物線與x軸的一個交點在點和點之間，對稱軸是直線，
∴拋物線與x軸的另一個交點在點和點之間，
補全圖象如下：

∴當(dāng)時，，故②正確；
由圖象可知：拋物線與直線有兩個交點，
故關(guān)于x的方程有兩個不相等實數(shù)根，故③正確；
由圖象可知：當(dāng)時，y隨x增大而減小，故④錯誤；
∵圖象開口向下，
∴
∵，
∴
結(jié)合拋物線與x軸的兩個交點范圍可知，拋物線與軸負(fù)半軸相交，
∴，
∴，故⑤錯誤；
由圖象可知：y的最大值為，故⑥錯誤；
故選：B
第Ⅱ卷
二、填空題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分）
11．因式分解： ．
【答案】
【分析】此題考查了多項式分解因式，正確掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．利用提公因式法和平方差公式分解因式即可．
【詳解】解：
故答案為：．
12．若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．直接利用二次根式有意義則被開方數(shù)大于或等于零即可得出答案．
【詳解】解：在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，
故，
解得：．
故答案為：．
13．圓錐的底面半徑是，母線長，則它的側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)為 ．
【答案】
【分析】設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為，根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和弧長公式得到，然后解關(guān)于的方程即可．
【詳解】解：設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為，
根據(jù)題意得
解得，
即圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為．
故答案為：．
【點睛】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．
14．如圖，直線，將含有角的三角形板的直角頂點C放在直線b上，若，則的度數(shù)為 ．

【答案】/18度
【分析】如圖，過B作直線a的平行線，則直線，，根據(jù)，計算求解即可．
【詳解】解：如圖，過B作直線a的平行線，

∵直線，
∴直線，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于明確角度之間的數(shù)量關(guān)系．
15．若關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，實數(shù)m的取值范圍是 ．
【答案】/
【分析】利用方程有兩個不相等的實數(shù)根時，，建立關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍．
【詳解】解：關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，
，即，
解得：，
故答案為：．
【點睛】本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．
16．如圖所示，在平行四邊形中，點在上，且，則 ．

【答案】
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，設(shè)，，，則，利用相似三角形的性質(zhì)求出平行四邊形的面積，即可解決問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題．
【詳解】解：設(shè)，，，則，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為:．
17．《九章算術(shù)》中記載：“今有人共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．問人數(shù)、羊價各幾何？”譯文：“今有人合伙買羊，若每人出五錢，還差四十五錢；若每人出7錢，還差三錢．問合伙人數(shù)、羊價各是多少？”設(shè)合伙人數(shù)為x人，羊價為y錢，可列方程組為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)“若每人出5錢，還差45錢；若每人出7錢，還差3錢”中的等量關(guān)系分別列二元一次方程，即可求解．
【詳解】解：設(shè)合伙人數(shù)為x人，羊價為y元，
依據(jù)“若每人出5錢，還差45錢”得：5x+45=y，
依據(jù)“若每人出7錢，還差3錢”得：7x+3=y，
因此可列方程組為：，
故答案為：．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
18．《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)專著，書中記載了這樣一個問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”其大意是：如圖，的兩條直角邊的長分別為5和12，則它的內(nèi)接正方形的邊長為 ．
【答案】/
【分析】先設(shè)正方形的邊長為x，再表示出，，然后說明∽，并根據(jù)對應(yīng)邊成比例得出答案.
【詳解】根據(jù)題意可知，．
設(shè)正方形的邊長為x，則，.
∵四邊形是正方形，
∴．
∵，
∴∽，
∴，
即，
解得.
所以正方形的邊長為.
故答案為：.
【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的對應(yīng)邊成比例是求線段長的常用方法．
三、解答題（本大題共8個小題，第19、20、21題每題6分，第22、23題每題8分，第24、25題每題10分，第26題12分，共66分）
19．計算：
【答案】
【分析】直接利用零指數(shù)、絕對值、立方根、特殊角的函數(shù)化簡計算即可．
【詳解】解：
．
【點睛】本題考查了實數(shù)的運算，解題的關(guān)鍵是掌握零指數(shù)、絕對值、立方根、特殊角函數(shù)值，熟練計算．
20．先化簡，再求值：，其中．
【答案】，．
【分析】原式第二項變形后約分，然后通分并利用同分母分式的減法法則計算得到最簡結(jié)果，將x的值代入計算即可求出值．
【詳解】解：原式=
=
=
當(dāng)時，原式=.
【點睛】此題考查了分式的化簡求值，分式的加減運算關(guān)鍵是通分，通分的關(guān)鍵是找最簡公分母；分式的乘除運算關(guān)鍵是約分，約分的關(guān)鍵是找公因式．
21．如圖，某大樓的頂部樹有一塊廣告牌，小李在山坡的坡腳處測得廣告牌底部的仰角為．沿坡面向上走到處測得廣告牌頂部的仰角為，已知山坡的坡度，米，米．

(1)求點距水平面的高度；
(2)求廣告牌的高度．
【答案】(1)米；
(2)廣告牌的高度約為米．
【分析】（1）在中，通過解直角三角形求出、即可；
（2）過作于在解直角三角形求出的長，進(jìn)而可求出即的長，在中，，則，由此可求出的長，然后根據(jù)即可求出廣告牌的高度．
【詳解】（1）解：在中，
∴，
∴米；
（2）過作于，
如圖所示：

由（1）得：
米， 米，
中，，
∴米，
中，，米，
∴米，
∴
米
答：廣告牌的高度約為米．
【點睛】此題綜合考查了仰角、坡度的定義，能夠正確地構(gòu)建出直角三角形，將實際問題化歸為解直角三角形的問題是解答此類題的關(guān)鍵．
22．如圖，在中，，點為中點，過點分別作的平行線，相交于點．
(1)求證：四邊形為矩形；
(2)連接，若，求的長．
【答案】(1)見詳解
(2)
【分析】（1）先根據(jù)平行四邊形的判定，證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定，證明即可；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)，三角函數(shù)，及勾股定理即可得出結(jié)果．
【詳解】（1）證明：由題意得，
四邊形是平行四邊形，
，點為中點，
，即，
四邊形為矩形；
（2）解：∵四邊形為矩形，
，
∵點為中點，
在中，，
解得：
在中，，
故的長為．
【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握定理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
23．為了解九年級學(xué)生的投籃命中率，組織了九年級學(xué)生定點投籃，規(guī)定每人投籃3次．現(xiàn)對九年級（1）班每名學(xué)生投中的次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計，繪制成如下的兩幅統(tǒng)計圖，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題．

(1)九年級（1）班的學(xué)生人數(shù) 人，扇形統(tǒng)計圖中 %；
(2)扇形統(tǒng)計圖中“3次”對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為 °；
(3)在投中3次的學(xué)生中，有2個男生2個女生，現(xiàn)要抽調(diào)兩名學(xué)生參加學(xué)校投籃比賽，請用畫樹狀圖或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
【答案】(1)40，55
(2)36
(3)
【分析】（1）根據(jù)投中1次的人數(shù)及所占百分?jǐn)?shù)求總?cè)藬?shù)，求出投中2次的人數(shù)，除以總?cè)藬?shù)即可求出所占的百分?jǐn)?shù)；
（2）求出投中3次的人數(shù)所占比例，乘以360度即可；
（3）畫樹狀圖表示出所有等可能的情況，再從中找出抽到一男一女的情況數(shù)，利用概率公式求解．
【詳解】（1）解：九年級（1）班的學(xué)生人數(shù)（人），
投中2次的人數(shù)為：（人），
扇形統(tǒng)計圖中，
故答案為：40，55；
（2）解：扇形統(tǒng)計圖中“3次”對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為：，
故答案為：36；
（3）解：畫樹狀圖如下：

由圖可知，共有12種等可能的情況，其中恰好抽到一男一女的情況有8種，
，
即恰好抽到一男一女的概率是．
【點睛】本題考查條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、列表或畫樹狀圖法求概率，解題的關(guān)鍵是將條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖間的信息進(jìn)行關(guān)聯(lián)，掌握列表或畫樹狀圖法求概率的原理．
24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的邊在軸上，軸，點的坐標(biāo)為，將向下方平移，得到，且點的對應(yīng)點落在反比例函數(shù)的圖象上，點的對應(yīng)點落在軸上，連接．

(1)求證：四邊形為平行四邊形；
(2)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
(3)求平移的距離及線段掃過的面積．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)5，24
【分析】（1）利用平移的性質(zhì)，可得出，由軸且在軸上，可得出，結(jié)合，可得出，由，可得出，再利用“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”，可證出四邊形為平行四邊形；
（2）連接，易證四邊形是平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)，可得出，結(jié)合，可得出三點共線，易證四邊形是平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)，可得出的長，結(jié)合，可得出點的坐標(biāo)，再利用反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，可求出的值，進(jìn)而可得出反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（3）連接，在中，利用勾股定理，可求出的長，由此可得出平移的距離為，由，可得出四邊形是平行四邊形，再利用平行四邊形的性質(zhì)及三角形的面積公式，即可求出線段掃過的面積．
【詳解】（1）證明：由平移的性質(zhì)，得：，
軸，且在軸上，
，
．
，
，
四邊形為平行四邊形；
（2）解：連接，如圖所示．

四邊形為平行四邊形，
，
又，
四邊形是平行四邊形，
，
，
三點共線．
軸，在軸上，，
四邊形是平行四邊形，
．
點的坐標(biāo)為，
，
點的坐標(biāo)為．
點在反比例函數(shù)的圖象上，
，
反比例函數(shù)的表達(dá)式為；
（3）解：連接，如圖所示．

在中，，
，
平移的距離為
，
四邊形是平行四邊形，
，
線段掃過的面積為．
【點睛】本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了平移的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義、勾股定理以及三角形的面積，解題的關(guān)鍵是：由平移的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，找出及；（2）利用平移的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)，找出點的坐標(biāo)；（3）利用勾股定理及平行四邊形的性質(zhì)，求出的長及平行四邊形的面積．
25．如圖，在中，，是的直徑，交于點D，過點D的直線交于點E，交的延長線于點P，是的切線．

(1)求的度數(shù)；
(2)若，，求圖1中陰影部分的周長；
(3)如圖2，若，連接，交于點N，若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角為直角進(jìn)行解答即可；
（2）證明是等邊三角形，可得，再由弧的長度，在中，求出，，則陰影部分的周長為；
（3）連接，，過作于點，利用同弧所對的圓周角相等，得到，設(shè)，則，求出，由得：，證明，得出，即可求出．
【詳解】（1）解：∵是的直徑，
∴，
∴．
（2）解：連接，如圖所示：

∵，
∴，
∵是的切線，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等邊三角形．
∴，
∴弧的長度，
在中，，，
∴，
∴，
∴陰影部分的周長為：．
（3）解：連接，，過作于點，如圖所示：

∵，
∴設(shè)，則，，
由得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握圓的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，弧長公式，同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角為直角，三角形相似的判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
26．定義：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的交點坐標(biāo)為，那么我們把經(jīng)過點且平行于軸的直線稱為這條拋物線的極限分割線．
【特例感知】
(1)拋物線的極限分割線與這條拋物線的交點坐標(biāo)為______ ．
【深入探究】
(2)經(jīng)過點和的拋物線與軸交于點，它的極限分割線與該拋物線另一個交點為，請用含的代數(shù)式表示點的坐標(biāo)．
【拓展運用】
(3)在（2）的條件下，設(shè)拋物線的頂點為，直線垂直平分，垂足為，交該拋物線的對稱軸于點．
①當(dāng)時，求點的坐標(biāo)．
②若直線與直線關(guān)于極限分割線對稱，是否存在使點到直線的距離與點到直線的距離相等的的值？若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)和
(2)點的坐標(biāo)為
(3)①頂點為或頂點為；②存在，或或
【分析】（1）根據(jù)定義，確定c值，再建立方程組求解即可．
（2）把點代入解析式，確定，根據(jù)定義建立方程求解即可．
（3）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，得到等線段，再利用字母表示等線段建立絕對值等式計算即可．
②設(shè)與對稱軸的交點為，用含的式子表示出點的坐標(biāo)，分別寫出極限分割線、直線及直線的解析式，用含的式子分別表示出點到直線的距離和點到直線的距離，根據(jù)點到直線的距離與點到直線的距離相等，得出關(guān)于的絕對值方程，解方程即可．
【詳解】（1）∵拋物線的對稱軸為直線，極限分割線為，
極限分割線與這條拋物線的一個交點坐標(biāo)為，則另一個交點坐標(biāo)為．
故答案為： 和．
（2）拋物線經(jīng)過點，
∴
∴
∴，
解得
∴點D的坐標(biāo)為．
（3）①設(shè)與對稱軸交于點，若，則．

∵點C的坐標(biāo)為，點D的坐標(biāo)為．．
∴，
∴，
∴，
解得．
∵拋物線的頂點為，
∴拋物線的頂點為，
∴當(dāng)時，，故頂點為；
∴當(dāng)時，，故頂點為；
∴頂點為或頂點為．
存在，或或．
如圖，設(shè)與對稱軸的交點為．

由知，，拋物線的頂點為，∴拋物線的極限分割線：，
直線垂直平分，
∴直線：，
∴點到直線的距離為；
直線與直線關(guān)于極限分割線對稱，
直線： ，
∵，
∴點到直線的距離為，
點到直線的距離與點到直線的距離相等，
∴，
∴或，
解得或或，
故或或．
【點睛】．查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)和直線與拋物線的交點坐標(biāo)等知識點，明確題中的定義、熟練掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)及絕對值方程是解題的關(guān)鍵．

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