本講為高考命題熱點，分值12-17分，題型多變，選擇題，填空題，解答題都會出現(xiàn)，
選擇填空題?？嫉炔畹缺葦?shù)列的性質(zhì)，大題題型多變，但對于文科來講?？疾旎玖康挠嬎闩c數(shù)列求和，對于理科考點相對難度較大，比如新定義，奇偶列等，考察邏輯推理能力與運算求解能力.
考點一 數(shù)列的定義與分類
1.數(shù)列的定義
按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.
2.數(shù)列的分類
考點二 數(shù)列的表示法
數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法.
考點三 數(shù)列的通項公式與遞推公式
1.數(shù)列的通項公式
如果數(shù)列{an}的第n項與序號n之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式.
2.數(shù)列的遞推公式
如果已知數(shù)列的第一項(或前幾項)，且從第二項(或某一項)開始的任一項an與它的前一項an－1(n≥2)(或前幾項)間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式.
考點四 常用結(jié)論
1.若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，通項公式為an，則an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
2.數(shù)列是按一定“次序”排列的一列數(shù)，一個數(shù)列不僅與構(gòu)成它的“數(shù)”有關，而且還與這些“數(shù)”的排列順序有關.
3.易混項與項數(shù)的概念，數(shù)列的項是指數(shù)列中某一確定的數(shù)，而項數(shù)是指數(shù)列的項對應的位置序號.
高頻考點一 由數(shù)列的遞推關系求通項
角度1 累加法——形如an＋1－an＝f(n)，求an
【例1】在數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）．
A．659B．661C．663D．665
【答案】D
【分析】由累加法和等差數(shù)列的前 SKIPIF 1 < 0 項和可求出 SKIPIF 1 < 0 ，代入化簡即可求出 SKIPIF 1 < 0 .
【詳解】因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．故選：D.
角度2 累乘法——形如eq \f(an＋1,an)＝f(n)，求an
【例2】已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則滿足 SKIPIF 1 < 0 的n的最大值為（ ）
A．3B．5C．7D．9
【答案】B
【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推關系式，運用累乘法計算出數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項公式，再根據(jù)不等式求解n的最大值.
【詳解】根據(jù)題意， SKIPIF 1 < 0
化簡得， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
運用累乘法計算得 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 符合該式，
SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0
所以滿足條件的n的最大值為5.故選：B.
角度3 構(gòu)造法——形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1，B≠0)，求an
【例3】已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 為首項，2為公比的等比數(shù)列，再根據(jù) SKIPIF 1 < 0 的值求出 SKIPIF 1 < 0 可得答案.
【詳解】由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，與 SKIPIF 1 < 0 矛盾，
故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故選：A.
【方法技巧】
1.由數(shù)列的遞推關系求通項公式的常用方法
(1)已知a1，且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an.
(2)已知a1(a1≠0)，且eq \f(an,an－1)＝f(n)，可用“累乘法”求an.
2.已知a1且an＋1＝pan＋q(其中p，q均為常數(shù)，pq(p－1)≠0).把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an＋1－t＝p(an－t)，其中t＝eq \f(q,1－p)，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解.
【跟蹤訓練】
1．已知 SKIPIF 1 < 0 為數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前n項和，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的通項公式為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】先由題設求出 SKIPIF 1 < 0 ，再通過構(gòu)造得 SKIPIF 1 < 0 ，由等比數(shù)列的通項公式即可求解.
【詳解】令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .故選：B.
2．已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，對任意的 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】利用累加法可求得 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 即可求得 SKIPIF 1 < 0 .
【詳解】由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，
各式作和得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .故選：C.
3．已知 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．504B．1008C．2016D．4032
【答案】D
【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推式，變形為 SKIPIF 1 < 0 ，采用累乘法，求得答案.
【詳解】由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故選：D.
4．某校為推廣籃球運動，成立了籃球社團，社團中的甲、乙、丙三名成員進行傳球訓練，從甲開始隨機地傳球給其他兩人中的任意一人，接球者再隨機地將球傳給其他兩人中的任意一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到．記開始傳球的人為第1次觸球者，第n次觸球者是甲的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ＝（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】要想第n次觸球者是甲，則第（n-1）次觸球的人不能是甲，且第（n-1）次觸球的人有 SKIPIF 1 < 0 的概率將球傳給甲，有 SKIPIF 1 < 0 ，設 SKIPIF 1 < 0 ，可求得 SKIPIF 1 < 0 ，從而有 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 為首項，以 SKIPIF 1 < 0 為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式求得 SKIPIF 1 < 0 ，代入可求得 SKIPIF 1 < 0 .
【詳解】解：要想第n次觸球者是甲，則第（n-1）次觸球的人不能是甲，且第（n-1）次觸球的人有 SKIPIF 1 < 0 的概率將球傳給甲，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
設 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 為首項，以 SKIPIF 1 < 0 為公比的等比數(shù)列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故選：C.
5．數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】分析可知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公差，可求得數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項公式，然后分析數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的單調(diào)性，可得結(jié)果.
【詳解】因為 SKIPIF 1 < 0 ，等式兩邊同時乘以 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是等差數(shù)列，且首項和公差都為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 .當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ；
當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，即數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 從第二項開始單調(diào)遞減，
因為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ；當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 .故選：B.
高頻考點二 由an與Sn的關系求通項
【例4】(1)已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前n項和 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根據(jù)遞推公式，結(jié)合前n項和與通項的關系可得 SKIPIF 1 < 0 ，再求解 SKIPIF 1 < 0 即可
【詳解】由題意 SKIPIF 1 < 0 ，故當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 恒成立，當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 為常數(shù)列，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故當 SKIPIF 1 < 0 時 SKIPIF 1 < 0 也成立，故 SKIPIF 1 < 0 .故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0
故選：C
(2)已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1023B．1535C．1538D．2047
【答案】B
【分析】根據(jù) SKIPIF 1 < 0 的關系可得 SKIPIF 1 < 0 ，進而可得 SKIPIF 1 < 0 從第二項起，成等比數(shù)列，公比為2，根據(jù)等比數(shù)列公式即可求解.
【詳解】由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，進而可得： SKIPIF 1 < 0 ，當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 從第二項起，成等比數(shù)列，公比為2，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：B
【方法技巧】
1.由Sn求an的步驟
(1)先利用a1＝S1求出a1.
(2)用n－1替換Sn中的n得到一個新的關系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當n≥2時an的表達式.
(3)注意檢驗n＝1時的表達式是否可以與n≥2的表達式合并.
2.Sn與an關系問題的解題思路
根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向不同的兩個方向轉(zhuǎn)化，
(1)由an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關系式求解；(2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1(n≥2)的關系式.
【變式訓練】
1．在等比數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 中，已知前n項和 SKIPIF 1 < 0 ，則a的值為（ ）
A．1B．-1C．2D．-2
【答案】B
【分析】利用 SKIPIF 1 < 0 成等比數(shù)列列方程，化簡求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 是等比數(shù)列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .故選：B
2．若數(shù)列{ SKIPIF 1 < 0 }的前n項和為 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 =（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根據(jù)已知條件，利用 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的關系求得數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項公式，利用等比數(shù)列前 SKIPIF 1 < 0 項和公式求解即可.
【詳解】解：當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是首項為1，公比為-2的等比數(shù)列，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故選：B.
高頻考點三 數(shù)列的性質(zhì)
【例5】 (1)(2022·成都診斷)設數(shù)列{an}滿足：a1＝2，an＋1＝eq \f(1＋an,1－an)(n∈N*).則數(shù)列{an}前2 021項的乘積a1a2a3a4…a2 021＝________.
(2)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3(m≥2)，則nSn的最小值為( )
A.－3 B.－5
C.－6 D.－9
【答案】(1)2 (2)D
【解析】(1)由a1＝2得a2＝－3，a3＝－eq \f(1,2)，a4＝eq \f(1,3)，a5＝2，…，
顯然該數(shù)列中的數(shù)從a5開始循環(huán)，周期是4.
因此a1a2a3a4＝1，且a2 021＝a1＝2.
故a1a2a3a4…a2 020a2 021＝(a1a2a3a4)505·a2 021＝2.
(2)由Sm－1＝－2，Sm＝0，
Sm＋1＝3(m≥2)可知am＝2，am＋1＝3，
設等差數(shù)列{an}的公差為d，則d＝1，
因為Sm＝0，所以a1＝－am＝－2，
則an＝n－3，Sn＝eq \f(n（n－5）,2)，nSn＝eq \f(n2（n－5）,2).
設f(x)＝eq \f(x2（x－5）,2)，x>0，f′(x)＝eq \f(3,2)x2－5x，x>0，
所以f(x)的極小值點為x＝eq \f(10,3)，
因為n∈N*，且f(3)＝－9，f(4)＝－8，
所以f(n)min＝－9.即nSn的最小值為－9.
【方法技巧】
1.在數(shù)學命題中，以數(shù)列為載體，?？疾橹芷谛?、單調(diào)性.
2.(1)研究數(shù)列的周期性，常由條件求出數(shù)列的前幾項，確定周期性，進而利用周期性求值.(2)數(shù)列的單調(diào)性只需判定an與an＋1的大小，常用作差或作商法進行判斷.
【變式訓練】
1．已知數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是嚴格增數(shù)列，滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .則n的最大值為（ ）
A．10B．11C．12D．13
【答案】C
【分析】欲使得n盡可能大，則 SKIPIF 1 < 0 的各項應盡可能小，據(jù)此即可求出n的最大值.
【詳解】∵ SKIPIF 1 < 0 ，并且 SKIPIF 1 < 0 是嚴格增數(shù)列， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即n的最大值為12；故選：C.
2．在等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項公式為______．記數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 項和為 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 得對 SKIPIF 1 < 0 恒成立，則正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最小值為______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 5
【分析】利用等差數(shù)列性質(zhì)計算出公差，求出通項公式；設 SKIPIF 1 < 0 ，再利用放縮法得到 SKIPIF 1 < 0 ，從而求出 SKIPIF 1 < 0 的最大值，列出不等式，求出正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【詳解】由題設，得等差數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的公差 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 可化為 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，∴正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最小值為5．故答案為： SKIPIF 1 < 0 ，5
分類標準
類型
滿足條件
項數(shù)
有窮數(shù)列
項數(shù)有限
無窮數(shù)列
項數(shù)無限
項與項
間的大
小關系
遞增數(shù)列
an＋1＞an
其中n∈N*
遞減數(shù)列
an＋1＜an
常數(shù)列
an＋1＝an
擺動數(shù)列
從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列

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