【考綱要求】
1.理解函數(shù)奇偶性的含義.
2.了解函數(shù)的最小正周期的含義.
3.會利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對稱性、周期性解決函數(shù)性質(zhì)的綜合問題.
【考點(diǎn)預(yù)測】
1.函數(shù)的奇偶性
2.函數(shù)的周期性
(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.
【常用結(jié)論】
1.函數(shù)周期性的常用結(jié)論
對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝eq \f(1,f（x）)，則T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝－eq \f(1,f（x）)，則T＝2a(a>0).
2.對稱性的四個(gè)常用結(jié)論
(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱.
(2)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b，0)中心對稱.
(3)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq \f(a＋b,2)對稱；特別地，當(dāng)a＝b時(shí)，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)時(shí)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱.
(4)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(x)＋f(2a－x)＝2b，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對稱.特別地，當(dāng)b＝0時(shí)，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0時(shí)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，0)對稱.
【方法技巧】
1.判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個(gè)必備條件：
(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；
(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立.
2.利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值.
3.畫函數(shù)圖象：利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相關(guān)問題.
4.若f(x＋a)＝－f(x)(a是常數(shù)，且a≠0)，則2a為函數(shù)f(x)的一個(gè)周期.
5.利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點(diǎn)個(gè)數(shù)、求解析式等問題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，進(jìn)而解決問題.
6.對稱性的三個(gè)常用結(jié)論
(1)若函數(shù)f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq \f(a＋b,2)對稱.
(2)若函數(shù)f(x)滿足f(a＋x)＝－f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)，0))對稱.
(3)若函數(shù)f(x)滿足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)，\f(c,2)))對稱.
7.比較函數(shù)值的大小問題，可以利用奇偶性，把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個(gè)或多個(gè)自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較大??；
8.對于抽象函數(shù)不等式的求解，應(yīng)變形為f(x1)>f(x2)的形式，再結(jié)合單調(diào)性，脫去“f”變成常規(guī)不等式，轉(zhuǎn)化為x1x2)求解.
9.周期性與奇偶性結(jié)合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.
10.函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函數(shù)圖象的對稱性，函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函數(shù)的周期性，在使用這兩個(gè)關(guān)系時(shí)不要混淆.
二、【題型歸類】
【題型一】判斷函數(shù)的奇偶性
【典例1】判斷下列函數(shù)的奇偶性：
(1)f(x)＝eq \r(3－x2)＋eq \r(x2－3)；
(2)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋x，x0；))
(3)f(x)＝lg2(x＋eq \r(x2＋1))．
【典例2】若函數(shù)f(x)＝eq \f(k－2x,1＋k·2x)在定義域上為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)k＝________.
【典例3】已知函數(shù)f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋x， x＜0，,－x2＋x，x＞0.)) 判斷函數(shù)的奇偶性．
【題型二】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用
【典例1】函數(shù)f(x)＝x(ex＋e－x)＋1在區(qū)間[－2,2]上的最大值與最小值分別為M，N，則M＋N的值為( )
A．－2 B．0 C．2 D．4
【典例2】已知函數(shù)f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函數(shù)，則a＝________.
【典例3】已知函數(shù)f(x)＝eq \f(\r(9－x2),|6－x|－6)，則函數(shù)f(x)( )
A．既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)
B．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)
C．是奇函數(shù)，但不是偶函數(shù)
D．是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)
【題型三】利用函數(shù)性質(zhì)求解析式
【典例1】已知函數(shù)f(x)滿足f(x)·f(x＋2)＝13.
(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；
(2)若f(1)＝2，求f(99)的值；
(3)若當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f(x)＝x，試求x∈[4，8]時(shí)函數(shù)f(x)的解析式．
【典例2】設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的周期函數(shù)，最小正周期為2，且f(1＋x)＝f(1－x)．當(dāng)－1≤x≤0時(shí)，f(x)＝－x.
(1)判定f(x)的奇偶性；
(2)試求出函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，2]上的表達(dá)式．
【典例3】已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且定義域?yàn)镽，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝x＋1，則當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝________.
【題型四】函數(shù)的周期性及應(yīng)用
【典例1】已知f(x)是定義域?yàn)?－∞，＋∞)的奇函數(shù)，滿足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)＝( )
A.－50 B.0 C.2 D.50
【典例2】設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(x＋1)為奇函數(shù)，f(x＋2)為偶函數(shù)，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，則feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)))＝( )
A.－eq \f(9,4) B.－eq \f(3,2) C.eq \f(7,4) D.eq \f(5,2)
【典例3】已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0≤x＜2時(shí)，f(x)＝x3－x，則函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[0，6]上與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為________.
【題型五】函數(shù)的對稱性
【典例1】(多選)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，對任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，則下列結(jié)論正確的是( )
A．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱
B．f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對稱
C．f(x)的周期為4
D．y＝f(x＋4)為偶函數(shù)
【典例2】已知函數(shù)y＝f(x)－2為奇函數(shù)，g(x)＝eq \f(2x＋1,x)，且f(x)與g(x)圖象的交點(diǎn)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)，則y1＋y2＋…＋y6＝________.
【典例3】已知函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋bx＋1的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對稱，且f′(1)＝4，則a－b＝________.
【題型六】單調(diào)性與奇偶性綜合應(yīng)用
【典例1】已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，g(x)＝xf(x).若a＝g(－lg25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為( )
A.a＜b＜c B.c＜b＜a
C.b＜a＜c D.b＜c＜a
【典例2】已知函數(shù)f(x＋2)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，若f(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞減，則不等式f(ln x)＜f(1)的解集是( )
A.(0，1)∪(3，＋∞) B.(1，3)
C.(0，e)∪(e3，＋∞) D.(e，e3)
【典例3】設(shè)定義在[－2，2]上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞減，若f(1－m)＜f(m)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________________．
【題型七】周期性與奇偶性綜合應(yīng)用
【典例1】若函數(shù)f(x)(x∈R)是周期為4的奇函數(shù)，且在[0，2]上的解析式為f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x（1－x），0≤x≤1，,sinπx， 1＜x≤2，)) 則feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(29,4)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(41,6)))＝________.
【典例2】已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，則( )
A．f(－25)＜f(11)＜f(80)
B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(11)＜f(80)＜f(－25)
D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
【典例3】函數(shù)y＝f(x)對任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對稱，f(1)＝4，則f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)的值為________.
【題型八】對稱性與周期性綜合應(yīng)用
【典例1】(多選)已知f(x)的定義域?yàn)镽，其函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝－3對稱，且f(x＋3)＝f(x－3)，若當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，f(x)＝4x＋2x－11，則下列結(jié)論正確的是( )
A.f(x)為偶函數(shù)
B.f(x)在[－6，－3]上單調(diào)遞減
C.f(x)關(guān)于x＝3對稱
D.f(100)＝9
【典例2】已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，f(x＋2)是偶函數(shù)，且當(dāng)x∈(0，2]時(shí)，f(x)＝x，則f(－2 022)＋f(2 023)＝( )
A.－3 B.－2 C.1 D.0
【典例3】(多選)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若f(x＋1)與f(x－1)都是偶函數(shù)，則( )
A.f(x)是偶函數(shù) B.f(x)是奇函數(shù)
C.f(x＋3)是偶函數(shù) D.f(x)＝f(x＋4)
【題型九】利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式
【典例1】已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，若f(ln x)f(2x－1)成立的x的取值范圍為______________．
【典例3】定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,2)))＝f(x)，當(dāng)x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))時(shí)，f(x)＝，則f(x)在區(qū)間eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))內(nèi)是( )
A．減函數(shù)且f(x)>0 B．減函數(shù)且f(x)0 D．增函數(shù)且f(x)0)，使得對于任意x∈R，f(x＋T)＝Af(x)成立，則稱函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P.
(1)判斷函數(shù)y＝x和y＝cs x是否具有性質(zhì)P？(結(jié)論不要求證明)
(2)若函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P，且其對應(yīng)的T＝π，A＝2.已知當(dāng)x∈(0，π]時(shí)，f(x)＝sin x，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[－π，0]上的最大值．
四、【強(qiáng)化測試】
【單選題】
1. 下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(1,2)內(nèi)單調(diào)遞減的是( )
A．f(x)＝eq \r(x) B．f(x)＝eq \f(1,x2)
C．f(x)＝2x＋2－x D．f(x)＝－cs x
2. 已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝2x＋m，則f(－2)等于( )
A．－3 B．－eq \f(5,4) C.eq \f(5,4) D．3
3. 已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，其最小正周期為4，且當(dāng)x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，0))時(shí)，f(x)＝
lg2(－3x＋1)，則f(2 021)等于( )
A．4 B．2 C．－2 D．lg27
4. 已知y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是( )
①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
5. 已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x)在(－∞，0]上是減函數(shù)，且f(1)＝2，則不等式f(lg2x)>2的解集為( )
A．(2，＋∞) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))∪(eq \r(2)，＋∞) D．(eq \r(2)，＋∞)
6. 已知偶函數(shù)f(x)對于任意x∈R都有f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)在區(qū)間[0,1]上是單調(diào)遞增的，則f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小關(guān)系是( )
A．f(0)

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