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專題08奇偶性、對稱性與周期性
知識梳理
考綱要求
考點預(yù)測
常用結(jié)論
方法技巧




題型歸類
題型一：判斷函數(shù)的奇偶性
題型二：函數(shù)奇偶性的應(yīng)用
題型三：利用函數(shù)性質(zhì)求解析式
題型四：函數(shù)的周期性及應(yīng)用
題型五：函數(shù)的對稱性
題型六：單調(diào)性與奇偶性綜合應(yīng)用
題型七：周期性與奇偶性綜合應(yīng)用
題型八：對稱性與周期性綜合應(yīng)用
題型九：利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式

培優(yōu)訓(xùn)練
訓(xùn)練一：
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訓(xùn)練三：
訓(xùn)練四：
訓(xùn)練五：
訓(xùn)練六：
強化測試
單選題：共8題
多選題：共4題
填空題：共4題
解答題：共6題
一、【知識梳理】
【考綱要求】
1.理解函數(shù)奇偶性的含義.
2.了解函數(shù)的最小正周期的含義.
3.會利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對稱性、周期性解決函數(shù)性質(zhì)的綜合問題.
【考點預(yù)測】
1.函數(shù)的奇偶性
奇偶性
定義
圖象特點
偶函數(shù)
一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)
關(guān)于y軸對稱
奇函數(shù)
一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)
關(guān)于原點對稱
2.函數(shù)的周期性
(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.
【常用結(jié)論】
1.函數(shù)周期性的常用結(jié)論
對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝，則T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝－，則T＝2a(a>0).
2.對稱性的四個常用結(jié)論
(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱.
(2)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(b，0)中心對稱.
(3)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱；特別地，當(dāng)a＝b時，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)時，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱.
(4)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(x)＋f(2a－x)＝2b，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點(a，b)對稱.特別地，當(dāng)b＝0時，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0時，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點(a，0)對稱.
【方法技巧】
1.判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個必備條件：
(1)定義域關(guān)于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；
(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價等量關(guān)系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立.
2.利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值.
3.畫函數(shù)圖象：利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相關(guān)問題.
4.若f(x＋a)＝－f(x)(a是常數(shù)，且a≠0)，則2a為函數(shù)f(x)的一個周期.
5.利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點個數(shù)、求解析式等問題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，進(jìn)而解決問題.
6.對稱性的三個常用結(jié)論
(1)若函數(shù)f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱.
(2)若函數(shù)f(x)滿足f(a＋x)＝－f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點對稱.
(3)若函數(shù)f(x)滿足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點對稱.
7.比較函數(shù)值的大小問題，可以利用奇偶性，把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個或多個自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較大?。?br /> 8.對于抽象函數(shù)不等式的求解，應(yīng)變形為f(x1)>f(x2)的形式，再結(jié)合單調(diào)性，脫去“f”變成常規(guī)不等式，轉(zhuǎn)化為x1x2)求解.
9.周期性與奇偶性結(jié)合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.
10.函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函數(shù)圖象的對稱性，函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函數(shù)的周期性，在使用這兩個關(guān)系時不要混淆.
二、【題型歸類】
【題型一】判斷函數(shù)的奇偶性
【典例1】判斷下列函數(shù)的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝
(3)f(x)＝log2(x＋)．
【解析】(1)由得x2＝3，解得x＝±，
即函數(shù)f(x)的定義域為{－，}，
從而f(x)＝＋＝0.
因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
所以函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．
(2)顯然函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點對稱．
∵當(dāng)x0，
則f(－x)＝－(－x)2－x
＝－x2－x＝－f(x)；
當(dāng)x>0時，－x

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