?考點08 函數(shù)的奇偶性、周期性和對稱性5種常見考法歸類

考點一 函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用
（一）函數(shù)奇偶性的判斷
（二）抽象函數(shù)的奇偶性
（三）函數(shù)奇偶性的應(yīng)用
（1）已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值
（2）局部奇偶函數(shù)
（3）已知函數(shù)的奇偶性求解析式
（4）已知函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)解析式中參數(shù)的值
（5）應(yīng)用奇偶性畫函數(shù)圖象
（6）利用函數(shù)的奇偶性求最值
考點二 函數(shù)的周期性及其應(yīng)用
考點三 類周期函數(shù)
考點四 函數(shù)的對稱性及其應(yīng)用
考點五 函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用
（一）函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性結(jié)合
（二）函數(shù)的奇偶性與周期性結(jié)合
（三）函數(shù)的單調(diào)性與對稱性結(jié)合
（四）函數(shù)單調(diào)性、奇偶性和周期性結(jié)合
（五）函數(shù)單調(diào)性、奇偶性和對稱性結(jié)合
（六）函數(shù)奇偶性、周期性和對稱性結(jié)合
（七）函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性和對稱性結(jié)合


1、函數(shù)的奇偶性
奇偶性
定義
圖象特點
偶函數(shù)
如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)
關(guān)于y軸對稱
奇函數(shù)
如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)
關(guān)于原點對稱
注：
①奇函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱f(－x)＝－f(x)
②偶函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱f(－x)＝f(x)
③判斷與的關(guān)系時，也可以使用如下結(jié)論：如果或，則函數(shù)為偶函數(shù)；如果或，則函數(shù)為奇函數(shù)．
④常用的兩個等價關(guān)系
①f(x＋a)為偶函數(shù)?f(－x＋a)＝f(x＋a)?f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱.
②f(x＋a)為奇函數(shù)?f(－x＋a)＝－f(x＋a)?f(x)的圖象關(guān)于點(a，0)對稱.
⑤由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個前提條件是：對于定義域內(nèi)的任意一個，也在定義域內(nèi)(即定義域關(guān)于原點對稱)．
⑥對于含參函數(shù)中參數(shù)的求值問題，在填空題與選擇題中，掌握以下兩個結(jié)論，會給解題帶來方便：
(i)f(x)為偶函數(shù)?f(x)＝f(|x|)．(ii)若奇函數(shù)在x＝0處有意義，則f(0)＝0.
⑦奇函數(shù)在軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相反．(重要）
若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在[a，b]上為增(減)函數(shù)，則f(x)在[－b，－a]上為增(減)函數(shù)；若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且在[a，b]上為增(減)函數(shù)，則f(x)在[－b，－a]上為減(增)函數(shù).
⑧若函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，則函數(shù)能表示成一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的和的形式.記，，則.
⑨利用性質(zhì)法來判斷奇偶性(共同定義域上)
（以函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱為前提，所有奇偶函數(shù)都非零函數(shù)）：
奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)；偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)；偶函數(shù)奇函數(shù)=非奇非偶函數(shù)
記憶口訣：加減看自身
奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)；偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)；奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)
；
記憶口訣：乘除看正負(fù)
（注：在記憶的時候可將偶函數(shù)看成“+”號，將奇函數(shù)看成“-”號）
⑩復(fù)合函數(shù)的奇偶性原來：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.


2、熟記常見函數(shù)的奇偶性

奇函數(shù)
偶函數(shù)
冪函數(shù)= 非零常數(shù)可看成偶函數(shù)


或
具體如：


或





或
（也可以寫成或）
具體如：

；




與都是偶函數(shù)




3、判斷函數(shù)奇偶性的方法
(1)定義域關(guān)于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；
(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價等量關(guān)系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立．　
4、與函數(shù)奇偶性有關(guān)的常見問題及解題策略
(1)求函數(shù)的值：利用奇偶性將待求值轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解；
(2)求函數(shù)解析式：利用奇偶性求函數(shù)的解析式，已知函數(shù)奇偶性及其在某區(qū)間上的解析式，求該函數(shù)在整個定義域上的解析式的方法是：首先設(shè)出未知區(qū)間上的自變量，利用奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱的特點，把它轉(zhuǎn)化到已知的區(qū)間上，代入已知的解析式，然后再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f(x)的方程(組)，從而得到f(x)的解析式；
(3)求解析式中的參數(shù)值：
①若表示定義域的區(qū)間含有參數(shù)，則可利用對稱性列出關(guān)于參數(shù)的方程.
②一般化策略：對x取定義域內(nèi)的任一個值，利用f(-x)與f(x)的關(guān)系式恒成立來確定參數(shù)的值.在定義域關(guān)于原點對稱的前提下，利用f(x)為奇函數(shù)?f(－x)＝－f(x)，f(x)為偶函數(shù)?f(x)＝f(－x)，列式求解，也可利用特殊值法求解．對于在x＝0處有定義的奇函數(shù)f(x)，可考慮列等式f(0)＝0求解．　
(4)應(yīng)用奇偶性畫圖象和判斷函數(shù)單調(diào)性
①如果一個函數(shù)是奇函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點為對稱中心的中心對稱圖形；反之，如果一個函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數(shù)是奇函數(shù)．如果一個函數(shù)是偶函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以軸為對稱軸的軸對稱圖形；反之，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則這個函數(shù)是偶函數(shù)．
②根據(jù)奇、偶函數(shù)的圖象特征，可以得到：
1）奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性．上述結(jié)論可簡記為“奇同偶異”．
2）偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的最大（?。┲?，取最值時的自變量互為相反數(shù)；奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時的自變量也互為相反數(shù)．
（5）利用函數(shù)的奇偶性求最值
①奇函數(shù)的性質(zhì)：如果函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，則
②偶函數(shù)的性質(zhì)：如果函數(shù)是定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，則函數(shù)是定義在區(qū)間上的最值等于函數(shù)在區(qū)間（或）上的最值。

5、函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性相結(jié)合
（1）比較函數(shù)值的大小問題，可以利用奇偶性，把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個或多個自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小．
（2）對于抽象函數(shù)不等式的求解，應(yīng)變形為f(x1)>f(x2)的形式，再結(jié)合單調(diào)性，脫去“f”變成常規(guī)不等式，轉(zhuǎn)化為x1x2)求解．　


6、函數(shù)周期性問題應(yīng)牢牢把握周期函數(shù)的定義，并掌握一些常見的確定函數(shù)周期的條件。
周期函數(shù)f(x)滿足的條件
周期

a
f(x＋a)＝f(x－a)
2a
f(x＋a)＝－f(x－a)
4a
f(x＋a)＝－f(x)
2a

2a

2a
關(guān)于直線x＝a與x＝b對稱或
2|b－a|
偶函數(shù)，關(guān)于直線x＝a對稱或
2a
關(guān)于點(a,0)與點(b,0)對稱或
2|b－a|
奇函數(shù)，關(guān)于對稱或

關(guān)于直線x＝a與點(b,0)對稱或
4|b－a|
奇函數(shù)，關(guān)于直線x＝a對稱或
4a
偶函數(shù)，關(guān)于對稱或
4a

4a




7、周期性的應(yīng)用
（1）求函數(shù)周期的方法求一般函數(shù)周期常用遞推法和換元法，遞推法：若f(x＋a)＝－f(x)，則f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a.換元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，則f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a．
（2）判斷函數(shù)的周期只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題．
（3）根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，在解決具體問題時，要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期．
（4）奇偶性、單調(diào)性、周期性的綜合性問題，關(guān)鍵是利用奇偶性和周期性將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的問題，周期性起到轉(zhuǎn)換自變量值的作用，奇偶性起到調(diào)節(jié)符號作用。

8、類周期函數(shù)
（1）類周期函數(shù)
若滿足：或，則橫坐標(biāo)每增加個單位，則函數(shù)值擴(kuò)大倍．此函數(shù)稱為周期為的類周期函數(shù)．

類周期函數(shù)圖象倍增函數(shù)圖象
（2）倍增函數(shù)
若函數(shù)滿足或，則橫坐標(biāo)每擴(kuò)大倍，則函數(shù)值擴(kuò)大倍．此函數(shù)稱為倍增函數(shù)．
注意當(dāng)時，構(gòu)成一系列平行的分段函數(shù)，．

9、抽象函數(shù)圖象的對稱性
函數(shù)圖象的對稱性主要有兩種，一種是軸對稱，另一種是中心對稱. 函數(shù)圖象的對稱性主要包括函數(shù)圖象自身的對稱性(自對稱)及不同函數(shù)圖象之間的對稱性(互對稱).
(1)一個函數(shù)的自對稱
①軸對稱：若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱. 特別地，當(dāng)a＝0時，f(x)＝f(－x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，函數(shù)為偶函數(shù). 推廣：若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱.
②中心對稱：若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(a，0)對稱. 特別地，當(dāng)a＝0時，f(x)＋f(－x)＝0，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，函數(shù)為奇函數(shù). 推廣：若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點對稱.
(2)兩個函數(shù)的互對稱
①軸對稱：函數(shù)y＝f(x)與y＝f(2a－x)的圖象關(guān)于直線x＝a成軸對稱. 特別地，當(dāng)a＝0時，函數(shù)y＝f(x)與y＝f(－x)的圖象關(guān)于y軸對稱. 推廣：兩個函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝f(b－x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱.
②中心對稱：函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(2a－x)的圖象關(guān)于點(a，0)成中心對稱. 特別地，當(dāng)a＝0時，函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(－x)的圖象關(guān)于原點成中心對稱. 推廣：兩個函數(shù)y＝f(x)與y＝2b－f(2a－x)的圖象關(guān)于點(a，b)對稱.
③函數(shù)與關(guān)于軸對稱，函數(shù)與關(guān)于原點對稱．
④互為反函數(shù)的兩個函數(shù)關(guān)于直線對稱。

10、函數(shù)的對稱性常用結(jié)論
(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱；
(2)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(b,0)中心對稱；
(3)若對于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)或f(a＋x)＝f(a－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱．
(4)若，則函數(shù)關(guān)于點對稱．

11、函數(shù)的的對稱性與周期性的關(guān)系
(1)如果函數(shù)f(x)(x∈D)在定義域內(nèi)有兩條對稱軸x＝a，x＝b(a

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