【考綱要求】
1.理解對(duì)數(shù)的概念及運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù).
2.通過(guò)實(shí)例，了解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫(huà)具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，理解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).
3.了解指數(shù)函數(shù)y＝ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝lgax(a＞0，且a≠1)互為反函數(shù).
【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】
1.對(duì)數(shù)的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝lgaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).
2.對(duì)數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算性質(zhì)與換底公式
(1)對(duì)數(shù)的性質(zhì)：①algaN＝N；②lgaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM(n∈R).
(3)換底公式：lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).
3.對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
(1)概念：函數(shù)y＝lgax(a＞0，且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域是(0，＋∞).
(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
4.反函數(shù)
指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝lgax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線(xiàn)y＝x對(duì)稱(chēng).它們的定義域和值域正好互換.
【常用結(jié)論】
1.換底公式的兩個(gè)重要結(jié)論
(1)lgab＝eq \f(1,lgba)(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).
(2)lgambn＝eq \f(n,m)lgab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0).
2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較
如圖，作直線(xiàn)y＝1，則該直線(xiàn)與四個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù).
故0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大.
【方法技巧】
1.在對(duì)數(shù)運(yùn)算中，先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)合并.
2.先將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運(yùn)算.
3.ab＝N?b＝lgaN(a>0，且a≠1)是解決有關(guān)指數(shù)、對(duì)數(shù)問(wèn)題的有效方法，在運(yùn)算中應(yīng)注意互化.
4.在識(shí)別函數(shù)圖象時(shí)，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng).
5.一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.
6.利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，必須弄清三方面的問(wèn)題：一是定義域，所有問(wèn)題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的.另外，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.
二、【題型歸類(lèi)】
【題型一】對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)與求值
【典例1】(1)計(jì)算lg535＋2lgeq \s\d9(\f(1,2))eq \r(2)－lg5eq \f(1,50)－lg514的值．
(2)計(jì)算(lg2125＋lg425＋lg85)(lg1258＋lg254＋lg52)的值．
(3)設(shè)x，y，z均為大于1的實(shí)數(shù)，且z為x和y的等比中項(xiàng)，則eq \f(lgz,4lgx)＋eq \f(lgz,lgy)的最小值為_(kāi)_______．
【解析】(1)原式＝lg5eq \f(35×50,14)＋2lgeq \s\d9(\f(1,2))2eq \s\up6(\f(1,2))＝lg553－1＝2.
(2)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3lg25＋lg25＋\f(1,3)lg25))(lg52＋lg52＋lg52)＝eq \f(13,3)lg25×3lg52＝13.
(3)因?yàn)閤，y，z均為大于1的實(shí)數(shù)，所以lgx>0，lgy>0，lgz>0，又由z為x和y的等比中項(xiàng)，可得z2＝xy.eq \f(lgz,4lgx)＋eq \f(lgz,lgy)＝lgz×eq \f(4lgx＋lgy,4lgx×lgy)＝eq \f(1,2)lgxy×eq \f(4lgx＋lgy,4lgx×lgy)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lgx＋lgy))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4lgx＋lgy)),8lgx×lgy)＝eq \f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lgx))2＋5lgx×lgy＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lgy))2,8lgx×lgy)≥eq \f(9lgx×lgy,8lgx×lgy)＝eq \f(9,8).故填eq \f(9,8).
【典例2】(1)計(jì)算(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25的值；
(2)計(jì)算(lg32＋lg92)(lg43＋lg83)的值；
(3)設(shè)函數(shù)f1(x)＝x，f2(x)＝lg2015x，ai＝eq \f(i,2015)(i＝1，2，…，2015)，記Ik＝|fk(a2)－fk(a1)|＋|fk(a3)－fk(a2)|＋…＋|fk(a2015)－fk(a2014)|，k＝1，2，則( )
A．I1＜I2
B．I1＝I2
C．I1＞I2
D．I1與I2的大小關(guān)系無(wú)法確定
【解析】(1)原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52
＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5
＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.
(2)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,lg9)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg3,lg4)＋\f(lg3,lg8)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,2lg3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg3,2lg2)＋\f(lg3,3lg2)))
＝eq \f(3lg2,2lg3)×eq \f(5lg3,6lg2)＝eq \f(5,4).
(3)∵f1(ai＋1)－f1(ai)＝eq \f(i＋1,2015)－eq \f(i,2015)＝eq \f(1,2015)，
∴I1＝|f1(a2)－f1(a1)|＋|f1(a3)－f1(a2)|＋…＋|f1(a2015)－f1(a2014)|
＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2015)))×2014＝eq \f(2014,2015).
∵f2(ai＋1)－f2(ai)＝lg2015eq \f(i＋1,2015)－lg2015eq \f(i,2015)＝lg2015eq \f(i＋1,i)＞0，
∴I2＝|f2(a2)－f2(a1)|＋|f2(a3)－f2(a2)|＋…＋|f2(a2015)－f2(a2014)|
＝lg2015eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,1)×\f(3,2)×…×\f(2015,2014)))＝lg20152015＝1.
∴I1＜I2.故選A.
【典例3】設(shè)2a＝5b＝m，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2，則m等于( )
A.eq \r(10) B．10 C．20 D．100
【解析】2a＝5b＝m，
∴l(xiāng)g2m＝a，lg5m＝b，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,lg2m)＋eq \f(1,lg5m)＝lgm2＋lgm5
＝lgm10＝2，
∴m2＝10，
∴m＝eq \r(10)(舍m＝－eq \r(10))．
故選A.
【題型二】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用
【典例1】已知函數(shù)f(x)＝lga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的圖象如圖所示，則a，b滿(mǎn)足的關(guān)系是( )
A．0

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