【考綱要求】
1.了解平面向量基本定理及其意義.
2.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示.
3.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算.4.理解用坐標表示的平面向量共線的條件．
【考點預測】
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
(2)基底：不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．
2．平面向量的坐標運算
(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))．
(2)向量坐標的求法
①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標；
②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，
|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)．
3．平面向量共線的坐標表示
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b?x1y2－x2y1＝0．
【常用結論】
1.平面內(nèi)不共線向量都可以作為基底，反之亦然.
2.若a與b不共線，λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.
3.向量的坐標與表示向量的有向線段的起點、終點的相對位置有關系.兩個相等的向量，無論起點在什么位置，它們的坐標都是相同的.
4.已知P為線段AB的中點，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則點P的坐標為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))；已知△ABC的頂點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).
【方法技巧】
1.應用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算．
2.用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．
3.向量的坐標表示把點與數(shù)聯(lián)系起來，引入平面向量的坐標可以使向量運算代數(shù)化，成為數(shù)與形結合的載體．
4.平面向量共線的坐標表示問題的解題策略
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1.
(2)在求與一個已知向量a共線的向量時，可設所求向量為λa(λ∈R)．
二、【題型歸類】
【題型一】平面向量基本定理的應用
【典例1】在△ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且eq \(BD,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(CE,\s\up6(→))＝3eq \(EA,\s\up6(→))，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，則eq \(DE,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,3)a＋eq \f(5,12)b B.eq \f(1,3)a－eq \f(13,12)b
C.－eq \f(1,3)a－eq \f(5,12)b D.－eq \f(1,3)a＋eq \f(13,12)b
【典例2】在△ABC中，點P是AB上一點，且eq \(CP,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(CB,\s\up6(→))，Q是BC的中點，AQ與CP的交點為M，又eq \(CM,\s\up6(→))＝teq \(CP,\s\up6(→))，則t的值為________.
【典例3】在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分別為CD，BC的中點.若eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(AM,\s\up6(→))＋μeq \(AN,\s\up6(→))，則λ＋μ等于( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
【題型二】平面向量的坐標運算
【典例1】已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，則c等于( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,3)，\f(8,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,3)，－\f(8,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,3)，\f(4,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,3)，－\f(4,3)))
【典例2】如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E為AD的中點，若eq \(CA,\s\up6(→))＝λeq \(CE,\s\up6(→))＋μeq \(DB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值為( )
A.eq \f(6,5) B.eq \f(8,5) C．2 D.eq \f(8,3)
【典例3】向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則eq \f(λ,μ)等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【題型三】利用向量共線求參數(shù)
【典例1】已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－1)，且a－b與b共線，則x的值為________．
【典例2】已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(k，12)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(4，5)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(－k，10)，且A，B，C三點共線，則k的值是( )
A．－eq \f(2,3) B．eq \f(4,3)
C．eq \f(1,2) D．eq \f(1,3)
【題型四】利用向量共線求向量或點的坐標
【典例1】在△ABC中，已知點O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))，AD與BC交于點M，則點M的坐標為________．
【典例2】已知點A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O為坐標原點，則AC與OB的交點P的坐標為________.
三、【培優(yōu)訓練】
【訓練一】已知在Rt△ABC中，A＝eq \f(π,2)，AB＝3，AC＝4，P為BC上任意一點(含B，C)，以P為圓心，1為半徑作圓，Q為圓上任意一點，設eq \(AQ,\s\up6(→))＝aeq \(AB,\s\up6(→))＋beq \(AC,\s\up6(→))，則a＋b的最大值為( )
A.eq \f(13,12) B．eq \f(5,4)
C.eq \f(17,12) D．eq \f(19,12)
【訓練二】(多選)已知向量e1，e2是平面α內(nèi)的一組基向量，O為α內(nèi)的定點，對于α內(nèi)任意一點P，當eq \(OP,\s\up6(→))＝xe1＋ye2時，則稱有序?qū)崝?shù)對(x，y)為點P的廣義坐標．若點A，B的廣義坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，關于下列命題正確的是( )
A．線段AB的中點的廣義坐標為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))
B．A，B兩點間的距離為eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)
C．向量eq \(OA,\s\up6(→))平行于向量eq \(OB,\s\up6(→))的充要條件是x1y2＝x2y1
D．向量eq \(OA,\s\up6(→))垂直于eq \(OB,\s\up6(→))的充要條件是x1x2＋y1y2＝0
【訓練三】已知△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，AD為角平分線．
(1)求AD的長度；
(2)過點D作直線交AB，AC的延長線于不同兩點E，F(xiàn)，且滿足eq \(AE,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq \(AC,\s\up6(→))，求eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)的值，并說明理由．
【訓練四】如圖，G是△OAB的重心，P，Q分別是邊OA，OB上的動點，且P，G，Q三點共線．
(1)設eq \(PG,\s\up6(→))＝λeq \(PQ,\s\up6(→))，將eq \(OG,\s\up6(→))用λ，eq \(OP,\s\up6(→))，eq \(OQ,\s\up6(→))表示；
(2)設eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OQ,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq \(OB,\s\up6(→))，求證：eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)是定值．
【訓練五】如圖，在△OBC中，點A是線段BC的中點，點D是線段OB上一個靠近點B的三等分點，設eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AO,\s\up6(→))＝b.
(1)用向量a與b表示向量eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))；
(2)若eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \f(3,5)eq \(OA,\s\up6(→))，判斷C，D，E三點是否共線，并說明理由．
【訓練六】如圖，在同一個平面內(nèi)，三個單位向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))滿足條件：eq \(OA,\s\up6(→))與eq \(OC,\s\up6(→))的夾角為α，且tan α＝7，eq \(OB,\s\up6(→))與eq \(OC,\s\up6(→))的夾角為45°.若eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)，求m＋n的值.
四、【強化測試】
【單選題】
1. 已知向量a，b滿足a－b＝(1，－5)，a＋2b＝(－2，1)，則b＝( )
A．(1，2) B．(1，－2)
C．(－1，2) D．(－1，－2)
2. 設向量e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，若向量a＝－3e1－e2與b＝e1－λe2共線，則λ＝( )
A.eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3)
C．－3 D．3
3. 已知OB是平行四邊形OABC的一條對角線，O為坐標原點，eq \(OA,\s\up6(→))＝(2，4)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(1，3)，若點E滿足eq \(OC,\s\up6(→))＝3eq \(EC,\s\up6(→))，則點E的坐標為( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，－\f(2,3))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，－\f(1,3))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3)))
4. 已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC內(nèi)一點，且∠DAB＝60°，設eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則eq \f(λ,μ)＝( )
A．eq \f(2\r(3),3) B．eq \f(\r(3),3)
C．3 D．2eq \r(3)
5. 設向量a＝(m,2)，b＝(1，m＋1)，且a與b的方向相反，則實數(shù)m的值為( )
A．－2 B．1
C．－2或1 D．m的值不存在
6. 如圖，已知eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(BC,\s\up6(→))＝4eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(CA,\s\up6(→))＝3eq \(CE,\s\up6(→))，則eq \(DE,\s\up6(→))＝( )
A.eq \f(3,4)b－eq \f(1,3)a B.eq \f(5,12)a－eq \f(3,4)b
C.eq \f(3,4)a－eq \f(1,3)b D.eq \f(5,12)b－eq \f(3,4)a
7. 已知等邊三角形ABC的邊長為4，O為三角形內(nèi)一點，且eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋2eq \(OC,\s\up6(→))＝0，則△AOB的面積是( )
A.4eq \r(3) B.eq \f(8\r(3),3)
C.eq \f(4\r(3),3) D.2eq \r(3)
8. 在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M，N分別是AB，AD上的動點，且滿足2|eq \(AM,\s\up6(→))|＋|eq \(AN,\s\up6(→))|＝1，設eq \(AC,\s\up6(→))＝xeq \(AM,\s\up6(→))＋yeq \(AN,\s\up6(→))，則2x＋3y的最小值為( )
A.48 B.49 C.50 D.51
【多選題】
9. 已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)，若點A，B，C能構成三角形，則實數(shù)m可以是( )
A．－2 B．eq \f(1,2)
C．1 D．－1
10. 已知等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，D為線段OA的中點，則eq \(BD,\s\up6(→))＝( )
A．eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(BC,\s\up6(→)) B．eq \f(4,3)eq \(BA,\s\up6(→))－eq \f(1,6)eq \(BC,\s\up6(→))
C．eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AE,\s\up6(→)) D．eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AE,\s\up6(→))
11. 設a是已知的平面向量且a≠0，關于向量a的分解，有如下四個命題(向量b，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線)，則真命題是( )
A．給定向量b，總存在向量c，使a＝b＋c
B．給定向量b和c，總存在實數(shù)λ和μ，使a＝λb＋μc
C．給定單位向量b和正數(shù)μ，總存在單位向量c和實數(shù)λ，使a＝λb＋μc
D．給定正數(shù)λ和μ，總存在單位向量b和單位向量c，使a＝λb＋μc
12. 如圖，B是AC的中點，eq \(BE,\s\up6(→))＝2eq \(OB,\s\up6(→))，P是平行四邊形BCDE內(nèi)(含邊界)的一點，且eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，則下列結論中正確的是( )
A．當x＝0時，y∈[2,3]
B．當P是線段CE的中點時，x＝－eq \f(1,2)，y＝eq \f(5,2)
C．若x＋y為定值1，則在平面直角坐標系中，點P的軌跡是一條線段
D．當P在C點時，x＝1，y＝2
【填空題】
13. 設e1，e2是平面內(nèi)一組基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，則向量e1＋e2可以表示為另一組基向量a，b的線性組合，即e1＋e2＝________a＋________b.
14. 已知點A(2，3)，B(4，5)，C(7，10)，若eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋λeq \(AC,\s\up6(→))(λ∈R)，且點P在直線x－2y＝0上，則λ的值為________．
15. 在△AOB中，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,5)eq \(AB,\s\up6(→))，D為OB的中點，若eq \(DC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，則λμ的值為________．
16. 已知O為坐標原點，向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，2)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(－2，－1)，若2eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，則|eq \(OP,\s\up6(→))|＝________.
【解答題】
17. 已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，
(1)當k為何值時，ka－b與a＋2b共線；
(2)若eq \(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b，eq \(BC,\s\up6(→))＝a＋mb且A，B，C三點共線，求m的值．
18. 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，eq \(CA,\s\up6(→))＝c，且eq \(CM,\s\up6(→))＝3c，eq \(CN,\s\up6(→))＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n；
(3)求M，N的坐標及向量eq \(MN,\s\up6(→))的坐標．
19. 如圖，在△ABC中，eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)).
(1)求△ABM與△ABC的面積之比；
(2)若N為AB中點，eq \(AM,\s\up6(→))與eq \(CN,\s\up6(→))交于點P，且eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))(x，y∈R)，求x＋y的值.
20. 如圖，已知平面內(nèi)有三個向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))，其中eq \(OA,\s\up6(→))與eq \(OB,\s\up6(→))的夾角為120°，eq \(OA,\s\up6(→))與eq \(OC,\s\up6(→))的夾角為30°，且|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝2eq \r(3).若eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．
21. 已知點O為坐標原點，A(0，2)，B(4，6)，eq \(OM,\s\up6(→))＝t1eq \(OA,\s\up6(→))＋t2eq \(AB,\s\up6(→)).
(1)求點M在第二或第三象限的充要條件；
(2)求證：當t1＝1時，不論t2為何實數(shù)，A，B，M三點共線．
22. 已知點A，B為單位圓O上的兩點，點P為單位圓O所在平面內(nèi)的一點，且eq \(OA,\s\up6(→))與eq \(OB,\s\up6(→))不共線．
(1)在△OAB中，點P在AB上，且eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(PB,\s\up6(→))，若eq \(AP,\s\up6(→))＝req \(OB,\s\up6(→))＋seq \(OA,\s\up6(→))，求r＋s的值；
(2)已知點P滿足eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))(m為常數(shù))，若四邊形OABP為平行四邊形，求m的值．

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