【考綱要求】
1.了解基本不等式的證明過程.
2.能用基本不等式解決簡單的最值問題.
3.掌握基本不等式在生活實際中的應用.
【考點預測】
1.基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.
(2)等號成立的條件：當且僅當a＝b時取等號.
(3)其中eq \f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術平均數(shù)，eq \r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù).
2.兩個重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當且僅當a＝b時取等號.
(2)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)(a，b∈R)，當且僅當a＝b時取等號.
3.利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正數(shù)，如果積xy等于定值P，那么當x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2eq \r(P).
(2)已知x，y都是正數(shù)，如果和x＋y等于定值S，那么當x＝y(tǒng)時，積xy有最大值eq \f(1,4)S2.
【常用結(jié)論】
1.eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同號)，當且僅當a＝b時取等號.
2.ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)≤eq \f(a2＋b2,2).
3.應用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某個條件，就會出錯.
4.在利用不等式求最值時，一定要盡量避免多次使用基本不等式.若必須多次使用，則一定要保證它們等號成立的條件一致.
【方法技巧】
1.利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式.
2.常數(shù)代換法，主要解決形如“已知x＋y＝t(t為常數(shù))，求eq \f(a,x)＋eq \f(b,y)的最值”的問題，先將eq \f(a,x)＋eq \f(b,y)轉(zhuǎn)化為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,x)＋\f(b,y)))·eq \f(x＋y,t)，再用基本不等式求最值.
3.當所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時，通?？紤]利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.
4.構(gòu)建目標式的不等式求最值，在既含有和式又含有積式的等式中，對和式或積式利用基本不等式，構(gòu)造目標式的不等式求解.
5.當基本不等式與其他知識相結(jié)合時，往往是提供一個應用基本不等式的條件，然后利用常數(shù)代換法求最值.
6.求參數(shù)的值或范圍時，要觀察題目的特點，利用基本不等式確定等號成立的條件，從而得到參數(shù)的值或范圍.
7.根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值.
8.解應用題時，一定要注意變量的實際意義及其取值范圍.
9.在應用基本不等式求函數(shù)的最值時，若等號取不到，則可利用函數(shù)的單調(diào)性求解.
二、【題型歸類】
【題型一】用配湊法求基本不等式的最值
【典例1】設00，且a＋b＝2，則eq \f(2,a)＋eq \f(1,2b)的最小值是( )
A．1 B．2
C.eq \f(9,4) D.eq \f(9,2)
【典例3】已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
【題型三】用消元法求基本不等式的最值
【典例1】已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為_____．
【典例2】若實數(shù)x>1，y>eq \f(1,2)且x＋2y＝3，則eq \f(1,x－1)＋eq \f(1,2y－1)的最小值為________．
【典例3】已知正實數(shù)a，b滿足a2－b＋4≤0，則u＝eq \f(2a＋3b,a＋b)( )
A.有最大值eq \f(14,5) B.有最小值eq \f(14,5)
C.有最小值3 D.有最大值3
【題型四】基本不等式的常見變形應用
【典例1】《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法(以幾何方法研究代數(shù)問題)成了后世西方數(shù)學家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點F在半圓O上，點C在直徑AB上，且OF⊥AB，設AC＝a，BC＝b，則該圖形可以完成的無字證明為( )
A.eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)(a>0，b>0)
B．a(chǎn)2＋b2≥2eq \r(ab)(a>0，b>0)
C.eq \f(2ab,a＋b)≤eq \r(ab)(a>0，b>0)
D.eq \f(a＋b,2)≤eq \r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0)
【典例2】已知00，若不等式eq \f(m,3a＋b)－eq \f(3,a)－eq \f(1,b)≤0恒成立，則m的最大值為( )
A．4 B．16 C．9 D．3
【典例2】已知函數(shù)f(x)＝ex＋e－x，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．若關于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為________．
【典例3】已知不等式(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9對任意正實數(shù)x，y恒成立，則正實數(shù)a的最小值為( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【題型六】基本不等式與其他知識交匯的最值問題
【典例1】在△ABC中，點P滿足eq \(BP,\s\up6(→))＝2eq \(PC,\s\up6(→))，過點P的直線與AB，AC所在直線分別交于點M，N，若eq \(AM,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))＝neq \(AC,\s\up6(→))(m>0，n>0)，則m＋2n的最小值為( )
A.3 B.4 C.eq \f(8,3) D.eq \f(10,3)
【典例2】如果函數(shù)f(x)＝eq \f(1,2)(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在區(qū)間eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))上單調(diào)遞減，那么mn的最大值為( )
A．16 B．18 C．25 D.eq \f(81,2)
【典例3】在△ABC中，A＝eq \f(π,6)，△ABC的面積為2，則eq \f(2sin C,sin C＋2sin B)＋eq \f(sin B,sin C)的最小值為( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(3\r(3),4) C.eq \f(3,2) D.eq \f(5,3)
【題型七】基本不等式的實際應用
【典例1】某小區(qū)想利用一矩形空地ABCD建市民健身廣場，設計時決定保留空地邊上的一水塘(如圖中陰影部分)，水塘可近似看作一個等腰直角三角形，其中AD＝60 m，AB＝40 m，且△EFG中，∠EGF＝90°，經(jīng)測量得到AE＝10 m，EF＝20 m，為保證安全同時考慮美觀，健身廣場周圍準備加設一個保護欄，設計時經(jīng)過點G作一直線分別交AB，DF于M，N，從而得到五邊形MBCDN的市民健身廣場，設DN＝x(m)．
(1)將五邊形MBCDN的面積y表示為x的函數(shù)；
(2)當x為何值時，市民健身廣場的面積最大？并求出最大面積．
【典例2】如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個底寬2 m的無蓋長方體的沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔排出，設箱體的長度為a m，高度為b m，已知排出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)與a，b的乘積ab成反比．現(xiàn)有制箱材料60 m2，問a，b各為多少m時，經(jīng)沉淀后排出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小(A，B孔面積忽略不計)?
【典例3】如圖，動物園要圍成相同的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成．
(1)現(xiàn)有可圍36 m長網(wǎng)的材料，每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使每間虎籠面積最大？
(2)若使每間虎籠面積為24 m2，則每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使圍成四間虎籠的鋼筋總長度最??？
三、【培優(yōu)訓練】
【訓練一】(多選)若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，則下列不等式成立的是( )
A.a＋b＋c≤eq \r(3) B.(a＋b＋c)2≥3
C.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)≥2eq \r(3) D.a2＋b2＋c2≥1
【訓練二】已知a＞0，b＞0，且ab＝1，求eq \f(1,2a)＋eq \f(1,2b)＋eq \f(8,a＋b)的最小值；
(2)若a，b∈R，ab>0，求eq \f(a4＋4b4＋1,ab)的最小值.
【訓練三】若x>0，y>0且x＋y＝xy，則eq \f(x,x－1)＋eq \f(2y,y－1)的最小值為________．
【訓練四】設a>b>0，則a2＋eq \f(1,ab)＋eq \f(1,a?a－b?)的最小值是________．
【訓練五】已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，求S＝2eq \r(ab)－4a2－b2的最大值．
【訓練六】如圖所示，已知樹頂A離地面eq \f(21,2)米，樹上另一點B離地面eq \f(11,2)米，某人在離地面eq \f(3,2)米的C處看此樹，則該人離此樹________米時，看A，B的視角最大．
四、【強化測試】
【單選題】
1. 若x>0，y>0，則“x＋2y＝2eq \r(2xy)”的一個充分不必要條件是( )
A.x＝y(tǒng) B.x＝2y
C.x＝2且y＝1 D.x＝y(tǒng)或y＝1
2. 函數(shù)f(x)＝eq \f(x2＋4,|x|)的最小值為( )
A.3 B.4 C.6 D.8
3. 若a>0，b>0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，則a＋b的最小值為( )
A.8 B.6 C.4 D.2
4. 已知正數(shù)a，b滿足a＋b＝1，則eq \f(4,a)＋eq \f(1,b)的最小值為( )
A.eq \f(5,3) B.3 C.5 D.9
5. 已知函數(shù)f(x)＝ex在點(0，f(0))處的切線為l，動點(a，b)在直線l上，則2a＋2－b的最小值是( )
A.4 B.2 C.2eq \r(2) D.eq \r(2)
6. 若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是( )
A．[0，2] B．[－2，0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
7. 設a>0，若關于x的不等式x＋eq \f(a,x－1)≥5在(1，＋∞)上恒成立，則a的最小值為( )
A．16 B．9
C．4 D．2
8. 已知x>0，y>0，且eq \f(1,x＋1)＋eq \f(1,y)＝eq \f(1,2)，則x＋y的最小值為( )
A．3 B．5
C．7 D．9
【多選題】
9. 若a，b∈R，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是( )
A．a(chǎn)＋b≥2eq \r(ab) B．eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)>eq \f(1,\r(ab))
C．eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2 D．a(chǎn)2＋b2≥2ab
10. 給出下面四個推斷，其中正確的為( )
A．若a，b∈(0，＋∞)，則eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2
B．若x，y∈(0，＋∞)，則lg x＋lg y≥2eq \r(lg x·lg y)
C．若a∈R，a≠0，則eq \f(4,a)＋a≥4
D．若x，y∈R，xy0，b>0，且a＋b＝1，則( )
A．a(chǎn)2＋b2≥eq \f(1,2) B．2a－b>eq \f(1,2)
C．lg2a＋lg2b≥－2 D.eq \r(a)＋eq \r(b)≤eq \r(2)
12. 設a>0，b>0，則下列不等式中一定成立的是( )
A．a(chǎn)＋b＋eq \f(1,\r(ab))≥2eq \r(2) B.eq \f(2ab,a＋b)>eq \r(ab)
C.eq \f(a2＋b2,\r(ab))≥a＋b D．(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4
【填空題】
13. 設正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S7－S5＝3(a4＋a5)，則4a3＋eq \f(9,a7)的最小值為________.
14. 設P(x，y)是函數(shù)y＝eq \f(2,x)(x>0)圖象上的點，則x＋y的最小值為________．
15. 函數(shù)y＝eq \f(x2,x＋1)(x>－1)的最小值為________．
16. 若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，則ab的最大值為________，eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值為________．
【解答題】
17. (1)當x

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