思維導(dǎo)圖
題型歸納
題型1概率模塊內(nèi)知識(shí)交匯命題
【例1-1】高考改革新方案，不分文理科，高考成績實(shí)行“3＋3”的構(gòu)成模式，第一個(gè)“3”是語文、數(shù)學(xué)、外語，每門滿分150分，第二個(gè)“3”由考生在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6個(gè)科目中自主選擇其中3個(gè)科目參加等級(jí)性考試，每門滿分100分，高考錄取成績卷面總分滿分750分．為了調(diào)查學(xué)生對(duì)物理、化學(xué)、生物的選考情況，將“某市某一屆學(xué)生在物理、化學(xué)、生物三個(gè)科目中至少選考一科的學(xué)生”記作學(xué)生群體S，從學(xué)生群體S中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，他們選考物理，化學(xué)，生物的科目數(shù)及人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表：
(1)從所調(diào)查的50名學(xué)生中任選2名，求他們選考物理、化學(xué)、生物科目數(shù)量不相等的概率；
(2)從所調(diào)查的50名學(xué)生中任選2名，記X表示這2名學(xué)生選考物理、化學(xué)、生物的科目數(shù)量之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)將頻率視為概率，現(xiàn)從學(xué)生群體S中隨機(jī)抽取4名學(xué)生，記其中恰好選考物理、化學(xué)、生物中的兩科目的學(xué)生數(shù)記作Y，求事件“Y≥2”的概率．
【跟蹤訓(xùn)練1-1】2016年微信用戶數(shù)量統(tǒng)計(jì)顯示，微信注冊(cè)用戶數(shù)量已經(jīng)突破9.27億．微信用戶平均年齡只有26歲，97.7%的用戶在50歲以下，86.2%的用戶在18～36歲之間．為調(diào)查大學(xué)生這個(gè)微信用戶群體中每人擁有微信群的數(shù)量，現(xiàn)在從北京大學(xué)生中隨機(jī)抽取100位同學(xué)進(jìn)行了抽樣調(diào)查，結(jié)果如下：
(1)求a，b，c的值；
(2)若從100位同學(xué)中隨機(jī)抽取2人，求這2人中恰有1人微信群個(gè)數(shù)超過15個(gè)的概率；
(3)以這100個(gè)人的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)北京市的總體數(shù)據(jù)且以頻率估計(jì)概率，若從全市大學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記X表示抽到的是微信群個(gè)數(shù)超過15個(gè)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)．
【跟蹤訓(xùn)練1-2】為了預(yù)防某種流感擴(kuò)散，某校醫(yī)務(wù)室采取積極的處理方式，對(duì)感染者進(jìn)行短暫隔離直到康復(fù)．假設(shè)某班級(jí)已知6位同學(xué)中有1位同學(xué)被感染，需要通過化驗(yàn)血液來確定被感染的同學(xué)，血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽性即被感染，呈陰性即未被感染．下面是兩種化驗(yàn)方案．
方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定被感染的同學(xué)為止．
方案乙：先任取3個(gè)同學(xué)，將他們的血液混在一起化驗(yàn)，若結(jié)果呈陽性則表明被感染同學(xué)為這3位中的1位，后再逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定被感染的同學(xué)為止；若結(jié)果呈陰性，則在另外3位同學(xué)中逐個(gè)檢測(cè)．
(1)求方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)等于方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率；
(2)η表示方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)，ξ表示方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)，假設(shè)每次化驗(yàn)的費(fèi)用都相同，請(qǐng)從經(jīng)濟(jì)角度考慮哪種化驗(yàn)的方案最佳．
【名師指導(dǎo)】
高考常將求概率與等可能事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件、超幾何分布、二項(xiàng)分布等交匯在一起進(jìn)行考查，因此在解答此類題時(shí)，準(zhǔn)確把題中所涉及的事件進(jìn)行分解，明確所求問題所屬的事件類型是關(guān)鍵．特別是要注意挖掘題目中的隱含條件．
題型2概率與統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例的交匯命題
【例2-1】市教育部門為研究高中學(xué)生的身體素質(zhì)與課外體育鍛煉時(shí)間的關(guān)系，對(duì)該市某校200名高中學(xué)生的課外體育鍛煉平均每天鍛煉的時(shí)間進(jìn)行了調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表：
將學(xué)生日均課外體育鍛煉時(shí)間在[40,60]內(nèi)的學(xué)生評(píng)價(jià)為“課外體育達(dá)標(biāo)”．
(1)請(qǐng)根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表，并通過計(jì)算判斷是否能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“課外體育達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)；
(2)從上述課外體育不達(dá)標(biāo)的學(xué)生中，按性別用分層抽樣的方法抽取10名學(xué)生，再從這10名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人了解他們鍛煉時(shí)間偏少的原因，記所抽取的3人中男生的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率來估計(jì)全市的情況，現(xiàn)在從該市所有高中學(xué)生中抽取4名學(xué)生，求其中恰好有2名學(xué)生課外體育達(dá)標(biāo)的概率．
參考公式：K2＝eq \f(n?ad－bc?2,?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?)，其中n＝a＋b＋c＋d.
參考數(shù)據(jù)：
【跟蹤訓(xùn)練2-1】某公司為了提高利潤，從2012年到2018年每年都對(duì)生產(chǎn)環(huán)節(jié)的改進(jìn)進(jìn)行投資，投資金額x(單位：萬元)與年利潤增長量y(單位：萬元)的數(shù)據(jù)如表：
(1)請(qǐng)用最小二乘法求出y關(guān)于x的回歸直線方程．如果2019年該公司計(jì)劃對(duì)生產(chǎn)環(huán)節(jié)的改進(jìn)的投資金額為8萬元，估計(jì)該公司在該年的年利潤增長量為多少？(結(jié)果保留兩位小數(shù))
(2)現(xiàn)從2012年到2018年這7年中抽出3年進(jìn)行調(diào)查，記λ＝年利潤增長量－投資金額，設(shè)這3年中λ≥2萬元的年份數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列與期望．
參考公式：eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n,)?xi－\x\t(x)??yi－\x\t(y)?,\i\su(i＝1,n,)?xi－\x\t(x)?2)＝eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\t(x) \x\t(y),\i\su(i＝1,n,x)\\al(2,i)－n\x\t(x)2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x).
參考數(shù)據(jù)：eq \i\su(i＝1,7,x)iyi＝359.6，eq \i\su(i＝1,7,x)eq \\al(2,i)＝259.
【跟蹤訓(xùn)練2-2】成都市現(xiàn)在已是擁有1 400多萬人口的城市，機(jī)動(dòng)車保有量已達(dá)450多萬輛，成年人中約40%擁有機(jī)動(dòng)車駕駛證．為了解本市成年人的交通安全意識(shí)情況，某中學(xué)的同學(xué)利用國慶假期進(jìn)行了一次全市成年人安全知識(shí)抽樣調(diào)查．先根據(jù)是否擁有駕駛證，用分層抽樣的方法抽取了200名成年人，然后對(duì)這200人進(jìn)行問卷調(diào)查．這200人所得的分?jǐn)?shù)都分布在[30,100]范圍內(nèi)，規(guī)定分?jǐn)?shù)在80以上(含80)的為“具有很強(qiáng)安全意識(shí)”，所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖如圖所示．
(1)補(bǔ)全上面的2×2列聯(lián)表，并判斷能否有超過95%的把握認(rèn)為“‘具有很強(qiáng)安全意識(shí)’與擁有駕駛證”有關(guān)？
(2)將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，現(xiàn)從全市成年人中隨機(jī)抽取4人，記“具有很強(qiáng)安全意識(shí)”的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
附表及公式：K2＝eq \f(n?ad－bc?2,?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?)，其中n＝a＋b＋c＋d.
【名師指導(dǎo)】
概率與統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例交匯問題的考查離不開圖表(頻率分布直方圖、莖葉圖、折線圖、頻數(shù)分布表等)，解決此類問題重在審圖表、明數(shù)據(jù)，能從所給圖表中正確提取解題所需要的信息是解決問題的關(guān)鍵，然后根據(jù)信息一步步實(shí)現(xiàn)圖表數(shù)據(jù)與數(shù)學(xué)符號(hào)語言的轉(zhuǎn)化，建立數(shù)學(xué)模型解決問題．
題型3概率與函數(shù)、數(shù)列等綜合問題
【例3-1】為響應(yīng)綠色出行，某市在推出共享單車后，又推出新能源分時(shí)租賃汽車．其中一款新能源分時(shí)租賃汽車，每次租車收費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)由兩部分組成：①根據(jù)行駛里程數(shù)按1元/公里計(jì)費(fèi)；②行駛時(shí)間不超過40分鐘時(shí)按0.12元/分計(jì)費(fèi)，超過40分鐘時(shí)，超出部分按0.20元/分計(jì)費(fèi)．已知張先生家離上班地點(diǎn)15公里，每天租用該款汽車上、下班各一次．由于堵車、紅綠燈等因素，每次路上開車花費(fèi)的時(shí)間t(單位：分)是一個(gè)隨機(jī)變量．現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了張先生50次路上開車花費(fèi)的時(shí)間，在各時(shí)間段內(nèi)的頻數(shù)分布情況如下表所示.
將頻率視為概率，每次路上開車花費(fèi)的時(shí)間視為用車時(shí)間．
(1)寫出張先生一次租車費(fèi)用y(單位：元)與用車時(shí)間t(單位：分)的函數(shù)關(guān)系式；
(2)若張先生一次開車時(shí)間不超過40分為“路段暢通”，設(shè)ξ表示3次租用新能源分時(shí)租賃汽車中“路段暢通”的次數(shù)，求ξ的分布列和期望；
(3)若公司每月給1 000元的交通補(bǔ)助，請(qǐng)估計(jì)張先生每月(按22天計(jì)算)的交通補(bǔ)助是否足夠讓張先生上、下班租用新能源分時(shí)租賃汽車？并說明理由．(同一時(shí)段的時(shí)間用該區(qū)間的中點(diǎn)值代表)
【例3-2】為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)．試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)．對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得－1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得－1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.
(1)求X的分布列；
(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，pi(i＝0，1，…，8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假設(shè)α＝0.5，β＝0.8.
①證明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)為等比數(shù)列；
②求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性．
【跟蹤訓(xùn)練3-1】計(jì)劃在某水庫建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站．過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量X(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和．單位：億立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的入流量相互獨(dú)立．
(1)求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率；
(2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量X限制，并有如下關(guān)系：
若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺(tái)發(fā)電機(jī)年利潤為5 000萬元；若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺(tái)發(fā)電機(jī)年虧損800萬元．欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)？
【跟蹤訓(xùn)練3-2】如圖是某小區(qū)2017年1月至2018年1月當(dāng)月在售二手房均價(jià)(單位：萬元/米2)的散點(diǎn)圖．(圖中月份代碼1～13分別對(duì)應(yīng)2017年1月～2018年1月)
根據(jù)散點(diǎn)圖選擇eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(a,\s\up6(^))＋eq \(b,\s\up6(^))eq \r(x)和eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(c,\s\up6(^))＋eq \(d,\s\up6(^))ln x兩個(gè)模型進(jìn)行擬合，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理得到兩個(gè)回歸方程分別為eq \(y,\s\up6(^))＝0.936 9＋0.028 5eq \r(x)和eq \(y,\s\up6(^))＝0.955 4＋0.030 6ln x，并得到一些統(tǒng)計(jì)量的值如下表所示.
(1)請(qǐng)利用相關(guān)指數(shù)R2判斷哪個(gè)模型的擬合效果更好．
(2)某位購房者擬于2018年6月份購買這個(gè)小區(qū)m(70≤m≤160)平方米的二手房(此房為其家庭首套房)．若購房時(shí)該小區(qū)所有住房的房產(chǎn)證均已滿2年但未滿5年．請(qǐng)你利用(1)中擬合效果更好的模型解決以下問題．
①估算該購房者應(yīng)支付的購房金額；(購房金額＝房款＋稅費(fèi)，房屋均價(jià)精確到0.001萬元/米2)
②若該購房者擬用不超過100萬元的資金購買該小區(qū)一套二手房，試估算其可購買的最大面積．(精確到1平方米)
注：根據(jù)有關(guān)規(guī)定，二手房交易需要繳納若干項(xiàng)稅費(fèi)，稅費(fèi)是按房屋的計(jì)稅價(jià)格進(jìn)行征收的．(計(jì)稅價(jià)格＝房款)
征收方式見下表.
參考數(shù)據(jù)：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10，ln 17≈2.83，ln 19≈2.94，eq \r(2)≈1.41，eq \r(3)≈1.73，eq \r(17)≈4.12，eq \r(19)≈4.36.
參考公式：相關(guān)指數(shù)R2＝1－eq \f(\i\su(i＝1,n,)?yi－\(y,\s\up6(^))i?2,\i\su(i＝1,n,)?yi－\x\t(y)?2).選考物理、化學(xué)、生物的科目數(shù)
1
2
3
人數(shù)
5
25
20
微信群數(shù)量
頻數(shù)
頻率
0至5個(gè)
0
0
6至10個(gè)
30
0.3
11至15個(gè)
30
0.3
16至20個(gè)
a
c
20個(gè)以上
5
b
總計(jì)
100
1
平均每天鍛煉的時(shí)間(分鐘)
[0,10)
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60]
總?cè)藬?shù)
20
36
44
50
40
10
課外體育不達(dá)標(biāo)
課外體育達(dá)標(biāo)
總計(jì)
男
女
20
110
總計(jì)
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
年份
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
投資金額x/萬元
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
年利潤增長量y/萬元
6.0
7.0
7.4
8.1
8.9
9.6
11.1
擁有駕駛證
沒有駕駛證
總計(jì)
具有很強(qiáng)安全意識(shí)
不具有很強(qiáng)安全意識(shí)
58
總計(jì)
200
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
時(shí)間t/分
(20,30]
(30,40]
(40,50]
(50,60]
頻數(shù)
2
18
20
10
年入流量X
40

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