思維導圖
知識梳理
1．簡單隨機抽樣
(1)定義：一般地，設一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本(n≤N)，如果每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣．這樣抽取的樣本，叫做簡單隨機樣本．
(2)常用方法：抽簽法和隨機數(shù)法．
2．分層抽樣
(1)在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣．
(2)分層抽樣的應用范圍
當總體是由差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層抽樣．
3．頻率分布直方圖
(1)縱軸表示eq \f(頻率,組距)，即小長方形的高＝eq \f(頻率,組距)；
(2)小長方形的面積＝組距×eq \f(頻率,組距)＝頻率；
(3)各個小方形的面積總和等于1.
4．頻率分布表的畫法
第一步：求極差，決定組數(shù)和組距，組距＝eq \f(極差,組數(shù))；
第二步：分組，通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；
第三步：登記頻數(shù)，計算頻率，列出頻率分布表．
5．條形圖、折線圖及扇形圖
(1)條形圖：建立直角坐標系，用橫軸(橫軸上的數(shù)字)表示樣本數(shù)據(jù)類型，用縱軸上的單位長度表示一定的數(shù)量，根據(jù)每個樣本(或某個范圍內(nèi)的樣本)的數(shù)量多少畫出長短不同的等寬矩形，然后把這些矩形按照一定的順序排列起來，這樣一種表達和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計圖稱為條形圖．
(2)折線圖：建立直角坐標系，用橫軸上的數(shù)字表示樣本值，用縱軸上的單位長度表示一定的數(shù)量，根據(jù)樣本值和數(shù)量的多少描出相應各點，然后把各點用線段順次連接，得到一條折線，用這種折線表示出樣本數(shù)據(jù)的情況，這樣的一種表示和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計圖稱為折線圖．
(3)扇形圖：用一個圓表示總體，圓中各扇形分別代表總體中的不同部分，每個扇形的大小反映所表示的那部分占總體的百分比的大小，這樣的一種表示和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計圖稱為扇形圖．
6．中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的定義
(1)中位數(shù)
將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，處于最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
(2)眾數(shù)
一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．
(3)平均數(shù)
一組數(shù)據(jù)的算術平均數(shù)即為這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，n個數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)eq \x\t(x)＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．
7．樣本的數(shù)字特征
如果有n個數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，那么這n個數(shù)的
(1)標準差s＝ eq \r(\f(1,n)[?x1－\x\t(x)?2＋?x2－\x\t(x)?2＋…＋?xn－\x\t(x)?2]).
(2)方差s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \x\t(x))2＋(x2－eq \x\t(x))2＋…＋(xn－eq \x\t(x))2]．
題型歸納
題型1抽樣方法
【例1-1】假設從高一年級全體同學(500人)中隨機抽出60人參加一項活動，利用隨機數(shù)法抽取樣本時，先將500名同學按000,001，…，499進行編號，如果從隨機數(shù)表第8行第11列的數(shù)開始，按三位數(shù)連續(xù)向右讀取，最先抽出的5名同學的號碼是(下面摘取了此隨機數(shù)表第7行和第8行)( )
eq \x(\a\al(84421 75331 57245 50688 77047 44767 21763 35025 83921 20676,63016 37859 16955 56719 98105 07175 12867 35807 44395 23879))
A．455 068 047 447 176
B．169 105 071 286 443
C．050 358 074 439 332
D．447 176 335 025 212
【例1-2】《九章算術》第三章“衰分”中有如下問題：“今有甲持錢五百六十，乙持錢三百五十，丙持錢一百八十，凡三人俱出關，關稅百錢，欲以錢數(shù)多少衰出之，問各幾何？”其意為：“今有甲帶了560錢，乙?guī)Я?50錢，丙帶了180錢，三人一起出關，共需要交關稅100錢，依照錢的多少按比例出錢”，則丙應出________錢(所得結(jié)果四舍五入，保留整數(shù))．
【跟蹤訓練1-1】某學校三個興趣小組的學生人數(shù)分布如下表(每名同學只參加一個小組)(單位：人).
學校要對這三個小組的活動效果進行抽樣調(diào)查，按小組分層抽樣的方法，從參加這三個興趣小組的學生中抽取30人，結(jié)果籃球組被抽出12人，則a的值為________．
【名師指導】
1．應用簡單隨機抽樣應注意的問題
(1)一個抽樣試驗能否用抽簽法，關鍵看兩點：一是抽簽是否方便；二是號簽是否易攪勻．一般地，當總體容量和樣本容量都較小時可用抽簽法．
(2)在使用隨機數(shù)法時，如遇到三位數(shù)或四位數(shù)，可從選擇的隨機數(shù)表中的某行某列的數(shù)字計起，每三個或四個作為一個單位，自左向右選取，有超過總體號碼或出現(xiàn)重復號碼的數(shù)字舍去．
2．分層抽樣問題的類型及解題思路
(1)求某層應抽個體數(shù)量：按該層所占總體的比例計算．
(2)已知某層個體數(shù)量，求總體容量或反之求解：根據(jù)分層抽樣就是按比例抽樣，列比例式進行計算．
(3)分層抽樣的計算應根據(jù)抽樣比構(gòu)造方程求解，其中“抽樣比＝eq \f(樣本容量,總體容量)＝eq \f(各層樣本數(shù)量,各層個體數(shù)量)”．
題型2頻率分布直方圖的應用
【例2-1】為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液．每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比．根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：
記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計值為0.70.
(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；
(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)．
【跟蹤訓練2-1】市面上有某品牌A型和B型兩種節(jié)能燈，假定A型節(jié)能燈使用壽命都超過5 000小時．經(jīng)銷商對B型節(jié)能燈使用壽命進行了調(diào)查統(tǒng)計，得到如下頻率分布直方圖：
某商家因原店面需重新裝修，需租賃一家新店面進行周轉(zhuǎn)，合約期一年．新店面只需安裝該品牌節(jié)能燈5支(同種型號)即可正常營業(yè)．經(jīng)了解，A型20瓦和B型55瓦的兩種節(jié)能燈照明效果相當，都適合安裝．已知A型和B型節(jié)能燈每支的價格分別為120元、25元，當?shù)厣虡I(yè)電價為0.75元/千瓦時．假定該店面一年周轉(zhuǎn)期的照明時間為3 600小時，若正常營業(yè)期間燈壞了立即購買同型燈管更換．(用頻率估計概率)
(1)根據(jù)頻率分布直方圖估算B型節(jié)能燈的平均使用壽命；
(2)根據(jù)統(tǒng)計知識知，若一支燈管一年內(nèi)需要更換的概率為p，那么n支燈管估計需要更換np支，若該商家新店面全部安裝了B型節(jié)能燈，試估計一年內(nèi)需更換的數(shù)量；
(3)若只考慮燈的成本和消耗電費，你認為該商家應選擇哪種型號的節(jié)能燈，請說明理由．
【跟蹤訓練2-2】某網(wǎng)絡營銷部門隨機抽查了某市200名網(wǎng)友在2019年11月11日的網(wǎng)購金額，所得數(shù)據(jù)如下表：
已知網(wǎng)購金額不超過3千元與超過3千元的人數(shù)比恰為3∶2.
(1)試確定x，y，p，q的值，并補全頻率分布直方圖(如圖)；
(2)該營銷部門為了了解該市網(wǎng)友的購物體驗，從這200名網(wǎng)友中，用分層抽樣的方法從網(wǎng)購金額在(1,2]和(4,5]的兩個群體中確定5人進行問卷調(diào)查，若需從這5人中隨機選取2人繼續(xù)訪談，則此2人來自不同群體的概率是多少？
【名師指導】
題型3用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征
【例3-1】 《中國大能手》是央視推出的一檔大型職業(yè)技能挑戰(zhàn)賽類節(jié)目，旨在通過該節(jié)目，在全社會傳播和弘揚“勞動光榮、技能寶貴、創(chuàng)造偉大”的時代風尚．某公司準備派出選手代表公司參加《中國大能手》職業(yè)技能挑戰(zhàn)賽．經(jīng)過層層選拔，最后集中在甲、乙兩位選手在一項關鍵技能的區(qū)分上，選手完成該項挑戰(zhàn)的時間越少越好．已知這兩位選手在15次挑戰(zhàn)訓練中，完成該項關鍵技能挑戰(zhàn)所用的時間t(單位：秒)及挑戰(zhàn)失敗(用“×”表示)的情況如下表：
據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，應用統(tǒng)計軟件得下表：
(1)根據(jù)上述回歸方程，預測甲、乙分別在下一次完成該項關鍵技能挑戰(zhàn)所用的時間；
(2)若該公司只有一個參賽名額，根據(jù)以上信息，判斷哪位選手代表公司參加職業(yè)技能挑戰(zhàn)賽更合適？請說明你的理由．
【跟蹤訓練3-1】甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統(tǒng)計圖如圖所示，則( )
A．甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)
B．甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)
C．甲的成績的方差小于乙的成績的方差
D．甲的成績的極差小于乙的成績的極差
【跟蹤訓練3-2】甲、乙兩人參加某體育項目訓練，近期的五次測試成績(單位：分)如圖所示：
(1)分別求出甲、乙兩人成績的平均數(shù)與方差；
(2)根據(jù)(1)的結(jié)果，對兩人的成績作出評價．
【跟蹤訓練3-3】甲、乙、丙三人去某地務工，其工作受天氣影響，雨天不能出工，晴天才能出工．其計酬方式有兩種，方式一：雨天沒收入，晴天出工每天250元；方式二：雨天每天120元，晴天出工每天200元．三人要選擇其中一種計酬方式，并打算在下個月(30天)內(nèi)的晴天都出工，為此三人作了一些調(diào)查，甲以去年此月的下雨天數(shù)(10天)為依據(jù)作出選擇；乙和丙在分析了當?shù)亟?年此月的下雨天數(shù)(n)的頻數(shù)分布表(見下表)后，乙以頻率最大的n值為依據(jù)作出選擇，丙以n的平均值為依據(jù)作出選擇.
(1)試判斷甲、乙、丙選擇的計酬方式，并說明理由；
(2)根據(jù)統(tǒng)計范圍的大小，你覺得三人中誰的依據(jù)更有指導意義？
(3)以頻率作為概率，求未來三年中恰有兩年此月下雨不超過11天的概率．
【名師指導】
利用樣本的數(shù)字特征解決優(yōu)化決策問題的依據(jù)
(1)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平；標準差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大?。畼藴什?、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標準差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定．
(2)用樣本估計總體就是利用樣本的數(shù)字特征來描述總體的數(shù)字特征．籃球組
書畫組
樂器組
高一
45
30
a
高二
15
10
20
網(wǎng)購金額(單位：千元)
人數(shù)
頻率
(0,1]
16
0.08
(1,2]
24
0.12
(2,3]
x
p
(3,4]
y
q
(4,5]
16
0.08
(5,6]
14
0.07
總計
200
1.00
熟記結(jié)論
(1)在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積表示相應各組的頻率，所有小長方形的面積的和等于1；
(2)eq \f(頻率,組距)×組距＝頻率；
(3)eq \f(頻數(shù),樣本容量)＝頻率，此關系式的變形為eq \f(頻數(shù),頻率)＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數(shù)
易錯防范
頻率分布直方圖的縱坐標是eq \f(頻率,組距)，而不是頻率
序號x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
t甲
×
96
93
×
92
×
90
86
×
×
83
80
78
77
75
t乙
×
95
×
93
×
92
×
88
83
×
82
80
80
74
73
均值/秒
方差
線性回歸方程
甲
85
50.2
eq \(t,\s\up6(^))甲＝－1.59x＋99.28
乙
84
54
eq \(t,\s\up6(^))乙＝－1.73x＋100.25
n
8
9
10
11
12
13
頻數(shù)
3
1
2
0
2
1

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