思維導(dǎo)圖
知識(shí)梳理
1．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣
(1)定義：一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)不放回地抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本(n≤N)，如果每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等，就把這種抽樣方法叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．這樣抽取的樣本，叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本．
(2)常用方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法．
2．分層抽樣
(1)在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣．
(2)分層抽樣的應(yīng)用范圍
當(dāng)總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí)，往往選用分層抽樣．
3．頻率分布直方圖
(1)縱軸表示eq \f(頻率,組距)，即小長(zhǎng)方形的高＝eq \f(頻率,組距)；
(2)小長(zhǎng)方形的面積＝組距×eq \f(頻率,組距)＝頻率；
(3)各個(gè)小方形的面積總和等于1.
4．頻率分布表的畫(huà)法
第一步：求極差，決定組數(shù)和組距，組距＝eq \f(極差,組數(shù))；
第二步：分組，通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開(kāi)區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；
第三步：登記頻數(shù)，計(jì)算頻率，列出頻率分布表．
5．條形圖、折線圖及扇形圖
(1)條形圖：建立直角坐標(biāo)系，用橫軸(橫軸上的數(shù)字)表示樣本數(shù)據(jù)類(lèi)型，用縱軸上的單位長(zhǎng)度表示一定的數(shù)量，根據(jù)每個(gè)樣本(或某個(gè)范圍內(nèi)的樣本)的數(shù)量多少畫(huà)出長(zhǎng)短不同的等寬矩形，然后把這些矩形按照一定的順序排列起來(lái)，這樣一種表達(dá)和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)圖稱(chēng)為條形圖．
(2)折線圖：建立直角坐標(biāo)系，用橫軸上的數(shù)字表示樣本值，用縱軸上的單位長(zhǎng)度表示一定的數(shù)量，根據(jù)樣本值和數(shù)量的多少描出相應(yīng)各點(diǎn)，然后把各點(diǎn)用線段順次連接，得到一條折線，用這種折線表示出樣本數(shù)據(jù)的情況，這樣的一種表示和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)圖稱(chēng)為折線圖．
(3)扇形圖：用一個(gè)圓表示總體，圓中各扇形分別代表總體中的不同部分，每個(gè)扇形的大小反映所表示的那部分占總體的百分比的大小，這樣的一種表示和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)圖稱(chēng)為扇形圖．
6．中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的定義
(1)中位數(shù)
將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
(2)眾數(shù)
一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．
(3)平均數(shù)
一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)即為這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，n個(gè)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)eq \x\t(x)＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．
7．樣本的數(shù)字特征
如果有n個(gè)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，那么這n個(gè)數(shù)的
(1)標(biāo)準(zhǔn)差s＝ eq \r(\f(1,n)[?x1－\x\t(x)?2＋?x2－\x\t(x)?2＋…＋?xn－\x\t(x)?2]).
(2)方差s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \x\t(x))2＋(x2－eq \x\t(x))2＋…＋(xn－eq \x\t(x))2]．
題型歸納
題型1抽樣方法
【例1-1】假設(shè)從高一年級(jí)全體同學(xué)(500人)中隨機(jī)抽出60人參加一項(xiàng)活動(dòng)，利用隨機(jī)數(shù)法抽取樣本時(shí)，先將500名同學(xué)按000,001，…，499進(jìn)行編號(hào)，如果從隨機(jī)數(shù)表第8行第11列的數(shù)開(kāi)始，按三位數(shù)連續(xù)向右讀取，最先抽出的5名同學(xué)的號(hào)碼是(下面摘取了此隨機(jī)數(shù)表第7行和第8行)( )
eq \x(\a\al(84421 75331 57245 50688 77047 44767 21763 35025 83921 20676,63016 37859 16955 56719 98105 07175 12867 35807 44395 23879))
A．455 068 047 447 176
B．169 105 071 286 443
C．050 358 074 439 332
D．447 176 335 025 212
【解析】選B 由隨機(jī)數(shù)表法的隨機(jī)抽樣的過(guò)程可知最先抽出的5名同學(xué)的號(hào)碼為169,105,071,286,443.
【例1-2】《九章算術(shù)》第三章“衰分”中有如下問(wèn)題：“今有甲持錢(qián)五百六十，乙持錢(qián)三百五十，丙持錢(qián)一百八十，凡三人俱出關(guān)，關(guān)稅百錢(qián)，欲以錢(qián)數(shù)多少衰出之，問(wèn)各幾何？”其意為：“今有甲帶了560錢(qián)，乙?guī)Я?50錢(qián)，丙帶了180錢(qián)，三人一起出關(guān)，共需要交關(guān)稅100錢(qián)，依照錢(qián)的多少按比例出錢(qián)”，則丙應(yīng)出________錢(qián)(所得結(jié)果四舍五入，保留整數(shù))．
【解析】按照錢(qián)的多少按比例出錢(qián)，所以丙應(yīng)該出錢(qián)為eq \f(180,560＋350＋180)×100＝eq \f(18 000,1 090)≈17.
【答案】17
【跟蹤訓(xùn)練1-1】某學(xué)校三個(gè)興趣小組的學(xué)生人數(shù)分布如下表(每名同學(xué)只參加一個(gè)小組)(單位：人).
學(xué)校要對(duì)這三個(gè)小組的活動(dòng)效果進(jìn)行抽樣調(diào)查，按小組分層抽樣的方法，從參加這三個(gè)興趣小組的學(xué)生中抽取30人，結(jié)果籃球組被抽出12人，則a的值為_(kāi)_______．
【解析】由分層抽樣得eq \f(12,45＋15)＝eq \f(30,120＋a)，解得a＝30.
【答案】30
【名師指導(dǎo)】
1．應(yīng)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣應(yīng)注意的問(wèn)題
(1)一個(gè)抽樣試驗(yàn)?zāi)芊裼贸楹灧?，關(guān)鍵看兩點(diǎn)：一是抽簽是否方便；二是號(hào)簽是否易攪勻．一般地，當(dāng)總體容量和樣本容量都較小時(shí)可用抽簽法．
(2)在使用隨機(jī)數(shù)法時(shí)，如遇到三位數(shù)或四位數(shù)，可從選擇的隨機(jī)數(shù)表中的某行某列的數(shù)字計(jì)起，每三個(gè)或四個(gè)作為一個(gè)單位，自左向右選取，有超過(guò)總體號(hào)碼或出現(xiàn)重復(fù)號(hào)碼的數(shù)字舍去．
2．分層抽樣問(wèn)題的類(lèi)型及解題思路
(1)求某層應(yīng)抽個(gè)體數(shù)量：按該層所占總體的比例計(jì)算．
(2)已知某層個(gè)體數(shù)量，求總體容量或反之求解：根據(jù)分層抽樣就是按比例抽樣，列比例式進(jìn)行計(jì)算．
(3)分層抽樣的計(jì)算應(yīng)根據(jù)抽樣比構(gòu)造方程求解，其中“抽樣比＝eq \f(樣本容量,總體容量)＝eq \f(各層樣本數(shù)量,各層個(gè)體數(shù)量)”．
題型2頻率分布直方圖的應(yīng)用
【例2-1】為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液．每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比．根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：
記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計(jì)值為0.70.
(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；
(2)分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)．
【解】 (1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35，
b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.
(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為
2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.
乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為
3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.
【跟蹤訓(xùn)練2-1】市面上有某品牌A型和B型兩種節(jié)能燈，假定A型節(jié)能燈使用壽命都超過(guò)5 000小時(shí)．經(jīng)銷(xiāo)商對(duì)B型節(jié)能燈使用壽命進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到如下頻率分布直方圖：
某商家因原店面需重新裝修，需租賃一家新店面進(jìn)行周轉(zhuǎn)，合約期一年．新店面只需安裝該品牌節(jié)能燈5支(同種型號(hào))即可正常營(yíng)業(yè)．經(jīng)了解，A型20瓦和B型55瓦的兩種節(jié)能燈照明效果相當(dāng)，都適合安裝．已知A型和B型節(jié)能燈每支的價(jià)格分別為120元、25元，當(dāng)?shù)厣虡I(yè)電價(jià)為0.75元/千瓦時(shí)．假定該店面一年周轉(zhuǎn)期的照明時(shí)間為3 600小時(shí)，若正常營(yíng)業(yè)期間燈壞了立即購(gòu)買(mǎi)同型燈管更換．(用頻率估計(jì)概率)
(1)根據(jù)頻率分布直方圖估算B型節(jié)能燈的平均使用壽命；
(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)知識(shí)知，若一支燈管一年內(nèi)需要更換的概率為p，那么n支燈管估計(jì)需要更換np支，若該商家新店面全部安裝了B型節(jié)能燈，試估計(jì)一年內(nèi)需更換的數(shù)量；
(3)若只考慮燈的成本和消耗電費(fèi)，你認(rèn)為該商家應(yīng)選擇哪種型號(hào)的節(jié)能燈，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解】(1)由題圖可知，各組中值依次為3 100,3 300,3 500，3 700，對(duì)應(yīng)的頻率依次為0.1,0.3,0.4,0.2，故B型節(jié)能燈的平均使用壽命為3 100×0.1＋3 300×0.3＋3 500×0.4＋3 700×0.2＝3 440(小時(shí))．
(2)由題圖可知，使用壽命不超過(guò)3 600小時(shí)的頻率為0.8，將頻率視為概率，每支燈管需要更換的概率為0.8，故估計(jì)一年內(nèi)5支B型節(jié)能燈需更換5×0.8＝4(支)．
(3)若選擇A型節(jié)能燈，一年共需花費(fèi)5×120＋3 600×5×20×0.75×10－3＝870(元)；
若選擇B型節(jié)能燈，一年共需花費(fèi)(5＋4)×25＋3 600×5×55×0.75×10－3＝967.5(元)．
因?yàn)?67.5>870，所以該商家應(yīng)選擇A型節(jié)能燈．
【跟蹤訓(xùn)練2-2】某網(wǎng)絡(luò)營(yíng)銷(xiāo)部門(mén)隨機(jī)抽查了某市200名網(wǎng)友在2019年11月11日的網(wǎng)購(gòu)金額，所得數(shù)據(jù)如下表：
已知網(wǎng)購(gòu)金額不超過(guò)3千元與超過(guò)3千元的人數(shù)比恰為3∶2.
(1)試確定x，y，p，q的值，并補(bǔ)全頻率分布直方圖(如圖)；
(2)該營(yíng)銷(xiāo)部門(mén)為了了解該市網(wǎng)友的購(gòu)物體驗(yàn)，從這200名網(wǎng)友中，用分層抽樣的方法從網(wǎng)購(gòu)金額在(1,2]和(4,5]的兩個(gè)群體中確定5人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，若需從這5人中隨機(jī)選取2人繼續(xù)訪談，則此2人來(lái)自不同群體的概率是多少？
【解】(1)根據(jù)題意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(16＋24＋x＋y＋16＋14＝200，,\f(16＋24＋x,y＋16＋14)＝\f(3,2)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝80，,y＝50，))∴p＝0.40，q＝0.25.
補(bǔ)全頻率分布直方圖如圖所示．
(2)根據(jù)題意，抽取網(wǎng)購(gòu)金額在(1,2]內(nèi)的人數(shù)為
eq \f(24,24＋16)×5＝3(人)．
抽取網(wǎng)購(gòu)金額在(4,5]內(nèi)的人數(shù)為eq \f(16,24＋16)×5＝2(人)．
故此2人來(lái)自不同群體的概率P＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(1,2),C\\al(2,5))＝eq \f(3,5).
【名師指導(dǎo)】
題型3用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征
【例3-1】 《中國(guó)大能手》是央視推出的一檔大型職業(yè)技能挑戰(zhàn)賽類(lèi)節(jié)目，旨在通過(guò)該節(jié)目，在全社會(huì)傳播和弘揚(yáng)“勞動(dòng)光榮、技能寶貴、創(chuàng)造偉大”的時(shí)代風(fēng)尚．某公司準(zhǔn)備派出選手代表公司參加《中國(guó)大能手》職業(yè)技能挑戰(zhàn)賽．經(jīng)過(guò)層層選拔，最后集中在甲、乙兩位選手在一項(xiàng)關(guān)鍵技能的區(qū)分上，選手完成該項(xiàng)挑戰(zhàn)的時(shí)間越少越好．已知這兩位選手在15次挑戰(zhàn)訓(xùn)練中，完成該項(xiàng)關(guān)鍵技能挑戰(zhàn)所用的時(shí)間t(單位：秒)及挑戰(zhàn)失敗(用“×”表示)的情況如下表：
據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，應(yīng)用統(tǒng)計(jì)軟件得下表：
(1)根據(jù)上述回歸方程，預(yù)測(cè)甲、乙分別在下一次完成該項(xiàng)關(guān)鍵技能挑戰(zhàn)所用的時(shí)間；
(2)若該公司只有一個(gè)參賽名額，根據(jù)以上信息，判斷哪位選手代表公司參加職業(yè)技能挑戰(zhàn)賽更合適？請(qǐng)說(shuō)明你的理由．
【解】 (1)當(dāng)x＝16時(shí)，eq \(t,\s\up6(^))甲＝－1.59×16＋99.28＝73.84(秒)，
eq \(t,\s\up6(^))乙＝－1.73×16＋100.25＝72.57(秒)．
(2)甲、乙兩位選手完成該項(xiàng)關(guān)鍵技能挑戰(zhàn)成功的次數(shù)都為10，失敗次數(shù)都為5，
所以只需要比較他們完成該項(xiàng)關(guān)鍵技能挑戰(zhàn)成功的情況即可，根據(jù)所給信息，結(jié)合(1)中預(yù)測(cè)結(jié)果，綜合分析，選手乙代表公司參加技能挑戰(zhàn)賽更合適，理由如下：
因?yàn)樵谙嗤螖?shù)的挑戰(zhàn)練習(xí)中，兩位選手在該項(xiàng)關(guān)鍵技能挑戰(zhàn)的完成次數(shù)和失敗次數(shù)都分別相同，eq \x\t(x)甲>eq \x\t(x)乙，所以乙選手用時(shí)更短．
由于seq \\al(2,甲)

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