第64講求概率統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題（講） 2021-2022年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)歸納（學(xué)生版+教師版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?第64講求概率統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題

思維導(dǎo)圖

題型歸納
題型1 概率模塊內(nèi)知識(shí)交匯命題
【例1-1】高考改革新方案，不分文理科，高考成績(jī)實(shí)行“3＋3”的構(gòu)成模式，第一個(gè)“3”是語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)，每門(mén)滿(mǎn)分150分，第二個(gè)“3”由考生在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6個(gè)科目中自主選擇其中3個(gè)科目參加等級(jí)性考試，每門(mén)滿(mǎn)分100分，高考錄取成績(jī)卷面總分滿(mǎn)分750分．為了調(diào)查學(xué)生對(duì)物理、化學(xué)、生物的選考情況，將“某市某一屆學(xué)生在物理、化學(xué)、生物三個(gè)科目中至少選考一科的學(xué)生”記作學(xué)生群體S，從學(xué)生群體S中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，他們選考物理，化學(xué)，生物的科目數(shù)及人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表：
選考物理、化學(xué)、生物的科目數(shù)
1
2
3
人數(shù)
5
25
20

(1)從所調(diào)查的50名學(xué)生中任選2名，求他們選考物理、化學(xué)、生物科目數(shù)量不相等的概率；
(2)從所調(diào)查的50名學(xué)生中任選2名，記X表示這2名學(xué)生選考物理、化學(xué)、生物的科目數(shù)量之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)將頻率視為概率，現(xiàn)從學(xué)生群體S中隨機(jī)抽取4名學(xué)生，記其中恰好選考物理、化學(xué)、生物中的兩科目的學(xué)生數(shù)記作Y，求事件“Y≥2”的概率．
【解】　(1)記“所選取的2名學(xué)生選考物理、化學(xué)、生物科目數(shù)量相等”為事件A，
則P(A)＝＝，
所以他們選考物理、化學(xué)、生物科目數(shù)量不相等的概率為
1－P(A)＝.
(2)由題意可知X的可能取值分別為0,1,2.
由(1)知，P(X＝0)＝，又P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，從而X的分布列為
X
0
1
2
P

E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
(3)所調(diào)查的50名學(xué)生中物理、化學(xué)、生物選考兩科目的學(xué)生有25名，相應(yīng)的頻率為p＝＝，由題意知，Y～B，
所以事件“Y≥2”的概率為P(Y≥2)＝C22＋C3＋C4＝.
【跟蹤訓(xùn)練1-1】2016年微信用戶(hù)數(shù)量統(tǒng)計(jì)顯示，微信注冊(cè)用戶(hù)數(shù)量已經(jīng)突破9.27億．微信用戶(hù)平均年齡只有26歲，97.7%的用戶(hù)在50歲以下，86.2%的用戶(hù)在18～36歲之間．為調(diào)查大學(xué)生這個(gè)微信用戶(hù)群體中每人擁有微信群的數(shù)量，現(xiàn)在從北京大學(xué)生中隨機(jī)抽取100位同學(xué)進(jìn)行了抽樣調(diào)查，結(jié)果如下：
微信群數(shù)量
頻數(shù)
頻率
0至5個(gè)
0
0
6至10個(gè)
30
0.3
11至15個(gè)
30
0.3
16至20個(gè)
a
c
20個(gè)以上
5
b
總計(jì)
100
1

(1)求a，b，c的值；
(2)若從100位同學(xué)中隨機(jī)抽取2人，求這2人中恰有1人微信群個(gè)數(shù)超過(guò)15個(gè)的概率；
(3)以這100個(gè)人的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)北京市的總體數(shù)據(jù)且以頻率估計(jì)概率，若從全市大學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記X表示抽到的是微信群個(gè)數(shù)超過(guò)15個(gè)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)．
【解】(1)由已知得0＋30＋30＋a＋5＝100，解得a＝35，
b＝＝0.05，c＝＝0.35.
(2)記“這2 人中恰有1人微信群個(gè)數(shù)超過(guò)15個(gè)”為事件A，則P(A)＝＝，
所以這2人中恰有1人微信群個(gè)數(shù)超過(guò)15個(gè)的概率為.
(3)依題意可知，微信群個(gè)數(shù)超過(guò)15個(gè)的概率為P＝.
X的所有可能取值為0,1,2,3.
則P(X＝0)＝3＝，
P(X＝1)＝C12＝，
P(X＝2)＝C21＝，
P(X＝3)＝3＝.
所以X的分布列為
X
0
1
2
3
P

數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
【跟蹤訓(xùn)練1-2】為了預(yù)防某種流感擴(kuò)散，某校醫(yī)務(wù)室采取積極的處理方式，對(duì)感染者進(jìn)行短暫隔離直到康復(fù)．假設(shè)某班級(jí)已知6位同學(xué)中有1位同學(xué)被感染，需要通過(guò)化驗(yàn)血液來(lái)確定被感染的同學(xué)，血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性即被感染，呈陰性即未被感染．下面是兩種化驗(yàn)方案．
方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定被感染的同學(xué)為止．
方案乙：先任取3個(gè)同學(xué)，將他們的血液混在一起化驗(yàn)，若結(jié)果呈陽(yáng)性則表明被感染同學(xué)為這3位中的1位，后再逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定被感染的同學(xué)為止；若結(jié)果呈陰性，則在另外3位同學(xué)中逐個(gè)檢測(cè)．
(1)求方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)等于方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率；
(2)η表示方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)，ξ表示方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)，假設(shè)每次化驗(yàn)的費(fèi)用都相同，請(qǐng)從經(jīng)濟(jì)角度考慮哪種化驗(yàn)的方案最佳．
【解】設(shè)Ai(i＝1,2,3,4,5)表示方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)為i次；Bj(j＝2,3)表示方案乙所需化驗(yàn)的次數(shù)為j次，方案甲與方案乙相互獨(dú)立．
(1)P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝，P(A5)＝，
P(B2)＝＋＝，P(B3)＝1－P(B2)＝，
用事件D表示方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)等于方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)，
則P(D)＝P(A2B2＋A3B3)＝P(A2)P(B2)＋P(A3)P(B3)＝×＋×＝.
(2)η的可能取值為1,2,3,4,5.ξ的可能取值為2,3.
由(1)知P(η＝1)＝P(η＝2)＝P(η＝3)＝P(η＝4)＝，P(η＝5)＝，
所以E(η)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝，
P(ξ＝2)＝P(B2)＝，P(ξ＝3)＝P(B3)＝，
所以E(ξ)＝2×＋3×＝.
因?yàn)镋(ξ)3.841，
所以有超過(guò)95%的把握認(rèn)為“‘具有很強(qiáng)安全意識(shí)’與擁有駕駛證”有關(guān)．
(2)由頻率分布直方圖中數(shù)據(jù)可知，抽到的每個(gè)成年人“具有很強(qiáng)安全意識(shí)”的概率為，
所以X＝0,1,2,3,4，且X～B.
P(X＝k)＝C·k·4－k(k＝0,1,2,3,4)，
X的分布列為
X
0
1
2
3
4
P

所以E(X)＝4×＝.
【名師指導(dǎo)】
概率與統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例交匯問(wèn)題的考查離不開(kāi)圖表(頻率分布直方圖、莖葉圖、折線圖、頻數(shù)分布表等)，解決此類(lèi)問(wèn)題重在審圖表、明數(shù)據(jù)，能從所給圖表中正確提取解題所需要的信息是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，然后根據(jù)信息一步步實(shí)現(xiàn)圖表數(shù)據(jù)與數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化，建立數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題．

題型3 概率與函數(shù)、數(shù)列等綜合問(wèn)題
【例3-1】為響應(yīng)綠色出行，某市在推出共享單車(chē)后，又推出新能源分時(shí)租賃汽車(chē)．其中一款新能源分時(shí)租賃汽車(chē)，每次租車(chē)收費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)由兩部分組成：①根據(jù)行駛里程數(shù)按1元/公里計(jì)費(fèi)；②行駛時(shí)間不超過(guò)40分鐘時(shí)按0.12元/分計(jì)費(fèi)，超過(guò)40分鐘時(shí)，超出部分按0.20元/分計(jì)費(fèi)．已知張先生家離上班地點(diǎn)15公里，每天租用該款汽車(chē)上、下班各一次．由于堵車(chē)、紅綠燈等因素，每次路上開(kāi)車(chē)花費(fèi)的時(shí)間t(單位：分)是一個(gè)隨機(jī)變量．現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了張先生50次路上開(kāi)車(chē)花費(fèi)的時(shí)間，在各時(shí)間段內(nèi)的頻數(shù)分布情況如下表所示.
時(shí)間t/分
(20,30]
(30,40]
(40,50]
(50,60]
頻數(shù)
2
18
20
10
　　將頻率視為概率，每次路上開(kāi)車(chē)花費(fèi)的時(shí)間視為用車(chē)時(shí)間．
(1)寫(xiě)出張先生一次租車(chē)費(fèi)用y(單位：元)與用車(chē)時(shí)間t(單位：分)的函數(shù)關(guān)系式；
(2)若張先生一次開(kāi)車(chē)時(shí)間不超過(guò)40分為“路段暢通”，設(shè)ξ表示3次租用新能源分時(shí)租賃汽車(chē)中“路段暢通”的次數(shù)，求ξ的分布列和期望；
(3)若公司每月給1 000元的交通補(bǔ)助，請(qǐng)估計(jì)張先生每月(按22天計(jì)算)的交通補(bǔ)助是否足夠讓張先生上、下班租用新能源分時(shí)租賃汽車(chē)？并說(shuō)明理由．(同一時(shí)段的時(shí)間用該區(qū)間的中點(diǎn)值代表)
【解】　(1)當(dāng)20

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