2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識梳理與題型歸納第52講圓錐曲線的綜合應(yīng)用

思維導(dǎo)圖
知識梳理
1．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時，通常將直線l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)代入圓錐曲線C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一個關(guān)于變量x(或y)的一元方程．
例：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Ax＋By＋C＝0，,F?x，y?＝0))消去y，得ax2＋bx＋c＝0.
(1)當(dāng)a≠0時，設(shè)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判別式為Δ，則：
Δ>0?直線與圓錐曲線C相交；
Δ＝0?直線與圓錐曲線C相切；
Δ0)的焦點F(1,0)，O為坐標(biāo)原點，A，B是拋物線C上異于O的兩點．
(1)求拋物線C的方程；
(2)若直線OA，OB的斜率之積為－eq \f(1,2)，求證：直線AB過x軸上一定點．
【跟蹤訓(xùn)練1-1】已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦點F(eq \r(3)，0)，長半軸長與短半軸長的比值為2.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)不經(jīng)過點B(0,1)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點M，N，若點B在以線段MN為直徑的圓上，證明：直線l過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．
【名師指導(dǎo)】
定點問題實質(zhì)及求解步驟
解析幾何中的定點問題實質(zhì)是：當(dāng)動直線或動圓變化時，這些直線或圓相交于一點，即這些直線或圓繞著定點在轉(zhuǎn)動．這類問題的求解一般可分為以下三步：
題型2 “設(shè)參→用參→消參”三步解決圓錐曲線中的定值問題
【例2-1】已知拋物線E：y2＝2px(p>0)，直線x＝my＋3與E交于A，B兩點，且eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＝6，其中O為坐標(biāo)原點．
(1)求拋物線E的方程；
(2)已知點C的坐標(biāo)為(－3,0)，記直線CA，CB的斜率分別為k1，k2，證明：eq \f(1,k\\al(2,1))＋eq \f(1,k\\al(2,2))－2m2為定值．
【跟蹤訓(xùn)練2-1】已知橢圓C的兩個頂點分別為A(－2，0)，B(2,0)，焦點在x軸上，離心率為eq \f(\r(3),2).
(1)求橢圓C的方程；
(2)如圖所示，點D為x軸上一點，過點D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點M，N，過點D作AM的垂線交BN于點E.求證：△BDE與△BDN的面積之比為定值，并求出該定值．
【名師指導(dǎo)】
定值問題實質(zhì)及求解步驟
定值問題一般是指在求解解析幾何問題的過程中，探究某些幾何量(斜率、距離、面積、比值等)與變量(斜率、點的坐標(biāo)等)無關(guān)的問題．其求解步驟一般為：