知識(shí)梳理
1．二項(xiàng)式定理
(1)二項(xiàng)式定理：(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋…＋ Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)；
(2)通項(xiàng)公式：Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1項(xiàng)；
(3)二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)為Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，…，Ceq \\al(n,n).
2．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
題型歸納
題型1二項(xiàng)展開(kāi)式中特定項(xiàng)及系數(shù)問(wèn)題
【例1-1】二項(xiàng)式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(x),2)－\f(2,x)))10的展開(kāi)式中，eq \r(x)項(xiàng)的系數(shù)是( )
A.eq \f(15,2) B．－eq \f(15,2)
C．15 D．－15
【例1-2】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,8x3)))8的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_______．
【跟蹤訓(xùn)練1-1】在二項(xiàng)式(eq \r(2)＋x)9的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是________，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是________．
【跟蹤訓(xùn)練1-2】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax＋\f(1,x)))6的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為160，則實(shí)數(shù)a＝________.
【名師指導(dǎo)】
求二項(xiàng)展開(kāi)式中的項(xiàng)的方法
求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題，實(shí)質(zhì)是考查通項(xiàng)Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk的特點(diǎn)，一般需要建立方程求k，再將k的值代回通項(xiàng)求解，注意k的取值范圍(k＝0,1,2，…，n).
題型2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及各項(xiàng)系數(shù)和
【例2-1】(1)已知(ax＋b)6的展開(kāi)式中x4項(xiàng)的系數(shù)與x5項(xiàng)的系數(shù)分別為135與－18，則(ax＋b)6的展開(kāi)式中所有項(xiàng)系數(shù)之和為( )
A．－1 B．1
C．32 D．64
(2)若(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝( )
A．0 B．1
C．32 D．－1
(3)在(1＋x)n(x∈N*)的二項(xiàng)展開(kāi)式中，若只有x5的系數(shù)最大，則n＝________.
【跟蹤訓(xùn)練2-1】若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))n的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和大于8，但小于32，則展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是( )
A．6eq \r(3,x)B.eq \f(4,\r(x))
C．4xeq \r(6,x)D.eq \f(4,\r(x)) 或4xeq \r(6,x)
【跟蹤訓(xùn)練2-2】已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，則|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝( )
A．1 B．243
C．121 D．122
【跟蹤訓(xùn)練2-3】若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_______．
【跟蹤訓(xùn)練2-4】已知(1＋3x)n的展開(kāi)式中，后三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于121，則展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為_(kāi)_______．
【名師指導(dǎo)】
1．賦值法的應(yīng)用
二項(xiàng)式定理給出的是一個(gè)恒等式，對(duì)于x，y的一切值都成立．因此，可將x，y設(shè)定為一些特殊的值．在使用賦值法時(shí)，令x，y等于多少，應(yīng)視具體情況而定，一般取“1，－1或0”，有時(shí)也取其他值．如：
(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x＝1即可．
(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可．
2．二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的確定方法
(1)如果n是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(第\f(n,2)＋1項(xiàng)))的二項(xiàng)式系數(shù)最大；
(2)如果n是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(第\f(n＋1,2)項(xiàng)與第\f(n＋1,2)＋1項(xiàng)))的二項(xiàng)式系數(shù)相等并最大．
題型3多項(xiàng)式展開(kāi)式中特定項(xiàng)系數(shù)問(wèn)題
【例3-1】在1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5的展開(kāi)式中，含x2項(xiàng)的系數(shù)是( )
A．10 B．15
C．20 D．25
【例3-2】(1) (1＋2x2)(1＋x)4的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為( )
A．12 B．16
C．20 D．24
(2)已知(x－1)(ax＋1)6的展開(kāi)式中含x2項(xiàng)的系數(shù)為0，則正實(shí)數(shù)a＝________.
【例3-3】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)＋2))5的展開(kāi)式中x2的系數(shù)是________．
【跟蹤訓(xùn)練3-1】在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)－1))6的展開(kāi)式中，含x5項(xiàng)的系數(shù)為( )
A．6 B．－6
C．24 D．－24
【跟蹤訓(xùn)練3-2】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－3x＋\f(4,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,\r(x))))5的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為( )
A．－30 B．30
C．－25 D．25
【名師指導(dǎo)】
1. 對(duì)于幾個(gè)多項(xiàng)式和的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)(系數(shù))問(wèn)題，只需依據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，從每一項(xiàng)中分別得到特定的項(xiàng)，再求和即可．
2.對(duì)于幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題，一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類(lèi)方法，以免重復(fù)或遺漏．
3.(a＋b＋c)n展開(kāi)式中特定項(xiàng)的求解方法

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