知識梳理
1．事件的相關概念
2．頻數(shù)、頻率和概率
(1)頻數(shù)、頻率：在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝eq \f(nA,n)為事件A出現(xiàn)的頻率．
(2)概率：對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作P(A)，稱為事件A的概率．
3．事件的關系與運算
4．概率的幾個基本性質(zhì)
(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率為eq \a\vs4\al(1).
(3)不可能事件的概率為eq \a\vs4\al(0).
(4)概率的加法公式：如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)對立事件的概率：若事件A與事件B互為對立事件，則A∪B為必然事件，P(A∪B)＝eq \a\vs4\al(1)，P(A)＝1－P(B)．
5．古典概型
(1)特點：
①有限性：在一次試驗中所有可能出現(xiàn)的結果只有有限個，即只有有限個不同的基本事件．
②等可能性：每個基本事件出現(xiàn)的可能性是均等的．
(2)計算公式：
P(A)＝eq \f(A包含的基本事件的個數(shù),基本事件的總數(shù))
題型歸納
題型1隨機事件的關系
【例1-1】把紅、黃、藍、白4張紙牌隨機地分發(fā)給甲、乙、丙、丁四人，每個人分得一張，事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”( )
A．是對立事件 B．是不可能事件
C．是互斥但不對立事件 D．不是互斥事件
【解析】選C 顯然兩個事件不可能同時發(fā)生，但兩者可能同時不發(fā)生，因為紅牌可以分給丙、丁兩人，綜上，這兩個事件為互斥不對立事件，故選C.
【例1-2】從1,2,3，…，7這7個數(shù)中任取兩個數(shù)，其中：
①恰有一個是偶數(shù)和恰有一個是奇數(shù)；
②至少有一個是奇數(shù)和兩個都是奇數(shù)；
③至少有一個是奇數(shù)和兩個都是偶數(shù)；
④至少有一個是奇數(shù)和至少有一個是偶數(shù)．
上述事件中，是對立事件的是( )
A．①B．②④
C．③D．①③
【解析】選C “至少有一個是奇數(shù)”即“兩個都是奇數(shù)或一奇一偶”，而從1,2,3，…，7這7個數(shù)中任取兩個數(shù)，根據(jù)取到數(shù)的奇偶性知共有三種情況：“兩個都是奇數(shù)”“一奇一偶”“兩個都是偶數(shù)”，故“至少有一個是奇數(shù)”與“兩個都是偶數(shù)”是對立事件，易知其余都不是對立事件．故選C.
【跟蹤訓練1-1】在5張電話卡中，有3張移動卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事件“2張全是移動卡”的概率是eq \f(3,10)，那么概率是eq \f(7,10)的事件是( )
A．至多有一張移動卡 B．恰有一張移動卡
C．都不是移動卡 D．至少有一張移動卡
【解析】選A 至多有一張移動卡包含“一張移動卡，一張聯(lián)通卡”“兩張全是聯(lián)通卡”兩個事件，它是“2張全是移動卡”的對立事件，故選A.
【跟蹤訓練1-2】對飛機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設A＝{兩次都擊中飛機}，B＝{兩次都沒擊中飛機}，C＝{恰有一次擊中飛機}，D＝{至少有一次擊中飛機}，其中彼此互斥的事件是________________________，互為對立事件的是________．
【解析】設I為對飛機連續(xù)射擊兩次所發(fā)生的所有情況，因為A∩B＝?，A∩C＝?，B∩C＝?，B∩D＝?，故A與B，A與C，B與C，B與D為互斥事件．而B∩D＝?，B∪D＝I，故B與D互為對立事件．
【答案】A與B，A與C，B與C，B與D B與D
【名師指導】
判斷互斥、對立事件的2種方法
題型2隨機事件的頻率與概率
【例2-1】改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來，移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學生上個月A，B兩種移動支付方式的使用情況，從全校所有的1 000名學生中隨機抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下：
(1)估計該校學生中上個月A，B兩種支付方式都使用的人數(shù)；
(2)從樣本僅使用B的學生中隨機抽取1人，求該學生上個月支付金額大于2 000元的概率；
(3)已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化．現(xiàn)從樣本僅使用B的學生中隨機抽查1人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2 000元．結合(2)的結果，能否認為樣本僅使用B的學生中本月支付金額大于2 000元的人數(shù)有變化？說明理由．
[解] (1)由題知，樣本中僅使用A的學生有27＋3＝30(人)，僅使用B的學生有24＋1＝25(人)，A，B兩種支付方式都不使用的學生有5人．故樣本中A，B兩種支付方式都使用的學生有100－30－25－5＝40(人)．估計該校學生中上個月A，B兩種支付方式都使用的人數(shù)為eq \f(40,100)×1 000＝400.
(2)記事件C為“從樣本僅使用B的學生中隨機抽取1人，該學生上個月的支付金額大于2 000元”，則P(C)＝eq \f(1,25)＝0.04.
(3)記事件E為“從樣本僅使用B的學生中隨機抽查1人，該學生本月的支付金額大于2 000元”．
假設樣本僅使用B的學生中，本月支付金額大于2 000元的人數(shù)沒有變化，則由(2)知，P(E)＝0.04.
答案示例1：可以認為有變化．
理由如下：
P(E)比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生，一旦發(fā)生，就有理由認為本月支付金額大于2 000元的人數(shù)發(fā)生了變化．所以可以認為有變化．
答案示例2：無法確定有沒有變化．
理由如下：
事件E是隨機事件，P(E)比較小，一般不容易發(fā)生，但還是有可能發(fā)生的．所以無法確定有沒有變化．
【跟蹤訓練2-1】我國高鐵發(fā)展迅速，技術先進．經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0.97，有20個車次的正點率為0.98，有10個車次的正點率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為________．
【解析】eq \x\t(x)＝eq \f(10×0.97＋20×0.98＋10×0.99,10＋20＋10)＝0.98.
則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為0.98.
【答案】0.98
【跟蹤訓練2-2】某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位：℃)有關．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：
以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率．
(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；
(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)．當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率．
【解】(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當且僅當最高氣溫低于25 ℃，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25 ℃的頻率為eq \f(2＋16＋36,90)＝0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6.
(2)當這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，
若最高氣溫不低于25 ℃，則Y＝6×450－4×450＝900；
若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，則Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；
若最高氣溫低于20 ℃，則Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100.
所以Y的所有可能值為900,300，－100，
Y大于零當且僅當最高氣溫不低于20 ℃，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20 ℃的頻率為eq \f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8，因此Y大于零的概率的估計值為0.8.
【名師指導】
1．概率與頻率的關系
頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，通常用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小，有時也用頻率來作為隨機事件概率的估計值．
2．隨機事件概率的求法
利用概率的統(tǒng)計定義求事件的概率，即通過大量的重復試驗，事件發(fā)生的頻率會逐漸趨近于某一個常數(shù)，這個常數(shù)就是概率．
題型3互斥事件、對立事件概率公式的應用
【例3-1】某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1 000 張獎券為一個開獎單位，設特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個．設1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1張獎券的中獎概率；
(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率．
[解] (1)易知P(A)＝eq \f(1,1 000)，P(B)＝eq \f(1,100)，P(C)＝eq \f(1,20).
(2)1張獎券中獎包含中特等獎、一等獎、二等獎．設“1張獎券中獎”這個事件為M，則M＝A∪B∪C.
因為A，B，C兩兩互斥，
所以P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝eq \f(1＋10＋50,1 000)＝eq \f(61,1 000).
故1張獎券的中獎概率為eq \f(61,1 000).
(3)設“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事件N，則事件N與“1張獎券中特等獎或中一等獎”為對立事件，
所以P(N)＝1－P(A∪B)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,1 000)＋\f(1,100)))＝eq \f(989,1 000).
故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為eq \f(989,1 000).
【跟蹤訓練3-1】某超市為了了解顧客的購物量及結算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關數(shù)據(jù)，如下表所示.
已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.
(1)確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結算時間的平均值；
(2)求一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率．(將頻率視為概率)
【解】(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.該超市所有顧客一次購物的結算時間組成一個總體，所收集的100位顧客一次購物的結算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機樣本，顧客一次購物的結算時間的平均值可用樣本平均數(shù)估計，其估計值為eq \f(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10,100)＝1.9(分鐘)．
(2)記A為事件“一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘”，A1，A2分別表示事件“該顧客一次購物的結算時間為2.5分鐘”，“該顧客一次購物的結算時間為3分鐘”，將頻率視為概率得P(A1)＝eq \f(20,100)＝eq \f(1,5)，P(A2)＝eq \f(10,100)＝eq \f(1,10).則P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－eq \f(1,5)－eq \f(1,10)＝eq \f(7,10).故一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率為eq \f(7,10).
【跟蹤訓練3-2】A，B，C三個班共有100名學生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學生一周的鍛煉時間，數(shù)據(jù)如下表(單位：小時)：
(1)試估計C班的學生人數(shù)；
(2)從A班和C班抽出的學生中，各隨機選取1人，A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙．假設所有學生的鍛煉時間相互獨立，求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率．
【解】(1)由題意，得三個班共抽20個學生，其中C班抽8個，故抽樣比k＝eq \f(20,100)＝eq \f(1,5)，故C班有學生8÷eq \f(1,5)＝40人．
(2)從A班和C班抽出的學生中，各隨機選取一個人，共有5×8＝40種情況，而且這些情況是等可能的．
當甲的鍛煉時間為6小時時，甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的有2種情況；當甲的鍛煉時間為6.5小時時，甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的有3種情況；
當甲的鍛煉時間為7小時時，甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的有3種情況；當甲的鍛煉時間為7.5小時時，甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的有3種情況；當甲的鍛煉時間為8小時時，甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的有4種情況．故該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率P＝eq \f(2＋3＋3＋3＋4,40)＝eq \f(3,8).
【名師指導】
求互斥事件的概率的方法
(1)直接法
(2)間接法(正難則反)
題型4古典概型
【例4-1】 (1)我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“— —”，右圖就是一重卦．在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是( )
A.eq \f(5,16) B.eq \f(11,32)
C.eq \f(21,32)D.eq \f(11,16)
(2)某商場進行購物摸獎活動，規(guī)則是：在一個封閉的紙箱中裝有標號分別為1,2,3,4,5的五個小球，每次摸獎需要同時取出兩個球，每位顧客最多有兩次摸獎機會，并規(guī)定：若第一次取出的兩球號碼連號，則中獎，摸獎結束；若第一次未中獎，則將這兩個小球放回后進行第二次摸球，若與第一次取出的兩個小球號碼相同，則中獎．按照這樣的規(guī)則摸獎，中獎的概率為( )
A.eq \f(4,5)B.eq \f(19,25)
C.eq \f(23,50)D.eq \f(41,100)
[解析] (1)重卦是由從下到上排列的6個爻組成，而爻有“陽爻”和“陰爻”兩種，故所有的重卦共有26＝64種．重卦中恰有3個“陽爻”的共有Ceq \\al(3,6)×Ceq \\al(3,3)＝20種．故所求概率P＝eq \f(20,64)＝eq \f(5,16)，故選A.
(2)分為兩個互斥事件：記“第一次取出的兩球號碼連號中獎”為事件A，記“第二次取出的兩球與第一次取出的未中獎的兩球號碼相同中獎”為事件B，則由題意得P(A)＝eq \f(4,C\\al(2,5))＝eq \f(2,5)，P(B)＝eq \f(C\\al(2,5)－4,C\\al(2,5)C\\al(2,5))＝eq \f(3,50)，則每位顧客摸球中獎的概率為P(A)＋P(B)＝eq \f(2,5)＋eq \f(3,50)＝eq \f(23,50)，故選C.
[答案] (1)A (2)C
【跟蹤訓練4-1】我國歷法中將一年分春、夏、秋、冬四個季節(jié)，每個季節(jié)六個節(jié)氣，如春季包含立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨．某書畫院甲、乙、丙、丁四位同學接到繪制二十四節(jié)氣的彩繪任務，現(xiàn)四位同學抽簽確定各自完成哪個季節(jié)中的6幅彩繪，在制簽抽簽公平的前提下，甲抽到繪制夏季6幅彩繪的概率是( )
A.eq \f(1,6)B.eq \f(1,4)
C.eq \f(1,3)D.eq \f(1,2)
【解析】選B 甲從春、夏、秋、冬四個季節(jié)的各6幅彩繪繪制的任務中選一個季節(jié)的6幅彩繪繪制，故甲抽到繪制夏季6幅彩繪的概率為eq \f(1,4)，選B.
【跟蹤訓練4-2】某區(qū)要從參加扶貧攻堅任務的5名干部A，B，C，D，E中隨機選取2人，赴區(qū)屬的某貧困村進行駐村扶貧工作，則A或B被選中的概率是( )
A.eq \f(1,5)B.eq \f(2,5)
C.eq \f(3,5)D.eq \f(7,10)
【解析】選D 從5名干部中隨機選取2人有Ceq \\al(2,5)＝10(種)選法，其中只選中A沒選中B有Ceq \\al(1,3)＝3(種)選法，只選中B沒選中A有Ceq \\al(1,3)＝3(種)選法，A和B均選中有1種選法，所以所求概率P＝eq \f(3＋3＋1,10)＝eq \f(7,10)，故選D.
【跟蹤訓練4-3】已知某口袋中裝有2個紅球，3個白球和1個藍球，從中任取3個球，則其中恰有兩種顏色的概率是( )
A.eq \f(3,5)B.eq \f(4,5)
C.eq \f(7,20)D.eq \f(13,20)
【解析】選D 依題意，從口袋中任取3個球，共有Ceq \\al(3,6)＝20(種)不同的取法，
①當取得三個球顏色相同，則有Ceq \\al(3,3)＝1種取法；②當取的三個球顏色互不相同，則有Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,1)＝6種取法；綜合①②得：從中任取三個球，其中恰有兩種顏色的概率為1－eq \f(1＋6,20)＝eq \f(13,20).
【名師指導】
1．古典概型的概率求解步驟
(1)求出所有基本事件的個數(shù)n.
(2)求出事件A包含的所有基本事件的個數(shù)m.
(3)代入公式P(A)＝eq \f(m,n)求解．
2．基本事件個數(shù)的確定方法
(1)列舉法：此法適合于基本事件個數(shù)較少的古典概型．
(2)列表法：此法適合于從多個元素中選定兩個元素的試驗，也可看成坐標法．
(3)樹狀圖法：樹狀圖是進行列舉的一種常用方法，適用于有順序的問題及較復雜問題中基本事件數(shù)的探求．
(4)運用排列組合知識計算．名稱
條件
結論
符號表示
包含關系
若A發(fā)生，則B一定發(fā)生
事件B包含事件A(事件A包含于事件B)
B?A(或A?B)
相等關系
若B?A且A?B
事件A與事件B相等
A＝B
并(和)事件
A發(fā)生或B發(fā)生
事件A與事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交(積)事件
A發(fā)生且B發(fā)生
事件A與事件B的交事件(或積事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
A∩B為不可能事件
事件A與事件B互斥
A∩B＝?
對立事件
A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件
事件A與事件B互為對立事件
A∩B＝?，P(A∪B)＝1
定義法
判斷互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件
集合法
①由各個事件所含的結果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥．
②事件A的對立事件eq \x\t(A)所含的結果組成的集合，是全集中由事件A所含的結果組成的集合的補集
支付金額
支付方式
不大于2 000元
大于2 000元
僅使用A
27人
3人
僅使用B
24人
1人
最高氣溫
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天數(shù)
2
16
36
25
7
4
一次購物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顧客數(shù)(人)
x
30
25
y
10
結算時間(分鐘/人)
1
1.5
2
2.5
3
A班
6
6.5
7
7.5
8
B班
6
7
8
9
10
11
12
C班
3
4.5
6
7.5
9
10.5
12
13.5

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