知識(shí)梳理
1．二項(xiàng)式定理
(1)二項(xiàng)式定理：(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋…＋ Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)；
(2)通項(xiàng)公式：Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1項(xiàng)；
(3)二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)為Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，…，Ceq \\al(n,n).
2．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
題型歸納
題型1二項(xiàng)展開式中特定項(xiàng)及系數(shù)問題
【例1-1】二項(xiàng)式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(x),2)－\f(2,x)))10的展開式中，eq \r(x)項(xiàng)的系數(shù)是( )
A.eq \f(15,2) B．－eq \f(15,2)
C．15 D．－15
【解析】選B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(x),2)－\f(2,x)))10的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝Ceq \\al(r,10)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(x),2)))10－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,x)))r＝(－1)r22r－10Ceq \\al(r,10)x，令5－eq \f(3r,2)＝eq \f(1,2)，得r＝3，所以eq \r(x)項(xiàng)的系數(shù)是(－1)3·2－4·Ceq \\al(3,10)＝－eq \f(15,2).故選B.
【例1-2】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,8x3)))8的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為________．
【解析】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,8x3)))8的通項(xiàng)為Tr＋1＝Ceq \\al(r,8)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x))8－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8x3)))r＝Ceq \\al(r,8)28－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)))r·x8－4r.
令8－4r＝0，得r＝2，∴ 常數(shù)項(xiàng)為T3＝Ceq \\al(2,8)26eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)))2＝28.
【答案】28
【跟蹤訓(xùn)練1-1】在二項(xiàng)式(eq \r(2)＋x)9的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是________，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是________．
【解析】由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可知Tr＋1＝Ceq \\al(r,9)·(eq \r(2))9－r·xr，r∈N,0≤r≤9，
當(dāng)項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)時(shí)，r＝0，T1＝Ceq \\al(0,9)·(eq \r(2))9·x0＝(eq \r(2))9＝16eq \r(2).
當(dāng)項(xiàng)的系數(shù)為有理數(shù)時(shí)，9－r為偶數(shù)，
可得r＝1,3,5,7,9，即系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是5.
【答案】16eq \r(2) 5
【跟蹤訓(xùn)練1-2】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax＋\f(1,x)))6的展開式的常數(shù)項(xiàng)為160，則實(shí)數(shù)a＝________.
【解析】法一：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax＋\f(1,x)))6的展開式的通項(xiàng)Tr＋1＝Ceq \\al(r,6)(ax)6－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))r＝Ceq \\al(r,6)a6－rx6－2r，令6－2r＝0，得r＝3，所以Ceq \\al(3,6)a6－3＝160，解得a＝2.
法二：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax＋\f(1,x)))6＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax＋\f(1,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax＋\f(1,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax＋\f(1,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax＋\f(1,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax＋\f(1,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax＋\f(1,x)))，要得到常數(shù)項(xiàng)，則需ax與eq \f(1,x)的個(gè)數(shù)相同，各為3個(gè)，所以從6個(gè)因式中選擇3個(gè)ax的系數(shù)，即Ceq \\al(3,6)a3＝160，解得a＝2.
【答案】2
【名師指導(dǎo)】
求二項(xiàng)展開式中的項(xiàng)的方法
求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題，實(shí)質(zhì)是考查通項(xiàng)Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk的特點(diǎn)，一般需要建立方程求k，再將k的值代回通項(xiàng)求解，注意k的取值范圍(k＝0,1,2，…，n).
題型2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及各項(xiàng)系數(shù)和
【例2-1】(1)已知(ax＋b)6的展開式中x4項(xiàng)的系數(shù)與x5項(xiàng)的系數(shù)分別為135與－18，則(ax＋b)6的展開式中所有項(xiàng)系數(shù)之和為( )
A．－1 B．1
C．32 D．64
(2)若(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝( )
A．0 B．1
C．32 D．－1
(3)在(1＋x)n(x∈N*)的二項(xiàng)展開式中，若只有x5的系數(shù)最大，則n＝________.
【解析】 (1)由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可知x4項(xiàng)的系數(shù)為Ceq \\al(2,6)a4b2，x5項(xiàng)的系數(shù)為Ceq \\al(1,6)a5b，則由題意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(C\\al(2,6)a4b2＝135，,C\\al(1,6)a5b＝－18，))解得a＋b＝±2，故(ax＋b)6的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為(a＋b)6＝64.
(2)由(1－x)5的展開式的通項(xiàng)Tr＋1＝Ceq \\al(r,5)(－x)r＝Ceq \\al(r,5)(－1)rxr，可知a1，a3，a5都小于0.則|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.在原二項(xiàng)展開式中令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0.
(3)二項(xiàng)式中僅x5的系數(shù)最大，其最大值必為Ceq \f(n,2)n，即得eq \f(n,2)＝5，解得n＝10.
【答案】 (1)D (2)A (3)10
【跟蹤訓(xùn)練2-1】若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和大于8，但小于32，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是( )
A．6eq \r(3,x)B.eq \f(4,\r(x))
C．4xeq \r(6,x)D.eq \f(4,\r(x)) 或4xeq \r(6,x)
【解析】選A 令x＝1，可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為2n，即8

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