知識(shí)梳理
1．直線的傾斜角
(1)定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角.
(2)規(guī)定：當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0.
(3)范圍：直線l傾斜角的取值范圍是[0，π)．
2．斜率公式
(1)定義式：直線l的傾斜角為αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)))，則斜率k＝tan α.
(2)坐標(biāo)式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上，且x1≠x2，則l的斜率 k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).
3．直線方程的五種形式

題型歸納
題型1 直線的傾斜角與斜率
【例1-1】直線xcsα﹣y﹣4＝0的傾斜角的取值范圍是（ ）
A．[0，π）B．
C．D．
【分析】先求出斜率的范圍，再根據(jù)傾斜角和斜率的關(guān)系，求出傾斜角的取值范圍．
【解答】解：由于直線xcsα﹣y﹣4＝0的斜率為 csα∈[﹣1，1]，設(shè)傾斜角為θ，θ∈[0，π），
則tanθ∈[﹣1，1]，∴θ∈[0，]∪[，π），
故選：D．
【例1-2】已知點(diǎn)A（﹣2，﹣3）和點(diǎn)B（﹣1，0）是平面直角坐標(biāo)系中的定點(diǎn)，直線y＝kx+1與線段AB始終相交，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．[1，2]B．[﹣2，1]C．[﹣2，﹣1]D．[，1]
【分析】根據(jù)題意，分析可得點(diǎn)A、B分別在直線y＝kx+1的兩側(cè)或直線上，由一元二次不等式的幾何意義可得（﹣2k+3+1）（﹣k+1）≤0，解可得k的取值范圍，即可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，直線y＝kx+1與線段AB始終相交，則點(diǎn)A、B分別在直線y＝kx+1的兩側(cè)或直線上，
則有（﹣2k+3+1）（﹣k+1）≤0，
解可得：1≤k≤2，即k的取值范圍為[1，2]；
故選：A．
【跟蹤訓(xùn)練1-1】過點(diǎn)A（2，1），B（m，3）的直線的傾斜角α的范圍是，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．0＜m≤2B．0＜m＜4
C．2≤m＜4D．0＜m＜2或2＜m＜4
【分析】由直線的傾斜角的范圍求出直線的斜率的范圍，再由兩點(diǎn)求斜率求出AB所在直線的斜率，得到關(guān)于m的不等式，求解m的范圍，再由m＝2時(shí)直線的傾斜角為，符合題意，則答案可求．
【解答】解：由直線的傾斜角α的范圍是，
得直線的斜率存在時(shí)，有k＜﹣1或k＞1．
又kAB＝，
∴或，
解得0＜m＜2或2＜m＜4．
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，m＝2．
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（0，4）．
故選：B．
【跟蹤訓(xùn)練1-2】已知直線l過點(diǎn)P（1，0）且與線段y＝2（﹣2≤x≤2）有交點(diǎn)，設(shè)直線l的斜率為k，則k的取值范圍是（ ）
A．（﹣∞，﹣]∪[2，+∞）B．[﹣，2]
C．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）D．（﹣，2）
【分析】先求出PA、PB的斜率，再根據(jù)題意求出k的范圍．
【解答】解：如圖，，，
由于直線l與線段y＝2（﹣2≤x≤2）有交點(diǎn)，
故k≥2，或 k≤﹣，
故選：A．
【名師指導(dǎo)】
題型2 直線的方程
【例2-1】已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P（﹣1，2），且傾斜角為135°，則直線l的方程為（ ）
A．x+y﹣3＝0B．x+y﹣1＝0C．x﹣y+1＝0D．x﹣y+3＝0
【分析】由直線l的傾斜角為135°，所以可求出直線l的斜率，進(jìn)而根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程寫出即可．
【解答】解：∵直線l的傾斜角為135°，
∴斜率＝tan135°＝﹣1，
又直線l過點(diǎn)（﹣1，2），
∴直線的點(diǎn)斜式為y﹣2＝﹣1（x+1），
即x+y﹣1＝0．
故選：B．
【例2-2】（多選）已知直線l過點(diǎn)P（2，4），在x軸和y軸上的截距相等，則直線l的方程可能為（ ）
A．x﹣y+2＝0B．x+y﹣6＝0C．x＝2D．2x﹣y＝0
【分析】分直線l的斜率存在與不存在分類求解得答案．
【解答】解：當(dāng)直線l過原點(diǎn)時(shí)，直線方程為y＝2x，即2x﹣y＝0；
當(dāng)直線l不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為x+y＝m，則m＝2+4＝6，
∴直線方程為x+y﹣6＝0．
∴直線l的方程可能為2x﹣y＝0或x+y﹣6＝0．
故選：BD．
【例2-3】已知A（3，2），B（﹣2，3），C（4，5），則△ABC的BC邊上的中線所在的直線方程為（ ）
A．x+y+1＝0B．x+y﹣1＝0C．x+y﹣5＝0D．x﹣y﹣5＝0
【分析】根據(jù)題意，設(shè)BC的中點(diǎn)為D，求出D的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線AD的斜率，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程分析可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)BC的中點(diǎn)為D，
又由B（﹣2，3），C（4，5），則D的坐標(biāo)為（1，4），
又由A（3，2），則kAD＝1，
故△ABC的BC邊上的中線所在的直線方程為y﹣2＝﹣（x﹣3），即x+y﹣5＝0；
故選：C．
【例2-4】過點(diǎn)A（1，2）的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（ ）
A．x﹣y+1＝0B．x+y﹣3＝0
C．2x﹣y＝0或x+y﹣3＝0D．2x﹣y＝0或x﹣y+1＝0
【分析】討論直線過原點(diǎn)和不過原點(diǎn)時(shí)，分別求出對(duì)應(yīng)的直線方程即可．
【解答】解：當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，可得斜率為k＝＝2，
所以直線方程為y＝2x，即2x﹣y＝0；
當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為+＝1，
代入點(diǎn)（1，2）可得﹣＝1，解得a＝﹣1，
所以直線方程為x﹣y+1＝0；
綜上知，所求直線方程為：2x﹣y＝0或x﹣y+1＝0．
故選：D．
【跟蹤訓(xùn)練2-1】如果直線x﹣4y+b＝0的縱截距為正，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為8，則b＝ ．
【分析】由題意知，可用斜截式求出直線x﹣4y+b＝0的方程，得到它與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，代入三角形的面積公式進(jìn)行運(yùn)算．
【解答】解：由題意知，直線的方程為 y＝x+（b＞0），它與兩坐標(biāo)軸的焦點(diǎn)為（0，）和（﹣b，0），
∴它與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為 ??b＝8，
解得b＝8．
故答案是：8．
【跟蹤訓(xùn)練2-2】在y軸上的截距為﹣6，且與y軸相交成30°角的直線方程是 ．
【分析】與y軸相交成30°角的直線方程的斜率為k＝tan60°＝，或k＝tan120°＝﹣，由此能求出y軸上的截距為﹣6，且與y軸相交成30°角的直線方程．
【解答】解：與y軸相交成30°角的直線方程的斜率為：
k＝tan60°＝，或k＝tan120°＝﹣，
∴y軸上的截距為﹣6，且與y軸相交成30°角的直線方程是：
y＝x﹣6或y＝﹣﹣6．
故答案為：y＝x﹣6或y＝﹣x﹣6．
【跟蹤訓(xùn)練2-3】一條直線經(jīng)過點(diǎn)，并且它的傾斜角等于直線傾斜角的2倍，則這條直線的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)題意，分析直線線的斜率，即可得其傾斜角，進(jìn)而可得所求直線的傾斜角與斜率，由直線的點(diǎn)斜式方程分析可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，已知直線的斜率k＝，則其傾斜角為30°，
故所求直線的傾斜角為60°，得出其斜率為，
由直線的點(diǎn)斜式得y﹣（﹣）＝（x﹣2），即．
故選：B．
【名師指導(dǎo)】
1．求解直線方程的2種方法
2．謹(jǐn)防3種失誤
(1)應(yīng)用“點(diǎn)斜式”和“斜截式”方程時(shí)，要注意討論斜率是否存在．
(2)應(yīng)用“截距式”方程時(shí)要注意討論直線是否過原點(diǎn)，截距是否為0.
(3)應(yīng)用一般式Ax＋By＋C＝0確定直線的斜率時(shí)注意討論B是否為0.
題型3 直線方程的綜合問題
【例3-1】△ABC中，A（0，1），AB邊上的高CD所在直線的方程為x+2y﹣4＝0，AC邊上的中線BE所在直線的方程為2x+y﹣3＝0．
（1）求直線AB的方程；
（2）求直線BC的方程；
（3）求△BDE的面積．
【分析】（1）由CD所在直線的方程求出直線AB的斜率，再由點(diǎn)斜式寫出AB的直線方程；
（2）先求出點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)，再寫出BC的直線方程；
（3）由點(diǎn)到直線的距離求出E到AB的距離d，以及B到CD的距離BD，計(jì)算S△BDE即可．
或求出BE，D到BE的距離d，計(jì)算S△BDE．
【解答】解：（1）∵CD所在直線的方程為x+2y﹣4＝0，
∴直線AB的斜率為2，
∴AB邊所在的直線方程為y﹣1＝2（x﹣0），即2x﹣y+1＝0；
（2）由，得，
即直線AB與AC邊中線BE的交點(diǎn)為B（，2）；
設(shè)C（m，n），
則由已知條件得，
解得，∴C（2，1）；
∴所以BC邊所在的直線方程為＝，即2x+3y﹣7＝0；
（3）∵E是AC的中點(diǎn)，∴E（1，1），
∴E到AB的距離為：d＝；
又點(diǎn)B到CD的距離為：BD＝，
∴S△BDE＝?d?BD＝．
另解：∵E是AC的中點(diǎn)，∴E（1，1），
∴BE＝，
由，
得，∴D（，），
∴D到BE的距離為：d＝，
∴S△BDE＝?d?BE＝．
【跟蹤訓(xùn)練3-1】已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（﹣3，1），B（3，﹣3），C（1，7）．
（1）求BC邊的中線所在直線方程的一般式方程；
（2）求△ABC的面積．
【分析】（1）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)式即可得出．
（2）三角形的面積公式即可計(jì)算得解．
【解答】解：（1）設(shè)BC的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），
所以x＝＝2，y＝＝2，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，2）．
由兩點(diǎn)式得：x﹣5y+8＝0．
所以BC邊的中線所在直線方程的一般式方程為：x﹣5y+8＝0；
（2）∵直線BC的方程為：5x+y﹣12＝0．
dA﹣BC＝＝，|BC|＝＝2，
S△ABC＝|BC|dA﹣BC＝×2×＝26．
【名師指導(dǎo)】
與直線方程有關(guān)問題的常見類型及解題策略
(1)求解與直線方程有關(guān)的最值問題．先設(shè)出直線方程，建立目標(biāo)函數(shù)，再利用基本不等式求解最值．
(2)求直線方程．弄清確定直線的兩個(gè)條件，由直線方程的幾種特殊形式直接寫出方程．
(3)求參數(shù)值或范圍．注意點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)適合直線的方程，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)或基本不等式求解．名稱
方程
適用范圍
點(diǎn)斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含垂直于x軸的直線
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x軸的直線
兩點(diǎn)式
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
不含直線x＝x1(x1≠x2)和直線y＝y(tǒng)1(y1≠y2)
截距式
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線
一般式
Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0
平面內(nèi)所有直線都適用
數(shù)形結(jié)合法
作出直線在平面直角坐標(biāo)系中可能的位置，借助圖形，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性確定
函數(shù)圖象法
根據(jù)正切函數(shù)圖象，由傾斜角范圍求斜率范圍，反之亦可
直接法
根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，直接寫出直線方程
待定系數(shù)法
①設(shè)所求直線方程的某種形式；
②由條件建立所求參數(shù)的方程(組)；
③解這個(gè)方程(組)求出參數(shù)；
④把參數(shù)的值代入所設(shè)直線方程

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