知識(shí)梳理
1．兩條直線平行與垂直的判定
(1)兩條直線平行
①對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.
②當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不存在時(shí)，l1∥l2.
(2)兩條直線垂直
①如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1.
②當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時(shí)，l1⊥l2.
2．兩直線相交
(1)交點(diǎn)：直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共點(diǎn)的坐標(biāo)與方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一一對(duì)應(yīng)．
(2)相交?方程組有唯一解，交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解．
(3)平行?方程組無(wú)解．
(4)重合?方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解．
3．三種距離公式
(1)兩點(diǎn)間的距離公式
平面上任意兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式為|P1P2|＝eq \r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2).
(2)點(diǎn)到直線的距離公式
點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
(3)兩平行直線間的距離公式
兩條平行直線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)) .
題型歸納
題型1 兩直線的位置關(guān)系
【例1-1】（2020春?金湖縣校級(jí)期中）若直線mx+2y﹣2＝0與直線x+（m﹣1）y+2＝0平行，則m的值為（ ）
A．﹣1B．1C．2或﹣1D．2
【例1-2】（2020?黃浦區(qū)二模）若直線l1：ax+3y﹣5＝0與l2：x+2y﹣1＝0互相垂直，則實(shí)數(shù)a的值為 ．
【跟蹤訓(xùn)練1-1】（2019?寶雞二模）若直線x+（1+m）y﹣2＝0和直線mx+2y+4＝0平行，則m的值為（ ）
A．1B．﹣2C．1或﹣2D．
【跟蹤訓(xùn)練1-2】（2020?江西模擬）已知直線l1：kx+y+3＝0，l2：x+ky+3＝0，且l1∥l2，則k的值 ．
【名師指導(dǎo)】
1．與兩直線的位置關(guān)系有關(guān)的常見(jiàn)題目類型
(1)判斷兩直線的位置關(guān)系．
(2)由兩直線的位置關(guān)系求參數(shù)．
(3)根據(jù)兩直線的位置關(guān)系求直線方程．
2．由一般式確定兩直線位置關(guān)系的方法
題型2 兩直線的交點(diǎn)及距離問(wèn)題
【例2-1】（2019秋?蕪湖期末）若三條直線2x+3y+8＝0，x﹣y﹣1＝0和x+ky＝0交于一點(diǎn)，則k的值為（ ）
A．﹣2B．﹣C．2D．
【例2-2】（2020春?包頭期末）點(diǎn)P（x，y）在直線x+y﹣2＝0上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則|OP|的最小值是（ ）
A．1B．C．2D．2
【例2-3】（2020春?張家界期末）直線3x+4y﹣3＝0與直線6x+my+9＝0平行，則它們的距離為（ ）
A．B．C．D．2
【跟蹤訓(xùn)練2-1】（2020春?江寧區(qū)校級(jí)月考）若三條直線2x﹣y＝0，x+y﹣3＝0，mx+ny+5＝0相交于同一點(diǎn)，則點(diǎn)（m，n）到原點(diǎn)的距離的最小值為 ．
【跟蹤訓(xùn)練2-2】（2020春?會(huì)寧縣校級(jí)期末）點(diǎn)A（csθ，sinθ）到直線3x+4y﹣4＝0距離的最大值為（ ）
A．B．C．1D．
【跟蹤訓(xùn)練2-3】（2020春?廣州期末）若兩平行直線x+2y+m＝0（m＞0）與x﹣ny﹣3＝0之間的距離是，則m+n＝（ ）
A．0B．1C．﹣1D．﹣2
【名師指導(dǎo)】
1．點(diǎn)到直線的距離的求法
可直接利用點(diǎn)到直線的距離公式來(lái)求，但要注意此時(shí)直線方程必須為一般式．
2．兩平行線間的距離的求法
(1)利用“轉(zhuǎn)化法”將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離．
(2)利用兩平行線間的距離公式．
題型3 對(duì)稱問(wèn)題
【例3-1】（2020春?石家莊期末）直線y＝4x﹣5關(guān)于點(diǎn)P（2，1）對(duì)稱的直線方程是（ ）
A．y＝4x+5B．y＝4x﹣5C．y＝4x﹣9D．y＝4x+9
【例3-2】（2020春?欽州期末）點(diǎn)P（2，4）與點(diǎn)Q關(guān)于直線l：y＝﹣x+1對(duì)稱，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，﹣3）C．（2，0）D．（﹣3，﹣1）
【例3-3】（2020春?河北期末）已知直線l：x+y+3＝0，直線m：2x﹣y+6＝0，則m關(guān)于l對(duì)稱的直線方程為（ ）
A．x+6y+3＝0B．x﹣6y+3＝0C．2x+y+6＝0D．x﹣2y+3＝0
【跟蹤訓(xùn)練3-1】（2019秋?溫州期末）與直線l：2x﹣3y+1＝0關(guān)于y軸對(duì)稱的直線的方程為（ ）
A．2x+3y+1＝0B．2x+3y﹣1＝0C．3x﹣2y+1＝0D．3x+2y+1＝0
【跟蹤訓(xùn)練3-2】（2020春?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）點(diǎn)（﹣2，0）關(guān)于直線x﹣y+1＝0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．（2，0）B．（0，2）C．（1，1）D．（﹣1，﹣1）
【跟蹤訓(xùn)練3-3】（2020春?包頭期末）與直線3x﹣4y+5＝0關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為（ ）
A．3x+4y﹣5＝0B．3x+4y+5＝0C．3x﹣4y+5＝0D．3x﹣4y﹣5＝0
【名師指導(dǎo)】
1.點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的求解方法
若點(diǎn)M(x1，y1)和點(diǎn)N(x，y)關(guān)于點(diǎn)P(a，b)對(duì)稱，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2a－x1，,y＝2b－y1，))進(jìn)而求解．
2.點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的解題方法
若兩點(diǎn)P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0對(duì)稱，則由方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))＋B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y1＋y2,2)))＋C＝0，,\f(y2－y1,x2－x1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(A,B)))＝－1，))可得到點(diǎn)P1關(guān)于直線l對(duì)稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．
3．線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的求解方法
(1)在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程；
(2)求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，再利用兩對(duì)稱直線平行，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程．
4．線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的實(shí)質(zhì)
“線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱”其實(shí)質(zhì)就是“點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱”，只要在直線上取兩個(gè)點(diǎn)，求出其對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)即可，可統(tǒng)稱為“中心對(duì)稱”．
直線方程
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq \\al(2,1)＋Beq \\al(2,1)≠0)
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq \\al(2,2)＋Beq \\al(2,2)≠0)
l1與l2垂直的充要條件
A1A2＋B1B2＝0
l1與l2平行的充分條件
eq \f(A1,A2)＝eq \f(B1,B2)≠eq \f(C1,C2)(A2B2C2≠0)
l1與l2相交的充分條件
eq \f(A1,A2)≠eq \f(B1,B2)(A2B2≠0)
l1與l2重合的充分條件
eq \f(A1,A2)＝eq \f(B1,B2)＝eq \f(C1,C2)(A2B2C2≠0)

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